Informatique Graphique - 3D

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1 Infomatique Gaphique - 3D Thomas Mulle thomas.mulle@kalyx.og

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3 Avant-popos Ce document est un suppot de cous d intoduction à l'infomatique gaphique 3D délivé au niveau Maste et Mastèe spécialisé. Il donne pas à pas, et en suivant une appoche natuelle, les notions fondamentales de mathématique, de physiologie de la vision, de physique et d'optique liées au calcul d'images de synthèse pa odinateu. Paallèlement les pincipales techniques de modélisation et algoithmes de endu y sont explicitées. Table des matièes AVANT-PROPOS... 3 TABLE DES MATIERES... 3 GENERALITES... 5 INTRODUCTION... 7 RAPIDE SURVOL HISTORIQUE... 7 LOI DE MOORE... 9 EQUIPEMENT INFORMATIQUE ELEMENTS DE MATHEMATIQUES LUMIERE COULEUR ET PERCEPTION LA LUMIERE NATURE EQUATIONS DE MAXWELL NOTION DE SPECTRES LA COULEUR L ŒIL HUMAIN LES ESPACES DE COULEURS TRAITEMENT INFORMATIQUE DE LA COULEUR MATIERE THEORIE & GENERALITES BRDF REFLEXION & REFRACTION REFLEXION SUR UNE SURFACE RUGUEUSE REFLEXIONS EN MILIEUX HETEROGENES MODELISATION 3D REPRESENTATION DES SOLIDES ET DES FLUIDES ORGANISATION DE LA SCENE PRISE DE VUE PROJECTION SUR LE PLAN IMAGE MODELE DU STENOPE PROJECTIONS PERSPECTIVES PROJECTION PARALLELE VISUALISATION EN MODE FILAIRE ELIMINATION DES PARTIES CACHEES ALGORITHME DU PEINTRE Z BUFFER SCAN LINE

4 OPTIMISATION : ELIMINATION DES FACES NON VISIBLES SHADING «LISSAGE» LISSAGE DE GOURAUD LISSAGE DE PHONG SIMULATION D ECLAIRAGE EQUATION DU RENDU ALGORITHMES DE SIMULATION D ECLAIRAGE LANCER DE RAYONS METHODES DE MONTE-CARLO ANNEXES DEFINITIONS GENERALES ANGLE SOLIDE CAUSTIQUE CORPS NOIR DIAGRAMME GONIOMETRIQUE GAMMA GAMUT GONIOPHOTOMETRE DEFINITION DE RADIOMETRIE BIDIRECTIONAL REFLECTANCE DISTRIBUTION FUNCTION (BRDF) FLUX INTENSITE DE RAYONNEMENT IRRADIANCE (EN) - ECLAIREMENT (FR) ISOTROPIE RADIANCE (EN) - LUMINANCE (FR) RADIOSITE : REFLECTANCE DEFINITION DE PHOTOMETRIE PHOTOMETRIE : FLUX LUMINEUX : INTENSITE LUMINEUSE : ECLAIREMENT LUMINEUX : LUMINANCE LUMINEUSE : TABLEAU RECAPITULATIF. RADIOMETRIE/PHOTOMETRIE

5 Généalités 5

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7 Intoduction L infomatique gaphique est une science jeune, elle s applique à la céation, manipulation et estitution d images numéiques. Elle inclue plusieus axes d étude dont la généation d images à pati de desciptions géométiques, physiques et optique de scènes vituelles obsevées sous des points de vu donnés. C est cet aspect, la synthèse d image 3D, que nous développons ici. Rapide suvol histoique ~ -400 Camea obscua Mozi chine / Aistote Gèce 1450 Gutenbeg Pemie système d impimeie 1826 Pemièe photogaphie pa Nicéphoe Niepce: Le "point de vue du gas" 1926 Pemièe télévision (J.L. Baid) Pemièe téléconféence ente Washington et New Yok 1938 Invention de la TV couleu 1941 Zuse Z3 - Allemagne - Pemie odinateu et pemièe machine de Tuing (elais) Invention du tansisto 1948 ENIAC - USA - Deuxième odinateu et pemièe machine de Tuing électonique 1951 Pemie affichage gaphique: Vectoscope su l'odinateu Whilwind (MIT) 4Ko de RAM SAGE pemie système de défense et de contôle aéien 1960 Wiliam Fette (Boeing) utilise pou la pemièe fois le teme de Compute Gaphics 1961 Pemie jeu vidéo développé au MIT 1962 P.Bezie popose un pemie modèle de coubes et sufaces paamétées 1963 Invention de la souis Sketchpad de Sutheland: pemie logiciel de CAO fonctionnant su l'odinateu XT-2 (320Kb de mémoie RAM) Pemie film généé pa odinateu pa E. Zajac 1966 Invention des pemies écans plasma 1967 Pemie simulateu de vol (couleu et inteactif) pou la Nasa 1968 Céation d Intel Sutheland cée le pemie casque de éalité vituelle: head-mounted display 1971 Ombage de Gouaud 1973 Le jeu pong est développé su Atai Pemièes conféences du SigGaph Rich Riesenfeld (Syacuse) intoduit les b- 7

8 splines 1974 Potocole TCP (Vint Cef, Bob Kahn) z-buffe développé pa Ed Catmull (Univesity of Utah) 1975 Ombage de Phong Pemièes factal pa Benoit Mandelbot (IBM) Fondation de Micosoft 1976 Jim Blinn développe l envionment mapping Fondation d Apple Pemie fame buffe 24b/pixels 1977 Sotie du film Sta Was de G.Lucas 1978 Blinn intoduit le Bump Mapping Invention du pemie vidéo disque lase 1980 Tune Whitted (Bell Labs) intoduit l algoithme du lance de ayons. Sotie du film Ton 1982 Tom Bighham intoduit le mophing Atai développe le data glove AutoDesk est fondé et Autocad édité Fondation de Adobe et Silicon Gaphics 1983 Willams intoduit le Mip-Mapping 1e lecteu de CD 1984 Goal pésente l algoithme de adiosité Le lancé de ayon distibué, l alpha-buffe et le motion blu sont développés pa LucasFilms Model de Cook 1987 Fomat d image GIF Windows PIXAR commence le développement de RendeMan 1990 Windows Fondement d Intenet public HTTP (CERN) Fomats JPG et MPEG 1992 Début d étude du CAVE pa l univesité de l Illinois Pemièe vesion de la libaiie gaphique OpenGL 1995 Sotie du film Toy Stoy pa Pixa 1996 Edition du jeu Quake Henik Wann Jensen publie l algoithme de PhotonMapping 1997 Paul Debevec publie une techniquecaptue des images haute dynamique Henik Wann Jensen développe la pemièe simulation de diffusion sub-sufacique Pemie pocésseu gaphique pogammable: Nvidia Gefoce 3 (NV20) compatible DiectX 8.0 et intoduction du Vetex Shade OpenGL Intoduction de Compute Unified Device Achitectue: CUDA 8

9 Loi de Mooe En 1975 Godon E. Mooe (co-fondateu d'intel) constate que le nombe de tansisto su une puce de silicium double tous les deux ans à coût contant. La "loi" c est véifiée pa la suite. Figue 1: Loi de Mooe En 1945 l ENIAC à coûté l équivalent de 250 millions d euos. A la fin des années 50 un odinateu doté d'une puissance équivalente ne valait plus que 100 millions et 1 million en L'ENIAC avait alos une puissance de 100 kiloflops 1 (opéations à vigule flottante pa seconde). Actuellement le supecalculateu le plus puissant au monde dépasse les 30 pétaflops (10 15 flops). Un odinateu pesonnel peut dépasse les 5 téaflops (10 12 flops), soit dix million de fois plus puissant que l'eniac. 1 Uniquement en l'addition (357 flops en multiplication et 38 flops en division) 9

10 Equipement infomatique Pou la poduction d'images 3D nous disposons donc d'un équipement évoluant en capacité de calcul et/ou en pécision années apès années. Ces équipements sont constitués de calculateus et de péiphéiques. Les calculateus, CPU, GPU, etc. sont achitectués suivant les pincipes de la "machine de Tuing" doté d'un mécanisme d'inteuption. Ils disposent d'opéations logiques simples, de l adition, de la multiplication, etc. ainsi que d'opéations de tansfet de données. Les instuctions sont exécutées en chaîne exactement comme su les anciennes machines à cates pefoées. Les calculs se font généalement su des mots de 32 ou 64 bits (ou plus pou les pocesseus gaphiques). Les pocesseus sont actuellement hautement paallélisables (ils possèdent généalement plusieus cops). Ils fonctionnent à des féquences pouvant alle jusqu'à 3 GHz (le ecod étant à 500GHz) et tavaillent su des données stockées en mémoie vive via des bus pouvant fonctionne à plus de 2GHz (Voi 6Ghz pou la mémoie gaphique). La capacité de taitement de cates gaphiques actuelles appoche les millions de tiangles pa secondes ce qui end possible, en théoie, la manipulation inteactive (30fps) d'un modèle composé de plus de 300 millions de tiangles. Pami les péiphéiques, nous disposons de moniteus (CRT, LCD, LED, Plasma, etc.) capables d affiche 16 millions de couleus, et plus pou les écans haute dynamique (HDRI), et pouvant attende une ésolution de 2560x1600 pixels. Nous disposons aussi de difféents péiphéiques de pointage (souis, stylet, etc.), d acquisition (scanne, photo numéique, etc.) et d impession - y compis 3D -. Les capacités de calcul que nous avons à disposition sont considéables mais l'on atteint encoe apidement les limites losque l'on souhaite epésente la éalité dans toute sa complexité. 10

11 Eléments de mathématiques 11

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13 13 Dans les conditions matéiel que l on vient de défini nous nous poposons de epésente des scènes vituels en mémoie infomatique et d'en donne un apeçu pa le calcul sous fome d'image. Nous devons pou cela nous dote des outils mathématiques élémentaies nécessaies à la définition et à la manipulation de géométie 3D ainsi qu'au calcul de phénomènes optiques simples. Déteminants Un déteminant est un outil mathématique sevant ente aute à la ésolution de systèmes linéaies (voi chapite coespondant). Dans le plan euclidien, pou deux vecteus v u et.. le déteminant se calcule simplement avec la fomule suivante: x y y x y y x x v u v u v u v u v u = = ), det( En dimension 3 le déteminant peut se calcule en utilisant la ègle de Saus: Soit 3 vecteus w v u,,. Fome une matice de dimension 3 à pati des vecteus en colonne et épéte les deux pemièes colonnes puis effectue les poduits des diagonales, somme les poduits descendants et soustaie les poduits montants z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z z y y y x x x z z z y y y x x x w u v v w u u v w v u w u w v w v u v u v u v u w v u w v u w v u w v u w v u w v u w v u + + = = = ),, det( Il est intéessant de note que: Si tous les temes d'une ligne ou d'une colonne sont nuls alos le déteminant est lui même égale à zéo. Si la matice est tiangulaie, alos le déteminant est égal au poduit des coefficients diagonaux. Si la matice est ecombinée linéaiement suivant les lignes et/ou colonnes son déteminant n'est pas modifié. Repèes Il est nécessaie de pouvoi se situe dans le monde vituel, on lui associe pou cela un epèe (O, k j i,, ) appelé epèe Monde. Nous seons aussi amenés à constuie un epèe pou l œil ou la caméa epésentant le point de vue et la diection de visée. De même chaque objet 3D peut posséde son pope epèe pou facilite sa manipulation. Enfin l écan est généalement muni d un epèe 2D

14 Points & Vecteus Nous auons à manipule la notion de points et de vecteus. Ils nous seviont à positionne les sommets des géométies ainsi qu'à epésente les diections. Pou cela nous nous plaçons dans une espace vectoiel su K, K étant un cops. C'est à die que K est un ensemble munie de deux lois intenes commutatives: addition et multiplication, et dont la multiplication est distibutive pou l'addition. En infomatique gaphique le cops K est le plus souvent l'ensemble des nombes éels R. Un espace vectoiel est un espace à N dimensions ici 2, 3 ou 4. On dia alos qu'il est défini su, espectivement, R 2, R 3 ou R 4. Il est lui même muni de deux lois: La somme vectoielle (intene) et la multiplication pa un scalaie (élément de K) (extene à gauche). Rappels : Soit u, v, w des vecteus et P, Q, R des points v = v x + v y + vz est la nome de v Di( v ) est la diection de v On se place dans un epèe othonomé en 3D. Poduit scalaie : u. v = u v cosθ où θ est l angle ente u et v u. v = u v + u v + u v x x y y z z Rem : si u = v =1 alos u. v = cosθ siu. v =0 et u 0 et v 0 alos u v ( v. u). u Est la pojection de v su u ( u. u) u Est le vecteu unitaie de même diection que u u Poduit vectoiel : u ^ v = u v sinθ où θ est l angle ente u et v u ^ v u y v y u z v u z x vx = (,, ) = ( u yvz u zv y, u zvx u xvz, u xv y u yvx ) u v u v u v z z x x y y Di( u ^ v ) est la diection pependiculaie à la fois à u et à v dans le sens diect. Rem : u ^ v est l aie du paallélogamme constuit su u et v u ^ v =- v ^u u ^( v + w )=u ^ v + u ^ w u ^( v ^ w )=( u. w ) v -( u. v ) w (u ^ v )^ w =( u. w ) v -( v. w )u 14

15 Equations 3D élémentaies Doite Une doite est un espace à une dimension. Soit O son oigine et d sa diection alos la doite est définie pa l ensemble des points P tel que : P = O + t d t IR Plan Équation 1 équation de la doite dans R3 Un plan est un espace 2D, il peut ête défini pa une oigine O et deux vecteus non colinéaies u et v pa l ensemble des points P tel que : P = O + s u + t v s, t IR Équation 2 équation 1 du plan dans R3 Une aute façon de défini un plan dans que : 3 IR est de le défini comme l ensemble des points tel (P - O). n = 0 O étant un point du plan et n une nomale au plan. Cette équation peut se éécie sous la fome : ax + by + cz + d = 0 avec n = (a,b,c), P = (x,y,z) d Équation 3 équation 2 du plan dans R3 Rem : d et la distance du plan à l oigine du epèe ssi n est unitaie. Sphèe Une sphèe de cente C et de ayon R à pou équation : (P C)² - R² = 0 Équation 4 équation de la sphèe dans R3 Toe Un toe fomé autou de l axe Z généé pa un cecle de ayon placé à une distance d de l oigine su le plan xoy à pou équation : ( x ² + y² - d) ² + z² - ² = 0 15 Figue 2 le toe

16 Tansfomations Afin de epésente la géométie d une scène vituelle nous auons aussi besoin de tansfomations, le plus simple étant d utilise les codonnées homogènes. Les points sont epésentés su 4 codonnées x y z w avec P=Q ssi Px/Pw=Qx/Qw et Py/Pw=Qy/Qw et Pz/Pw=Qz/Qw Les matices de tansfomations sont de dimension 4x4 Tanslation de vecteu t Tansfomation d echelle Tt = Rotation t t t Ee = e e e Rx 0..cosα.. sinα..0 = 0..sinα...cosα cosα sin α..0 Ry = sinα..0...cosα Rz = cosα.. sinα sinα...cosα Changement de epèe Considéons les epèes (O, i, j, k ) et (P, u, v, w ) alos mi ui... vi... wi... Pi mu mj uj... vj... wj... Pj mv = mk uk.. vk.. wk... Pk mw

17 Pojection pespective p.. q....0 Généalement on pose p=q=0 et = 1/d pou une vue en diection des z négatifs, le plan de pojection paallèle au plan xy passant pa (0,0,d) et le cente de pojection en (0,0,0). Composition Toute tansfomation s expime pa une combinaison de tanslation, otation et changement d échelle et donc gâce à une matice homogène. Résolution d'un système de N équation linéaies à N inconnues Dans plusieus situations nous auons à ésoude un système d'équations linéaies de N équations N inconnues. Une des méthodes utilisable est celle dite de l'élimination de Gauss- Jodan ou pivot de Gauss, mais nous poposeons une aute méthode, plus "computationnelle", appelée ègle de Came. Soit le système: Qui peut se epésente sous la fome maticielle suivante: Si det(a) est non nul, alos il existe une solution unique: Où det(a k ) est le déteminant de la matice fomé en emplaçant la K-ième colonne de A pa le vecteu colonne ᴧ 17

18 18

19 Lumièe Couleu et Peception 19

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21 La Lumièe Natue La lumièe dite visible est un phénomène électomagnétique. Elle se popage dans un cops ou dans le vide pa adiation. En cela, elle est considéée comme une énegie. Une conception duale de la lumièe à été définie pa les checheus de ces denies siècles. Ces deux natues sont complémentaies et indissociables. Aspect ondulatoie La lumièe peut ête considéée comme une onde de même natue que les ayons cosmiques ou les ondes ada. Elle se popage dans le vide à une vitesse de ~ km/s. Figue 3 : Longueus d ondes du visible Aspect copusculaie Ici la lumièe coespond au déplacement de paticules élémentaies, les photons. Les photons sont des paticules d énegie dépouvues de masse. Ils sont poduits dans la matièe pa l excitation (pa un appot de chaleu pa exemple) des électons, qui en changeant d obital éémettent cette énegie sous fome de photons. Equations de Maxwell La théoie de l'électomagnétisme epose su quate équations fondamentales : les équations de Maxwell. Ces équations décivent le compotement d'une onde électomagnétique, dans le vide ou dans un milieu matéiel. Cette desciption possède une fomulation plus simple dans le vide, ca elle nécessite l'utilisation d'un moins gand nombe de gandeus physiques 21

22 nécessaies à la desciption du matéiau tavesé. C est cette fomulation qu emploient généalement les modèles d illumination. Ainsi, la lumièe est une énegie tanspotée pa une paie de champs couplés : le champ électique E, le champ magnétique B. Ces champs sont liés à deux champs d'induction : un champ d'induction électique (ou de déplacement électique), un champ d'induction magnétique. Ces quate champs epésentent quate notions à manipule, liées ente elles pa les quate équations de Maxwell. Ces champs sont céés pa la pésence d'une chage en un point de l'espace et se manifestent en tout point du même espace. On est donc en pésence d'un effet mutuel. En tout point, les quate équations de Maxwell décivent localement l'état de ces champs. H ot E = t divb = 0 ρ dive = = 0 ε 0 E ot B = µ 0ε 0 t Équation 5 : Maxwell dans le vide B E k Notion de Spectes Figue 4 : La lumièe : un phénomène électomagnétique On appelle specte un ensemble de longueus d onde émis pa une souce ou éfléchi pa un matéiau. Un specte peut ête continu, discontinu, combiné ou de aies comme dans les exemples ci-dessous : 22

23 Figue 5 : Specte continu, émis pa une ampoule halogène Figue 6 : Specte discontinu d'une lampe aux vapeus de mecue, émettant dans les UV 23

24 Figue 7 : Specte combiné d'un tube fluoescent de type "Wam white" Figue 8 : Les 3 pincipales aies d'émission du lase Agon-ion Nomalisation Un cetain nombe de spectes d émission ont été nomalisés pa la CIE. Ils sont donnés en degés Kelvin et coespondent aux spectes émis pa un cops noi à une tempéatue donnée. Pa analogie, on peut assigne à toute souce de lumièe une tempéatue couleu en Kelvin. 24

25 Un Cops Noi émet la même quantité d énegie pou toutes les longueus d ondes à une tempéatue de 5500 K. Au-dessus, l émission est plus impotante dans les coutes longueus d ondes ; Au-dessous, dans les gandes longueus d onde. Quelques exemples : Lampe à incandescence nomale: 2500 K Lampe halogène: 3400 K Lumièe du jou (photogaphie): 5500 K Ecan du Macintosh: 7000 K Télévision: 9000 K Les spectes d émission nomalisés sont appelés Illuminants, ils pemettent aux individus de compae leus tavaux ou d échange des données (images, simulations ) dans un cade défini. Les pincipaux illuminants sont : Illuminant A: vesion nomalisée de l'éclaiage à incandescence Illuminant B: epésente la lumièe diecte du soleil Illuminant C: lumièe moyenne du jou, sans UV Illuminant D65: lumièe moyenne du jou, avec UV Figue 9 : Les illuminants 25

26 La couleu La couleu est une sensation, elle n existe qu au taves de note pope peception. En effet, le teme couleu n a de sens que si l on l associe à l ogane qui la peçoit. En cela, cette notion est tès subjective, elle nous est pope. L œil humain Sans nous attade su l anatomie de l œil humain, dont voici un apeçu : Figue 10 : Anatomie de l œil humain Expliquons d où vient la sensation coloée : Losque l image vituelle se fome su le fond de la étine, des cellules sensibles aux longueus d ondes du visible éagissent pou envoye l infomation au ceveau pa le biais du nef optique. Ces cellules sont les bâtonnets et les cônes. Les bâtonnets ne sont sensibles que pou une faible luminosité. Ils ne founissent qu une infomation photométique ; pou cette aison, nous ne pecevons que tès peu les couleus la nuit. Il existe tois types de cônes qui sont sensibles, gâce à leus pigments, à des spectes donnés dont les maximums espectifs sont à ~510nm, ~560nm et ~620nm. Chacun de ces types de cônes génèe une sensation coloée espectivement autou du bleu, du vet et du ouge. C est la base de la couleu et de son aspect tichomatique. 26

27 Figue 11 : Sensibilité spectale des cônes et bâtonnets Cela signifie qu il n y a pas bijection ente un specte et la sensation coloée qu il poduit. En d autes temes, une sensation coloée peut ête poduite pa une infinité de souces lumineuses de spectes difféents et, en contepatie, toute sensation coloée poduite pa un specte peut ête expimée à l aide de tois composantes. Les espaces de couleus Comme nous venons de le voi, tout specte peut ête éduit à un vecteu de tois valeus losque l on cheche à epésente la couleu. Intuitivement, on voudait détemine ce vecteu dans un epèe Rouge Vet Bleu diectement lié à la sensibilité des cônes. Cette méthode est couamment employée en infomatique ou en vidéo su les écans CRT. Poutant, ce epèe pésente un cetain nombe de désavantages dus à sa non-unifomité face à la sensation coloée ; De plus, il ne pemet pas de epésente toutes les couleus du visible. La CIE a donc défini un cetain nombe de epèes mieux adaptés au tavail des scientifiques ou des techniciens de la couleu. Tous ces epèes se basent su les souces fictives suivantes (pou lesquelles l émission est pafois négative) : Figue 12 : Souces fictives idéales 27

28 CIE XYZ(1931) Le système de coodonnées XYZ 1931 est la base de toute la coloimétie modene. Il se base diectement su les coubes ci-dessus. La tansfomation specte ves XYZ est diectement éalisée pa une multiplication de matice. Nous donnons la matice de tansfomation en annexe pou un échantillon de 80 longueus d ondes. Ce epèe est défini de telle sote que toutes les couleus visibles puissent ête définies pa tois coodonnées stictement positives. Y étant la luminance, une couleu est généalement donnée sous la fome d un tiplet xyy tel que : x= X + X Y + Z y= X + Y Y + Z Ce système de coodonnées est fotement non unifome, et peut ête epésenté pa le diagamme de chomaticité suivant où la toisième dimension Y (non epésentée) seait la luminance. Figue 13 : Diagamme de chomaticité xyy CIE L*a*b* Issu du diagamme CIE XYZ, le système L*a*b* peut ête considéé comme unifome. La distance ente deux couleus est alos diectement liée à leu difféence d appaence coloée. Cette distance peut donc diectement se déduie du théoème de Pythagoe : E= L² + a² + b² L a et b sont définis comme suit : Équation 6: Ecat de couleu 28

29 L* = 116 ( ) = 903.3( ) 16 Y Y si Y/Yn > n Y Y si Y/Yn n a*= 500*( f(x/xn) - f(y/yn)) b*= 200*( f(y/yn) - f(z/zn)) avec : 1 f(t) = ( t )3 si t > = * t + 16/116 si t Équation 7 : Tansfomation XYZ L*a*b* Ici X, Y et Z sont les coodonnées de la couleu dans le epèe CIE XYZ et Xn Yn et Zn sont les coodonnées du blanc (généalement D65). HSV Figue 14 : Model L*a*b* Le système de coodonnées HSV (Hue Satuation Value) à l avantage d ête intuitif, on agit ici su la teinte, la satuation et la luminance (TSL en fançais). Evidement cet espace est fotement non unifome Taitement infomatique de la couleu Nous avons vu qu il existait difféentes façons de epée la couleu ; toutefois, nous devons, finalement dans tous les cas, affiche cette couleu, donc eveni à un tiplet ouge vet bleu. Ce changement de epèe n est pas tivial ca il dépend du péiphéique affichage ou 29

30 d impession. L application infomatique doit donc ête capable de poduie des images en fonction du péiphéique qui, lui même, doit ête calibé. Calibation La calibation d une chaîne demande un outillage spécifique : logiciels, écan et impimantes calibables et des appaeils de mesues spectales. A pati de cet ensemble on définit des pofils pou chaque péiphéique. Les pofils contiennent : Des matices de tansfomation et de coection coloimétiques Des coubes de Gamma pemettant de coige la non-linéaité des photophoes des écans. Le Gamut du péiphéique : l espace de couleu epoductible pa le péiphéique. Figue 15 : Gamut d un écan d odinateu La gestion pa pofils pemet de centalise la gestion de la couleu. Chaque péiphéique ou logiciel poducteu de couleu (image pa exemple) génèe ses tiplets RVB pou un péiphéique d affichage nomalisé unique. Chaque péiphéique d affichage écupèe ces valeus et les tansfome pou son pope espace coloimétique. Ces tansfomations ne sont pas évesibles, pincipalement à cause du gamut. Losqu une couleu sot du gamut d un péiphéique le pofil amène cette couleu à la couleu la plus poche affichable. 30

31 Matièe 31

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33 La matièe se touche, se sent et se voit se touche des yeux dans un pemie temps. On pale pafois de couleu sèche ou de couleu ugueuse, cela signifie bien que la matièe n est pas que couleu, il nous faut plus d adjectifs. Avant même de touche éellement une suface, tout le monde à une idée pécise de la sensation que peut donne cette matièe au touche, de son épaisseu ou bien même de sa tempéatue. Cela monte bien que la éponse de la matièe à un flux lumineux est bien plus iche en infomations. Elle nous indique, pa analogie avec nos acquis, de quoi elle est constituée quitte, pafois, à nous tompe. Théoie & généalités BRDF Une fonction décit entièement la éaction de la matièe à la lumièe, c est la BRDF, la fonction de distibution de la éflectance bidiectionnelle (voi def). Cette fonction est définie su Ω ², Ω étant l hémisphèe oienté suivant la nomale au point considéé. La BRDF est au cœu de toute simulation d éclaiage (quel que soit l algoithme utilisé). Elle epésente, pou une diection d illumination donnée, la popotion d énegie éfléchie dans chacune des diections d obsevation. Dans un algoithme de simulation d éclaiage, la BRDF est généalement epésentée pa une fonction mathématique telle les modèles de Phong, de Blinn ou de Cook-Toance, mais elle peut aussi ête mesuée. La BRDF ne pend tout son sens qu une fois appliquée à la fome comme nous le veons plus loin, mais intéessons-nous avant tout à son oigine. Réflexion & éfaction Losqu une onde électomagnétique tavese un milieu, sa popagation est déteminée pa : La constante diélectique elative au milieu La peméabilité magnétique du milieu La conductivité du milieu Sans ente dans les détails ces caactéistiques pemettent de défini l indice de éfaction n du milieu. Losqu un champ électomagnétique enconte une inteface ente deux milieux homogènes d indice de éfaction difféent, deux ondes sont poduites : une éfléchie et une éfactée. n étant dépendant de la longueu d onde, ces phénomènes se poduisent avec une absoption plus ou moins fote de l énegie incidente su l étendue du specte. On peut déduie des équations de Maxwell les lois de Snell-Descates qui décivent les elations angulaies ente le ayon incident et les ayons éfléchis ou tansmis. 33

34 Ri θ i θ R n1 n2 θ t Rt Figue 16 : Géométie de la éflexion / tansmission θ = θ i Équation 8 : Loi de la Réflexion L angle éfléchi θ est égal à l angle incident θ i ; pa conte le ayon Rt est tansmis suivant un angle θt dépendant de l indice de éfaction n. c :céléité de la lumièe dans le vide. v : céléité de la lumièe dans le matéiau. n = c v Équation 9 : Indice de éfaction n 1 sinθi = n2 sinθ Équation 10 : Loi de Snell-Descates n1 étant l indice de éfaction du milieu d oigine. n2 celui du nouveau milieu. Ai 1.36 Eau 1.33 Cistal 3.34 Glace 3.31 Diamant 2.42 Plexi 1.51 Vee 1.5 Pocelaine 1.50 Exemples d'indices de éfaction t Ceci se poduit à l inteface micoscopique de deux milieux ou pou des intefaces idéalement lisses (effet mioi). Poutant, au niveau macoscopique, une suface (inteface ente l ai et un matéiau) est généalement ugueuse. Dans cetains cas, la lumièe pénète pofondément dans la matièe et des phénomènes de dispesion se poduisent. Pafois, encoe, le matéiau n est pas homogène ; les éflexions naissent alos d inteactions lumièe/matièe complexes faisant appaaîte, pa exemple, des phénomènes inteféentiels. Dans ces cas, la éflexion est 34

35 atténuée et/ou accompagnée d un, ou plusieus, lobes diffus diectionnels, généalement, autou de la diection spéculaie pue, mais aussi en éto-éflexion. Réflexion su une suface ugueuse Losqu un ayon atteint une suface ugueuse, c est à die une suface pésentant des iégulaités tès fines, il est éfléchi et éfacté suivant la nomale au point d intesection. Cette nomale a toutes les chances d ête difféente de la nomale à la suface considéée. Vu de loin, pa appot à la taille des iégulaités, le matéiau a une éponse dite diffuse à un flux lumineux. Figue 17 : Réflexion su un matéiau ugueux C est ici que la BRDF commence à pende toute son impotance. En effet, elle peut intége ce type de phénomènes micoscopiques ou macoscopiques, losqu ils sont dus à des impefections de sufaces ou paticules non distinguables à l œil nu. Dans l exemple que l on vient de voi, un lobe de éflectance essembleait à ceci : Figue 18 : Réflectance d un matéiau ugueux 35

36 Des matéiaux tels la magnésie ou la caie ont généalement une suface ugueuse. De plus, leu stuctue atomique laisse pénéte la lumièe en sous suface et la dispese, la diffusion poduite en est alos pesque totale. Généalement, on appoxime la éflectance de ce type de matéiaux pa une éflectance puement diffuse définie pa le modèle de Lambet. Figue 19 : Model de Lambet Ici, la BRDF est constante. Ceci signifie que la luminance éfléchie est indépendante de la diection de éflexion : ρ bd = Équation 11 : BRDF lambetienne ρ d est le coefficient de diffusion compis ente 0 et 1 ρ d π d donc L ( x, ω ) = I ( x) ρ π Équation 12 : Radiance diffuse I(x) est l iadiance au point x. Dans un cas plus généal (non esteint ou diffus), on s apeçoit que la BRDF set alos à abstaie l aspect de suface. On poua donc défini des BRDF de minéaux cistallins, de métaux bossés, de tissus ou bien même de evêtements outies, d hebe ou d abes suivant la distance d obsevation (images satellites pa exemple). Un modèle classique de BRDF est celui poposé pa Phong qui pouait (bien que n étant pas éaliste) donne l aspect de cetains plastiques. 36

37 Souce lumineuse Nomale Diection éflechie α α β Ves l obsevateu Objet illuminé Figue 20 : Géométie pou le modèle de Phong. ( P) = k I + k cosα. I + k ( α ) n I d ambiant d. i i s.cos βi. i N i N Équation 13 : modèle de Phong I ambiant est une estimation de l intensité ambiante N est le nombe de souces, I(P) est l intensité totale au point P k d est le coefficient de diffusion au point P, α i est l angle ente la nomale et la diection de la souce i I i est l intensité de la souce i, n est l exposant de Phong k s (α i ) est le coefficient de éflexion au point P (dépend de α i ) β est l angle ente la diection éfléchie et celle de l obsevateu I i Réflexions en milieux hétéogènes Intéessons-nous au cas généal d un ayon lumineux pénétant dans un milieu hétéogène diélectique. 37

38 Figue 21 : Réflexion su un matéiau hétéogène Dans ce cas, il se poduit une éflexion spéculaie qui est, en généal, non coloée et dont l intensité augmente avec l angle d incidence, et une éflexion diffuse qui est généalement coloée et peut dépende de l angle d incidence. La éflexion diffuse est due aux multiples éflexions se poduisant à l intéieu même du matéiau. Losqu un ayon atteint une paticule, il est absobé en patie et éfléchi suivant les popiétés de la matièe qui compose cette paticule. Nous avons ici epésenté des éflexions spéculaies pues au niveau de la suface et des intefaces diélectique/paticules. En éalité, des phénomènes diffusants se poduisent aussi pou ces intefaces. Ils sont dus à la ugosité des intefaces ou à des phénomènes inteféentiels (losque des paticules sont de taille poche de la longueu d onde). Une modélisation mathématique de ce gene de matéiaux en est donc d autant plus complexe. Un modèle mathématique basé su la physique des matéiaux a été développé pa Cook et Toance en Il est elativement simpliste mais se appoche de la éflexion en milieu hétéogène. Figue 22 : Model de Cook Toance Dans ce modèle, la suface est supposée ête composée d'un ensemble de facettes micoscopiques planes et isotopes, se compotant chacune comme un éflecteu pafait. La géométie et la distibution de ces mico-facettes, ainsi que la diection incidente de la souce lumineuse, déteminent l'intensité et la diection de la éflexion spéculaie. Pou la composante diffuse de la éflectance, le modèle utilise la loi de Lambet : d ρ = π d k d Équation 14 : Teme diffus pou Cook-Toance. Avec : d : la popotion de suface se compotant comme un éflecteu diffus. k : la popotion de lumièe éfléchie pa le éflecteu diffus. d 38

39 Pou la composante spéculaie de la éflectance, Cook-Toance utilise : F π λ ρ s = D. G ( N V )( N L) D est la fonction de distibution de l'oientation des micofacettes. G est le facteu d'atténuation géométique, qui epésente les effets de masque et d'ombage ente les micofacettes elles-mêmes. F λ est le teme de Fesnel. N est le vecteu nomal de la suface. V est la diection d'obsevation. L est la diection d'illumination. Figue 23 : Illustation du facteu d atténuation géométique Fonction de distibution des micofacettes Chaque micofacette se compote comme un éflecteu pu. Ainsi, le modèle ne pend en compte que les micofacettes dont la nomale coespond au vecteu moyen H ente les diections d incidence et de éflexion. Seule une faction D des micofacettes a cette oientation. Plusieus distibutions peuvent ête utilisées : Toance et Spaow ont choisi une distibution gaussienne, Blinn une distibution de Towbidge et Reitz, et Cook-Toance celle utilisée pa Beckmann (équation ci-dessous). tan β 1 2 m D = e 4m 2 cos 4 β 2 β l'angle ente N et H. m la pente moyenne des micofacettes. Quand m est faible, les pentes des micofacettes vaient peu pa appot à la suface. 39

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41 Modélisation 3D 41

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43 Nous avons vu dans le chapite éléments de mathématique qu il est possible de défini des fomes 3D pa leu équation (Sphèe, Toe, Plan ). Il est possible détende cette appoche à d autes volumes en touvant des équations du type f(x,y,z)=0 mais on ne sait pas focement touve une équation pou tout les objets que l on voudait epésente. Pou que l utilisateu puisse défini les fomes qu il souhaite epésente en 3D, il existe un cetain nombe d autes appoches. Repésentation des solides et des fluides Modélisation sufacique (B-Rep) Une pemièe appoche est de epésente les objets pa leu enveloppe. C est l appoche la plus classique. Pou décie cette enveloppe nous utilisons généalement des sufaces élémentaies plus ou moins complexes epésentés pa leus fontièes (Boundaies Repesentation). Ces éléments de suface sont le plus souvent des polygones (tiangles, quads, etc.) ou Caeaux paamétées (Besie, B-Splines, etc.). Polygones Les polygones sont des sufaces planes appelées facettes définis pa des sommets et les connections ente ces sommets (les aêtes). Ils pemettent de défini tous types d'objets en les agençant de façon contiguë. Généalement on utilise des tiangles ou des quadilatèes. Figue 24 Modélisation polygonale: Sphèe Dans ce cas la modélisation d'un objet consiste en la céation d'un ensemble de polygones et au positionnement des sommets dans l'espace. Il est alos possible d'applique une tansfomation géométique globale afin de d'agi su l'ensemble de l'objet ou des tansfomations géométiques locales afin de modifie la position des points individuellement. Le pincipal point négatif de la modélisation pa polygones éside dans le fait que pou une définition pécise de sufaces coubes il faut nécessaiement employe un gand nombe de polygones. Une solution à ce poblème est la décimation du maillage en niveaux de détail (Level Of Detail ou LOD). Los de l'affichage on choisi alos automatiquement le LOD en fonction de la distance de l'objet à la caméa. 43

44 Figue 25 Modélisation polygonale: niveaux de détails Coubes et Caeaux paamétés Une aute façon de epésente des objets pa suface est d'utilise des caeaux paamétés. Ceux-ci sont basés su des coubes polynomiales. Elles ont été intoduits en infomatique gaphique pa P.Bezie puis généalisé pa la suite en b-splines puis en NURBS (B-splines ationnelles non unifomes). L'intéêt pincipal de cette fome de epésentation est de pemette la céation et la modification de sufaces coubes en manipulant de façon intuitive les sommets (nommés point ou poignés de contôle) d'un polygone. Figue 26 Coube de Bezie et NURBS 44

45 Figue 27 Objet modélisé avec des NURBS Sufaces de Subdivision Une aute appoche, paamétique elle aussi, est d utilise les sufaces de subdivision. Les poignées de contôle agissent alos su l enveloppe complète jusqu à un cetain niveau de subdivision. Figue 28 Sphèe pa suface de subdivision La epésentation pa suface de subdivision pemet une modélisation intuitive en mettant à disposition les sommets des polygones et/ou les points de contôle des coubes et volumes. CSG Constuctive Solid Geomety. Ici l idée est de éalise un abe d opéations booléennes dont les feuilles sont des volumes 3D élémentaies tel que sphèe, toe, cube, etc. 45

46 Figue 29 Exemple de CSG Cette appoche, plus légèe que la epésentation pa fontièe, pemet de défini des fomes pécises sans que les impécisions de calcul influent su la visualisation. Mais elles estent limitées pa le nombe de volumes élémentaies disponibles. Figue 30 CSG - Union Difféence Intesection Figue 31 Exemple d'abe CSG 46

47 Modélisation Volumique Il est possible de se epésente les objets, non pas seulement comme des enveloppes, mais comme des constuctions pleines. On définit alos comme élément (bique) de base des cubes de tès petite taille (appelés aussi voxels). Ces éléments sont egoupés, empilés, pou fome un objet. La modélisation se fait alos pa élimination de matièe. La modélisation volumique peut ête essentielle losque l objet est composé de matièe tanslucide non homogène. C est aussi l appoche adoptée los de la modélisation de fluides (liquides, fumés, nuages ) ca, oute l aspect inteaction lumièe/matièe, elle donne la possibilité de développe des modèles physiques su les paticules (masse essot). Figue 32 Deux niveaux de ésolution en modélisation volumétique Figue 33 Exemple de endu volumique 47

48 Modélisation pa factales La modélisation de fomes complexes comme les plantes ou les teains nécessitent un tavail considéable si l on utilise les méthodes classiques. Pa exemple si l on considèe un abe de feuilles elle mêmes constitués de 20 tiangles, il est difficilement imaginable qu un designe puisse place convenablement tiangles. Une des solutions à ce poblème est d utilise les popiétés écusives de ce type de fomes en utilisant des factales ou des algoithmes génétiques. Figue 34 exemple de factale Oganisation de la scène Gaphe de scène Une scène est composée d un ensemble d objets. On peut l oganise dans un abe en définissant des elations ente les objets. Pa exemple positionnant un objet elativement à un aute. De cette façon toute tansfomation appliquée à un objet sea appliquée à ces fils. Cet abe est appelé gaphe de scène, chaque feuille étant un objet de la scène et chaque nœud une tansfomation. Figue 35 Exemple de Gaphe de Scène 48

49 Patitionnement spatial Dans cetains cas il peut ête avantageux d oganise la scène suivant un odonnancement spatial. Cette oganisation pemettant facilement d identifie les objets (ou sufaces) se touvant dans une zone donnée de l espace. Octees Le patitionnement spatial pa Octee englobe la scène dans un cube subdivisé écusivement en 8 cubes fils. Chaque cube peut alos ête défini comme vide, patiellement plein ou plein. Dans le cas d une modélisation volumique les octees pemettent de ne pas avoi une subdivision égulièe de l espace en ce concentant su les fontièes, le gain d espace mémoie est alos impotant. D aute pat, les octee pemettent de touve facilement les elations de voisinage ente les objets. Figue 36 Patitionnement spatial en Octee Figue 37 Exemple d'utilisation des Octee 49

50 BSP Binay Space Patition Ici, un abe binaie est utilisé pou patitionne l espace. La acine de l abe est l espace tout entie. Cet espace est subdivisé écusivement en paies de sous espaces délimités pa un plan. Cette subdivision écusive peut pemette de défini des polygones concaves (définitions des fontièes) mais aussi et sutout de positionne les objets les uns pa appot aux autes facilitant ainsi les calculs de visibilité. Figue 38 Exemple de BSP 50

51 Pise de vue 51

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53 Comme nous l avons vu l œil humain fonctionne comme un appaeil photo (ou plutôt l invese). Le cistallin joue un ôle optique, il concente la lumièe de façon à poduie une image vituelle su la étine. Il a la capacité de se défome pou ajuste la distance focale. L iis ajuste la quantité de lumièe qui pénète dans l œil. Le but de cette section est d étudie comment poduie une image de la scène soit depuis un point de vue donné (comme le feait l oeil ou un appaeil photo) ou suivant d autes modes de pojection. Pojection su le plan image Nous supposons donné une scène vituelle et un plan image positionné dans l espace 3D. Modèle du sténopé Figue 39 modèle sténopé Un sténopé est constitué d une boite noie pecé su une des faces d un tou (de diamète 1mm). La face opposée est constituée d une suface plane tanslucide, su ce suppot se fome une image vituelle. Ce modèle, à la base de la photogaphie est epis pa les algoithmes de endu et d affichage 3D. La tansfomation coespondant au model sténopé est la pojection pespective. Pojections pespectives Une pojection pespective fait convege toutes doites paallèles de l espace ves un point de fuite. Les doites paallèles au plan de pojection n ont donc pas de point de fuite. 53

54 Point de fuite Figue 40Pojection pespective d un cube Pojection paallèle On peut défini deux types de pojections paallèles. La plus utilisée en modélisation est la pojection othogonale. Elle set pincipalement à défini tois vues (face, coté, dessus) de la scène en cou de modélisation en pojetant celle-ci su des plans othogonaux aux axes du epèe. Figue 41 3 vues en pojection paallèle La pojection paallèle oblique pemet de pojete la scène su un plan en suivant une diection de pojection qui n est pas la nomale au plan. 54

55 Visualisation en mode filaie Une fois la pojection éalisée su le plan image il est nécessaie de la discétise puisque l on dispose pou l affichage d écans bitmap, c est a die une matice de pixel. Supposons donc que nous disposions des coodonnées 2D des sommets de tiangles (ésultant de la pojection de la scène). Un mode de visualisation possible est tout simplement de tace les contous des tiangles (donc des segments). Figue 42 tacé de segments Los du tacé, les points du segment passant pa le cente d un pixel (en noi su le schéma) ne pose évidement pas de poblèmes. Pa contes il faut pouvoi touve une appoximation pou les autes points (en gisé). Pou à tace un segment continu d épaisseu 1 pixel nous devons attibue un, et un seul, pixel pa colonnes si la pente du segment est compise ente -1 et 1. Sinon, le cas est symétique, et nous attibueons donc un pixel pa ligne. Plaçons nous dans le cas ou p, la pente du segment est compise ente -1 et 1. Alos on peut détemine l équation de la doite potant le segment d extémités A=(xa,ya) et B=(xb,yb) tel que y=px+c p= (yb - ya) / (xb - xa) = y/ x et c = ya pxa On incémente x de xa à xb, pou chaque x on calcul y. On en déduit le pixel a maque : x,entie le plus poche de y. Cette méthode n est pas tès efficace ca on effectue un gand nombe de calculs flottants. Dans ce cas un algoithme incémental est bien plus adapté. Il suffit de calcule la pente p, alos pou tout incément de 1 en x, y est incémenté de p. Besenham (1965) popose une amélioation de l algoithme incémental de façon à n utilise que des enties. Plaçons nous dans le pemie octant (p compis ente 0 et 1) sachant qu il est 55

56 tivial d étende aux autes octants. L idée est de mesue la distance d1 et d2 ente le segment théoique est les pixels (x+1, y ) et (x+1, y+1) : d1 = [ p(x+1) + c ] y d2= [ y + 1] - [ p(x+1) + c ] Si d1-d2 < 0 alos le point suivant à affiche est (x+1, y ), sinon point suivant à affiche est (x+1, y +1). d1-d2 = 2( y/ x )(x+1) - 2y c Pou n utilise que des enties on peut défini le paamète de décision d : d= x(d1-d2) = 2 y(x+1) - 2y x - x + 2c x ( x étant positif d à la même signe que d1-d2.) On peut alos aussi détemine d de façon incémental tel que : Si d < 0 alos le pixel suivant est (x+1,y) donc d# (le pochain paamète de décision) est : 2 y(x+2) - 2y x - x + 2c x = d + 2 y De même si d 0, d# = 2 y(x+2) 2(y + 1) x - x + 2c x = d + 2( y- x) Elimination des paties cachées Pou amélioe la lisibilité de l image poduite il est nécessaie de pouvoi élimine les paties cachées de la scène.?? Algoithme du peinte Figue 43 Intepétation d image filaie ambigu Tie les polygones en fonction de leu plus gande coodonnée en Z (z est la distance à la caméa suivant la diection de visée) Si deux polygones ont des étendues en Z qui se ecouvent : On teste : 56

57 Si les boites englobantes de leu pojection sont sépaés Si l un est complètement deièe l aute Si leu pojection sont sépaés Si ien ne mache, on coupe l un des polygones pa le plan de l aute Puis on affiche les polygones dans l ode, les un su les autes. + Intuitif + Coût mémoie : affichage O(n), ti O(nlogn) - Affiche toute la scène Z buffe Initialise un tableau de Z (de la taille de l image) à ZMAX Pou chaque polygone : Pojete le polygone su le plan Image Pou chaque pixel dans la pojection du polygone Calcule la valeu de Zp Si Zp est inféieue à la valeu coespondante dans le buffe modifie la valeu du buffe avec Zp mette à jou la couleu à l écan + facile à implémente + apide - coût mémoie - Aliasing/atefacts Scan Line On suppose que les polygones ne s entecoupent pas, si ce n est pas le cas on subdivise. Ti des aêtes des polygones pojetés pa y min. Puis pou chaque ligne : On odonne suivant x les intesections ente la scanline et les aêtes des polygones pojetés. On suit la scanline : o Si on enconte une aête, le polygone est in o Si on enconte l aête de sotie du polygone, il cesse d ête in Tant qu il n y qu un seul polygone in : pas de poblèmes o Si deux polygones sont in simultanément : o Quand on passe l aête de début du deuxième polygone, on cheche lequel est devant Figue 44 scanline 57

58 Optimisation : élimination des faces non visibles Back face Culing Résolution dans l espace Objet. Pou évite les calculs inutiles on va cheche à élimine les polygones qui ne sont pas tounés ves la caméa : Si le point de vue n est pas devant le polygone on n affiche pas le polygone Poduit Scalaie : (Sommet-Point de Vue) * Nomale >0 on gade <0 on élimine +gain 50% du temps de calcul en moyenne +Faible coût Cone de vision Une technique d optimisation couante consiste à élimine les polygones qui ont tous leus sommets en dehos du cône de vision. Shading «lissage» Figue 45 Illustation du lissage plat Losque l on affiche un polygone, avec l algoithme du Z buffe pa exemple, avec un ombage plat on obtient ce gene de ésultat. Il faut augmente la téssélation pou voi dispaaîte les facettes 58

59 lissage de Gouaud Figue 46 lissage de Gouaud La méthode de Gouaud utilise l intensité au sommet des polygones (il faut donc connaîte la diection des nomales), puis effectue une intepolation linéaie suivant les aêtes des polygones. Et enfin un 2eme intepolation linéaie pou défini l intensité à l intéieu du polygone. lissage de Phong Figue 47 calcul de l intepolation linéaie pou le lissage de Gouaud Le lissage de Phong [1975] consiste à détemine la nomale en un point d une facette polygonale pa intepolation des nomales aux sommets de cette facette. 59

60 Figue 48 Intepolation de nomale : lissage de Phong L intéêt de cette appoche pa appot au lissage de Gouaud éside pincipalement dans sa capacité à taite les éflexions spéculaies. Gouaud ne pemet pas, en effet, de pende en compte les éflexions spéculaies losque celles-ci sont localisées au cente d une facette. Figue 49 (a),(b) modèle d illumination de Phong et ombage de Gouaud : deux vues difféentes ; (c) modèle d illumination de Phong et ombage de Phong. 60

61 Simulation d éclaiage 61

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63 Equation du endu Pou mette en œuve une simulations nous devons compende et fomalise le tanspot de la lumièe dans une scène (un envionnement). Pou cela, on se base su l équation fondamentale de éflectance. dω n dω i x' θ θ i n x Figue 50 : géométie de la éflexion / tansmission L équation de éflectance donne la distibution de la lumièe éfléchie en un point, en fonction de la BRDF en ce point et de la distibution de la lumièe incidente. L ( x, ω ) = ρ ( x, ω, ω ) L ( x, ω ) Ωi bd i i i cosθ dω i i Équation 15 : équation de éflectance Le calcul de la distibution de la lumièe incidente coespond à la echeche d un modèle d éclaiement. J.T. Kajiya a poposé en 1986 une fomulation généale de ce modèle : L L e bd I G( x, x ) dxdx ( x, ω ) = L ( x, ω ) + ρ ( x, ω, ω ). L ( x, ω ). ( x ) e S Équation 16 : équation généale du endu, est la adiance pope émise au point x dans la diection ω G(x,x ) est appelé facteu de fome difféentiel. C est un teme puement géométique qui epésente l atténuation du flux en fonction de l oientation mutuelle des nomales aux points x et x. ω. si x visible depuis x cos θ i cos θ G ( x, x ) = avec d la distance sépaant les points x et x 2 d sinon 63

64 G ( x, x ) = 0 Bien que l équation généale de endu ne penne pas en compte la diffaction et la polaité de la lumièe, on peut en déduie la plupat des modèles d illumination couants. Ces modèles passent généalement pa la discétisation et/ou simplification de l équation ca l intégale ne peut ête ésolue diectement. Il faut note toutefois la méthode de Monte-Calo [Sill94] qui vise à appoche cette intégale pa un échantillonnage statistique. Algoithmes de simulation d éclaiage Lance de ayons Plus qu un modèle, cet algoithme, né en 1968, n est éellement exploité pou synthétise l éclaiage d une scène qu à pati de Dans son aticle, Whitted pésente plusieus images avec des effets optiques alos inédits. Actuellement le endu pa lance de ayons est utilisé dans la plupat des logiciels de endu pou poduie des images éalistes de qualité. Bien que n étant pas adapté à une utilisation inteactive, la puissance sans cesse coissante des odinateus pemet d obteni des ésultats dans des temps aisonnables. Toutefois, nous allons voi qu il souffe de cetaines lacunes édhibitoies pou atteinde un photo-éalisme pafait. pou chaque pixel de l écan faie { défini le ayon pimaie œil pixel ; pou chaque objet faie { teste les intesections ; pende la plus poche ; } elance des ayons ves les souces lumineuses ; lance un ayon dans la diection de éflexion ; lance un ayon dans la diection de éfaction ; calcule l éclaiement du point d intesection ; affecte la couleu du pixel ; } Figue 51 : Algoithme du lance de ayons Le pincipe consiste à lance des ayons qui patent de l œil et passent au taves d une gille de pixels fomant l image vituelle. La couleu d un pixel est calculée à pati du pemie objet que enconte le ayon dit pimaie. De cette intesection sont lancés des ayons secondaies ves les souces lumineuses et éventuellement dans les diections de éflexion et de éfaction. Ainsi de suite jusqu'à obteni la couleu du pixel pa combinaison des énegies eçues. On voit appaaîte un teme ambiant sans plus de justification d un point de vue physique. 64