TD Master 2 Martingales et calcul stochastique

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Bertrand Guérard
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1 Universié d Orléans Maser Recherche de Mahémaiques TD Maser Maringales e calcul sochasique Corrigé des exercices du chapire 8 Inégrale d Iô Exercice 8.1 On considère les deux processus sochasiques X = e s db s, Y = e X. 1. Déerminer E (X ), Var(X ), E (Y ) e Var(Y ). X éan l inégrale d un processus adapé, on a E (X ) =. Par conséquen, l isomérie d Iô donne Var(X ) = E (X ) = es ds = 1 [e 1]. Enfin, par linéarié E (Y ) = e par bilinéarié Var(Y ) = e Var(X ) = 1 [1 e ].. Spécifier la loi de X e de Y. Ean des inégrales sochasiques de foncions déerminises, X e Y suiven des lois normales (cenrées, de variance calculée ci-dessus). 3. Monrer que Y converge en loi vers une variable Y lorsque e spécifier sa loi. La foncion caracérisique de Y es E (e i uy ) = e u Var(Y )/. Elle converge donc vers e u /4 lorsque. Par conséquen, Y converge en loi vers une variable Y, de loi normale cenrée de variance 1/. 4. Exprimer dy en foncion de Y e de B. La formule d Iô avec u(, x) = e x donne dy = e X d + e dx = Y d + db. Y es appelé processus d Ornsein Uhlenbeck. Exercice 8. Soi 1. Calculer E (X ) e Var(X ). X = s db s. X éan l inégrale d un processus adapé, on a E (X ) =. Par conséquen, l isomérie d Iô donne Var(X ) = E (X ) = s ds = Quelle es la loi de X? X sui une loi normale cenrée de variance Calculer d(b ) à l aide de la formule d Iô. La formule d Iô avec u(, x) = x donne d(b ) = B d + db. 4. En déduire une relaion enre X e Y = B s ds.

2 Comme B s ds = d(sb s ) s db s, on a la formule d inégraion par paries Y = d(sb s ) Y sui donc une loi normale de moyenne nulle. 5. Calculer la variance de Y, (a) direcemen à parir de sa définiion; Comme E (B s B u ) = s u, E (Y ) = E = B s B u ds du = [ u ] s ds + u ds du = u s db s = B X. (s u) ds du [ 1 u + u u ] du = (b) en calculan d abord la covariance de B e X, à l aide d une pariion de [, ]. Pour calculer la covariance, on inrodui une pariion k de [, ], d espacemen 1/n. Alors Il sui que cov(b, X ) = E (B X ) = E sb db s = lim k 1 E (B (B k B k 1 )) k = lim k 1 ( k k 1 ) = k s ds = 1. Var(Y ) = Var(B ) + Var(X ) cov(b, X ) = cov(b, X ) = En déduire la loi de Y. Y = B X éan une combinaison linéaire de variables normales cenrés, elle sui égalemen une loi normale cenrée, en l occurrence de variance 3 /3. Remarquons que Y représene l aire (signée) enre la rajecoire Brownienne e l axe des abscisses. Exercice Soi Y une variable aléaoire normale cenrée, de variance σ. Monrer que E (e Y ) = e σ / En compléan le carré (y y /σ = σ / (y σ ) /σ ), il vien E (e Y ) = e y e y /σ dy = / πσ eσ e (y σ ) /σ πσ dy = e σ /.

3 . Soi B un mouvemen Brownien sandard, e ϕ : [, T ] R une foncion indépendane de B. Pour [, T ] on pose X = ϕ(s) db s Calculer E (X ) e Var X. On précisera les hypohèses faies sur la foncion ϕ. ϕ(s) éan adapé, on a E (X ) = pourvu que ϕ soi inégrable. L isomérie d Iô monre que Var X = pourvu que ϕ soi de carré inégrable. 3. Monrer que es une maringale. M = exp X 1 ϕ(s) ds =: Φ(), ϕ(s) ds Soi > s. La différence X X s = s ϕ(u) db u es indépendane de F s, e sui une loi normale cenrée de variance Φ() Φ(s). Par conséquen, E (e X F s ) = E (e Xs e X Xs F s ) = e Xs E (e X Xs ) = e (Φ() Φ(s))/ en veru de 1., ce qui équivau à la propriéé de maringale pour M. 4. Démonrer l inégalié de Bernsein : Pour ou λ >, où Φ() = ϕ(s) ds. P sup s X s > λ exp λ Φ() Soi γ >. En remplaçan ϕ par γϕ dans la définiion de X, on voi que M (γ) = exp γx γ ϕ(s) ds es égalemen une maringale. Il sui que P sup X s > λ = P sup e γxs > e γλ s s = P sup M s (γ) e γφ(s)/ > e γλ s P sup M s (γ) > e γλ γ Φ()/ s e γ Φ()/ γλ E (M (γ) ), la dernière inégalié découlan de l inégalié de Doob. Comme E (M (γ) ) = 1 par la propriéé de maringale, le résula sui en opimisan sur γ, c es-à-dire en prenan γ = λ/φ(). 3

4 Exercice 8.4 Soi B [,T ] un mouvemen Brownien sandard. Soi = < 1 < < N = T une pariion de [, T ], e soi e = e k 1 1 [k 1, k )() une foncion simple, adapée à la filraion canonique du mouvemen Brownien. L inégrale de Sraonovich de e es définie par T e db = e k + e k 1 B k où B k = B k B k 1. L inégrale de Sraonovich T X db d un processus adapé X es définie comme la limie de la suie T e(n) db, où e (n) es une suie de foncions simples convergean vers X dans L. On admera que cee limie exise e es indépendane de la suie e (n). 1. Calculer T B db. Soi k = k (n) = k n e N = n T. Alors T B db = lim = 1 lim = 1 B T. B k + B k 1 B k ( B k + B k 1). Soi g : R R une foncion de classe C, e soi X un processus adapé saisfaisan Soi Y l inégrale d Iô Monrer que X = X Y = 1 g(x s ) db s [, T ]. Y = g(x s ) db s. g (X s )g(x s ) ds [, T ]. On choisi une pariion k (n) comme ci-dessus. Alors les processus = Y (n) = g(x k ) + g(x k 1 ) B k g(x k 1 ) B k 4

5 avec N = N() correspondan à l inervalle de la pariion conenan, convergen respecivemen vers X e Y lorsque n. Leur différence s écri La formule de Taylor implique Or On en conclu que = 1 [ g(xk ) g(x k 1 ) ] B k. g(x k ) g(x k 1 ) = g (X k 1 )(X k X k 1 ) + O(X k X k 1 ). X k X k 1 = k k 1 g(x s ) db s = g(x k 1 ) B k + k = g(x k 1 ) B k + O( k k 1 ). k 1 [ g(xs ) g(x k 1 ) ] db s g(x k ) g(x k 1 ) = g (X k 1 )g(x k 1 ) B k + O( B k ) + O( k k 1 ). En subsiuan dans l expression de = 1, on obien donc [ g (X k 1 )g(x k 1 ) Bk + O( B k ) + O(( k k 1 ) B k ) ]. En procédan comme dans la preuve de la formule d Iô, on peu remplacer Bk par k, e il sui [ (n) lim X ] 1 = g (X s )g(x s ) ds. 5

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