TD R1 : Révisions d électrocinétique

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1 évisions d électrocinétique TD : évisions d électrocinétique Questions de cours Qu est ce que l AQS, dans quel cas est-elle valable? Donner l expression de l énergie emmagasinée par une bobine, par un condensateur Quelle grandeur est continue aux bornes d une bobine, d un condensateur? Donner les formules du diviseur de potentiel et du diviseur de courant Quelle est le temps caractéristique d un circuit C, d un circuit L? Donner l expression canonique de l équation différentielle régissant u c dans un LC Quel sont les 3 régimes possibles de réponse à un échelon de tension par un LC? Quelle grandeur détermine le régime? Qu est ce que la valeur efficace? Donner l impédance et l admittance des dipôles usuels Donner la formule du diviseur de potentiel en SF Définir la fonction de transfert, le gain et le déphasage d un circuit Dessiner schématiquement le diagramme de Bode d un passe-bas, passe-haut et passebande Quelle est l influence du facteur de qualité sur un filtre Dipoles et circuits du premier ordre. Loi des noeuds en Terme de potentiel En partant de la loi des nœuds et de la loi d Ohm, exprimer le potentiel V D du noeud D en fonction des potentiels V A, V B, V C des nœuds respectifs A, B et C. 2. Point de fonctionnement d un circuit à diode Zener Un générateur idéal de tension de f.é.m. E > 0 et branché en série avec une résistance et une diode Zener D dont la caractéristique courant tension I(U) est donnée dans la figure ci-dessous (à droite). (a) Déterminer le point de fonctionnement du montage, c est-à-dire l intensité du courant et la tension aux bornes de la diode. (b) Même question si on retourne la diode.

2 3. Charge d un condensateur On considère le circuit ci-contre. À t = 0, on met le circuit sous tension par l intermédiaire du générateur antérieurement éteint. (a) Déterminer i(0 + ) et i( ) par des considérations simples. (b) Déterminer i(t). (c) Calculer la constante de temps τ pour C = 0 µf, = 6 kω, r = 00 Ω et = 4 kω. La comparer à la valeur qu elle aurait si était infinie et r nulle. Oscillateur amorti. Décrément logarithmique On étudie la réponse u(t) à un échelon de tension e(t) dans le circuit ci-contre. (a) Déterminer la valeur u( ) vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est E, en dessinant un schéma équivalent en régime permanent. (b) Démontrer que d 2 u(t) dt 2 + 2λ du dt + ω2 0u(t) = ω 2 0u( ). On exprimera λ et ω 0 en fonction de L,, 2 et C. (c) Définir et tracer un échelon de tension. Expliquer comment on le réalise expérimentalement. (d) On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) suivante. i. Déterminer la valeur numérique de la pseudo-période T. ii. Déterminer la valeur numérique du décrément logarithmique défini par δ = ( ) u(t) u( ) n ln. u(t + nt ) u( ) (e) Exprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω 0, u( ) et t. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d intégration. (f) Déterminer la relation entre δ, λ et T. En déduire la valeur numérique de λ. elier λ au facteur de qualité Q. (g) Sachant que = 200 Ω, 2 = 5 kω, L = 00 mh, déterminer la valeur numérique de C.

3 2. Oscillateur à deux ressorts Un mobile supposé ponctuel de masse m est astreint à glisser le long d une tige horizontale de direction (Ox). Ce mobile est relié par deux ressorts linéaires à deux points fixes A et B. Les deux ressorts sont identiques : même constante de raideur k et même longueur au repos l 0. Dans la position d équilibre du système, les longueurs des ressorts sont identiques et valent l eq, et le mobile se trouve à l origine O de l axe (Ox). On se place dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. À t = 0, le mobile est abandonné sans vitesse initiale de la position x 0 0. (a) Dans un premier temps, on néglige tout frottement. i. Établir l équation différentielle dont x(t) est solution. ii. Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on précisera la pulsation ω 0 et la période T 0 en fonction de k et m. iii. Donner l expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales. (b) En fait, il existe des frottements entre le mobile et la tige. On modélise ce frottement visqueux linéaire par une force F = µ v, où µ est une constante positive et v la vitesse du mobile. i. Établir l équation différentielle dont x(t) est la solution. On posera h = µ m. ii. Montrer que lorsque µ < 2 3/2 km, le mouvement est oscillatoire amorti. Donner l expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales, et exprimer la pseudo-période en fonction de ω 0 et h. (c) Tracer l allure des deux trajectoires de phase suivies par cet oscillateur, dans le plan de phase défini par (x, ẋ), en l absence de frottement, puis en présence de frottement. égime sinusoïdal forcé. Dipôles équivalents On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω et on considère les deux dipôles ci-dessous. (a) Quelles doivent être les expressions de L et (en fonction de, L et ω) pour que les deux dipôles soient équivalents? (b) Pour quelle pulsation a-t-on L = L? 2. Equilibre d un pont Soit le circuit de la figure suivante, connecté à une source libre de tension sinusoïdale : V C V D = e = E m cos ωt.

4 Pour déterminer les caractéristiques d une bobine réelle, modélisée par l association série d une bobine idéale d inductance L et d un résistor de résistance r, on place celle-ci dans une structure en pont, alimentée par une tension sinusoïdale. (a) Exprimer la tension complexe u AB qui s applique aux bornes du voltmètre. (b) La capacité C du condensateur et la résistance sont ajustables. On choisit leurs valeurs de manière à annuler la tension lue par le voltmètre (on dit alors que le pont est équilibré). Déterminer l expression de l inductance L et de la résistance r en fonction de, C, et Oscillations forcées d un véhicule sur une route ondulée Un véhicule automobile est sommairement modélisé par une masse m placée en M et reposant sur une roue de centre O, par l intermédiaire d un ressort de raideur k mis en parallèle sur un amortisseur de coefficient de frottement h. En toutes circonstances, l axe OM reste vertical. On se propose d examiner le comportement du véhicule lorsqu il a la vitesse v sur une route dont le profil impose au centre O de la roue une élongation z O (t) = a cos ( 2π x λ) par rapport à sa position d équilibre. On repère le mouvement de la masse m par l élongation z(t) par rapport à sa position d équilibre quand le véhicule est au repos. (a) Établir l équation différentielle en z(t) du mouvement de la masse, lorsque le véhicule se déplace à vitesse constante v. (b) Déterminer l amplitude du mouvement d oscillation vertical du véhicule en régime permanent. À quelle allure faut-il rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible?

5 Filtres. Filtre à retard de phase On considère le filtre ci-contre. La tension d entrée est sinusoïdale, de pulsation ω. On posera α = et x = Cω. (a) Faire une analyse qualitative de ce filtre pour les hautes et basses fréquences. (b) Déterminer sa fonction de transfert H = u s u e. (c) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre. 2. Filtre de Hartley On réalise le montage décrit sur la figure suivante : jω (a) Établir sa fonction de transfert H(jω) sous la forme H(jω) = H ω j ω. ω2 Qω 0 ω0 2 On exprimera H 0, ω 0 et Q en fonction de, L, et C. (b) Dans le cas où = 0, 0 kω, L =, 0 mh et C = 00, 0 nf, le diagramme de Bode en amplitude a l allure présentée sur la figure suivante : Identifier les pentes des asymptotes, les valeurs de α et β. En déduire l allure du diagramme de Bode en phase. (c) Le montage peut-il servir d intégrateur, ou de dérivateur? Si oui, dans quelle bande de fréquence? (d) On étudie la sortie s (t) associée à l entrée e (t) = E 0 + E cos(ω t), où ω = 2LC. Comment réaliser expérimentalement ce signal en TP? (e) Calculer l expression littérale de la sortie s (t), observée sur l oscilloscope en régime permanent.

6 (f) On étudie maintenant la sortie s 2 (t) associée au signal créneau e 2 (t), de période T 2 = 6π 2LC, d amplitude E 2,0 = V, représenté sur la figure suivante : On donne sa décomposition en série de Fourier : e 2 (t) = 4E 2,0 π [ sin(ω 2 t) + sin(3ω 2t) + sin(5ω 2t) + + sin[(2n + )ω ] 2t] n + Calculer la valeur efficace E 2,eff de e 2 (t). (g) Tracer l allure du spectre de e 2 (t). Préciser numériquement les pulsations des 3 premières harmoniques. (h) Calculer numériquement les amplitudes des 3 premières harmoniques du signal de sortie s 2. Justifier alors le nom de tripleur de fréquence donné au montage.

7 Éléments de réponse Dipoles et circuits du premier ordre V A + V B + V C. V D = ( 3 2. U = U, I = E U ) si E > U et (U = E, I = I 0 ) si E < U. E 3. i(t) = e t τ ; τ = 4 ms r( + ) + Oscillateur amorti 2. (a) u( ) = E. + ( 2 (b) d2 u dt C + ) du L dt LC u = ( ) e. 2 LC + 2 (c) T = 620 µs ; δ =, 4 = λt ; λ = 2, s ; C = 2 (2λ = 00 nf. L ) 2. (a) ẍ + 2k 2k m m x = 0 ; ω 0 = m ; T 0 = 2π 2k ; x(t) = x 0 cos ω 0 t. (b) ẍ + hẋ + ω0 2x = 0 ; régime pseudo-périodique si h < 2ω 0 ; ( x(t) = x 0 exp ht ) [ cos Ωt + h ] sin Ωt. 2 2Ω égime sinosoïdal forcé. = 2 + L 2 ω 2 et L = 2 + L 2 ω 2 Lω 2 ; ω = ( L r + jlω 2. u AB = r jlω ( + jcω) ) e. ( + jcω) + r = 2 L = 2 C. 3. z + 2αż + ω0 2z = a(ω2 0 cos ωt 2αω sin ωt). Il faut rouler à grande vitesse pour que les amplitudes des oscillations soient faibles. Filtres. H = + jx + j( + α)x j L 2. H(jω) = ω + 2j L. ω + 2LC(jω)2 Comportement intégrateur à THF et dérivateur à TBF. L harmonique de rang 3 domine les autres dans le signal de sortie (amplitude bien supérieure aux autres).