Applications linéaires - déterminants

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1 Chapitre 4 Applications linéaires - déterminants 1. Applications linéaires Définition 1.1. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. Une application linéaire de E vers F est une application f : E F telle que (i) x, y E, f(x + y) = f(x) + f(y) ; (ii) x E, λ R, f(λx) = λf(x). Remarques : Les conditions (i) et (ii) sont équivalentes à la condition suivante : x, y E, λ R, f(x + λy) = f(x) + λf(y). On a toujours f(0) = 0 puisque poour tout x E, f(0) = f(0.x) = 0f(x) = 0. Exemples. (i) f : R R, x 7 ax est une application linéaire de R sur lui même. (ii) L application id : E E, x 7 x est une application linéaire. (iii) Soit A M n (R) (une matrice n n). Alors l application est une application linéaire. R n R n X 7 AX Proposition 1.2. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f : E F une application linéaire. Alors pour tous x 1,..., x p E, λ 1,..., λ p R, on a : X p f λ i x i = i=1 px λ i f(x i ). i=1 Proposition 1.3. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F et soit λ R. Alors λf et f + g sont des applications linéaires. Proposition 1.4. Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur R et f : E F, g : F G deux applications linéaires. Alors l application g f : E G est une application linéaire.

2 2 Chapitre 4 Applications linéaires - déterminants 2. Image et noyau d une application linéaire Dans tout ce paragraphe, E, F sont deux espaces vectoriels sur R et f : E F est une application linéaire. Proposition 2.1. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Alors f(g) est un sous-espace vectoriel de F. Preuve. Comme f(0) = 0, 0 F(G). Soient y 1, y 2 f(g) et λ, µ R. Il existe alors x 1, x 2 G tels que y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ). Dans ce cas comme f est linéaire : f(λx 1 + µx 2 ) = λf(x 1 ) + µf(x 2 ) = λy 1 + µy 2. Or G est un sous-espace vectoriel de E si bien que λx 1 + µx 2 G. On en déduit que λy 1 + µy 2 f(g), f(g) est un sous-espace vectoriel de F. Proposition 2.2. Si G est un sous-espace vectoriel de F engendré par u 1,..., u p, alors f(g) est engendré par f(u 1 ),..., f(u p ). Définition 2.3. On appelle image de f l ensemble f(e). On la note Imf. D après la Proposition 2.1, Imf est un sous-espace vectoriel de F. Proposition 2.4. f est surjective si et seulement si Imf = F. Proposition 2.5. Soit H un sous-espace vectoriel de F. Alors l image réciproque de H par f, f 1 (H) est un sous-espace vectoriel de E. Preuve. On rappelle que f 1 (H) = {x E : f(x) H}. Comme 0 H et que f(0) = 0, 0 f 1 (H). Soient x, y f 1 (H) et λ, µ R. Alors f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) H puisque H est un sous-espace vectoriel de F. Ainsi λx + µy f 1 (H) ; f 1 (H) est bien un sous-espace vectoriel de E. Définition 2.6. On appelle noyau de f l ensemble f 1 ({0}). On le note ker f. Proposition 2.7. L application f est injective si et seulement si ker f = {0}. Preuve. On suppose que f est injective. Soit x ker f. Alors f(x) = 0 = f(0). Cela implique que x = 0 vu que f est injective. Donc ker f = {0}. Réciproquement on suppose que ker f = {0}. Soient x, y E tels que f(x) = f(y). Alors 0 = f(x) f(y) = f(x y). Ainsi x y ker f. Donc x y = 0, c est-à-dire x = y. Cela prouve que f est injective. Théorème 2.8(Théorème du rang). Si E est de dimension finie, on a la formule : On admet ce théorème. dim E = dim kerf + dim Im f.

3 3 Matrice d une application linéaire 3 Définition 2.9. On dit que f est un isomorphisme si elle est bijective. Proposition Si f est un isomorphisme alors la réciproque f 1 est une application linéaire de F E. Preuve. Soient y 1, y 2 F et λ, µ R. On a alors f(λf 1 (y 1 ) + µf 1 (y 2 )) = λf(f 1 (y 1 ) + µf(f 1 (y 2 )) Comme f est bijective, on en déduit que l application f 1 est bien linéaire. = λy 1 + µy 2 = f(f 1 (λy 1 + µy 2 )). λf 1 (y 1 ) + µf 1 (y 2 ) = f 1 (λy 1 + µy 2 ), Proposition On suppose que E et F sont des espaces vectoriels de même dimension finie. Alors les 3 conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est un isomorphisme ; (ii) f est injective ; (ii) f est surjective. Preuve. Il est clair que (i) (ii). sens (ii) (iii). Si f est injective alors ker f = {0} et ainsi dim ker f = 0. D après le théorème du rang, dim Im f = dim E dim ker f = dim E = dim F. On en déduit que Im f = F, F est surjective. sens (iii) (i). On suppose que f est surjective. Alors dim = f = dim F = dim E. En appliquant le théorème du rang on constate que dim ker f = 0, f est injective. L application f est injective et surjective, elle est bijective. 3. Matrice d une application linéaire Définition 3.1. Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie. Soient B = (e 1,..., e q ) une base de E et B 0 = (f 1,..., f p ) une base de F. Alors la matrice de f dans les bases B (au départ) et B 0 à l arrivée est la matrice A de M(p, q, R) dont les coefficients de la j ème colonne sont les coordonnées de f(e j ) dans la base B 0. La matrice A s écrit de la façon suivante : A = de sorte que pour tout 1 6 j 6 q, coordonnées dans B 0 de f(e 1 )... f(e q ) a a aq.. a p1... a pq f(e j ) = px a ij f i. i=1

4 4 Chapitre 4 Applications linéaires - déterminants On peut noter A = mat B,B 0(f). Remarques. Si E = F et B = B 0 on dit simplement que A est la matrice de f dans la base B. Une application linéaire f est nulle si et seulement si il existe des bases B, B 0 telles que mat B,B 0(f) = 0. Si x E a comme coordonnées dans la base B le vecteur X =. (autrement dit x = x 1 e x q e q alors AX sont les coordonnées de f(x) dans la base B 0 ). x 1 x q Proposition 3.2. Soient E, F deux espaces vectoriels de dimension finie et f, g deux applications linéaires de E dans F. Soient B une base de E et B 0 une base de F. Notons A la matrice de f dans les bases B, B 0 et B celle de g dans ces bases. Alors : (i) λ R, λa est la matrice de λf dans les bases B, B 0 ; (ii) A + B est la matrice de f + g dans les bases B, B 0. Proposition 3.3. Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur R de dimension finie. Soient B un base de E, B 0 une base de F et B 00 une base de G. Soient f : E F, g : F G deux applications linéaires. Notons B = mat B,B 0(f) et A = mat B0,B00(g). Alors la matrice de g f dans les bases B, B 00 est la matrice AB. Preuve. Soit x E de coordonnées X dans la base B. Soient Y les coordonnées de f(x) dans la base B 0 et Z les coordonnées de g(f(x)) dans la base B 00. On a alors Z = AY = A(BX) = (AB)X. Cela démontre la Proposition Changement de base Soient E un espace vectoriel sur R et B 1, B 2 deux bases de E. Soit x E et X, X 0 les coordonnées de x respectivement dans B 1 et B 2. Si P est la matrice de passe de B 1 à B 2 alors on a vu au chapitre 3 que P X 0 = X. De même soient F un espace vectoriel de dimension finie sur R, B 0 1, B 0 2 deux bases de F. Soient y F et Y, Y 0 les coordonnées de y respectivement dans B 0 1 et B 0 2. Alors si Q est la matrice de passage de B 0 1 à B 0 2 alors QY 0 = Y. Théorème 4.1. On reprend les notations ci-dessus. Soit f : E F une application linéaire. Posons A = mat B1,B1 0 (f) et A = mat B 2,B2 0 (f). On a alors A 0 = Q 1 AP. Preuve. Soit x E. On reprend les notations X, X 0, Y, Y 0. On a alors Y = AX. Comme Y = QY 0 et X = P X 0, on a alors (4 1) QY 0 = AP X 0. Comme toute matrice de passage est inversible, Q 1 existe. En multipliant à gauche par Q 1 les deux membres de (4 1) on obtient On en déduit que A 0 = Q 1 AP. Y 0 = Q 1 AP X 0 = (Q 1 AP )X 0.

5 5. Déterminants 5 1. Déterminant d une matrice Déterminants 5 µ a c Définition 5.1. Soit A =. Les déterminant de A est défini par b d dét(a) = Ø a b c d Ø = ad bc. Ce déterminant a une signification µ géométrique µ : c est l aire du parallélogramme a c (orienté) délimité par les vecteurs,. b d Plus généralement la valeur absolue du déterminant de n vecteurs de R n correspond au volume du pallélipipède µ engendré par ces vecteurs. 1 3 Exemple Soit A =. Alors det(a) = = Déterminant d une matrice carrée n n Soit A M n (R). Pour 1 6 i 6 3 on note A(i, j) la matrice de M n 1 (R) obtenue en supprimant la i ème ligne et la j ème colonne de A. Exemple : pour A = µ , A(1, 3) = Définition 5.2. Soit A = (a ij ) M n (R). Le cofacteur de A d indice (i, j) est le coefficient ã ij ( 1) i+j dét A(i, j). La véritable définition du déterminant utilise les permutations et les formes multilinéaires alternées. Nous ne la donnons pas dans ce cours. Nous définirons le déterminant par récurrence sur la taille des matrices. La définition suivante est en même temps un théorème. Définition 5.3. Soient A = (a ij ) M n (R) et 1 6 k 6 n un entier. Alors (i) deta = P n i=1 ( 1)i+k a ik dét A(i, k) = P k i=1 a ikã ik. On dit qu on développe suivant la colonne k. La valeur de det(a) ne dépend pas du choix de la colonne. (ii) On a également dét(a) = P n j=1 ( 1)k+j dét A(k, j). On dit qu on développe suivant la ligne k. Exemple On veut calculer. Développpons ce déterminant par rapport à Ø Ø la deuxième colonne (il aurait été plus astucieux de le faire suivant la première) : Ø Ø = ( 1)1+2 2 Ø Ø + ( 1)2+2 3 Ø Ø + ( 1)3+2 5 Ø Ø. Les trois déterminants son des déterminants de matrices 2 2. On a ainsi : = 2(0 + 21) + 3(8 3) 5(7 0) = 62. Ø Ø

6 6 Chapitre 4 Applications linéaires - déterminants On peut également le développer par rapport à un ligne, par exemple la deuxième : Ø Ø = 0( 1)2+1 Ø 2 1 ص Ø Ø ØØØ 1 1 ØØØ ØØØ 5 8 Ø + 3( 1) ( 1) Ø = 0 + 3(8 3) 7(5 + 6) = 62. Proposition 5.4(Règle de Sarrus). On a : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Ø a 31 a 32 a 33 Ø = a 11a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 (a 13 a 22 a 31 +a 23 a 32 a 11 +a 33 a 12 a 21 ). La preuve s obtient en développant par rapport à n importe quelle ligne ou colonne. On peut retouver ce résultat en écrivant a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Ø a 31 a 32 a 33 Ø a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21. Attention : La règle de Sarrus ne marche que pour les matrices 3 3 Définition 5.5. Soit E un espace vectoriel de dimension n muni d une base B = (e 1,..., e n ). Soit u 1,..., u n une famille de n vecteurs de R. Le déterminant du système de vecteurs (u 1,..., u n ) dans la base B est le déterminant de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées respectives de u 1,..., u n dans la base B on le note dét B (u 1,..., u n ). Proposition 5.6. On reprend les notations de la Définition 5.5. Une famille de vecteurs (u 1,..., u n ) est une base de E si et seulement si dét B (u 1,..., u n ) 6= 0. Définition 5.7. Soient f : E E une application linéaire et B une base de E. Notons A la matrice de f dans la base B. On définit alors dét f = dét A. On admet que ce déterminant ne dépend pas du choix de la base B. 6. Opérations sur les lignes et les collones et autres propriétés Théorème 6.1. Soient A, B M n (R) alors dét AB = dét A dét B. Proposition 6.2. Soit A M n (R) alors dét t A = dét A. Cette proposition implique qu une propriété vérifiée sur les colonne est vraie également pour les lignes et vice-versa.

7 6 Opérations sur les lignes et les collones et autres propriétés 7 Proposition 6.3. Soit A = (a ij ) 16i,j6n une matrice triangulaire. Alors dét A = a 11 a nn. a 11 a 1n! a1j Soit A =.. M n (R). On note C j = les colonnes de A et.a a n1 a nj nn L i = (a i1,, a in ) les lignes de A. Proposition 6.4. Si une colonne (ou une ligne) est combinaison linéaire d autres colonnes (ou lignes) alors dét A = 0. En particulier si deux lignes (ou colonnes) sont égales alors dét A = 0. Proposition 6.5. (1) Si à la colonne C j (ou à la ligne L i ) on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes P k6=j λ kc k (ou des autres lignes P k6=i λ kl k ), le déterminant reste inchangé. (2) Si on échange deux colonnes (ou deux lignes) de A, le déterminant change de signe. (3) Si on multiplie une colonne (ou une ligne) de A par µ, alors le le déterminant de A est multiplié par µ. En quelques sortes on peut calculer un déterminant en appliquant la méthode du pivot sur les lignes et/ou sur les colonnes de la matrice mais à chaque étape il ne faut pas oublier de prendre en compte l incidence de l opération élémentaire sur la valeur du déterminant. On termine ce chapitre en admettant un dernier résultat sur les déterminants qui donne un nouveau critère pour déterminer si une matrice est inversible. Théorème 6.6. Soit A M n (R). Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) A est inversible ; (ii) rg(a) = n ; (iii) dét A 6= 0.