LA SIMULATION MONTE CARLO. de la propagation des neutrons appliquée à la criticité

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1 LA SIMULATION MONTE CARLO de la propagation des neutrons appliquée à la criticité Joachim MISS, Yann RICHET Laboratoire d'études, de recherche, de développement et de qualification des codes Les études de sûreté, relatives à la détermination du risque de criticité (multiplication incontrôlée du nombre de neutrons) dans un système contenant des matières fissiles, nécessitent l utilisation de codes de calcul (programmes informatiques) qui permettent de simuler les neutrons dans des configurations complexes à trois dimensions. Cet article a pour objet de présenter les spécificités de la méthode de simulation dite de Monte Carlo, utilisée dans le cadre général de la propagation des particules neutres (neutrons et photons), et plus particulièrement des neutrons pour les calculs de criticité réalisés avec le code MORET, développé à l IRSN. Les matières fissiles, telles que les isotopes utilisés dans le cycle du combustible nucléaire (uranium, plutonium), peuvent être à l origine d une réaction neutronique en chaîne. Tous les systèmes (milieux de l industrie, de la recherche ) qui utilisent ces matières présentent donc un risque de criticité, qui doit être évalué et maîtrisé. La principale grandeur physique permettant de quantifier ce risque est le coefficient de multiplication effectif des neutrons (k eff ), défini comme le rapport du nombre de neutrons produits sur le nombre de neutrons perdus (par fuite et absorption). Ce coefficient caractérise donc «l état de criticité» du milieu fissile considéré. Dans des configurations, souvent complexes, le k eff est généralement estimé au moyen d un ensemble d outils informatiques (codes de calcul), permettant de modéliser les matériaux et leurs géométries ainsi que les lois physiques régissant le comportement des particules. Plus généralement, il existe trois grandes familles de problèmes traités couramment à l aide de techniques de simulation probabilistes, pour étudier les systèmes faisant intervenir des interactions rayonnements-matière : la criticité, la neutronique des réacteurs et la radioprotection. Bien que ces familles utilisent une même méthode de simulation probabiliste appelée «méthode de Monte Carlo», les algorithmes mathématiques de poursuite des particules diffèrent. Le calcul de radioprotection ou de dosimétrie est un calcul dit «à sources fixes» (la distribution spatiale des particules émises est connue et fixée dès le début de la simulation : fissions, sources radioactives de rayonnements α, β, γ, X ou neutronique ). Le résultat recherché est, par exemple, le débit de dose dans un détecteur placé à une certaine distance d une source, dont les caractéristiques sont connues. Par contre, le calcul de criticité ou de neutronique des réacteurs est un calcul dit «aux valeurs propres», pour lequel la position réelle des sources en début de simulation n est pas connue, car c est elle qui détermine la solution du problème (i.e. la valeur du k eff recherché). La recherche de grandeurs en criticité ne peut donc pas s assimiler à la recherche de ces mêmes grandeurs réalisées dans un calcul de radioprotection, car les algorithmes de simulation ne sont pas les mêmes : l idée générale d un calcul Monte Carlo de criticité est de converger par itérations vers la répartition «réelle» des neutrons dans la géométrie. Partant d une population de neutrons position- 158 Rapport scientifique et technique IRSN

2 La simulation, les outils de calcul et la métrologie 4. 1 Sigma (E) (in barns) ,001 0,01 0, E Figure 1 Section efficace totale de l U 238 représentée ponctuellement ou par 172 groupes d énergies. née par l utilisateur dans la géométrie, chaque nouvelle génération est constituée de neutrons issus des fissions induites par les neutrons de la génération précédente. Le k eff est ainsi recalculé à la fin de chaque génération. L IRSN dispose d un code Monte Carlo (MORET) de simulation du transport des neutrons, dédié aux études de criticité. Ce code à vocation industrielle permet de calculer le facteur de multiplication effectif de systèmes complexes à trois dimensions, les flux et taux de réactions des neutrons dans les différents volumes et les fuites de neutrons hors du système. C est un outil précieux d étude du comportement des neutrons dans les configurations contenant des matières fissiles. La recherche et les développements autour de ce code permettent d étudier et de maîtriser les spécificités de la simulation Monte Carlo des neutrons en criticité, dont il est question dans cet article. Afin d aborder ces particularités en toute connaissance de cause, il est utile de rappeler quelques notions sur les interactions particulesmatière et de présenter les principales caractéristiques de la méthode Monte Carlo. La propagation des particules neutres est propice à l utilisation de codes de simulation Les modes d interaction des neutrons avec la matière sont de deux types : soit par réactions nucléaires (fission, (n,γ), (n,alpha)...), soit par chocs. Les réactions par chocs «élastiques» ralentissent le neutron, qui cède une partie de son énergie cinétique au noyau qu il a percuté. Plus le noyau percuté est léger, plus le neutron est ralenti (effet boule de billard). Cette propriété est intéressante car elle permet aux neutrons de réduire leur vitesse et d arriver ainsi dans une gamme d énergies propices à la fission, qui fournira les nouveaux neutrons nécessaires à l entretien d une réaction en chaîne. Les sciences qui interviennent dans l étude des systèmes contenant de la matière fissile sont nombreuses. Pour la neutronique et la criticité, ces sciences étudient en particulier le comportement de la population des neutrons à l intérieur des différents milieux physiques contenant des matières fissiles (cœur de réacteur, emballage de transport ). Une particularité fort intéressante pour les physiciens est qu ils disposent de l équation de référence régissant l évolution de la population neutronique : l équation de Boltzmann. Hormis quelques cas d école, la résolution de l équation de Boltzmann est extrêmement complexe. Elle doit donc généralement être faite numériquement à l aide de logiciels informatiques appelés codes de calcul. Les données de base nécessaires à cette résolution sont les données nucléaires, grandeurs décrivant les interactions des neutrons avec la matière. Ces données sont principalement des sections efficaces. Une section efficace (notée habituellement σ) est une grandeur physique donnant accès à la probabilité d interaction d une particule avec la matière pour un type de réaction donné (absorption, fission...). Ces valeurs de sections efficaces et les autres données nécessaires à la simulation, comme par exemple les lois d anisotropie régissant la direction des particules après un choc, sont disponibles dans les banques de données internationales dans un format standardisé (ENDF) (figure 1). IRSN - Rapport scientifique et technique

3 S = R 2 / 4 Figure 2 John von Neumann devant un ordinateur. Figure 3 Détermination du nombre π par la méthode de Monte Carlo. L ensemble de ces données de base (déterminées expérimentalement ou représentées par des lois mathématiques ou semi-empiriques) est regroupé dans ce qu on appelle une évaluation nucléaire. Cette évaluation nucléaire ne pouvant pas être utilisée directement pour les calculs, une étape intermédiaire de traitement des données nucléaires est nécessaire pour créer la bibliothèque de données lue par les différents codes de calcul. Aussi, tout calcul neutronique peut être décrit, de manière très simplifiée, comme un processus faisant appel à un ensemble indissociable : code de calcul et bibliothèques de données associées. On distingue deux types de résolution de l équation du transport, différenciant ainsi deux types de codes : les codes déterministes qui résolvent l équation du transport par des méthodes de discrétisation ; les codes probabilistes qui la résolvent par des méthodes statistiques, telle la méthode de Monte Carlo. Cette deuxième approche de résolution de l équation du transport est totalement différente de celle faite dans les codes déterministes. En effet, l équation de Boltzmann n est pas discrétisée, mais elle est simulée à l aide de particules. Dans cette simulation, l objectif consiste à respecter totalement la réalité physique, tant pour ce qui concerne la géométrie du problème que les interactions nucléaires. Les lois de probabilité auxquelles les particules obéissent (longueurs des parcours, interactions avec la matière) sont déduites des données nucléaires contenues dans les évaluations citées plus haut. La méthode de Monte Carlo On appelle méthode de Monte Carlo [Bielajew, 2001] toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c est-à-dire des techniques probabilistes. Le véritable développement des méthodes de Monte Carlo s est effectué, sous l impulsion de John von Neumann (figure 2) et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Le nom de ces méthodes fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte Carlo. En effet, il aurait été donné par Nicholas Metropolis, inspiré de l intérêt de Stanislas Ulam pour le poker. Les domaines d application de ces méthodes sont divers, tels que la physique des réacteurs nucléaires, la radiothérapie, les trafics automobiles ou de télécommunications, la météo, etc. Le principe de la méthode peut être illustré par le calcul approché de la valeur de π (pi) Soit un point M du carré [0,1] [0,1] dont on tire aléatoirement et uniformément les coordonnées (x,y). On compte le nombre de points vérifiant la relation x² + y² < 1, c est-à-dire ceux qui appartiennent au quart de disque de rayon 1 (figure 3). D après la loi des grands nombres, le rapport du nombre de points dans le quart de disque sur le nombre total de tirages tend vers la surface du quart de disque égale à π/4. Pour la criticité ou la neutronique, il est facilement démontrable que l ensemble des événements qui régissent le flux des neutrons peut être décomposé en une série de Neumann, aboutissant à un processus itératif de résolution de l équation de Boltzmann. Soit Φ (r, E, Ω) le flux de particules au point (r, E, Ω) de l espace des phases (r : position géométrique ; E : énergie de la particule ; Ω : direction de déplacement). Si T est l opérateur de transport, C celui de collision, S les sources initiales de neutrons et n l indice de la génération des neutrons, on peut écrire : Φ 0 = TS (flux à l issue du transport des sources initiales) Φ n = TCΦ n-1 Φ n = (TC) n TS L utilisation de la méthode de Monte Carlo appliquée à la simulation du transport des particules consiste à suivre individuellement les particules depuis leur naissance (les sources) jusqu à leur disparition (par absorption ou fuite du système étudié). On réalise alors statis- 160 Rapport scientifique et technique IRSN

4 La simulation, les outils de calcul et la métrologie 4. 1 E 2 MeV N 2 Fuites NAISSANCE : N 1 Fissions rapides Énergie n/fission ~ 2,5 ~ k N 2 N 1 Abs. non fissile Absorptions résonnantes Abs. dans structures Ralentissement 1 MeV FISSION 200 MeV/fission Fuites Figure 4 Étapes de la simulation de la vie des neutrons dans un calcul Monte Carlo de criticité. tiquement une simulation numérique proche de la réalité : lorsqu une particule traverse un matériau, elle interagit par collisions avec les atomes de ce milieu. Cette simulation est effectuée par «paquets» (appelés batchs) significatifs de neutrons (quelques milliers à quelques centaines de milliers), autorisant le calcul de moyennes pour obtenir les grandeurs d intérêt tel le k eff en criticité (figure 4). Fonction de répartition F(l) 1 La simulation requiert donc la connaissance des probabilités associées aux interactions, afin d échantillonner les événements probables qui modifieront le parcours des particules (diffusion élastique ou inélastique, absorption stérile ou fertile...) : c est le domaine des «données nucléaires de base». L exemple le plus commun pour présenter comment sont utilisées les sections efficaces dans une simulation Monte Carlo est celui de l estimation de la distance parcourue entre deux chocs successifs. Pour une particule neutre, la probabilité de parcourir une distance l sans choc et d interagir avec le noyau entre l et l+dl est : p(l) dl = Σ t exp( Σ t l) dl ou Σ t est la section efficace totale macroscopique du milieu dans lequel se propage la particule. En intégrant cette probabilité entre 0 et l, il est alors possible de créer une fonction de répartition F : F(l) = 1 exp( Σ t l) 0 l Parcours Figure 5 Calcul du parcours probable par inversion de la fonction de répartition. Le parcours probable l est alors directement donné en tirant un nombre ξ selon une loi uniforme entre 0 et 1 et en inversant F : l = F -1 (ξ) = Σ -1 t ln(1 - ξ) (figure 5). Un résultat issu d un calcul Monte Carlo consiste en une moyenne et une incertitude statistique associée. L étude de la validité de cette incertitude, ainsi que l estimation du poids de la propagation des incertitudes (des données nucléaires à la simulation) sont des points également importants à maîtriser pour garantir la qualité des conclusions établies sur la base des résultats obtenus avec ces codes de transport. IRSN - Rapport scientifique et technique

5 Figure 6 Transport de matières fissiles : TN : configuration réelle et modélisation simplifiée dans MORET. La convergence des sources de fission en criticité Pour les études de criticité, la première partie de la simulation Monte Carlo consiste à faire converger la distribution des neutrons dans l espace des phases. Celle-ci est en effet inconnue a priori de l utilisateur. Pour ce faire, les neutrons d une génération sont suivis jusqu à disparition et leurs descendants par fission sont stockés. Les neutrons de la génération suivante sont échantillonnés parmi ceux qui ont été stockés, ils sont à nouveau suivis et leurs descendants à leur tour stockés. On parle alors de simulation Monte Carlo par chaîne de Markov. La phase de convergence s achève quand cette distribution est devenue stationnaire d une génération à la suivante. Des critères plus ou moins robustes de détection de la stationnarité de cette simulation sont développés et mis en œuvre au sein des codes de simulation de criticité. Cette façon de procéder induit une certaine corrélation statistique d une génération à la suivante, qui peut générer des biais sur les estimateurs statistiques produits par le logiciel de simulation. Les calculs de criticité ont pour but d évaluer la capacité d un système contenant des matières fissiles à multiplier les neutrons et à entretenir, par la même occasion, une réaction en chaîne. Le k eff est donc la valeur que l on cherche à déterminer et est étroitement lié à la distribution des neutrons dans la configuration étudiée. Ainsi, si l on s intéresse à l évolution d une population de neutrons, partant d un positionnement initial quelconque, sa répartition finit en général par converger vers une distribution spatiale, stable d une étape à l autre. Cependant, dans les géométries présentant des unités fissiles importantes pour la réactivité du système et faiblement couplées aux autres volumes fissiles (ex. : prise en compte de profils d irradiation des assemblages, modélisations d installations de très grandes dimensions telles que des cœurs de réacteurs ), cette corrélation entre les étapes, associée à d autres paramètres tels qu un nombre insuffisant de neutrons sources ou le placement inadéquat de ces derniers à la première génération, peut aboutir à des résultats erronés sur la valeur du k eff. Ce problème est bien connu des utilisateurs des codes Monte Carlo de criticité et fait l objet d études de R&D depuis de nombreuses années, notamment dans le cadre de groupes de travail internationaux pilotés par l AEN (Agence pour l énergie nucléaire) de l OCDE (Organisation de coopération et de développement économiques) : voir le site Les développeurs du code Monte Carlo MORET de l IRSN (présenté plus en détails au paragraphe suivant) participent activement à ces actions de recherche et développement [Blomquist et al.], notamment par l étude et la comparaison de plusieurs modèles d échantillonnage des neutrons, dont le but est de pallier ces problèmes de convergence et d améliorer par la même occasion la rapidité d exécution des calculs, ainsi que leur robustesse. Le code Monte Carlo MORET, un outil dédié aux études de criticité Le code MORET est un code Monte Carlo qui a été spécialement conçu pour répondre aux besoins des études de criticité et a servi à la majorité des études concernant les installations et usines du cycle du combustible nucléaire et le transport de matières fissiles en France. La simulation neutronique dans le code a été optimisée pour satisfaire au compromis coût-précision et en faire ainsi un code d étude de projet. Dans cet objectif, les calculs de criticité s effectuent la plupart du temps en deux étapes. La première étape consiste à résoudre le plus précisément possible avec un code déterministe l équation de Boltzmann, non pas sur la totalité de la configuration étudiée mais sur une géométrie réduite limitée à 1 ou 2 dimensions, par exemple un crayon combustible ou un assemblage de crayons, afin de déterminer les grandeurs physiques dans des zones présentant une certaine homogénéité neutronique. La seconde étape consiste à traiter en trois dimensions, avec le code Monte Carlo, l ensemble de la configuration, dans une géométrie partiellement homogénéisée spatialement grâce à la première étape. Ainsi, le code MORET a été couplé à des codes déterministes traitant les hétérogénéités locales, simplifiant les modélisations dans la simulation Monte Carlo et conduisant ainsi à des temps de calcul réduits, qui permettent à l ingénieur en charge d études ou d expertises de criticité de réaliser rapidement un grand nombre de calculs de vérification (figure 6). Les principaux résultats obtenus avec le code MORET sont : le k eff résultant de la poursuite neutronique au cours d une génération donnée ; le k eff moyen et son écart-type ; des indicateurs sur la validité de l hypothèse d une loi normale pour la distribution des k eff à chaque génération ; 162 Rapport scientifique et technique IRSN

6 La simulation, les outils de calcul et la métrologie 4. 1 le bilan par volume permettant d avoir accès aux taux de réactions (absorption, fission ) ; le nombre de neutrons sources dans chacun des volumes fissiles à différentes générations du calcul ; divers paramètres neutroniques (k, groupe moyen de fission ). Afin de prendre en considération les évolutions dans la réalisation des études de criticité (modélisation de plus en plus précise, prise en compte de l irradiation du combustible dans le cœur d un réacteur nucléaire (couramment nommé burnup [Raby et al., 2005]), facilité de reprise de calculs réalisés par d autres ingénieurs ), des fonctionnalités spécifiques ont été mises en place dans le code MORET. Une des fonctionnalités particulièrement intéressante du code est la capacité de pouvoir créer des géométries dites «modulaires», comprenant des réseaux multiples et des réseaux de réseaux : la géométrie est alors composée de modules ou «briques» modélisant différentes parties du système étudié. Ces «briques», autonomes du point de vue de la description géométrique, peuvent être facilement réutilisables d un fichier d entrées à un autre. Ces nouveaux développements rendent plus facile la modélisation de configurations de plus en plus complexes, présentant un nombre de plus en plus grand de volumes. De plus, la modularité permet d envisager la création de bases de données de géométries types qui, une fois vérifiées, peuvent être réutilisées facilement et de façon sûre d une configuration à une autre par différents ingénieurs. Cette option améliore la qualité de la réalisation d une étude. En effet, par exemple, un conteneur de matière fissile ayant à traverser plusieurs installations peut alors n être modélisé et vérifié qu une seule fois, puis cette modélisation peut être utilisée par les différents ingénieurs en charge des différentes installations sans avoir à la recréer. Le risque potentiel d erreur ou d incohérence à chaque nouvelle description est alors supprimé. Les autres points sur lesquels une attention particulière est portée, pour faire encore plus du code MORET un code dédié à la sûreté, sont ses hauts niveaux de validation et de qualification [Duhamel et al., 2006], dont les objectifs sont les suivants : vérifier la non-régression par rapport aux versions précédentes, compte tenu des nouveaux développements ; évaluer des écarts par rapport à la réalité (le benchmarking) ; définir le domaine de validité et l estimation des incertitudes et biais de calcul. Enfin, afin de pallier le problème inhérent à l utilisation de la méthode de Monte Carlo pour les calculs de criticité, différentes méthodes de simulation et d échantillonnage des neutrons sources parmi les sites de fission ont été étudiées. Ces méthodes (toutes mises en place dans le code MORET) font l objet d une intense analyse dans le cadre du groupe de travail «Source Convergence» de l OCDE/NEA. Les cinq méthodes de simulation disponibles dans le code MORET sont : la méthode «naturelle», ou «conventionnelle» ou «analogue» (à la réalité) : c est la méthode habituellement (disponible et) utilisée dans les codes Monte Carlo de criticité. Le nombre de neutrons produits dans un volume, divisé par le nombre total de neutrons produits dans le système, représente la proportion de neutrons à émettre à partir de ce volume lors de l étape suivante ; la méthode «stratifiée» : elle ne permet pas que le nombre de neutrons sources à générer dans un volume fissile soit nul quand le nombre réel de neutrons sources estimé est inférieur à 0,5. Quand c est le cas, un neutron source supplémentaire est généré avec un poids égal au nombre réel de neutrons sources estimé dans le volume. L objectif de cette stratégie est de garantir que toute zone fissile (qui n interagit que faiblement avec le reste du système) contienne à chaque génération au moins un neutron source de poids éventuellement inférieur à 1 ; la méthode «des Kij» : elle utilise la matrice des Kij, donnant le nombre de neutrons émis par fission dans le volume i à partir d un neutron émis dans le volume j ; la plus grande valeur propre de cette matrice est égale au facteur de multiplication du système et le vecteur propre associé correspond à la distribution des neutrons dans les différents volumes. C est ce vecteur propre qui est utilisé dans cette option de simulation, pour estimer la distribution des neutrons sources de l étape suivante dans le but d accélérer la convergence des sources. Cette méthode est très proche de la méthode stratifiée, mis à part l usage du vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice des Kij pour renormaliser la distribution des neutrons sources, toutes les «Freq» étapes (Freq est un entier spécifié par l utilisateur) ; La méthode «importance» : c est une option de simulation qui permet d utiliser la fonction d importance pour estimer la distribution des neutrons sources d une étape sur l autre, afin d accélérer leur convergence. La fonction d importance utilise le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice adjointe des Kij. Elle calcule l importance que possède chaque volume dans la production des neutrons d une étape sur l autre. Ce processus défavorise la création de neutrons dans les volumes de plus faible importance ; la méthode dite «de super-histoire» : c est une option de simulation permettant de suivre un neutron source et ses descendants sur L générations, afin d éviter de recalculer la distribution des sources à chaque génération. Pour toutes les méthodes autres que «super-histoire», le nombre de neutrons simulés à chaque génération est constant. Il a été montré que cette normalisation était la cause d un biais sur le k eff calculé ainsi que sur sa variance. En effet, en considérant un nombre de neutrons constant à chaque génération, on risque de favoriser des zones de moindre importance. Cette méthode permet à la population des neutrons d être variable pendant L générations. La normalisation n est faite qu au bout de ces L générations. IRSN - Rapport scientifique et technique

7 Conclusions La criticité se focalisait jusqu alors principalement sur la recherche du k eff (grandeur intégrale), alors que la neutronique et la radioprotection nécessitent la connaissance d informations plus locales (flux, débit de dose ). Pour les codes de criticité, des évolutions telles que la modélisation de configurations de plus en plus précises ou la prise en considération de la baisse de réactivité induite par l irradiation des combustibles dans le cœur d un réacteur nucléaire, non uniforme le long de l assemblage combustible, ou l utilisation de ces codes dans des domaines plus vastes (comme les calculs de cœurs de réacteurs de natures diverses) entraînent de nouvelles problématiques. Les spécificités des algorithmes Monte Carlo de simulation en criticité ont tendance, par leurs méthodes d échantillonnage des neutrons sources d une génération à l autre, à favoriser la population de neutrons aux endroits les plus réactifs des systèmes étudiés. Cet effet de la corrélation entre générations rend difficile l exploitation de la statistique faite sur l échantillon de neutrons ayant visité certaines zones des systèmes, en particulier pour déterminer le k eff ou des valeurs de flux neutroniques. Des travaux de recherche et développement sont donc en cours autour du code MORET. Ils ont pour but la maîtrise de ces problèmes de convergence et le contrôle total de toutes les actions menant à un résultat de criticité issu de l utilisation d un code Monte Carlo : des données nucléaires, en passant par la création des bibliothèques de sections efficaces, jusqu aux calculs probabilistes et à l estimation des incertitudes qui se sont propagées. Une voie actuellement explorée est l étude des cinq méthodes d échantillonnage décrites dans cet article. La finalité de l implémentation de ces méthodes est de trouver la plus efficace et de tendre vers une méthode «ultime» de convergence des neutrons. Le code MORET est pour cela un outil très précieux car ses développements permettent de comprendre et d acquérir des connaissances à toutes les étapes du processus de la simulation. Références Alex F. Bielajew, Fundamentals of the Monte Carlo method for neutral and charged particle transport, September R. Blomquist, M. Armishaw, D. Hanlon, N. Smith, Y. Naito, J. Yang, Y. Mioshi, T. Yamamoto, O. Jacquet, J. Miss. Source convergence in criticality safety analyses Phase 1: Results for four test problems. I. Duhamel, E. Létang, G. Daumen, I. Lebars. Processus de qualification des formulaires de criticité et exemple d utilisation dans le domaine de l expertise de criticité, IRSN, Rapport scientifique et technique J. Miss, O. Jacquet, F. Bernard, B. Forestier, Massive evolution in the MORET Monte Carlo code. A new multigroup-continuous energy version, ICNC 2007, Saint Petersburg, Russia, May 28-June 01, J. Raby, C. Lavarenne. La prise en compte du credit burnup dans les études de criticité, IRSN, Rapport scientifique et technique Rapport scientifique et technique IRSN