Définition (Rappel) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note

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1 Chapitre Matrices Matrices Règles de calcul Définition Rappel On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note On note en abrégé a i,j i n j n a, a, a,p a, a, a,p a n, a n, a n,p i sera l indice de ligne et j l indice de colonne Notation : L ensemble des matrices n p à coefficients dans K est appelé M n,p K Si n = p, on le notera M n K Exemple : A = 3 M,3 R La matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle et sera notée Définition Rappel Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est dite carrée Un matrice carrée est dite : diagonale si a i,j = si i j ; triangulaire supérieure si a i,j = pour i > j ; triangulaire inférieure si a i,j = pour i > j Exemples : Les matrices de la forme : a b, a, b R, sont les matrices diagonales de M R Les matrices de la forme a b c a, b, c R, sont les matrices triangulaires supérieures de M R,

2 CHAPITRE MATRICES Définition 3 Une matrice à une ligne s appelle une matrice-ligne Une matrice à une colonne s appelle une matrice-colonne La ième ligne de la matrice a i,j est la matrice-ligne : a i,, a i,,, a i,p La jème colonne de la matrice a i,j est la matrice-colonne : Définition 4 Si A = a i,j M n,p K et λ K on définit le produit de A par λ par : λa = λa i,j Si B = b i,j M n,p K, on définit la somme des matrices A et B par : A + B = a i,j + b i,j 4 Exemples : A = M 3,3 R A = B = M,3 R A + B = M 3,3 R Définition 5 multiplication d une matrice-ligne par une matrice-colonne Si b A = a,, a p M,p R et B = M p, R, le produit AB est la matrice dont l unique coefficient est : b p a b + + a p b p a,j a n,j Attention : le produit d une matrice-ligne par une matrice-colonne n est défini que si les deux matrices ont le même nombre de coefficients Exemple : A =,, et B = AB = + + = Définition 6 Soit A M n,p K et B M p,q K Le produit de A par B, noté AB est la matrice n q dont le coefficient de la ième ligne et jème colonne est le produit de la ième ligne de A et de la jème colonne de B Attention : Le produit de A par B n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Exemple : A = 3 3 M 4,3R et B = 3 M 3, R Alors AB = M 4,R

3 MATRICES RÈGLES DE CALCUL 3 Remarques : Si A M n,p K et si E j = M p, K, à la jème place, ailleurs, alors AE j est la jème colonne de A La ième ligne de la matrice AB est égale au produit de la ième ligne de la matrice A par la matrice B La jème colonne de la matrice AB est égale au produit de la matrice A par la jème colonne de la matrice B Règles de calcul Soient A, B, C M n,p K,λ, µ K En utilisant les définitions de l addition des matrices et de la multiplication par un scalaire, on montre que : A + B = B + A, A A = où désigne la matrice nulle A + = A A + B + C = A + B + C, on note A + B + C λa + B = λa + λb λ + µa = λa + µa λµa = λµa A = A Définition 7 Pour k n et l p, on définit la matrice E k,l dont le coefficient de la kème ligne et lème colonne vaut, les autres coefficients étant égaux à Proposition 8 L ensemble M n,p K, muni de l addition des matrices et de la multiplication par les scalaires est un espace vectoriel sur K Les matrices E k,l, k n et l p, forment une base de M n,p K Preuve : Les règles de calcul ci-dessus font que M n,p K muni de l addition et de la multiplication par les scalaires est un espace vectoriel sur K De plus on écrit pour toute matrice A = a i,j, n p A = a k,l E k,l, et si A = k= l= n k= l= p c k,l E k,l, alors a k,l = c k,l pour k n et l p On voit donc que toute matrice de M n,p K s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices E k,l, k n, l p Définition 9 On définit I n comme la matrice carrée n n, diagonale, dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à On a les règles de calcul suivantes, qui résultent des propriétés de l addition et de la multiplication dans K, ainsi que de la définition de la multiplication des matrices quand on peut calculer les produits A, B, C M n K, λ K, I n A = AI n = A λac = λac, on note λac A + BC = AC + BC et AB + C = AB + AC double distributivité de la multiplication par rapport à l addition

4 4 CHAPITRE MATRICES Remarque : Le produit des matrices n est pas commutatif On n a pas toujours AB = BA, même si les produits AB et BA existent tous les deux Exemple : AB existe, BA n existe pas A = BC et CB existent et BC CB 3 C = B = Proposition Soient A M n,p K, B M p,q K, C M q,r K Alors ABC = ABC Preuve : Notons ABC i,j le coefficient de la ième ligne et jème colonne de la matrice ABC Alors on a : et ABC i,j = ième ligne de AB jème colonne de C = a i, b, + + a i,p b p, c,j + a i, b, + + a i,p b p, c,j + + a i, b,q + + a i,p b p,q c q,j ABC i,j = ième ligne de A jème colonne de BC = a i, b, c,j + + b,q c q,j + a i, b, c,j + + b,q c q,j + + a i,p b p, c,j + + b p,q c q,j On constate que ABC i,j = ABC i,j Définition i Si A est une matrice-colonne, on appelle transposée de A la matrice-ligne qui a les mêmes coefficients que A i ii Si A M n,p K, on appelle transposée de A la matrice de M p,n K dont la ième ligne est égale à la transposée de la ième colonne de A La transposée de A sera notée A t Exemple : A = A t = Proposition Si A, B, C M n K alors i A t t = A ii A + B t = A t + B t iii AC t = C t A t Preuve : i et ii sont faciles à vérifier exercice Montrons iii D une part on a : D autre part on a : ième ligne de AC t = ième colonne de AC =A ième colonne de C ième ligne de C t A t = ième ligne de C t A t =ième ligne de C t ère colonne de A t, ième ligne de C t ème colonne de A t,, ième ligne de C t nième colonne de A t =ère ligne de A ième colonne de C, ème ligne de A ième colonne de C,, nième ligne de A ième colonne de C =A ième colonne de C

5 MATRICE D UNE APPLICATION LINÉAIRE DANS DES BASES 5 Remarque : Si A = a i,j M n,p K, X = x x x p b b Kp et B = AX = B le système linéaire de matrice A et de second membre B : a, x + +a,p x p = b a n, x + +a n,p x p = b n Le système homogène associé sera noté AX =, où désigne le vecteur nul de K n Matrice d une application linéaire dans des bases b n Kn, on notera Définition Soient E et F des espaces vectoriels sur K de dimensions finies E et F non égaux à {} et soient u,, u p une base de E et v,, v n une base de F On appelle matrice de f dans les bases u,, u p et v,, v n la matrice à n lignes et p colonnes dont la jème colonne est constituée par les coordonnées du vecteur fu j dans la base v,, v n 3 Application linéaire de K p dans K n associée canoniquement à une matrice Dans cette partie, on note les vecteurs de K n et de K p en colonnes Donc si A est une matrice à n lignes et p colonnes et si X K p, on sait calculer le produit AX et il donne un élément de K n Proposition 3 Soit A M n,p K Alors la fonction Φ définie par : Φ : K p X K n AX est une application linéaire de l espace vectoriel K p dans l espace vectoriel K n et sa matrice dans les bases canoniques de K p et K n est A Preuve : Prouvons que Φ est une application linéaire Tout vecteur X de K p s écrit x x x a, + +x p a,p X = On a :AX = x x a n, + +x p a n,p n On vérifie que si X et Y appartiennent à K p, alors AX + Y = AX + AY et si λ K, AλX = λx Donc Φ est une application linéaire de K p dans K n De plus, on a φ alors c est bien la première colonne de A De même φ = A = A à la jème place, ailleurs C est la jème colonne de A,

6 6 CHAPITRE MATRICES 4 Calcul des coordonnées de l image d un vecteur de E Proposition 4 Soit f une application linéaire de E dans F Soit A la matrice de f dans les bases u,, u p et v,, v n Soit u E et soit X = x x p la colonne des coordonnées de u dans la base u,, u p Alors la colonne des coordonnées de fu dans la base v,, v n est donnée par le produit AX Preuve : On a u = x u + + x p u p Comme f est linéaire, alors fu = fx u + + x p u p = x fu + + x p fu p Pour j =,, p, la colonne des coordonnées de fu j est a,j a n,j donc la colonne des coordonnées de fu est x a, + +x p a,p x a n, + +x p a n,p = AX Proposition 4 Soient w,,w p p vecteurs de F Il existe une application linéaire de E dans F et une seule telle que fu = w,,fu p = w p Sa matrice dans les bases u,, u p et v,, v n a pour jème colonne les coordonnées du vecteur w j dans la base u,, u p Preuve : a Montrons d abord l unicité de f Si f existe, alors la matrice de f dans les bases u,, u p et v,, v n est bien la matrice décrite dans l énoncé b Montrons maintenant l existence de f Soit A la matrice décrite dans l énoncé de la proposition Définissons f comme l application linéaire qui au vecteur u de coordonnées X dans la base u,, u p associe le vecteur dont la colonne de coordonnées dans la base v,, v n est donnée par le produit AX Alors on a bien fu j = w j, j =,, p Exemple : Soit E de base e, e, e 3 et soit F de base u, u Soit f l application linéaire de E dans F définie par fe = u + u, fe = u u et fe 3 = u u La matrice de f dans les bases e, e, e 3 et u, u est u A = fe fe fe 3 u Si u a pour coordonnées X = x y z dans la base e, e, e 3, alors fu a pour coordonnées x + y + z AX = dans la base u x y z, u C est à dire que fu est donné par fu = x + y + zu + x y zu Remarque : Des bases de E et F étant fixées, on calcule Ker f comme si l on avait une application linéaire de K p dans K n Dans l exemple ci-dessus, { x + y + z = Ker f = {u E; u = xe + ye + ze 3 ; x y z = } En résolvant le système on touve que les vecteurs du noyau sont les vecteurs de E dont les x /3 coordonnées dans la base e, e, e 3, vérifient : y = z /3 Le noyau de f est donc z une droite vectorielle qui admet pour base le vecteur u u + 3u 3

7 5 OPÉRATIONS LINÉAIRES SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES ET LES MATRICES7 Exemple : Pour n = 3, p = et K = R, on donne u = L unique application linéaire φ : R R 3 telle que φ 3 = u et φ et u = = u 3 deux vecteurs de R 3 est définie par autrement dit par : x φ x x φ x = = 3 3 x x x 3x +x x +3x Notation Si on note B une base de E et B une base de F et si f : E F est une application linéaire, alors on notera Mf, B, B la matrice de f dans les bases B et B Si f est un endomorphisme de E c est à dire si E = F, et si on choisit la même base B au départ et à l arrivée, on dira que Mf, B, B est la matrice de f dans la base B et on la notera Mf, B Remarque : Soit f = id E l application identité de E dans E et soit B une base de E, alors Mf, B = I, où I est la matrice identité Ce n est pas vrai si on prend des bases différentes au départ et à l arrivée 5 Opérations linéaires sur les applications linéaires et les matrices Soient f : E F et g : E F des applications linéaires Proposition 5 Si A est la matrice de f dans les bases B et B et si B est la matrice de g dans les mêmes bases, si λ K, alors la matrice de λf dans ces mêmes bases est λa et la matrice de f + g, dans les mêmes bases est A + B Preuve : Soit u j le jème vecteur de la base B La jème colonne de la matrice de f +g est formée des coordonnées de f + gu j dans la base B C est donc la somme de la jème colonne de la matrice A et de la jème colonne de la matrice B On fait la même démonstration pour λa Proposition 5 Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimensions p et n Soit B une base de E et B une base de F Soit LE, F l ensemble des applications linéaires de E dans F Alors LE, F est un K-espace vectoriel et l application M définie par M : LE, F M n,p K f Mf, B, B est une application linéaire bijective Le fait que M est une application linéaire est un corollaire de la proposition précédente Il suffit de vérifier que M est bijective

8 8 CHAPITRE MATRICES 6 Composition des applications linéaires et multiplication des matrices Proposition 6 Soient E, F, G des K espaces vectoriels de dimensions respectives p, n, q On donne les base u,, u p pour E, u,, u n pour F et u,, u q pour G Soient f : E F et g : F G des applications linéaires Soit A la matrice de f dans les bases u,, u p et u,, u n et soit B la matrice de g dans les bases u,, u n et u,, u q Alors la matrice de g f dans les bases u,, u p et u,, u q est BA Preuve : Soit u E de coordonnées X = x x p dans la base u,, u p Alors la colonne des coordonnées de fu dans la base u,, u n est AX La colonne des coordonnées de gfu dans la base u,, u q est donc BAX = BAX Donc la matrice de g f est BA 7 Matrices carrées inversibles Cette partie concerne uniquement les matrices carrées Dans toute la suite on donne n N et les matrices considérées seront des éléments de M n K Définition 7 Soit A M n K On dit que A est inversible s il existe une matrice B M n K telle que AB = BA = I n Lemme 7 Si A est inversible alors il n existe qu une seule matrice B telle que AB = BA = I n Preuve : Supposons que AB = BA = I n et que AC = CA = I n Alors C = CI n = CAB = I n B = B Définition 73 Si A est inversible, la matrice B telle que AB = BA = I n s appelle l inverse de A et est notée A Proposition 74 Si A et C sont inversibles, alors i AC est inversible et AC = C A ii A t est inversible et A t = A t Preuve : i C A AC = C I n C = C C = I n On montre de même que ACC A = I n ii A t A t = A A t = I n t = I n Attention : Si A M n,p K, n p, on n a pas défini l inverse de A et on peut démontrer qu il n existe jamais de matrice B M p,n K telle que AB = I n et BA = I p Proposition 75 On a l équivalence de : i A est une matrice carrée n n inversible ii Pour tout B K n le système linéaire AX = B admet une solution unique Preuve : a Montrons que i ii AX = B A AX = A B X = A B Le système AX = B admet donc une solution et une seule b Montrons que ii i On considère l endomorphisme de K n défini par Φ : K n X K n AX c est à dire l application linéaire de K n dans K n dont la matrice dans la base canonique de K n est A La propriété ii signifie que Φ est bijective Donc Φ admet une fonction réciproque et on

9 7 MATRICES CARRÉES INVERSIBLES 9 sait que la fonction réciproque d une application linéaire bijective est une application linéaire Soit B la matrice de Φ dans la base canonique de K n Alors AB est la matrice dans la base canonique de l application linéaire Φ Φ, c est à dire que ABX = Φ Φ X Or Φ Φ est l application identité de K n : X X On sait que la matrice de l identité dans la base canonique de K n est I n Donc AB = I n De même, BA est la matrice de l application linéaire Φ Φ : X X Donc BA = I n On a donc montré que A est inversible Proposition 76 Soit A une matrice carrée On a l équivalence de : i A est inversible ; iile système linéaire homogène AX = admet la solution unique X = ici désigne le vecteur nul de K n : = Preuve : i ii est évident Montrons ii i Soit Φ l application linéaire de K n dans K n associée canoniquement à la matrice A La propriété ii signifie que la noyau de Φ est réduit au vecteur nul de K n Cela implique que Φ est bijective, car Φ est un endomorphisme, donc l espace vectoriel de départ et d arrivée ont la même dimension Donc pour tout vecteur B de K n, le système AX = B admet une solution unique On conclut que A est inversible en utilisant la proposition précédente Corollaire 77 Considérons les n matrices-colonnes de A comme n vecteurs de K n Alors A est inversible si et seulement si les n colonnes de A sont des vecteurs de K n linéairement indépendants x x Preuve : Rappelons que si X =, alors : AX = x a, a, a n, x n + x a, a, a n, + + x n Dire que le système AX = admet l unique solution X = revient donc à dire que le vecteur nul de K n s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des n vecteurs-colonnes de A, cette manière unique étant de prendre les coefficients x = x = = x n = Par définition de l indépendance linéaire, ceci signifie que les vecteurs-colonnes de A sont linéairement indépendants a b Application Dans M K, la matrice est inversible si et seulement si ad bc c d Le nombre ad bc est appelé le déterminant de A La notion de déterminant se généralise à toute dimension n Cours d algèbre Proposition 78 On a l équivalence de i A est inversible ii il existe une matrice B telle que AB = I n iii il existe une matrice C telle que CA = I n Preuve : a Montrons que ii i Pour X K n on BX = ABX = X = Donc B est inversible, par la proposition précédente De plus ABB = B, donc A = B Donc A est inversible, d inverse B Montrons que ii i AX = CAX = X = Donc A est inversible a,n a,n a n,n

10 CHAPITRE MATRICES 8 Matrices carrées inversibles et isomorphismes Théorème 8 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension n Soit f : E F une application linéaire On a l équivalence de i f est un isomorphisme ii Pour toute base B de E et toute base B de F la matrice carrée Mf, B, B est inversible iii Il existe une base B de E et une base B de F telles que la matrice carrée Mf, B, B soit inversible Preuve : a Montrons que i ii Soit f un isomorphisme de E dans F Soit f l application linéaire réciproque de f La matrice de f f dans la base B est le produit des matrices de f et de f Or f f = id F Sa matrice dans la base B est la matrice identité I n On a donc Mf, B, B Mf, B, B = I n De même, f f = id E, donc Mf, B, B Mf, B, B = I n On conclut que Mf, B, B est inversible et que sa matrice inverse est Mf, B, B b Prouvons que iii i Soient B une base de E et B une base de F telles que la matrice Mf, B, B soit inversible Notons M cette matrice Notons M sa matrice inverse Définissons l application linéaire g comme étant l application linéaire de F dans G dont la matrice dans les bases B et B est M Alors la matrice de g f dans la base B est M M, donc c est I n On en déduit que g f = id E La matrice de f g dans la base B est M M, c est donc aussi I n On en déduit que f g = id F On conclut que f est bijective Exemple : Soit E un R-espace vectoriel de base B = u, u, u 3 et soit F un R-espace vectoriel de base B = v, v, v 3 Soit f : E F l application linéaire définie par Mf, B, B = On veut savoir si f est un isomorphisme etsi oui, calculer l isomorphisme inverse On considère b n importe quel second membre B = b et on cherche à résoudre le système AX = B : b 3 x x 3 = b x 3 = b x x x 3 = b 3 Dans ce cas une méthode de substitution donne rapidement : donc x 3 = b x x 3 = b, x x x 3 = b 3 x 3 = b x = b + b, c est à dire : x = b 3 + b + b b x 3 = b x = b + b, x = b 3 + x x 3 x = b + b x = b b 3 x 3 = b Pour tout second membre B on trouve une solution unique, donc f est bijective On a : X = Mf, B, BB, donc Mf, B, B =

11 9 CALCUL DE LA MATRICE INVERSE Pour vérifier qu il n y a pas d erreurs de calcul, on calcule : = Remarquons que pour reconnaître si f est bijective ou non sans calculer l endomorphisme réciproque éventuel f, il suffit de résoudre le système AX = Si on trouve l unique solution X =, alors le noyau de f est réduit au vecteur nul, donc f est injective, donc bijective car dim E = dim F Si on trouve un espace vectoriel de solutions de dimension supérieure ou égale à, alors f n est pas injective, donc pas bijective 9 Calcul de la matrice inverse On donne une matrice carrée A On veut reconnaître si A est inversible et si oui calculer son inverse A Par exemple A = 3 Pour cela on résoud le système AX = B, pour B R 3 x +y +z = b x = b x +y +3z = b 3 Pour chaque b, b, b 3 on trouve une solution unique qui est : x = b y = 3b b b 3 Donc A est inversible, d inverse A = 3 z = b + b + b 3 vérifier qu il n y a pas d erreurs de calcul, on calcule : 3 = 3 Pour Remarquons que pour reconnaître seulement si A est inversible sans calculer sa matrice inverse éventuelle, il suffit de résoudre le système AX = Si on trouve comme unique solution le vecteur nul de R 3, alors A est inversible Sinon, on trouve comme ensemble de solutions un sous-espace vectoriel de R 3 de dimension ou et A n est pas inversible Proposition 9 La matrice A est inversible si et seulement si la méthode du pivot de Gauss appliquée aux lignes de la matrice A la transforme en une matrice triangulaire supérieure à diagonale non nulle Rappel : la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de la matrice A est la méthode qu on utilise pour résoudre les systèmes linéaires de la forme AX = B Preuve : La méthode du pivot de Gauss transforme la matrice A en une matrice échelonnée carrée E Soit cette matrice E est triangulaire supérieure à diagonale non nulle, soit sa ou ses dernières lignes sont nulles La méthode du pivot de Gauss transforme le système AX = en le système équivalent EX = Ce dernier système admet l unique solution X = si et seulement si E est triangulaire supérieure à diagonale non nulle Remarque : Si on utilise la méthode du pivot de Gauss pour étudier l inversibilité d une matrice A, on a intérêt à transformer en même temps le second membre B Ainsi, dans le cas où A est inversible, on pourra lire la matrice inverse A

12 CHAPITRE MATRICES Exemple : A = système puis 4 3 x y +z = b x +4z = b x +y +3z = b 3 x y +z = b y +z = b + b = b + b b 3 On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le On trouve x y +z = b y +z = b + b y +z = b + b 3 Ici, la méthode du pivot de Gauss transforme la matrice A en une matrice échelonnée dont la dernière ligne est nulle : E = Le système AX = B a soit aucune solution, soit une infinité de solutions, selon la valeur de b, b, b 3 Le système AX = a une infinité de solutions Donc A n est pas inversible Remarquons que la transformation du second membre ne sert à rien ici! Algèbre des matrices n n Sur l ensemble des matrices carrées n n, on a trois opérations : l addition, la multiplication par les scalaires et la multiplication des matrices Les propriétés de ces opérations permettent de dire que i M n K, +, est un K-espace vectoriel désigne la multiplication d une matrice par un scalaire ii M n K, +, est un anneau désigne la multiplication des matrices On dit que M n K, +, est un anneau car : a M n K, + est un groupe abélien ; b la multiplication des matrices est associative et doublement distributive par rapport à l addition Voir le paragraphe sur les opérations De plus, la matrice I n vérifie : pour toute A M n K, A I n = I n A = A On dit que l anneau M n K, +, est unitaire et que I n est l élément unité De plus, on a la propriété suivante : Si λ K, λa C = λa C = A λc Grace à toutes ces propriétés, on dit que M n K, +,, est une algèbre sur K Remarquons qu on peut faire des calculs portant sur des matrices carrées, presque comme s il s agissait de nombres réels ou complexes Mais il y a des différences importantes : i La multiplication des matrices n est pas commutative ; ii une matrice non nulle n admet pas forcément une matrice inverse Par exemple dans M R la matrice A = est non nulle et n est pas inversible iii Le produit de deux matrices non nulles peut être nul On dit que l anneau des matrices carrées a des diviseurs de Exemple B = On a B et B = iv On a l identité remarquable : A + B = A + B + AB + BA Exercice a Montrer que A + B n est n est pas toujours égal à A + AB + B Voir par exemple A = et B = b Montrer que A + BA B = A B + BA AB et que ce n est pas toujours égal à A B

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