LOGIQUE COMBINATOIRE

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1 MPI/PCI LOGIQUE COMBINATOIRE I. VARIABLE LOGIQUE. Rappel : structure d une chaine fonctionnelle d un système automatisé. Les ordres et les informations peuvent être : Analogique (par exemple une tension variale) Logique (0 ou 1, vrai ou faux) Numérique Exemple de système automatisé : Le portail automatisé. Pour simplifier, on s intéresse aux éléments suivants : Les 2 portes Les 2 moteurs La télécommande La cellule photo électrique Entrées/sorties de la Partie commande (PC) du portail : (les entrées sont les informations, les sorties sont les ordres) Appui sur la télécommande Présence devant capteur PC du portail Ouvrir portes Fermer portes Les entrées et les sorties sont sous la forme tout ou rien (1 ou 0) (vrai ou faux), on les appelle des variales logiques. L ojet de ce chapitre est de modéliser le fonctionnement des PC 1/8

2 II. ALGEBRE DE BOOLE. Il permet de traiter des prolèmes de logique. 1. Opérateurs logiques de ase. Opérateur égalité Tale de vérité a 0 0 Equation logique : = a 1 1 Opérateur ET Tale de vérité a Equation logique : = a Opérateur OU Tale de vérité a Equation logique : = a Opérateur NON Tale de vérité a Equation logique : 0 1 a Exemple de prolème de logique. Etude d un monte charge. Un monte-charge doit permettre le levage de masses comprises entre 20 et 80 kg. Pour cela, il comporte une plate-forme reposant sur des ressorts. elon l'importance des charges à soulever, trois contacts réglales sont mis en circuit. Les contacts passent à 1 lorsque qu ils sont en contact avec la cuve du monte-charge. Cahier des charges À vide, aucun des contacts n'est activé. le monte-charge peut fonctionner. 2/8

3 Pour des charges comprises entre 5 et 20 kg, le monte-charge ne peut fonctionner. Le contact «a» est actionné. Pour les charges comprises entre 20 et 80 kg, le monte-charge doit fonctionner. «a» et sont actionnés. Pour des charges supérieures à 80 kg, le monte-charge ne peut fonctionner. Les contacts «a», et «c» sont actionnés. Prolème posé : Il faut modéliser le comportement attendu en équations afin de réaliser la partie commande. Question : Déterminer l'équation ooléenne de la sortie assurant l autorisation de fonctionnement de ce monte-charge. Le monte-charge doit fonctionner ( passe à 1) à vide (cas a=0 et =0 et c=0) ou pour les charges comprises entre 20 et 80 kg (cas a=1 et =1 et c=0) On peut écrire l équation de la sortie a.. c a.. c 3. Propriétés de l algère de BOOLE. Commutativité a. =.a a+ = +a Associativité a.(.c) = (a.).c a+(+c) = (a+)+c Distriutivité a.(+c) = a.+a.c a+(.c) = (a+).(a+c) Eléments neutres a.1 = a a + 0 = a Elément asorant a.0 = 0 a + 1 = 1 Complément. a 0 a a a 1 Idempotence a.a = a a + a = a Théorème de De Morgan a. a a a. Exemples d utilisation de l algère de Boole pour simplifier des expressions logiques. ( c ). c c. c. c c. c c.(1 ) c a.( a ) a. a a. a. III. OPERATEUR LOGIQUE. 1. Opérateurs à une variale. a f(a) 3/8

4 Représentons dans une tale de vérité, tous les cas possiles d une fonction Booléenne à une variale d entrée. Variale a Fonction f(a) f1 f2 f3 f f1 = 0 mise à 0 f2 = a identité f3 = a complément (fonction non) f4 = 1 mise à 1 2. Opérateurs à deux variales. Etudions tous les cas possiles d une fonction Booléenne à deux variales d entrée. a f(a,) 2.n Remarque : il y a 16 fonctions possiles ( 2 = 2 4 ) Fonctions déjà vues : f1 = 0 mise à 0 f2 = 1 mise à 1 f3 = a identité f4 = a complément Autres fonctions : f5 = f6 = f7 = a + f8 = a. identité complément ou et «OU exclusif» Tale de vérité a f 9 a a. a «NOR» (non ou) : f 10 a a. (De Morgan) «NAND» (non et) : f 11 a. a «Equivalence» Tale de vérité a f 12 a. a «Implication» (a implique ) a f 13 a i a=1 alors = i a=0, peut prendre les valeurs 0 ou 1 4/8

5 «Implication» ( implique a) : f 14 a IV. IMPLIFICATION DE FONCTION. Une expression cominatoire représente une fonction ooléenne Pour n variales d entrées, il existe : 2.n 2 fonctions différentes. Une infinité d expressions cominatoires (certaines sont équivalentes). On recherche la forme la plus simple possile d une expression cominatoire. Le ut est de réaliser une fonction en utilisant le moins d opérateurs logiques possiles. Méthode algérique : On écrit les produits par ordre alphaétique afin de les comparer plus facilement et on utilise les propriétés de l algère de Boole. Exemples : 1 a a. a.(1 a) a 2 a.(. c. c. c) a.(.( c c). c) a.(. c) Remarque : Certaines simplifications n apparaissent pas, par exemple a+a.=a(1+)=a) 3 a a. a a. a. (on rajoute 3 a ( a a). a On peut donc reprendre 2 a.( c) a. )(car Méthode graphique. Taleau de Karnaugh. Le taleau de Karnaugh est une tale de vérité disposée de manière à faire apparaître les possiilités de regroupement de termes. Exemple 1 Une fonction 4 à trois entrées est représentée par une tale de vérité. On va représenter cette fonction dans un taleau de Karnaugh et on va écrire son équation simplifiée. Taleau de Karnaugh a c a c Equation simplifiée : 4 a.. c 5/8

6 Exemple de fonctions 5 et 6 à 4 variales représentées par des taleaux de Karnaugh 5 a 6 a c d c d 5. c a.. d a.. d a.. d a.. c. d 6 a. d. c. d Remarques : On forme les groupes de 1 (ou de 0) adjacents les plus gros possiles (d un nomre de 2 n de termes : 1, 2, 4, 8, 16, ) Les entrées sont organisées sous forme de code inaire réfléchi appelé aussi code Gray (2 cases adjacentes ne se distinguent que par le changement d une seule variale). On utilise les nomreuses symétries. V. REPREENTATION DE FONCTION LOGIQUE On peut représenter une fonction logique avec : Une phrase ( est vrai si a et sont vrais) Une équation logique ( = a.) Une tale de vérité. Un taleau de Karnaugh. Un chronogramme. 1. chémas électriques. Ils sont réalisés par des contacts électriques commandés manuellement (poussoir) ou électriquement (relais). Exemple 1. 6/8

7 On distingue deux sortes de contacts : «à ouverture» (Non)» et «à fermeture» (Oui). i c = 1, le courant passe dans le contact. i c = 0, le courant ne passe pas. i a = 0, le courant passe dans le contact. i a = 1, le courant ne passe pas. La fonction représentée est : L c.( a ) La fonction «et» est réalisée par des contacts en série. La fonction «ou» est réalisée par des contacts en parallèles. Exemple 2. La fonction représentée est : L.( c a. d ). d.( a c) Remarque : Les contacts a et a électriquement indépendants sont commandés par la même action «a». 2. Logigrammes. Un logigramme est une association d opérateurs logiques décrivant une équation logique. Liste (non exhaustive) des opérateurs logiques : ymole Equation Opérateur ymole Equation Opérateur = a Identité a Non = a. ET a. NAND = a + OU a NOR a OU exclusif a a implique 7/8

8 Le logigramme d une fonction logique n est pas unique. Il dépend des contraintes technologiques imposées. Exemple : On veut réaliser la fonction a. olution 1 : En utilisant toutes les fonctions logiques disponiles olution 2 : En utilisant uniquement les fonctions de ase ET, OU, NON Dans certains cas, on se voit imposer l utilisation unique des cellules NOR ou NAND En effet, toute fonction peut être réalisée en utilisant uniquement des cellules NOR ou NAND (cellules dites universelles). Cela permet de réaliser une fonction logique en utilisant qu un seul type de cellules. Il faut alors réorganiser la fonction (en utilisant le théorème de De Morgan) pour faire apparaître que des NOR ou que des NAND. Remarques. Pour avoir un NON avec un NAND Pour avoir un NON avec un NOR olution 1 : En utilisant que des NAND. a. a. a.(. ) olution 2 : En utilisant que des NOR. a. a. a ( a a) 8/8