Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam),

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1 MMIM Moèles mathématiques en informatique musicale Marc hemillier Master M2 tiam (Ircam), Oracle es facteurs (logiciels improvisation OMax, ImproteK) - onstruction e l oracle o Liens suffixiels o aractérisation es flèches aitionnelles - Langage reconnu par l oracle 1. onstruction e l oracle 1.1 Liens suffixiels L ensemble es facteurs un mot x est fini, onc reconnaissable par automate. On obtient facilement un FN reconnaissant tous les facteurs en prenant l écorché e x et en renant tous les états initiaux et terminaux. Problème : il n existe pas e construction simple e l FD corresponant (contrairement à l automate es mots se terminant par x). L «oracle es facteurs» a été introuit pour pallier cette ifficulté. L oracle es facteurs est un automate qui reconnaît tous les facteurs un mot x, mais avec quelques mots en plus. On peut onner irectement l FD corresponant (sans éterminisation) par une technique analogue à l algorithme e Morris & Pratt. Exemple : écorché e la séquence x = abcabc a b c a b c

2 onstruction e l oracle : on part e l écorché e x, et on ajoute es transitions à l aie une fonction f ite e «lien suffixiel» entre états, en construisant simultanément f et les transitions. u épart, on place un lien suffixiel e 1 vers 0. Puis on suppose l oracle construit avec ses liens suffixiels jusqu à l état p compris. La lettre suivante a onne un nouvel état δ(p, a) = p+1. Pour ajouter les transitions, on suit les liens suffixiels éjà existants p' = f(p), puis p' = f(f(p)), etc. si δ(p', a) est non éfini, on ajoute une transition δ(p', a) = p+1 - si p' 0, on continue à suivre les liens, - si p' = 0, on stoppe et on crée un lien suffixiel en posant f(p+1) = 0 si δ(p', a) est éfini, on stoppe (pas e nouvelle transition), et on crée un lien suffixiel en posant f(p+1) = δ(p', a) (= état arrivée e la transition existante) Remarque : toutes les transitions arrivant ans un même état ont la même lettre. Pour la séquence abcabc, l oracle es suffixes onne l FD suivant (les liens suffixiels sont iniqués par es flèches en pointillé au-essus). Oracle es facteurs : tous les états sont terminaux Oracle es suffixes : les états terminaux sont ceux u chemin suffixiel partant u ernier état, soit 8 (suffixe c), 5 (suffixe ), 0 (suffixe vie) a b c a b c b c Dans le logiciel improvisation OMax, on parcourt l oracle en suivant les transitions, mais aussi en empruntant éventuellement les liens suffixiels : b c er motif prélevé = a b c a b c 2

3 On emprunte le lien suffixiel e 7 à 3 pour reprenre la lecture vers 4 : b c a b 2 e motif prélevé = a b c a b c (3) Le 1 er motif bc se terminait par bc. Or le 2 ème motif ab est précéé par bc ans la séquence. 1 er motif prélevé = a b c a b c 2 ème motif prélevé = a (b c) a b c Dans la succession es 2 motifs bc + ab, le 2 ème prélèvement evient (bc)ab : b c a b 2 e motif réellement prélevé = a(b c)a b c (2 3) insi les eux motifs réellement prélevés se chevauchent : (bc) et (bc)ab. est une propriété fonamentale e l oracle : Les ernières lettres lues avant e quitter un état par un lien suffixiel sont ientiques à celles qui précèent l état arrivée u lien (ex : bc ans le parcours ci-essus). es lettres constituent une partie commune entre les motifs lus avant et après le lien suffixiel. insi les liens suffixiels permettent enchaîner es motifs qui se chevauchent avec une partie commune (ex : (bc) et (bc)ab ans le parcours ci-essus). Propriété fonamentale. Si p est l état arrivée un préfixe w e x, le lien suffixiel f(p) correspon à l état arrivée u plus long suffixe e w qui est répété à gauche, c est-à-ire qui est facteur non suffixe e w. ttention : Il ne faut pas confonre fonction e lien suffixiel : f(p) = état arrivée u plus long suffixe propre e w qui est aussi facteur e w (onc e x) fonction e saut e Morris & Pratt : f(p) = état arrivée u plus long suffixe propre e w qui est aussi préfixe e w (onc e x) 1.2 aractérisation es flèches aitionnelles Les flèches aitionnelles e l oracle (non présentes ans l écorché) vérifient la caractérisation suivante. On note : min(p) = ensemble es mots e longueur minimale reconnus e 0 à p 3

4 Propriété caractéristique. Pour tout mot u e min(p) et pour toute lettre b x p+1, il existe une flèche aitionnelle δ(p, b) = q si et seulement si q = état arrivée e la première occurrence e ub ans x telle que q > p + 1. a b c a b c b c état 0 : min(0) = {ε}, x 1 = a, flèches aitionnelles : δ(0, b) = 2, δ(0, c) = 3, δ(0, ) = 5 état 1 : min(1) = {a}, x 2 = b, flèche aitionnelle : δ(1, ) = 5 (1 ère occurrence e a) état 3 : min(3) = {c}, x 4 = a, flèche aitionnelle : δ(3, ) = 8 (1 ère occurrence e c) Remarque : Dans l article e llauzen, rochemore & Raffinot 1999, l oracle est éfini par cette propriété caractéristique. La construction par liens suffixiels n arrive qu après une série e lemmes. Mais comme elle est plus efficace et onne le même automate, c est elle qui est utilisée. Lemme. Si w est facteur e x, alors w est reconnu ans l oracle e 0 à p état arrivée e sa première occurrence ans x. Le Lemme montre que l oracle reconnaît tous les facteurs e x. En fait, l oracle reconnaît un peu plus que les facteurs e x. 2. Langage reconnu par l oracle 2.1 Facteurs canoniques et contractions L article Mancheron & Moan 2005 propose une caractérisation u langage reconnu par l oracle (p e l article). Ensemble es facteurs canoniques un mot s par rapport à son oracle : 4

5 F s = {min(p) / l état p a au moins eux flèches entrantes, ou eux flèches sortantes} Une contraction e s est un couple (p, q) où p et q sont les états arrivée e la ernière lettre e eux occurrences un facteur canonique ppliquer une contraction (p, q) à s : on supprime les lettres e s comprises entre p inclus et q non inclus Fermeture e s : ε(s) = ensemble es mots obtenus en appliquant à s toutes les combinaisons e contractions possibles héorème (3.1, p. 150). Le langage reconnu par l oracle un mot s est l ensemble es suffixes e tous les mots e sa fermeture ε(s). Exemple : oracle u mot s = G 0 G Etats = {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9} F s = {,,,,, } ontractions (2, 5) (3, 4) (6, 7) (7, 9) (3, 8) (6, 9) (3, 10) Noter qu on limite l énumération en fixant le premier état p = celui e la première occurrence u facteur. Exemple application e la combinaison e contractions (2, 5) et (7, 9) : G (2, 5) G (7, 9) G

6 où le mot G Petite remarque : pourquoi les lettres G,,,? Le génome est fait 'DN. Les gènes contenus ans le génome sont coés sous forme chimique le long es molécules 'DN. elles-ci sont constituées par l'enchaînement e "maillons" élémentaires nommés nucléoties. Les nucléoties ont une partie variable - une base, u point e vue chimique - qui peut exister sous 4 formes ifférentes ; ces formes sont symbolisées par les lettres,, G et. Les instructions sont onc écrites ans un alphabet chimique à 4 lettres seulement. Remarque : Dans les applications bioinformatiques, l oracle est utilisé e façon négative. Si un mot n est pas reconnu par l oracle, on est sûr qu il n est pas suffixe. 2.2 Exemple e langage reconnu par lʼoracle Exemple : oracle u mot s = G On peut vérifier que les suffixes e G sont reconnus (outre le mot vie) : G Existe-t-il autres mots reconnus par l oracle qui ne sont pas suffixes e G? G Oui, il y en a un : G 6

7 Etats = {0, 2, 3, 5} F s = {,, } ontractions (2, 4) Si l on applique la contraction (2, 4), on obtient précisément ce mot G. La fermeture ε(s) contient les suffixes e s = G et e G. omme les suffixes e G sont aussi suffixes e s excepté G, cela onne le langage reconnu par l oracle : ε(s) = {G,,,,, ε, G} Références oracle es suffixes (simulation stylistique) llauzen, yril & Maxime rochemore, Mathieu Raffinot, Factor oracle : new structure for pattern matching, SOFSEM 99: Proceeings of the 26th onference on urrent rens in heory an Practice of Informatics, Lecture Notes in omputer Science, Springer-Verlag, 1999, p (biblio). Mancheron lban, Moan hristophe, ombinatorial haracterization of the Language Recognize by Factor an Suffix Oracles, International Journal of Founations of omputer Science, 16 (6) (2005) (biblio). ssayag, Gérar, Shlomo Dubnov, Olivier Delerue, Guessing the omposer's Min: pplying Universal Preiction to Musical Style, Proceeings of the IM (Int. omputer Music onf.), 1999, p (biblio). ssayag, Gérar, Shlomo Dubnov, Using factor oracles for machine improvisation, Soft omputing, special issue on Formal Systems an Music, G. ssayag, V. afagna, M. hemillier (es.), 8 (9) (2004) (biblio). 7

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