Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme :

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1 Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites Extrait du programme : 1

2 I Rappels sur les suites Il existe deux façons de définir une suite : 1 Formule explicite Il existe une fonction f telle que la suite (U n ) soit définie par : U n = f (n) pour tout n entier naturel. Exemple : u n = n avec n N. Cette méthode permet de calculer U n pour tout n en un seul calcul. 2 Avec une relation de récurrence Une suite est définie par récurrence quand on connaît : son terme initial ( u 0 ou u 1 la plupart du temps) une fonction f telle que : U n+1 = f (U n ) qui permet de passer d un terme au terme suivant. Exemple { : u 0 = 1 u n+1 = un Cette méthode ne permet de calculer un terme que si l on connait la valeur du terme précédent. Il existe certaines suites qui sont particulières : 3 Suites arithmétiques Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que pour tout n, u n+1 u n = r Le nombre r est alors nommé la raison de la suite arithmétique. Pour toutn N, u n = u 0 + nr Pour tout n N et p N,u n = u p + (n p)r n n(n + 1) Pour tout entier n 1 : k = n =. k=1 2 Pour tout n N, si S = u 0 + u u n où (u n ) est arithmétique, Nombre de termes S = 2 4 Suites géométriques (Premier terme + dernier terme) = n (u 0 + u n ) Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si il existe un nombre réel q non nul tel que pour tout n, u n+1 = qu n. Le nombre q est alors nommé la raison de la suite géométrique. Pour tout n N,u n = u 0 q n Pour tout n N et p N,u n = u p q n p Pour tout réel q 1 et tout entier n 1 : q k = 1 + q q n = 1 qn+1 k=0 1 q. Pour tout n N, si S = u 0 + u u n où (u n ) est géométrique de raison q, alors : de termes 1 qnombre S = «premier terme» 1 q n = u 0 1 qn+1 1 q 2

3 5 Étude des variations Étude du signe de u n+1 u n Lorsque les termes sont strictement positifs, Étude de u n+1 u n et comparaison avec 1. Si la suite est définie de façon explicite par : u n = f (n) et que f est monotone, alors u n a le même sens de variation que f. II Raisonnement par récurrence Ce raisonnement est une méthode qui s applique lorsque l on cherche à démontrer qu une propriété dépendant d un entier naturel n est vraie pour tout entier n m, m étant un entier naturel donné. L idée souvent utilisée est la chute des dominos. Il faut deux conditions pour faire chuter les dominos à partir d un domino donné : On fait chuter ce premier domino, Si un domino chute, alors le suivant doit aussi chuter. Mise en oeuvre : On écrit la propriété P n à démontrer. Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie......pour tout entier naturel n...pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier non nul m Initialisation On vérifie que P 0 est vraie. On vérifie que P m est vraie. Hérédité On suppose que pour un entier naturel quelconque k la proposition P k est vraie, et sous cette hypothèse, on démontre que P k+1 est vraie. On suppose que pour un entier naturel quelconque k tel que k m la proposition P k est vraie, et sous cette hypothèse, on démontre que P k+1 est vraie. Conclusion On conclut que la proposition P n est vraie pour tout entier naturel n. On conclut que la proposition P n est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à m. On définit la suite (u n ) par : { u0 = 0 u n+1 = 4 + u 2 n pour n 0 Conjecturer une expression de u n en fonction de n puis démontrer cette conjecture. Solution : Point méthode 1 : Démontrer une propriété par récurrence. 3

4 Pour conjecturer la forme explicite de u n il faut calculer les premiers termes de la suite. u 0 = 0 u 1 = = 2 u 2 = = 8 = 2 2 u 3 = = 12 = 2 3 u 4 = = 4 = 2 4 u 5 = = 20 = 2 5 Conjecture : Il semble que u n = 2 n Pour démontrer cette conjecture, on peut utiliser un raisonnement par récurrence en spécifiant bien les 4 étapes ➀ il faut d abord définir une propriété, c est celle qu on veut démontrer Soit P(n) : «u n = 2 n» ➁ Il faut initialiser. Le premier rang est en général donné dans l énoncé ou bien par la suite. Ici la propriété semble vraie dès le rang 0, donc on initialise à 0 : Au rang 0 : u 0 = = 0 } P(0) est donc vraie ➂ Hérédité : On suppose que pour un entier k 0, u k = 2 k (on écrit juste P(k), c est notre hypothèse de récurrence) Montrons que u k+1 = 2 k + 1 (On écrit juste P(k + 1)) Pour démontrer ceci, on doit identifier le lien permettant de passer de u k à u k+1. Il s agit souvent de la relation de récurrence donnée dans la définition de la suite. Ici :u k+1 = 4 u 2 k Par HR, u k = 2 k On part souvent de l hypothèse de récurrence donc u 2 = 4 k On utilise un enchaînement de fonctions pour recréer le lien k ainsi 4 + u 2 = 4 + 4k = 4(1 + k) k 4 + u 2 = 4(1 + k) k alors u k+1 = 2 k + 1 On s arrête quand on a exactement la conclusion annoncée ➃ Conclusion : P(0) est vraie et l hérédité est vérifiée donc : n N,u n = 2 n On conclue en redonnant le premier rang, et en précisant bien que la proposition est vraie pour tout n Point méthode 1(bis) : Démontrer une propriété par récurrence. Démontrer que pour tout entier n 4, on a 2 n 4n. Solution : On note P n la propriété 2 n 4n. 1. Initialisation : La propriété est à démontrer pour n 4, l initialisation doit donc être faite pour n = 4, et léhérédité doit être démontrée en prenant un entier k 4. Lorsque n = 4, on a 2 n = 2 4 = 16 et 4n = 4 4 = 16. Ainsi P 4 est vraie. 2. Hérédité : On suppose P k vraie avec k 4, et on démontre que P k+1 est alors vraie. Il faut bien mettre en évidence le moment où on utilise l hypothèse de récurrence. Supposons que pour un entier naturel k 4, on ait 2 k 4k. 4

5 Montrons que 2 k+1 4(k + 1). On sait que 2 k+1 = 2 2 k par hypothèse de récurrence, 2 k 4k. Donc 2 k+1 = 2 2 k 2 4k, et ainsi 2 k+1 8k. Il nous reste démontrer que 8k 4(k + 1), ce qui équivaut à démontrer que 4k 4 Or k 4 donc k 1, et par conséquent 4k 4, CQFD la propriété P k+1 est donc vérifiée. 3. Conclusion : La propriété est vraie pour n = 4 et est héréditaire à partir du rang 4 donc, pour tout entier naturel n 4, on a 2 n 4n. III Comportement d une suite numérique 1 Suite bornée Définitions : Soit (u n ) une suite définie sur N et soient m et M deux nombres réels. On dit que (u n ) est majorée par M lorsque, pour tout entier naturel n, u n M. M est appelé majorant de la suite (u n ). On dit que (u n ) est minorée par m lorsque, pour tout entier naturel n, u n m. m est appelé minorant de la suite (u n ). On dit que (u n ) est est bornée lorsqu elle est minorée et majorée. Point méthode 2 : Démontrer qu une suite est bornée. { u 0 = 1.8 On considère la suite (u n ) définie par : etf (x) = 2 u n+1 = f (u n ) 3 x Démontrer que la suite (u n ) est bornée par 1 et 2. On admet que f est croissante sur [0;3[ Point méthode 2(suite) Solution :Un raisonnement par récurrence est parfaitement approprié pour ce genre de démonstration : On note P n la propriété : 1 u n 2. Initialisation : Lorsque n = 0, on a u 0 = 1,8 et 1 1,8 2. Ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k 0, on ait 1 u k 2, montrons que 1 u k+1 2. Par hypothèse de récurrence : 1 u k 2 Or f est croissante, donc f (1) f (u k ) f (2) et ainsi 1 u k+1 2. car f (1) = 1 et f (2) = 2, la propriété P k+1 est donc vérifiée. CQFD Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et est héréditaire à partir du rang 0 donc, pour tout entier naturel n 0, on a u n est bornée par 1 et 2. 5

6 2 Suite ayant une limite finie Définition : Une suite (u n ) converge vers un réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient également tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On écrit alors lim u n = l On dit alors que la suite est convergente ou qu elle tend vers l. Si une suite ne converge pas, on dit qu elle est divergente. Illustration graphique : Cette définition traduit l accumulation des termes u n autour de l. Aussi petit soit le rayon ε que l on prend autour de la limite, tous les termes de la suite rentrent dans le tube à partir d un certain rang. Point méthode 3 : Démontrer qu une suite converge vers l. On considère la suite (u n ) définie par u n = n + 1. Conjecturer à la calculatrice la limite de cette suite et démontrer votre conjecture. Solution : 1. On calcul u n pour de très grandes valeurs de n ou bien on observe la fonction associée. On conjecture que lim u n = On se donne un intervalle ouvert contenant la limite et on montre qu il contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Soit un intervalle ouvert I contenant 1, alors il contient un intervalle de la forme ]1 ε;1 + ε[ avec ε > 0. On veut montrer qu à partir d un certain rang n 0, on a u n ]1 ε;1 + ε[ pour tout n n 0. Or, u n ]1 ε;1 + ε[ 1 ε < n + 1 < 1 + ε ε < 1 n + 1 < ε 0 < 1 < ε car n N. n + 1 D où 1 ε < n + 1 n < 1 ε 1 Ainsi il suffit de prendre un entier n 0 tel que : n 0 > 1 ε 1 et ainsi, pour tout n n 0, on aura u n I. La suite converge donc vers 1. Algorithme : Détermination d un seuil à partir duquel u n est plus petit qu un nombre A donné 6

7 Exemple : On souhaite calculer le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite précédente sont plus petits qu une valeur A (par exemple 1,001). Ce calcul est faisable car la suite (u n ) est décroissante et tend vers 1. Entrée : Saisir A (par exemple A=1,001). Traitement : n prend la valeur 0. (car n N) u prend la valeur 2 (caru 0 = 2) Tant que u>a n prend la valeur n+1 u prend la valeur n+1. Fin Tant que Afficher n. Théorème : Unicité de la limite Lorsque la limite d une suite existe, elle est unique. Point méthode 3bis : Démontrer qu une suite converge vers l. On considère la suite u définie sur N par : u 0 = 2 u n+1 = u n On admettra que la suite u converge vers un réel l. 1. Montrer que ce réel vérifie : l = l 2. Déterminer la limite de cette suite. Solution : 1. La formule de récurrence et l unicité de la limite permettent d obtenir une équation vérifiée par la limite. On sait que u n+1 = u n Comme lim u n = l, par unicité de la limite, lim u n+1 = l Et on a donc l = l. 2. On trouve la valeur de la limite en résolvant l équation : En résolvant cette équation, on trouve l = 2. La suite converge donc vers 2. Propriétés : Les suites de terme général 1 n, 1 n 2, 1 n sont convergentes et leur limite est 0. Toute suite constante converge vers la valeur de cette constante. 3 Suite ayant une limite infinie Définitions : 7

8 La suite (u n ) diverge vers + si tout intervalle de type ]A;+ [ contient tous les termes u n de la suite à partir d un certain rang. On écrit alors : lim u n = +. La suite (u n ) diverge vers si tout intervalle de type ] ; a[ contient tous les termes u n de la suite à partir d un certain rang. On écrit alors : lim u n =. Une suite (u n ) diverge vers si la suite ( u n ) diverge vers +. Illustration graphique : Cette définition traduit l accumulation des termes u n autour de l. Quelle que soit la valeur de A que l on se donne, (aussi grande soit-elle), TOUS les termes de la suite vont dépasser cette valeur à partir d un certain rang. Propriété : Les suites de terme général n,n 2, n,n p (p N) sont divergentes et leur limite est +. Point méthode 4 : Démontrer qu une suite diverge vers + On considère la suite (u n ) définie par u n = n 2. Montrer que cette suite diverge vers + Solution : On doit prouver qu il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite sont plus grand qu un nombre A quelconque. Soit A un réel quelconque. Si A 0 alors pour tout entier n 1, n 2 A et par conséquent, à partir du rang N = 1, u n > A. Si A > 0 alors pour tout entier n > A on a n 2 A car la fonction racine carrée est croissante sur ] A;+ [. Par conséquent, en prenant N le plus petit entier naturel tel que N > A, pour tout n N, on a u n > A. Ainsi, pour tout entier n N, on a n 2 > A, avec A quelconque. Donc lim n2 = + Algorithme : détermination d un seuil à partir duquel u n est plus grand qu un nombre A donné 8

9 Exemple : On souhaite calculer le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite u n définie par n 2 sont plus grands qu une valeur A (par exemple 10 6 ). Ce calcul est faisable car la suite (u n ) est croissante et diverge vers +. Entrée : Saisir A (ici A=10 6 ). Traitement : n prend la valeur 0. u prend la valeur 0 (car u 0 = 0) Tant que u<a n prend la valeur n+1 u prend la valeur n 2. Fin Tant que Afficher n. IV Théorèmes généraux sur les les limites 1 Suites de référence 1.1 Suites (q n ) La suite (u n ) définie par : u n = q n est géométrique de raison q (q 0 et q 1 ). q 1 1 < q < 0 0 < q < 1 q > 1 (q n ) La suite est alternée et divergente (pas de limite). La suite est alternée et converge vers 0 La suite est décroissante et converge vers 0 La suite est croissante et diverge vers Suites (n p ) avec p N p > 0 p < 0 (n p ) La suite diverge vers +. La suite converge vers 0 2 Opérations sur les limites 2.1 Limite d une somme 9

10 2.2 Limite d un produit 2.3 Limite d un quotient Point méthode 5 : Démontrer une limite par opérations. Déterminer les limites des suites définies par : u n = n 2 + 4n + 1 et v n = (1 + 1 n )( n + 3) pour n 1 Solution : Lors d un calcul de limite, on essaye d abord d appliquer les théorèmes généraux. lim n = + donc lim 4n = + et alors lim 4n + 1 = +. De plus lim n2 = + D après la règle sur les limites d une somme : lim n2 + 4n + 1 = +. 1 lim lim n = 0 donc lim n = 1 n = + donc lim n = et lim n + 3 =. D après la règle sur la limite d un produit : lim (1 + 1 n )( n + 3) = Point méthode 6 : Lever une indétermination dans un calcul de limite. Déterminer les limites des suites définies par : u n = 2 n n et v n = n2 + 3n 3n pour n 0 Solution : On procède de la même façon lim 2 n = + et lim n =, on est en présence d une forme indéterminée ( ) Pour lever l indétermination, ( il faut souvent ) ( factoriser ) : 2 n 2 On factorise par n : u n = n n 1 = n n 1 10

11 lim n = + et lim 2 n n 1 = 1 Donc par limite d un produit, lim u n =. lim n2 + 3n = + et lim 3n2 + 4 = +, on est en présence d une forme indéterminée. On factorise le numérateur et le dénominateur de v n par n 2 : 3 v n = n2 (1 + 3 ) n 2 1+ n 2 (3 + 4 ) = n 2 4 n 2 3+ n 2 Or, lim 1+ 3 n 2 = 1 et lim 3+ 4 = 3 donc d après la règle sur la limite d un quotient : n2 lim v n = 1 3 V Théorèmes de comparaison 1 Pour les limites infinies Théorème : Si (u n ) et (v n ) sont deux suites telles que : u n v n à partir d un certain rang, La suite (u n ) a pour limite + quand n tend vers +. Alors, la suite (v n ) a pour limite + quand n tend vers +. Démonstration (BAC) : Soit un réel A, on a lim u n = + donc tout intervalle ]A;+ [ contient tous les u n à partir d un rang n 1. Ainsi, pour tout entier n tel que n n 1, A < u n. De plus, pour tout entier n tel que n n 0, u n < v n. Donc, si on appelle N, le plus grand des entiers n 0 et n 1 : On a pour tout entier n tel que n N : A < u n v n. Ainsi, tout intervalle ]A;+ [ contient tous les v n à partir d un rang N, ce qui veut dire que lim v n = +. CQFD Remarque : on peut formuler le même théorème en : Si u n v n à partir d un certain rang et lim v n = alors lim u n =. Point méthode 7 : Utiliser le théorème de majoration sur les limites infinies. 1. Préliminaire : Démontrer par récurrence l inégalité de Bernoulli : Pour tout entier n, (1 + a) n 1 + na. 2. Démontrer que si q > 1, alors lim qn = +. (BAC) 11

12 Point méthode 7 (Suite) Solution : 1. On utilise les 3 étapes du raisonnement par récurrence : On note P n la propriété «(1 + a) n 1 + na.» Initialisation : Lorsque n = 0, on a (1 + a) 0 = 1 et a = 1. Ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k 0, on ait (1+a) k 1+ka, et montrons que (1 + a) k (k + 1)a. On sait que (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) D après par hypothèse de récurrence, on a donc : (1 + a) k+1 (1 + ka) (1 + a). (1 + a) k a + ka + ka 2. (1 + a) k (k + 1)a + ka 2. (1 + a) k (k + 1)a. car ka 2 > 0 P k+1 est donc vérifiée. Conclusion : Pour tout entier n, (1 + a) n 1 + na. 2. Comme q > 1, on peut poser : q = 1 + a avec a > 0. Alors d après l inégalité de Bernoulli, q n 1 + na. Or, lim 1 + na = + donc par comparaison de limites, d après le théorème de majoration : lim qn = +. 2 Pour les limites finies Propriété : Si (u n ) a pour limite finie l et (v n ) a pour limite finie l et si u n v n à partir d un certain rang, alors l l. Théorème des gendarmes (admis) : Si les suites (u n ), (v n ) et (w n ) sont telles que : u n v n w n à partir d un certain rang. (u n ) et (w n ) ont la même limite finie l. Alors la suite (v n ) converge aussi vers l. Point méthode 8 : Utiliser le théorème des gendarmes. Déterminer la limite de la suite u définie par u n = sinn pour n 1. n Solution : Lorsqu on travaille avec une suite qui n a pas de limite, le théorème des gendarmes est souvent adapté. Ici, sinn n a pas de limite, mais on peut l encadrer par -1 et 1 : 1 sinn 1 1 n sinn n 1 car n 1. n 12

13 1 Or, lim n = lim 1 n = 0. Donc d après le théorème des gendarmes, lim u n = 0 3 Pour les suites monotones Propriété : Si une suite (u n ) est croissante et a pour limite finie l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. Démonstration : (RAISONNEMENT PAR L ABSURDE) Soit (u n ) une suite croissante de limite l, raisonnons par l absurde en supposant qu il existe un terme u p > l. Alors par croissance de la suite, pour tout n p, on a u n u p > l. De plus, l > l 1 et l < u p donc I =]l ;u p [ est un intervalle ouvert contenant l mais ne contenant pas les termes u n pour n p. Ceci contredit le fait que lim u n = l. Par conséquent, il ne peut pas y avoir de terme u p > l et donc tous les termes de la suite (u n ) sont inférieurs ou égaux à l. CQFD Théorème : Une suite croissante et majorée converge (ie a une limite finie). Une suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante et non majorée a pour limite +. Une suite décroissante et non minorée a pour limite. Démonstration du 3ème point : (les deux premiers résultats sont admis) Soit (u n ) une suite croissante et non majorée. Soit A un réel quelconque. Pour montrer que lim u n = +, montrons qu à partir d un certain rang, u n ]A;+ [. Comme (u n ) n est pas majorée par A, il existe un entier p tel que u p > A. Or (u n ) est croissante, donc pour tout n p, u n u p > A et donc : n p, u n ]A;+ [. CQFD Remarque : Attention, si une suite croissante est majorée par un réel M, on sait qu elle converge, mais on ne connaît pas sa limite! Cette limite est inférieure ou égale à M, mais on ne peut pas conclure qu elle est forcément égale à M. 13