PHYS-F Electricité et magnétisme Correction séance 1 et 2 - Electrostatique

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1 PHYS-F Electricité et magnétisme Correction séance 1 et 2 - Electrostatique 1.3) Soit q et d respectivement la charge de chacune des particules et la distance les séparant.le module de la force agissant sur chacune d'elle est donnée par D'ou l'on tire immédiatement F = 1 q 2 d 2 q = d F = 1, C 1.23) La résultante des forces sur chacune de deux boules chargées est nulle, on doit donc avoir 0 = T + F c + m g où T est la tension dans le l, F c la force de Coulomb et m g la force de 1

2 2 pesanteur. Les deux inconnues dans ce problème sont ainsi la charge de chaque particule q et le module T de la tension dans les ls. Pour simplier le problème on choisit alors un repère où l'axe y est orienté selon le vecteur T (voir gure) de sorte à ce que la projection de l'équation de Newton selon l'axe x ne contienne qu'une seule inconnue, la charge q. On peut alors écrire dans ce repère les composantes de chaque vecteur : T = (0, T ) F c = (cos θ F c, sinθ F c ) où F c = 1 q 2 l 2 m g = ( sin θ mg, cos θ mg) où l = 2d sin θ. L'équation projetée sur l'axe x donne donc 0 = cos θ q 2 l 2 sin θ mg q = 2d sin θ tan θ mg = 1, C 1.24) La force df ressentie par q 0 dûe à l'élément de charge dq = λdx situé en x est donnée par df = 1 q 0 λdx ((L + l x) 2 ). Pour avoir la force totale F agissant sur q 0 il faut sommer la force dûe à chaque élément de charge dq de 0 jusque L, et donc calculer l'intégrale suivante F = q 0 L 0 λdx ((L + l x) 2 ) = q 0λ [ 1 ((L + l x)) ] L 0 = q ( 0λ 1 l 1 ). L + l 1.33)

3 3 Le problème est unidimensionnel. La charge étant au repos il y'a équilibre des force et l'on doit donc avoir F est + qe = 0 E = F est q = = +0.1N/C où l'on a choisi F est dans la direction des x positifs, le champ électrique est donc bien lui aussi dirigé vers les x positifs, donc vers l'est. 1.42) On suppose que la charge se trouve à l'origine du repère. Le théorème de Gauss nous apprend que le ux du champ électrique au travers d'une surface quelconques est proportionnel à la charge contenue dans cette surface. Nous choisissons ici pour cette surface, une sphere S r de rayon r centrée sur l'origine. Le théorème de Gauss s'écrit alors, E ds = ɛ 0 S r où d S = nd 2 S est l'élément de surface orienté et n est la normale sortante à la sphère. D'autres part, par symétrie on a que E = E n où E est la norme du champ électrique. De plus par symétrie celle-ci ne peut dépendre que de la distance à la charge, à savoir r. On en conclu que E est nécéssairement constant sur la surface de la sphère, et qu'elle peux donc sortir de l'intégrale, E S r n n d 2 S = E S r d 2 S = E 4πr 2 = ɛ 0 L'intégrale de d 2 S n'est rien d'autre que la surface de la sphère, à savoir 4πr 2. On obtient alors E = 1 r 2 2.1)

4 4 Le travail de A vers B est par dénition la diérence d'énergie potentiel V AB, V AB = q U AB = = 2, 5 µj Le signe moins signie que la particule perd de l'energie potentiel. 2.47) La charge d'un condensateur est donnée par le produit de sa capacité C et de sa tension V, = C V, on a donc, C = = 5µ F 2.61) L'épaisseur de la membrane étant tellement faible par rapport au rayon de l'axone, on va supposer que les parois intérieurs et extérieurs de celle-ci sont bien décrites par un condensateur plan, la capacité est alors donnée par, C = ɛ S l où l est la distance entre les parois de la membranes, ɛ sa constante diélectrique et S sa surface. On peut alors écrire c la capacité par unité de surface, c = C S = ɛ l = 7 8, = 1, F/m )

5 5 On a pour la charge = C/V et donc pour la densité surfacique de charque σ = /S = CV/S = c V et l'on a donc, σ = 7, F/m ) L'énergie emmagasiné est donnée par E c = 1 2 C U 2 et de plus la capacité pour un condensateur plan est donnée par C = ɛ 0 S/e où e est la distance entre les electrodes. Comme le champ électrique est uniforme on a pour la relation entre diérence de potentiels et champ électrique U = e E, et l'on a donc pour l'énergie E c = 1 ɛ 0 S 2 e e2 E 2 On divise alors par es pour avoir une énergie par unité de volume, E c /m 3 = 1 2 ɛ 0E 2 = 8, = 9, J/m ) La capacité d'un condensateur est donnée par le rapport de sa charge sur la diérence de potentiel entre ses deux bornes C = / U, il nous faut donc calculer la diérence de potentiels entre les deux conducteurs du cable coaxial. Pour calculer le potentiel entre les deux conducteurs nous pouvons procéder en calculant d'abord le champ electrique dans l'espace entre les deux conducteurs. En faisant l'hypothèse que la longueur L du cable est grande par rapport aux rayons R b et R a, nous avons que le champ électrique doit nécessairement être radial et ne peut dépendre que de la distance à l'axe ρ. On peut alors appliquer le théorème de Gauss sur un cylindre S de rayon ρ où R b < ρ < R a et de hauteur L, la charge comprise dans le cylindre est alors donnée par +. E d S = ɛ 0 S Le champ électrique étant radial, il n'y aura pas de ux au travers des faces supérieures et inférieures, et sur la face latérale on aura donc E d S = Eρdθ, et comme E ne dépend que de ρ celui-ci peut sortir l'intégral et celle-ci se ramène alors à la surface latérale du cylindre (circonférence fois la hauteur),

6 6 2πρLE = ɛ 0 On trouve alors pour le champ électrique entre les deux cables E = /(2πɛ 0 Lρ). Le potentiel entre les cables peut alors être obtenu par simple intégration dénie à une constante pres, U(ρ) = 2πɛ 0 Lρ ln(ρ) + K. On sait de plus que le champ électrique doit être nul à l'extérieur du cable coaxial(pour démonstration, appliquer Gauss comme dans le cas précédent en prenant un cercle de rayon ρ > R b ). Le potentiel à l'extérieur doit donc être nul ce qui implique que celui-ci doit s'annuler en R b, U(R b ) = 0 K = 2πɛ 0 Lρ ln(r b). L'expression du potentiel entre les deux cables coaxiaux est donc donnée par, U(ρ) = 2πɛ 0 Lρ ln(r b ρ ). On peut donc calculer la diérence de potentiel U entre les deux cables coaxiaux, Et on trouve enn la capacité, U = U(R a ) U(R b ) = 2πɛ 0 Lρ ln( R b R a ) 0. C = U = 2πɛ 0 L ln( R b R a ).