Suites de réels : rappels et compléments
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- Nadine Morin
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1 CHAPITRE 1 Suites de réels : rappels et complémets 11 Rappels de première aée 111 Diérets types de suites Déitio 1 Ue suite de réels est la doée d'ue applicatio u de N (ou N ) das R : u : O ote l'esemble des suites réelles déies sur N par R N N R u Il existe trois diérets types de suites : Les suites explicites Ce sot les suites pour lesquelles o coaît de maière explicite chaque u : Ex : la suite (u ) déie par : N, u = C'est bie etedu les suites qui sot les plus faciles à étudier, puisqu'o a ue formule qui permet de calculer chaque terme Les suites implicites Ce sot les suites pour lesquelles o sait que chaque u existe, mais o e coaît pas sa forme explicite Ex : pour tout N, u est l'uique réel solutio de l'équatio 3x + e 2x = 0 Déjà, il est plus dicile de savoir si la suite (u ) est bie déie, ie si chaque u existe bie de maière uique (o utilise souvet le théorème de la bijectio) De plus, puisqu'o e coaît pas explicitemet chaque terme de la suite, cela va être plus dicile pour avoir la mootoie, la covergece, Les suites récurretes Ce sot celles où chaque terme de la suite est déi à partir du (ou des) précédet(s) Ex : pour tout N, u +1 = 3u 2 + u Là ecore, il 'est pas du tout évidet que la suite (u ) est bie déie, ie si chaque u existe bie Pour cela, o doit e gééral le motrer par récurrece, e s'assurat que " N, u existe" Das l'exemple précédet, il faut s'assurer par exemple que : " N, u 2" Cela déped e partie de la valeur de u 0
2 2/8 1 Suites de réels : rappels et complémets 112 Etude du comportemet d'ue suite (rappels) Même si ce 'est pas écrit explicitemet das u éocé, lorsqu'o a ue suite à étudier, la première questio à se poser et à rédiger est la suivate : La suite (u ) est-elle bie déie? Lorsqu'o a ue suite explicite, c'est assez immédiat (et si c'est vraimet évidet, o peut juste metioer l'existece), o regarde si l'expressio de u a bie u ses pour tout etier Lorsqu'o a ue suite implicite, il s'agit de regarder si la maière dot o costruit u doe bie u et u seul réel appelé "u " Lorsqu'o a ue suite récurrete, la questio zéro est quasi obligatoire O motre par récurrece que chaque u a bie u ses Déitio 2 Soit (u ) ue suite de réels O dit que la suite (u ) est : croissate si : N, u +1 u décroissate si : N, u +1 u majorée si : M R / N, u M miorée si : m R / N, u m borée si : k R / N, u k Suites mootoes, suites borées Déitio 3 Soit (u ) ue suite de réels et soit l u réel u l ε > 0, N N / N, u l ε + u + A > 0, N N / N, u A + u B < 0, N N / N, u B + Covergece d'ue suite Dire qu'ue suite coverge sigie qu'elle admet ue limite réelle ie Das tous les autres cas (limite iie ou pas de limite du tout), o dit que la suite diverge Théorème 4 Toute suite mootoe admet toujours ue limite, ie ou iie Théorème de la limite mootoe Ue suite croissate et majorée est covergete Ue suite croissate et o majorée diverge vers + Ue suite décroissate et miorée est covergete Ue suite décroissate o miorée diverge vers Déitio 5 Suites adjacetes Deux suites (u ) et (v ) sot adjacetes si l'ue est croissate, l'autre est croissate, et si u v 0 + Théorème 6 Théorème des suites adjacetes Si deux suites (u ) et (v ) sot adjacetes, alors elles sot covergetes et ot la même limite Théorème 7 Suites extraites d'idices pairs/impairs Si les deux suites extraites (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget vers ue même limite (par exemple e état adjacetes), alors la suite (u ) coverge
3 1 Suites de réels : rappels et complémets 3/8 113 Suites usuelles Déitio 8 O dit qu'ue suite (u ) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que N, u +1 = au + b Lorsque a = 1, o dit qu'o a ue suite arithmétique Lorsque b = 0, o dit qu'o a ue suite géométrique Propositio 9 Suites arithmétiques Soit r u réel et soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r, ie : N, u +1 = u + r Alors : N, u = u 0 + r et la somme de termes cosécutifs de (u ) vaut : u p + u p u = (u p + u ) ( p + 1) 2 Exemple : U cas particulier est : = X k = ( + 1) 2 Propositio 10 Suites géométriques Soit q u réel et soit (u ) ue suite géométrique de raiso q, ie : N, u +1 = qu Alors : N, u = u 0 q et la somme de termes cosécutifs de (u ) vaut : u p + u p u = 8 >< >: 1 q p+1 u p 1 q si q 1 ( p + 1)u p si q = 1 Exemple : U cas particulier est : 1 + q + q q = X q k = 8 < : 1 q +1 1 q si q si q = 1 Méthode géérale pour les suites arithmético-géométriques Soiet a et b deux réels, avec a 1 Soit (u ) la suite arithmético-géométrique déie par N, u +1 = au + b 1 O cherche u réel x tel que x = ax + b (il sut de predre x = b, qui existe puisque a 1) 1 a 2 O pose (v ) la suite déie par N, v = u x 3 La suite (v ) est alors géométrique, de raiso a 4 O peut obteir alors ue forme explicite pour v, ceci pour tout N 5 O e déduit alors ue forme explicite de u = v + x, pour tout N
4 4/8 1 Suites de réels : rappels et complémets 12 Complémets 121 Théorème de Césaro Théorème 11 Soit (u ) 1 ue suite de réels quelcoques et (v ) 1 la suite déie par : Théorème de Césaro 1, v = u 1 + u u Si la suite (u ) coverge vers u réel l, alors la suite (v ) coverge égalemet vers l Ce théorème 'est pas écrit explicitemet au programme mais est utilisé das plusieurs sujets d'oral Sa démostratio est classique, doc à coaître, elle permet de savoir utiliser la déitio de la covergece des suites avec les epsilos Démostratio : Hypothèse : o suppose que (u ) coverge vers l, doc : ε > 0, N N / N, u l < ε Soit ε > 0 quelcoque Pour assez grad ( N), o a : v l = u 1 + u u l = u 1 + u u l = (u 1 l) + (u 2 l) + + (u l) u 1 l + u 2 l + + u N 1 l + u N l + + u l = u 1 l + + u N 1 l u 1 l + + u N 1 l = u 1 l + + u N 1 l + u N l + + u l + ε + + ε + N + 1 ε Or, la première somme ted égalemet vers 0 lorsque +, doc : (iégalité triagulaire) Doc pour tout max(n, N ), o a : N N / N, u 1 l + + u N 1 l ε v l ε + N + 1 ε 2ε Aisi, pour toute valeur de ε > 0, il existe u rag à partir duquel o a : v l 2ε Cela sigie exactemet que v l +
5 1 Suites de réels : rappels et complémets 5/8 122 Suites récurretes liéaires doubles Déitio 12 O dit qu'ue suite (u ) est récurrete liéaire double s'il existe deux réels α, β tels que : N, u +2 = αu +1 + βu Théorème 13 A la suite récurrete liéaire d'ordre 2 déie par o associe l'équatio caractéristique : N, u +2 = αu +1 + βu ( ) : x 2 = αx + β O ote le discrimiat de cette équatio Si > 0, alors l'équatio ( ) admet deux solutios réelles x 1 et x 2 Alors : λ, µ R / N, u = λ(x 1 ) + µ(x 2 ) Si = 0, alors l'équatio ( ) admet ue racie double x 0 Alors : λ, µ R / N, u = λ(x 0 ) + µ(x 0 ) Si < 0, alors l'équatio ( ) admet deux solutios complexes cojuguées z 1 = ρe iθ et z 2 = ρe iθ Alors λ, µ R / N, u = ρ (λ cos(θ) + µ si(θ)) Das tous les cas, les costates λ et µ sot détermiées à partir des valeurs de u 0 et u 1 Exemples : E1 Soit (u ) déie par : u0 = 1, u 1 = 0, N, u +2 = 5u +1 6u L'équatio caractéristique associée est x 2 = 5x 6 x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 O a doc : λ, µ R / N, u = λ2 + µ3 Reste à trouver les valeurs de λ et µ O sait que u 0 = λ2 0 + µ3 0 doc 1 = λ + µ O sait que u 1 = λ2 1 + µ3 1 doc 0 = 2λ + 3µ λ + µ = 1 λ + µ = 1 λ = 3 Aisi 2λ + 3µ = µ = 0 2µ = 2 O a doc : N, u = u0 = 1, u 1 = 0, E2 Soit (u ) déie par : N, u +2 = 2u +1 4u L'équatio caractéristique associée est x 2 = 2x 4 x 2 + 2x + 4 = 0 L'équatio admet pour solutios les complexes 2j et 2j 2 : 2e ±i 2π 3 O a doc : λ, µ R / N, u = 2 λ cos 2π 3 Š + µ si 2π 3 Reste à trouver les valeurs de λ et µ O sait que u 0 = λ cos(0) + µ si(0) doc 1 = λ O sait que u 1 = 2 (cos(2π/3) + µ si(2π/3)) doc 0 = µ 32, doc µ = 3 3 O a doc : N, u = 2 cos 2π 3 Œ si 2π 3 ŠŠ
6 6/8 1 Suites de réels : rappels et complémets 123 Suites récurretes de la forme u +1 = f(u ) Déitio 14 Soit f : I R ue foctio déie sur u itervalle I u0 I O s'itéresse ici à ue suite (u ) déie par : N, u +1 = f(u ) Exemple : Ue suite arithmético-géométrique est de la forme u +1 = au + b = f(u ) avec x R, f(x) = ax + b O peut souvet tracer la courbe de la foctio f et représeter la suite (u ) sur ce graphique Cela ous doe des iformatios (des cojectures) cocerat la mootoie de la suite, les limites possibles, et so comportemet e gééral 8 < : Ci-cotre, les suites déies par : et 8 < : u 0 = 02 N, u +1 = u v 0 = 12 N, v +1 = v u0 = 05 par : N, u +1 = u v0 = 2 N, v +1 = v Ci-cotre, les suites déies et
7 1 Suites de réels : rappels et complémets 7/8 8 < : Ci-cotre, la suite déie par : u 0 = 05 N, u +1 = 1 (u + 1) Déitio 15 u0 I O dit qu'ue suite récurrete (u ) déie par ue relatio : N, u +1 = f(u ) si pour tout N, o a bie u I (pour qu'o puisse bie calculer f(u )) est bie déie Le plus souvet, o peut le motrer par récurrece Il sut de trouver u bo itervalle I tel que f(i) I O dit que I est u itervalle stable par f Théorème 16 Théorème du poit xe u0 I Soit (u ) ue suite déie par N, u +1 = f(u ) Si (u ) coverge vers u réel l I et si f est cotiue e l, alors o a écessairemet f(l) = l Le réel l est appelé u poit xe de f O sait doc que si la suite (u ) coverge, alors écessairemet elle coverge vers u poit xe Théorème 17 Soit (u ) ue suite déie par Méthode géérale d'étude d'ue suite récurrete u0 I N, u +1 = f(u ) Si la foctio f est croissate sur l'itervalle I, alors la suite (u ) sera mootoe Si la foctio f est décroissate sur l'itervalle I, alors o étudie les suites extraites d'idices pairs (u 2 ) et (u 2+1 ) qui, elles, serot mootoes Das certais cas, o peut utiliser l'iégalité des Accroissemets Fiis pour coclure sur la covergece d'ue suite récurrete Par exemple, si o motre à l'aide de l'iégalité des Accroissemets Fiis que k [0, 1[ / N, u +1 l k u l où l désige u poit xe de f, o e déduit par récurrece que N, u l k u 0 l, d'où par ecadremet que (u ) coverge vers l
8 8/8 1 Suites de réels : rappels et complémets 124 Sommes de Riema Propositio 18 Lie etre itégrale et aire Soit f : [a, b] R ue foctio cotiue et positive sur le segmet [a, b] Alors l'aire (e uités d'aires) comprise etre la courbe représetative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équatios x = a et x = b est : Z b a f(t)dt Déitio 19 Soit [a, b] u itervalle de R (o réduit à u poit) O partage cet itervalle [a, b] e segmets de logueur idetique, à savoir de logueur b a O géère aisi ue subdivisio (x 0, x 1, x 2,, x ) de [a, b] avec : O a x 0 = a et x = b k 0,, x k = a + k b a Théorème 20 Si f est cotiue sur le segmet [a, b], alors Sommes de Riema Remarques : X 1 b a lim f(x k ) = + Z b a b a f(t)dt et lim + X k=1 f(x k ) = Z b a f(t)dt R1 Pour appliquer la formule des sommes de Riema, il faut détermier le ombre de rectagles (le ombre de termes das la somme), les valeurs de a et b et l'expressio de la foctio f (cotiue sur [a, b]) R2 Cas particuliers importats : si [a, b] = [0, 1], alors si f est ue foctio cotiue sur [0, 1], X 1 1 lim f + k = Z f(t)dt et lim + X k=1 f k = Z 1 0 f(t)dt Exemple : Calculer la limite lorsque + de u = 1 1 X k 1 X k O a directemet que 1, u = 1 f pour f : x 1 O recoaît doc ue Somme de 1 + x Riema associée à la foctio f sur [0, 1] pour la subdivisio régulière de [0, 1] e segmets La foctio f état cotiue sur [0, 1], o e déduit que u = 1 1 X f k + Z 1 0 f(t)dt = Z 1 0 dt 1 + t = l(2)
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