Limoges Terminale C juin 1974 : une équation fonctionnelle
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- Coralie Briand
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1 Ecrit CAPES Mtémtius Limogs Trmil C jui 974 : u éutio octioll E cotroit du sujt sur l «loi étoil», voici l sujt d Limogs séri C jui séri C 974 U éutio octioll li vc cll du sujt «loi étoil» Il s git ici d résoudr l éutio octioll : ( ( où st u octio suosé dérivbl zéro L sujt L objcti du roblèm st d détrmir, s il ist, ulls sot ls octios déiis sur R ui vériit l rltio uivrsll: ( R, ( t ( ui, outr, sot dérivbls zéro O ot «roriété Q» l cojoctio d l rltio ( t d l dérivbilité zéro A U ml Soit g l octio déii sur R r : g Motrr u g st imir Etudir ls vritios d g Motrr u g st u bijctio d R sur l itrvll I ], [ 3 Motrr u g vérii l roriété Q B Prmièrs ivstigtios Soit u octio déii sur R t tll u, ( ( ( R ( Motrr u s il ist c tl u ( c ou bi ( c lors st costt sur R Ds tout l suit, o suos u st s u octio costt sur R E écrivt u, motrr u ul u soit rtt à R : < < Motrr u ( uis u st u octio imir 3 Motrr r récurrc u ul u soit l rél t ul u soit l tir strictmt ositi : ( ( G Juli, 89
2 Ecrit CAPES Mtémtius 4 O os 4 Clculr our tir turl uis our tir rlti l vlur d octio d 4 Clculr our Z t N * C O jout l dérivbilité zéro Soit u octio déii sur R t tll u R, ( u st dérivbl zéro t o ot mitt l roriété Q ( ( O suos d lus ' so ombr dérivé c oit (C'st-à-dir u vérii Soit u ombr rél t u rél o ul O cosidèr l rort (, ( ρ E étudit lim ρ(,, motrr u st dérivbl tout oit t u : ' '( ( [ ] L ombr '( ut-il êtr ul? Motrr u st strictmt mooto sur R 3 O désig r l octio récirou d Motrr u ( '( ' ( ( '( ( 4 Clculr u rimitiv d l octio E déduir uis G Juli, 89
3 Ecrit CAPES Mtémtius Elémts d corrctio A U ml Soit g l octio déii sur R r : g L usg d u logicil d clcul orml rovou ds icgs «ittdus» ist réérc à l trigoométri rboliu E rticulir, l octio g st itrrété comm u «tgt rboliu» L trigoométri rboliu t jmis été u rogrmm d l trmil C, l sujt it ucu réérc O ut ir l ou o Au lctur d tritr ctt rti comm bo lui smbl B Prmièrs ivstigtios Soit u octio déii sur R t tll u, ( Suosos u il ist c tl u ( c ± Pour tout rél, o os : Si c : Si c : c u Alors : ( c u ( u ( u ( ( R ( ( u ( c ( c ( u gilbrtjul i 8 L octio st costt sur R, égl à our tout ( u ( u L octio st costt sur R, égl à - our tout Ds tout l suit, o suos u st s u octio costt sur R E coséuc, ll rd jmis i l vlur i l vlur - E écrivt : : gilbrtjuli 8 ( ( c ui do : G Juli, 89 3
4 Ecrit CAPES Mtémtius ( ( 4, rssio strictmt ositiv sur R L roduit ( ( st s ossibl u ils soit tous du strictmt égtis cr < > étt strictmt ositi, ccu ds du cturs st strictmt ositi (il Doc < < L img r d R st iclus ds l itrvll ], [ ( ( ( ( L roduit d cturs ( ( ( ( ( ( ( st ul, mis uisu ( st égl i à - i à, écssirmt : ( D c it, our tout rél : ( ( c ui imliu u : ( ( Quls u soit ls du réls oosés, ils ot ds imgs oosés, l octio st u octio imir 3 D ço géérl, uls u soit ls réls t : ( ( ( ( ( ( gjuli8 ( ( ( ( Qul u soit l rél t ul u soit l tir strictmt ositi, liut l rltio ci-dssus vc (( (, o obtit : (rltio d récurrc Λ gjuli8 ( ( ( ( ( L rltio st trivilmt vériié u rg, c ui iitilis u rg ctt rltio, t si o l suos vériié à u crti rg lors l rltio d récurrc Λ motr u ll st vériié u rg suivt E t : (( (( gjuli 8 Ctt rltio st éréditir ( ( Ell st doc vériié our tout tir strictmt ositi, t cl ul u soit l rél G Juli, 89 4
5 Ecrit CAPES Mtémtius G Juli, O os 4 E liut l rltio récédt vc : Pour tout tir strictmt ositi : c ui do l rssio octio d : Pr imrité : L rssio octio d : st licbl ul u soit l tir rlti ( comris our : 4 Soit * N E liut l ormul d l ustio 3 vc ; : c ui do : uis : L ormul 4 s étd u ivrss ds tirs strictmt ositis E liut mitt l ormul du 3 our * N t, o obtit : uis L ormul 4 s étd à tous ls rtiols ositis Pr imrité, L ormul 4 s étd à tous ls rtiols égtis Ctt ormul st licbl à tous ls rtiols
6 Ecrit CAPES Mtémtius C O jout l dérivbilité zéro Soit u octio déii sur R t tll u R, ( u st dérivbl zéro t o ot mitt l roriété Q ( ( O suos d lus ' so ombr dérivé c oit (C'st-à-dir u vérii Soit u ombr rél t u rél o ul : ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( i ( gilbrtjul 8 ρ rrést l tu d vritio d tr t L otès «dérivbl zéro» s trduit ici r : D bord lim ( ( Esuit oit lim ( '( O obtit : lim (, '( ( cr l dérivbilité d zéro imliu s cotiuité c oit r déiitio du ombr dérivé zéro d u octio s ult c ρ Puisu l limit du tu d vritio tr t dérivé c oit st ctt limit : ' lim (, '( ( L octio st dérivbl tout oit d R ist t st ii, st dérivbl t so ombr ρ Si '(, lors ' our tout t st u octio costt, écssirmt l octio ull uisu ( C cs st clu r l otès «o costt» Si '(, st sur R strictmt du sig d '( : l octio st strictmt croisst si '( > strictmt décroisst si '( <, Ett cotiu ( ortiori, uisu dérivbl sur R t strictmt mooto sur R, l octio rélis u bijctio d R sur so itrvll img D ct itrvll img, o sit u il s git d u itrvll iclus ds ], [ Mis sct u: cs où > our tout tir rlti, ou bi lim ; lim ds l, ou bi lim ; lim ds l cs où < < : l itrvll img st, ctmt ] [ O désig désormis r k l ombr rél o ul k '( G Juli, 89 6
7 Ecrit CAPES Mtémtius 3 O désig r l octio récirou d E dérivt l comositio d octios ctué ds ct ordr : ], [ : o (, o obtit : ' ( ( '( ' ( ( k ( ( '( t r coséut : 4 U rimitiv sur ], [ I d l octio k étt l octio l, il ist u costt C tll u : ( ( l C L vlur d C st détrmié r l it u ( st ivrit r, il l st ussi r Aisi : l k gilbrtjul i 8 Coditio ui do C L rssio d s obtit ivrst l rltio : ( ( l gilbrtjul i k : 8 ( k doc ( k E ott ( k, o obtit : ( k (uisu Tout octio o costt vériit l roriété Q st d ctt orm L octio ull st églmt d ctt orm, ll corrsod u cs vc rél strictmt ositi, lors ctt octio st clirmt dérivbl zéro, comosé d l octio dérivbl uis d u octio, : Réciroumt, si u octio st d l orm rtioll, t d utr rt, our tout coul d réls ( ( gj ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ctt octio vérii outr l rltio uivrsll ( Ell vérii l roriété Q ( Ls octios vériit l roriété Q sot ctmt ls octios d l orm strictmt ositi vc rél G Juli, 89 7
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