Chapitre VII : Equations et inéquations
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- Dominique Boulet
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1 Extrait du programme : Chapitre VII : Equations et inéquations En début d année, nous avons travaillé sur la résolution graphique des équations et des inéquations. Nous allons ici nous intéresser à leur résolution algébrique. I. Equations 1. Equations du premier degré Définitions : Soit f une fonction définie sur une partie I de. Résoudre l équation f ( x ) = sur I, c est trouver tous les nombres s de I qui vérifient f ( s ) =. x s appelle l inconnue de l équation. Et tout nombre s tel que f ( s ) = s appelle une solution de l équation. Une équation du premier degré est une équation d inconnue x de la forme : ax + b = avec a. Remarque : ne pas confondre une équation (comme par exemple 2x + = ) et une expression algébrique (comme par exemple 2x + ). Point-méthode 12 : Résoudre une équation du 1 er degré Résoudre algébriquement les équations suivantes : a. 4x + 2 = 2x 5 b. 4x 1 = 2 ( 6x + 1 ) c. 2x + 4 = 5 ( x + 6 ) a. On commence par mettre tous les x à gauche puis les «pas x» à droite. 4x + 2 = 2x 5 on passe 2x à gauche, en soustrayant par 2x de chaque côté 4x 2x + 2 = 5 On soustrait 2 de chaque côté 2x = 5 2 On divise par 2 de chaque côté x = 7 2 s = 7 2 Si le mot «résoudre» apparait dans l énoncé, la conclusion sera toujours sous la forme d un s= b. 4x 1 = 2 ( 6x + 1 ) On développe d abord toutes les parenthèses en simplifiant en même temps.
2 4x 1 = 4x = 2 s= On soustrait 4x de chaque côté On arrive à une absurdité, cette équation n a donc pas de solution Il n y a pas d accolades autour de l ensemble vide. c. 2x + 4 = 5 ( x + 6 ) On développe 2x + 4 = 5 x + 1 2x 5 x = 1 4 On soustrait 5 x de chaque côté, on soustrait 4 de chaque côté On met tout au même dénominateur du côté où apparait la fraction 6 x 5 x = 6 On additionne les coefficients devant les x 11 x = 6 On multiplie par de chaque côté 11x = 18 On divise par -11 de chaque côté x = s= Equations produits Une équation du type ( x + 1 ) ( x 5 ) = est une équation produit. Théorème : règle du produit nul Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul. A B = équivaut à A = ou B = Point-méthode 1 : Résoudre une équation grâce à la factorisation Résoudre les équations suivantes : a. ( x + 6 ) ( 8x ) = b. x ( x 1 ) = ( x + ) x c. 4x² 9 = d. 2 ( x 2 ) = 5 ( x 2 ) ² Pour résoudre une équation qui est sans fraction et qui n est pas du premier degré il faut : - Tout regrouper à gauche (et non pas isolé les x comme pour le 1 er degré) - Avoir à droite. - Factoriser (avec un facteur commun ou une identité remarquable) pour avoir un produit à gauche - Utiliser la règle du produit nul. a. ( x + 6 ) ( 8x ) = Déjà sous la forme d un produit égal à x + 6 = ou 8x = x = 6 8x = x = 8 s= 6; 8 On n oublie pas de conclure b. x ( x 1 ) = ( x + ) x On passe tout à gauche x ( x 1 ) ( x + ) x = On factorise par x x ( x 1 ( x + ) ) = On fait TRES attention aux parenthèses avec le x ( x 1 x ) =
3 4x = on s est ramené au 1 er degré finalement! on divise tout par 4 x = s={} c. 4x² 9 = Tout est à gauche déjà, on factorise. Il n y a pas de facteur commun, donc on cherche une identité remarquable. C est la ème : a² b² = ( a b ) ( a + b ) ( 2x ) ² ² = ( 2x ) ( 2x + ) = On a un produit nul 2x = ou 2x + = 2x = 2x = x = 2 x = 2 s= 2 ; 2 d. 2 ( x 2 ) = 5 ( x 2 ) ² On passe tout à gauche 2 ( x 2 ) 5 ( x 2 ) ² = On factorise par ( x 2 ). Attention au carré! ( x 2 ) ( 2 5 ( x 2 ) ) = On développe la 2 ème parenthèse, attention au ( x 2 ) ( 2 5x + 1 ) = ( x 2 ) ( 5x + 8 ) = On a un produit nul. x 2 = ou 5x + 8 = x = 2 x = 8 5 s= 2; 8 5. Equations quotients Une équation quotient est lorsque l inconnue se trouve au dénominateur, par ex : 5x + 2x + 5 = Théorème : règle du quotient nul Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. A = équivaut à A = et B B Point-méthode 14 : Résoudre une équation quotient Résoudre les équations suivantes : 7 x a. x + 4 = b. 1 x = 2 ( 2 + x ) ( 5x + ) c. x + 2 6x + 4 = d. x² 9 = 1 x + Pour résoudre une équation avec une inconnue au dénominateur, il faut : - Tout mettre à gauche et avoir à droite - Mettre tout sur le même dénominateur (sans jamais simplifier par une expression avec du x) - Faire 2 colonnes o Une pour résoudre le numérateur égal à (équation du 1 er degré ou produit) o Une pour résoudre le dénominateur différent de (ce sont les valeurs interdites) - Conclure en confrontant les solutions de la 1 ère colonne avec les valeurs interdites de la 2 ème. a. 7 x x + 4 = c est un quotient nul 7 x = et x = x x 4 Solutions potentielles valeurs interdites Ici les solutions potentielles sont différentes des valeurs interdites donc toutes les solutions potentielles sont bien solutions. s={7} Attention, on ne met JAMAIS les valeurs interdites dans l ensemble solutions
4 1 b. x = 2 x x 2 x + 2 = x + 2 x ( x + 2 ) 2x x ( x + 2 ) = x + 2 2x x ( x + 2 ) = x + 2 x ( x + 2 ) = On passe tout à gauche (attention au ) On met tout sur le même dénominateur (c est toujours par une multiplication) On écrit une seule fraction, attention au à distribuer sur la 2ème comme si c était une parenthèse. On ne développe JAMAIS le dénominateur On a un quotient nul x + 2 = et x ( x + 2 ) 2 = x x x + 2 x 2 s = {2} 2 (solution potentielle) n est pas une valeur interdite (qui sont et 2) c. ( 2 + x ) ( 5x + ) = 6x + 4 C est un quotient nul (Il ne faut jamais développer un numérateur qui est bien factorisé) ( 2 + x ) ( 5x + ) = et 6x x = ou 5x + = 6x 4 x = 2 x = 5 x 2 Penser à simplifier! s = 5 la solution potentielle 2 est aussi une valeur interdite, donc elle n est pas dans l ensemble solution. d. x² 9 = 1 On met tout à gauche x + On trouve le dénominateur en modifiant l écriture du 1 er quotient x² 9 1 x + = ( x ) ( x + ) 1 x + = ( x ) ( x + ) 1 ( x ) ( x ) ( x + ) = On fait très attention au moins devant le 2ème quotient x + ( x ) ( x + ) = x + 6 = On a un quotient nul ( x ) ( x + ) x + 6 = et ( x ) ( x + ) x = 6 x x donc s={6} Point-méthode 15 : résoudre un problème conduisant à une équation ABCD est un carré de côté 2cm. AMNP est un carré. Où placer le point M sur le segment [AB] pour que l aire de la partie hachurée soit égale à 51 cm²? D Pour résoudre un problème conduisant à une équation, il faut respecter les quatre étapes suivantes : Choix de l inconnue Mise en équation A P M N B C
5 Résolution de l équation Conclusion Choix de l inconnue : Comme on cherche la place du point M, on devra choisir une longueur inconnue avec le point M. Par exemple, soit x la longueur AM en cm (Ne pas oublier de préciser les unités). Mise en équation : L aire de ABCD est 2 2 = 4cm² et l aire de AMNP est x² donc l aire de la partie hachurée est : a( x ) = a ( ABCD ) a ( AMNP ) a ( x ) = 4 x² L équation à résoudre est donc : a ( x ) = 51 4 x² = 51 Résolution de l équation : 4 x² = 51 pas du 1 er degré donc on passe tout à gauche 49 x² = On factorise grâce à la ème I R : a² b² = ( a b ) ( a + b ) ( 7 x ) ( 7 + x ) = Equation produit nul 7 x = ou 7 + x = 7 = x x = 7 donc s = { 7 ;7} Conclusion : Seule la solution positive convient car AM est une longueur. M doit donc être situé à 7cm de A. II. Inéquations 1. Inéquations du 1 er degré a. Grâce au calcul algébrique Rappel : Une inégalité change de sens si on multiplie ou divise chacun de ses membres par un même nombre réel strictement négatif. Pour résoudre algébriquement une inéquation du 1 er degré, on procède comme s il s agissait d une équation du 1 er degré. On est cependant vigilant sur les opérations effectuées afin de savoir si l inégalité change ou non de sens. L ensemble solution d une inéquation est en général sous la forme d un intervalle. Il faudra donc aussi faire attention au sens des crochets. b. Grâce aux fonctions affines On peut aussi résoudre une inéquation du 1 er degré en déterminant le tableau de signe de la fonction affine qui lui est associée. Point-Méthode 16 : Résoudre une inéquation du 1 er degré 1. Résoudre par un calcul algébrique : x + 2 > 5x 4 2. Résoudre grâce aux fonctions affines : 4x 5 2x x + 2 > 5x 4 1 er degré donc on passe tous les x à gauche et les termes constants à droite. x 5x > 4 2 8x > 6 On divise par 8 : attention au sens! x < 6 On simplifie 8
6 x < 4 donc s= ] ; [ On peut s aider d un graphique si besoin : 4-4 [ x 5 2x + 7 On veut à droite car on doit passer par une fonction affine 4x 2x 5 7 2x 12 On veut donc savoir quand la fonction affine f ( x ) = 2x 12 est positive. On va établir son tableau de signes. 2x 12 = (on cherche la valeur charnière) 2x = 12 x = 6 a = 2 > donc : x Ainsi, on lit : s = [6 ;+ [ f 2. Inéquation produit Le point fondamental ici est la règle des signes connue depuis longtemps : «+ par + donne+», «- par donne +» et «+ par donne -» On doit procéder de la même façon que pour les équations : Il faut d abord factoriser car il n y a pas de règle des signes pour une somme. Point-méthode 17 : Résoudre une inéquation grâce à la factorisation Résoudre les inéquations suivantes : a. ( 2 x ) ( x + 1 ) b. ( x ) ² > 1 a. ( 2 x ) ( x + 1 ) On a un produit à gauche, et à droite. On ne modifie rien 2 x = x + 1 = On trouve quand chaque facteur s annule 2 = x x = 1 Ce sont les 2 valeurs charnières On établit un tableau de signe avec les 2 valeurs charnières, puis une ligne par facteur, puis une ligne pour le produit. On remplit les lignes des 2 facteurs comme le signe d une fonction affine. On remplit la dernière ligne en utilisant la règle des signes d un produit. On conclut. x x On fait attention à l ordre des valeurs Car a = 1 < Car a = 1 > On n oublie pas de reporter les Et donc s = [ 1;2 ] On lit le signe demandé (ici ) dans la dernière ligne b. ( x ) ² > 1 Ce n est pas à droite, donc on passe tout à gauche ( x ) ² 1 > Ce n est pas un produit à gauche, donc on factorise
7 ( x 1 ) ( x + 1 ) > (c est encore la ème identité remarquable) ( x 4 ) ( x 2 ) > c est un produit à gauche et à droite. x 4 = x 2 = On cherche les valeurs charnières x = 4 x = 2 x a = 1 > a = 1 > On cherche strictement positif, donc 2 cases, crochets ouverts : s=]- ;2[ ]4 ;+ [. Inéquations quotients La méthode sera la même que pour les produits. Mais on devra, comme pour les équations, préciser les valeurs interdites. Le signe du dénominateur aura une grande importance, il ne faudra donc jamais «simplifier», même si la tentation est grande. Point-méthode 18 : Résoudre une inéquation quotient x + 1 Résoudre les inéquations suivantes : a. ( 2x + ) ( 4x + 1 ) b. x 1 x x + 1 a. Quotient dont le numérateur et dénominateur sont factorisés et à ( 2x + ) ( 4x + 1 ) droite. Donc on ne modifie rien x + 1 = 2x + = 4x + 1 = On cherche les valeurs charnières sans s occuper des x = 1 x = x = 1 pour l instant 2 4 On fait un tableau comme pour les équations produits, avec autant de lignes que nécessaires On ajoute tout de même des doubles barres là où le dénominateur s annule On conclut en ouvrant toujours les crochets au niveau des valeurs interdites. x Attention à l ordre a = 1 > a = 2 > a = 4 < x + 1 ( 2x + ) ( 4x + 1 ) Attention aux doubles barres s= ] ; [ [ 1; 1 [ Crochet fermé en 1 car c est et 1 n est pas une valeur 2 4 interdite. b. x 1 x x 1 x On modifie afin d avoir tout à gauche On met tout sur le même dénominateur
8 x² 1 x On factorise le numérateur ( x 1 ) ( x + 1 ) x On a un quotient, bien factorisé et de l autre côté x 1 = x + 1 = x = x = 1 x = 1 x x a = 1 > a = 1 > a = 1 > ( x 1 ) ( x + 1 ) x s =]- ; 1] ] ;1] On veut négatif ou nul
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