Contrôle des EDP et problèmes inverses. Application au problème de reconstruction de données initiales. Karim RAMDANI

Transcription

1 Contrôle des EDP et problèmes inverses. Application au problème de reconstruction de données initiales. Karim RAMDANI INRIA Nancy Grand-Est et IECN Formation Problèmes Inverses, Contrôle des EDP Université Picardie Jules Verne, les 5 et 6 septembre 211 1

2 Table des matières 1 Introduction Motivation : le problème de la TAT Un problème modèle : l équation des ondes avec observation interne Les équations Formulation abstraite Le cas de la dimension finie : la notion d observateurs Introduction au contrôle des EDP d évolution linéaires Rappels sur les EDP d évolution linéaires Contrôlabilité exacte, observabilité exacte et stabilité exponentielle Reconstruction de données initiales pour les EDP d évolution linéaires Un résultat abstrait Application au problème modèle

3 1 Introduction On va s intéresser dans ce cours à la résolution d un problème inverse particulier : la reconstruction de données initiales dans une EDP d évolution linéaire à partir de mesures partielles. La principale originalité de la démarche proposée pour appréhender ce problème réside dans l utilisation de la notion d observateurs. Initialement introduit en automatique (systèmes dynamiques de dimension finie), nous verrons que ce concept peut être généralisé au cas de certains systèmes de dimension infinie, typiquement les EDP linéaires d évolution. Les résultats présentés dans ce cours sont issus de travaux menés en collaboration avec Ghislain HAINE, Marius TUCSNAK et George WEISS. 1.1 Motivation : le problème de la TAT Un potentiel électrique f appliqué sur la surface Ω d un corps Ω (Ω étant un ouvert de R d ) caractérisé par une conductivité électrique σ donne naissance à un potentiel électrique u à l intérieur de Ω. On peut montrer qu à l équilibre, u est solution de l EDP : div (σ(x) u(x)) = x Ω u(x) = f(x) x Ω On suppose que l on mesure le courant surfacique j(x) = σ(x) u(x) n sur la surface Ω Ω (ou éventuellement sur une partie de Ω). Dans la tomographie par impédance électrique (EIT en anglais), il s agit de résoudre le problème inverse consistant à reconstruire σ(x) à partir d un ou plusieurs couples excitation mesure surfaciques : P EIT Reconstruire la conductivité σ(x) à partir de la connaissance d un ou plusieurs couples : (f, j). Les applications médicales de l EIT sont nombreuses, notamment pour le diagnostic de cancers du sein ou de la peau. On sait que le problème inverse P EIT est sévèrement mal posé et que la conception d algorithmes efficaces de reconstruction est loin d être aisée [2, 7, 9]. Une des solutions possibles pour pallier cette difficulté est de combiner l EIT avec une autre technique d imagerie fournissant des données supplémentaires. Dans un modèle de tomographie thermoacoustique (TAT) proposé par Gebauer et Scherzer [11], il s agit de compléter les mesures électriques par des mesures acoustiques. Plus précisément, l énergie électrique absorbée par les tissus conduit à une augmentation de leur température, laquelle induit à son tour des effets d expansion générant une onde acoustique qui peut être mesurée à l extérieur du corps. Du point de vue mathématique, les équations modélisant la TAT sont donc constituées de deux systèmes d équations, le premier décrivant la partie électrique et le second 3

4 la propagation de l onde acoustique générée par le potentiel électrique : 2 w div (σ(x) u(x)) = (Ω) t 2 (x, t) w(x, t) = Rd (, τ) w(x, ) = w u(x) = f(x) ( Ω) σ (x) Rd w (x, ) = Rd t où le couplage entre les deux systèmes se fait via la variable w σ (x) := 1 Ω (x)σ(x) u(x) 2, x R d. On suppose que l on mesure le courant surfacique j = σ u n sur la surface Ω (ou éventuellement sur une partie Ω de Ω), la pression w(x, t) ou sa dérivée w (x, t) pour t (, τ) sur une surface donnée S t (avec éventuellement S = Ω). Le problème inverse étudié en Tomographie Thermo-Acoustique (TAT) est le suivant : P T AT Reconstruire la conductivité( σ(x) à partir de la connaissance d un ou plusieurs ) triplets : (f, j, w S (,τ) ou f, j, w ). t S (,τ) Pour plus de précisions sur les problèmes de tomographie, on renvoie le lecteur aux travaux d Ammari et al. [3], Gebauer et Scherzer [11], Kuchment et al. [1, 13], Stefanov et Uhlmann [2] et Vogelius et al. [1, 23]. 1.2 Un problème modèle : l équation des ondes avec observation interne Les équations La propagation d une onde acoustique dans un milieu homogène et isotrope caractérisé par une vitesse de propagation constante (supposée égale à 1) est décrite par l équation des ondes 2 w (x, t) w(x, t) =, (1.1) t2 où w(x, t) désigne la (sur-)pression au point x R d, à l instant t. Cette équation peut être obtenue par linéarisation de l équation d Euler pour les fluides compressibles autour d une position d équilibre, dans le cas des petites perturbations. Ici, on considère le problème modèle d une onde acoustique se propageant dans un domaine Ω (Ω ouvert régulier de R d ) 2 w (x, t) w(x, t) = x Ω, t t2 w(x, t) =, x Ω, t (1.2) w(x, ) = w (x), x Ω, w t (x, ) = w 1(x), x Ω, 4

5 Figure 1 Reconstruction des données initiales (en rouge) pour l équation des ondes à partir de mesures internes sur l intervalle de temps (, τ) (en vert). Etant donné τ > et un ouvert O Ω, on suppose que l on dispose de la mesure de w t sur le cylindre O (, τ) : y := w t. (1.3) O (,τ) Le problème inverse étudié durant ce cours est schématisé sur la Figure 1 et s énonce comme suit : P ONDES Etant donnés τ > et O Ω, reconstruire les données initiales w et w 1 à partir de la connaissance de y := w t. O (,τ) Avant d aller plus loin, commençons par quelques remarques préliminaires. 1. Linéarité : Le problème inverse ci-dessus est linéaire, au sens où l application Ψ : Données Initiales (w, w 1 ) Observation y l est. Ce n est pas le cas des problèmes plus ardus de reconstruction de coefficients. 2. Choix de τ et O : Le problème inverse ci-dessus n a de sens que si τ et O sont choisis convenablement. En effet, la propagation de l information se faisant à vitesse finie, on n a aucun espoir de reconstruire les données initiales si le temps d observation τ ou la zone d observation O sont trop petits (par exemple, dans ce cas, il se peut très bien que w(x, t) pour (x, t) O (, τ), sans que w et w 1 ne soient identiquement nuls). Nous ferons toujours l hypothèse que le problème inverse considéré est bien posé, au sens où l application (w, w 1 ) y est non seulement injective, mais bornée inférieurement (les espaces et normes adéquats seront définis de manière plus précise ultérieurement) k > tel que y = Ψ(w, w 1 ) k (w, w 1 ). Comme on le verra par la suite, cette condition est précisément la notion d observabilité exacte bien connue en théorie du contrôle. 5

6 3. Autres types d observation : Le problème inverse dans lequel la mesure disponible est la pression y := w O (,τ) et non de sa dérivée temporelle peut être traité par la même approche que celle que nous développerons. On pourrait également envisager le problème inverse correspondant à une mesure frontière (et non pas interne) w Γ (,τ) sur une partie Γ Ω. L approche que nous présentons ici peut être utilisée pour appréhender ce problème, modulo quelques complications purement techniques. Nous renvoyons le lecteur intéressé à Ramdani et al. [18] Formulation abstraite Afin de résoudre le problème inverse P ONDES, la première étape consiste à réécrire le système du second ordre (1.2) sous la forme d un système du premier ordre. Ceci peutêtre effectué formellement (la formulation d ordre 1 avec la définition précise des espaces fonctionnels et des opérateurs considérés sera donné dans le.2) en introduisant la nouvelle inconnue [ ] w(t) z(t) =. ẇ(t) Ci-dessus, on a noté w(t) la fonction x Ω w(x, t) et ẇ(t) la fonction x Ω w (x, t). Il est alors aisé de vérifier que (1.2) prend la forme abstraite t ż(t) = Az(t), t (, τ) z() = z, avec [ ] I A =, D D désignant l opérateur Laplacien-Dirichlet sur Ω, ] z = [ w w 1. De même, la mesure peut se réécrire sous la forme équivalente via un opérateur linéaire agissant sur la nouvelle inconnue z : ] y(t) = Cz(t) C = [ 1 O, où 1 O désigne la fonction caractéristique de l ouvert O. Le problème inverse P ONDES consiste donc à reconstruire la donnée initiale d un système linéaire de dimension infinie ż(t) = Az(t), t (, τ) z() = z, à partir de la connaissance de l observation obtenue via un opérateur linéaire d observation y(t) = Cz(t). L inconnue z est appelée état du système et y est la sortie ou l observation. La dynamique du système est décrite par l opérateur (aux dérivées partielles) A. L approche que nous présentons dans ce cours a été initialement introduite pour résoudre ce type de problèmes inverses pour les systèmes linéaires de dimension finie, i.e. lorsque A et C sont des matrices. Nous allons donc commencer par présenter la démarche dans ce contexte, ce qui nous permettra d introduire l ingrédient principal de notre approche : les observateurs (aussi appelés observateurs de Luenberger [16]). 6

7 1.3 Le cas de la dimension finie : la notion d observateurs. Soient n N, et A C n n une matrice carrée. On considère le système dynamique ż(t) = Az(t), t, (1.4) où z(t) C n désigne l état du système à l instant t et ż(t) sa dérivée temporelle. On suppose que l on dispose d une mesure partielle y(t) obtenue à partir de l état du système via un opérateur linéaire d observation C C m n, avec m N (éventuellement distinct de n) : y(t) = Cz(t) = Ce ta z(), t. (1.5) Le problème inverse auquel on s intéresse ici est le suivant : Comment reconstruire l état initial du système z := z() à partir de la connaissance de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (, τ)? Autrement dit, comment résoudre le système linéaire (rectangulaire) : Ce ta z = y(t), t (, τ). (1.6) Comme on l a vu ci-dessus, une première question s impose à la lecture de cet énoncé : ce problème a-t-il un sens? En d autres termes, est-il certain que la donnée d une mesure y(t) sur (, τ) détermine totalement la donnée initiale z? La réponse à cette question est donné par la notion d observabilité, que nous allons maintenant définir. On associe au système avec observation (A, C) défini par (1.4)-(1.5) l application linéaire Ψ τ L(C n, L 2 ([, ); C m )) qui à une donnée initiale z X associe la sortie correspondante sur (, τ) : (Ψ τ z ) (t) = Ce ta z si t (, τ), si t > τ. Définition 1.1. Le système (A, C) est dit observable s il existe un temps τ > tel que Ker Ψ τ = }. La condition nécessaire et suffisante d observabilité la plus classique pour les systèmes de la forme (1.4)-(1.5) est la condition du rang de Kalman (pour la preuve, voir par exemple [22, Proposition ]). Théorème 1.2. Le système (A, C) est observable si et seulement si rang C CA CA 2. CA n 1 On notera que cette condition est indépendante de τ, ce qui montre en particulier qu en dimension finie (ce ne sera plus le cas en dimension infinie), lorsqu un système linéaire est observable, il l est en temps arbitrairement petit. On peut montrer qu une = n. 7

8 condition équivalente est que le Grammien d observabilité du système (A, C), défini comme la matrice de C n n τ ( G := Ce ta) Ce ta dt soit inversible (et plus précisément que la matrice symétrique G soit définie positive, voir [22, p. 19]). En effet, la solution z de (1.6) est également solution du système linéaire où l on a posé Y = τ Gz = Y ( Ce ta) y(t) dt C n. Toutefois, il s avère que ce système linéaire est mal conditionné et sa résolution coûteuse. Nous allons voir que l utilisation des observateurs de Luenberger [16] constitue une solution alternative intéressante. Commençons par quelques définitions. Définition 1.3. Une matrice A C n n est dite de Hurwitz si son spectre σ(a) est situé dans le demi-plan gauche ouvert de C : σ(a) λ C Re (λ) < }. On notera qu un système (1.4) associé à une matrice A de Hurwitz conduit à des solutions stables : z(t) =. Plus précisément, on peut montrer que ces solutions sont lim t + exponentiellement stables : il existe ω > (plus précisément : < ω < M > (dépendant de ω) tel que z(t) M e ωt z, t >, z C n. min Re λ ) et λ σ(a) Définition 1.4. Le système (A, C) décrit par (1.4)-(1.5) est dit détectable s il existe une matrice H C n m, appelée matrice de gain, telle que A + HC soit de Hurwitz. On aura également besoin de considérer le retourné temporel du système dynamique étudié, et on introduit à cet effet la notion suivante. Définition 1.5. Le système (A, C) est dit détectable dans le sens rétrograde si ( A, C) est détectable. On a alors le résultat suivant ; pour la preuve, voir par exemple les ouvrages de Trélat [21, p.232] ou de Sontag [19, p. 316] sur le contrôle des systèmes de dimension finie. Théorème 1.6. Tout système observable est détectable. Supposons que le système (A, C) est détectable dans les sens direct et rétrograde. Autrement dit, on suppose qu il existe deux matrices de gain H +, H C n m telles que A + = A + H + C et A = A + H C soient de Hurwitz. Nous allons voir que sous cette hypothèse (et en s assurant que les deux inégalités (1.11) sont vérifiées), on peut obtenir un algorithme itératif de reconstruction de z. Si l on note ω ± = min Re λ et que l on choisit ω de sorte que < ω < λ σ(a ± ) minω+, ω }, alors il existe M > tel que e ta+ Me ωt, e ta Me ωt. (1.7) 8

9 Considérons alors la solution z + du système ż+ (t) = A + z + (t) H + y(t), t (, τ), z + () = z + Cn. (1.8) z + constitue un observateur de z car si l on introduit l erreur alors on a aisément D où e + (t) = z + (t) z(t), ė + (t) = ż + (t) ż(t), = A + z + (t) H + Cz(t) Az(t), = A + z + (t) A + z(t) = A + e + (t). z + (τ) z(τ) = e + (τ) = e τa+ e + () = e τa+ (z + z ). En particulier, compte tenu de (1.7), cette erreur tend exponentiellement vers lorsque τ tend vers l infini. Ainsi, à l aide d un observateur, on peut reconstruire l état d un système détectable en temps long. Comme par hypothèse on travaille ici en horizon fini (τ < + ), nous allons utiliser une approche itérative. On introduit pour ce faire un observateur rétrograde z défini par ż (t) = A z (t) + H y(t), t (, τ), z (τ) = z + (τ) C n (1.9), Posant e (t) = z (t) z(t), on a comme précédemment ė (t) = A e (t), ce qui nous donne e () = e τa e (τ). Or e + (τ) = e (τ), donc e () = e τa e τa+ e + (), ou encore En prenant z + z () z = e τa e τa+ (z + z ). =, il vient compte tenu de (1.7) que z () z e τa+ e τa z. (1.1) Encore une fois, on voit qu en horizon infini, z () constitue une approximation de l état initial recherché. En horizon fini, il suffit d itérer le processus décrit ci-dessus comme indiqué sur la Figure 2, en supposant toutefois que τ est suffisamment grand pour que α + := e τa+ < 1 α := e τa < 1 (1.11) Remarque 1.7. Remarquons que lorsque A + et A sont diagonalisables, on peut choisir M = 1 dans (1.7), de sorte que (1.11) sont satisfaites pour tout τ >. 9

10 Figure 2 Observateurs itératifs. Alors, en résolvant de nouveau (1.8) et (1.9) mais en posant cette fois-ci z + = z 1 () (la première estimation de z ), on obtient une nouvelle estimée de z notée z2 (). Par (1.1), on obtient z2 () z α + α z1 () z (α + α ) 2 z. De cette façon, en itérant N fois ce procédé, on obtient par récurrence l estimation suivante pour la qualité de la reconstruction z N () z (α + α ) N z, Grâce à (1.11), z N () tend bien exponentiellement vers la donnée initiale z quand le nombre d itérations N tend vers l infini. Remarque 1.8. L algorithme itératif décrit ci-dessus a été proposé par Auroux et Blum [5] dans le contexte des problèmes d assimilation de données sous le nom de Back and Forth Nudging (BFN) algorithm. Toutefois, l étude de la convergence n a été menée que dans le cadre d une observation totale dans [4]. En résumé, l algorithme de reconstruction consiste à résoudre de manière itérative deux équations d évolution (à savoir (1.8) et (1.9)) ayant un terme de rappel à la mesure et dont seules les conditions initiales ou finales changent. Plus précisément, on a le résultat suivant. Théorème 1.9. Soit (A, C) un système détectable dans les sens direct et rétrograde. On note H ± les matrices de gain associées aux systèmes (±A, C). On suppose que les matrices A ± := ±A + H ± C vérifient e ta+ Me ωt, e ta Me ωt, avec α + := e τa+ < 1 α := e τa < 1. 1

11 Enfin, on introduit les observateurs z + n (t) et z n (t), n 1, définis par ż n + (t) = A + z n + (t) H + y(t), t (, τ) z n + () = zn 1 () pour n 2 () =, z + 1 ż n (t) = A zn (t) + H y(t), t (, τ) zn (τ) = z n + (τ) pour n 1 (1.12) Alors, on a l estimation z N () z (α + α ) N z, N 1. Le suite de ce cours est consacrée à l obtention et à l analyse d une version infinidimensionnelle de l algorithme itératif (1.12). Il apparaît d ores et déjà que les points cruciaux à étudier sont les suivants : Sous quelle(s) condition(s) peut-on garantir la détectabilité de (A, C) dans les sens direct et rétrograde, i.e. l existence d opérateurs H + et H tels que les solutions des systèmes associés à A + = A + H + C et A = A + H C soient exponentiellement stables? Sous quelle(s) condition(s) a-t-on les inégalités (1.11), à savoir α ± := e ta± < 1. Nous verrons que comme pour la dimension finie, la réponse à ces deux questions dans le cas des ondes est directement liée à la notion d observabilité (exacte) des systèmes étudiés. 11

12 2 Introduction au contrôle des EDP d évolution linéaires Nous renvoyons le lecteur intéressé par le contrôle des systèmes de dimension infinie au récent livre de M. Tucsnak et G. Weiss [22] ou à l article de review d E. Zuazua [24]. 2.1 Rappels sur les EDP d évolution linéaires L objet de ce paragraphe est de rappeler quelques résultats classiques concernant l existence et l unicité des solutions des équations d évolution de la forme ż(t) = Az(t) + f(t) t (, τ) z() = z, où A : D(A) X est un opérateur non borné sur espace de Hilbert X. Lorsque A est un opérateur borné de X, l unique solution du problème ci-dessus est donnée par la formule de Duhamel t z(t) = e ta z + e (t s)a f(s) ds si f C((, τ); X). Dans le cas d un opérateur A non borné (par exemple un opérateur aux dérivées partielles), on ne peut évidemment plus parler de son exponentielle. Il existe néanmoins une classe d opérateurs pour laquelle il est possible de définir une notion comparable, les semi-groupes d opérateurs (pour une introduction à la théorie des semi-groupes voir par exemple Cazenave et Haraux [8], Pazy [17] ou Tucsnak et Weiss [22, Chap. 2]). Commençons par rappeler les notions d opérateurs dissipatifs et m-dissipatifs, qui jouent un rôle crucial pour l étude des problèmes de Cauchy. Définition 2.1. Un opérateur A : D(A) X est dissipatif s il vérifie Re (Az, z), z D(A). Un opérateur A : D(A) X est m-dissipatif (maximal-dissipatif) s il est dissipatif et si I A est surjectif. Parmi les opérateurs m-dissipatifs, on soulignera plus particulièrement les opérateurs donnés par le résultat suivant. Proposition 2.2. Soit A : D(A) X un opérateur non borné de domaine dense. (i) Si A est autoadjoint et dissipatif, alors A est m-dissipatif. (ii) A est antiadjoint si et seulement si A et A sont m-dissipatifs. Le rôle tout particulier joué par les opérateurs m-dissipatifs dans l étude des problèmes d évolution est fourni par le théorème suivant. 12

13 Théorème 2.3 (Théorème de Lumer-Phillips). Soit A : D(A) X un opérateur linéaire non borné sur un espace de Hilbert X. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (1) A est m-dissipatif. (2) A est le générateur d un semi-groupe continu de contractions (e ta ) t, i.e. e ta 1 pour tout t. Remarque 2.4. En particulier, A ωi est m-dissipatif si et seulement s il engendre un semi-groupe (e ta ) t sur X, vérifiant e ta e ωt. On a également le résultat suivant, caractérisant les semi-groupes de générateur antiadjoint. Théorème 2.5 (Théorème de Stone). Soit A : D(A) X un opérateur non borné d un Hilbert X. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (1) A est antiadjoint. (2) A est le générateur d un groupe unitaire (e ta ) t R sur X. Définition 2.6. Soit A le générateur d un semi-groupe continu de (e ta ) t sur X. On définit son type (taux de croissance) par 1 ω (A) = inf t> t log eta. Proposition 2.7. Soit A le générateur d un semi-groupe continu de (e ta ) t sur X de type ω (A). Alors 1. ω (A) [, + ) 2. ω (A) = lim t + 1 t log eta 3. ω (A) = infω R M ω >, tel que e ta M ω e ωt, t } Définition 2.8. On dit que A engendre un semi-groupe exponentiellement stable si et seulement si ω (A) <. Soit A : D(A) X le générateur d un semi-groupe continu (e ta ). On considère le problème de Cauchy non homogène suivant ż(t) = Az(t) + f(t), t (, τ) (2.1) z() = z. Concernant les solutions fortes, on a le résultat suivant. Théorème 2.9. Soit A : D(A) X le générateur d un semi-groupe continu (e ta ). Si z D(A) et si f C 1 ((, τ); X), alors le problème (2.1) admet une unique solution forte z C((, τ); D(A)) C 1 ((, τ); X) donnée par la formule de Duhamel t z(t) = e ta z + e (t s)a f(s) ds. (2.2) 13

14 Remarque 2.1. On pourrait penser que f C((, τ); X) suffise à assurer l existence et l unicité d une solution forte. En fait, il n en est rien 1. Si l on veut se contenter de données f seulement continues, alors elles doivent être à valeurs dans D(A), i.e. f C((, τ); D(A)). Pour la plupart des applications qui nous intéresseront par la suite en théorie du contrôle, les hypothèses z D(A) et f C 1 ((, τ); X) faites dans le théorème 2.9 sont en général beaucoup trop fortes. Des hypothèses plus faibles consistent à supposer que z X et que f L 1 (, τ; X). On note que dans ce cas, l expression (2.2) a encore un sens et justifie donc la définition suivante. Définition Soit A : D(A) X le générateur d un semi-groupe continu (e ta ). Si z X et si f L 1 (, τ; X), on dira que z C((, τ); X) est solution faible du problème (2.1) si t z(t) = e ta z + e (t s)a f(s) ds, t (, τ). Les résultats ci-dessus permettent de traiter les systèmes de type ondes, que l on va maintenant décrire plus précisément. Etant donné un opérateur A : D(A ) H autoadjoint défini positif sur un espace de Hilbert H, on considère le problème de Cauchy ẅ(t) + A w(t) = f (t) t (, τ) w() = w, ẇ() = w 1, (2.3) Proposition Soit A : D(A ) H un opérateur autoadjoint ) strictement positif sur un espace de Hilbert H. Pour (w, w 1 ) D (A ) D (A 2 1 et pour f C 1 ((, τ); H), le problème de Cauchy (2.3) admet une unique solution forte )) w C ((, τ); D(A )) C ((, 1 τ); D (A 1 2 C 2 ((, τ); H). Preuve. On commence[ par ] réécrire le problème d ordre 2 ci-dessus comme un système w d orde 1 d inconnue z =. On obtient alors le problème d évolution ẇ ż(t) = Az(t) + f(t), t (, τ) z() = z, (2.4) avec [ ] [ ] [ ] I w A =, f =, z A f =. (2.5) w 1 ) Soit X l espace de Hilbert D (A 2 1 H, muni du produit scalaire ) (z 1, z 2 ) = (A 1 2 ϕ 1, A 1 2 ϕ 2 H + (ψ 1, ψ 2 ) H. 1. En effet, soit un groupe d isométries e ta sur X de générateur A et soit x X \ D(A). Alors, pour f(t) = e ta x et z =, le problème (2.1) a pour solution z(t) = 14 t e (t s)a e sa x ds = t e ta x / D(A).

15 où z 1 = [ ] ϕ1 ψ 1, z 2 = [ ] ϕ2 ψ 2 sont deux éléments de X. On vérifie ) aisément que l opérateur A : D (A) X de domaine D (A) = D (A ) D (A 2 1 et défini par (2.5) est antiadjoint. Comme on a par hypothèse z D(A) et si f C 1 ((, τ); X), le théorème 2.9 montre que le problème (2.4) admet une unique solution z C((, τ); D(A)) C 1 ((, τ); X), ce qui revient à dire que (2.3) admet unique solution w vérifiant )) w C ((, 1 τ); D (A 2 1 C ((, τ); D(A )) et et donc ce qui achève la démonstration. ẇ C 1 ((, τ); H), w C 2 ((, τ); H). Dans le cas de l équation des ondes classique (1.1), le résultat ci-dessus prend la forme suivante. Etant donné un ouvert borné Ω de R d, on considère sur l espace H = L 2 (Ω) l opérateur autoadjoint strictement positif A de domaine D(A ) = H 2 (Ω) H 1 (Ω) et tel que A ϕ = ϕ pour tout ϕ D(A ). L équation des ondes (avec un terme source) s écrit : 2 w t 2 (x, t) w(x, t) = f (x, t) x Ω, t (, τ) w(x, ) = w (x) x Ω (2.6) w t (x, ) = w 1(x) x Ω w(x, t) = x Ω, t (, τ). La proposition 2.12 montre alors que si ( ) (w, w 1 ) H 2 (Ω) H 1 (Ω) H 1 (Ω), f C 1 ((, τ); L 2 (Ω)), alors le problème (2.6) admet une unique solution forte ( ) ( ) w C (, τ); H 2 (Ω) H 1 (Ω) C 1 (, τ); H 1 (Ω) C 2 ((, τ); L 2 (Ω)). ) Il suffit en effet de remarquer que dans ce cas, on a : D (A 1 2 = H 1(Ω). Pour clore ce paragraphe, nous allons examiner le cas des solutions faible. En reprenant la même démarche que ci-dessus, on obtient aisément les deux résultats suivants. Proposition Soit A : D(A ) H un opérateur ) autoadjoint strictement positif sur un espace de Hilbert H. Si (w, w 1 ) D (A 1 2 H et f L 1 (, τ; H), alors le problème de Cauchy (2.3) admet une unique solution faible ( )) w C (, τ); D (A 2 1 C 1 ((, τ); H). Dans le cas particulier de l équation des ondes (2.6), cette proposition fournit le résultat suivant. 15

16 Proposition Si (w, w 1 ) H 1(Ω) L2 (Ω) et si f L 1 (, τ; L 2 (Ω)), alors le problème de Cauchy (2.6) admet une unique solution faible w C ( ) (, τ); H 1 (Ω) C 1 ((, τ); L 2 (Ω)). 2.2 Contrôlabilité exacte, observabilité exacte et stabilité exponentielle Dans ce paragraphe, on se donne X : espace des états trois espaces de Hilbert : U : espace des contrôles Y : espace des observations un opérateur non borné A : D(A) X générateur d un semi-groupe continu e ta un opérateur d observation C L(X, Y ) un opérateur de contrôle B L(U, X). On définit les deux applications suivantes l application Donné initiale/sortie (du système libre) ( ) Ψ τ L X, L 2 (, τ; Y ), (Ψ τ z ) (t) = Cz(t) := y(t), t (, τ), ż(t) = Az(t) où z(t) = e ta z, z X, est solution du problème libre z() = z. l application Contrôle/Donnée finale (du système contrôlé) où z(t) = t ( ) Φ τ L L 2 (, τ; U), X, Φ τ u = z(τ) e (t s)a Bu(s) ds est solution de ż(t) = Az(t) + Bu(t) z() =. Définition 2.15 (Observabilité exacte). Le système (A, C) défini par ż(t) = Az(t) y(t) = Cz(t). (2.7) est exactement observable en temps τ si et seulement si l application Donné initiale/sortie Ψ τ L ( X, L 2 (, τ; Y ) ) est bornée inférieurement, i.e. s il existe k τ > tel que τ τ y(t) 2 Y dt = Ce ta 2 z dt Y k2 τ z 2, z X. (2.8) L inégalité (2.8) est appelée inégalité d observabilité, et k τ la constante d observabilité. On dira que (A, C) est exactement observable s il existe un temps τ > pour lequel il est exactement observable. Définition 2.16 (Détectabilité). Le système (A, C) défini par (2.7) est détectable si et seulement il existe H L(Y, X) tel que A + HC engendre un C semi-groupe exponentiellement stable sur X. 16

17 Définition 2.17 (Contrôlabilité exacte). Le système (A, B) défini par ż(t) = Az(t) + Bu(t) z() =. est exactement contrôlable en temps τ si et seulement si l application Contrôle/Donnée finale Φ τ L ( L 2 (, τ; U), X ) est surjective sur X : Im Φ τ = X. On dira que (A, B) est exactement contrôlable s il existe un temps τ > pour lequel il est exactement contrôlable. Remarque Par linéarité des systèmes étudiés, il est clair que la contrôlabilité en partant de l état initial z = est équivalente à celle définie à partir d un état z arbitraire. Il suffit pour s en convaincre de noter que la solution en partant de z X est donnée à l instant τ par τ z(τ) = e τa z + e (τ s)a Bu(s) ds = e τa z + Φ τ u, et donc z(τ) = z τ si et seulement si Φ τ u = z τ e τa z. Le théorème suivant, dont on pourra trouver la preuve dans Liu [15], fournit le lien entre les notions d observabilité exacte, de contrôlabilité exacte et de stabilité exponentielle. Théorème 2.19 ([15, Théorème 2.3.]). Etant donnés deux espaces de Hilbert X et Y, on considère un opérateur antiadjoint A : D(A) X et un opérateur d observation C L(X, Y ). Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) (A, C) est exactement observable. (ii) (A, C ) est exactement contrôlable. (iii) (A, C) est détectable. (iv) A C C engendre un C semi-groupe exponentiellement stable sur X. (v) A C SC engendre un C semi-groupe exponentiellement stable sur X pour tout opérateur autoadjoint défini positif S L(Y ). 17

18 3 Reconstruction de données initiales pour les EDP d évolution linéaires 3.1 Un résultat abstrait Soient X un espace de Hilbert (espace des états), A : D(A) X un opérateur antiadjoint et C L(X, Y ) un opérateur d observation, où Y est un autre espace de Hilbert (espace des sorties). On considère alors le système (A, C) défini par ż(t) = Az(t), t, (3.1) z() = z D(A), y(t) = Cz(t), t. (3.2) On laisse le soin au lecteur de vérifier que le problème de type ondes (1.2)-(1.3) peut s écrire sous la forme ci-dessus, en s inspirant par exemple de la preuve de la proposition Comme on l a vu à la fin du Chapitre 1, pour pouvoir généraliser à la dimension infinie notre algorithme itératif de reconstruction, il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites : 1. Garantir l existence d opérateurs H +, H L(Y, X) tels que A + := A + H + C et A := A + H C engendrent des C semi-groupes exponentiellement stables sur X : il existe M, ω > tel que e ta+ Me ωt, e ta Me ωt. 2. Garantir que les coefficients α ± := e τa± vérifient α ± < 1. Le résultat suivant montre que ces deux conditions sont effectivement vérifiées pour les systèmes (A, C) exactement observables. Théorème 3.1. Soient X un espace de Hilbert, A : D(A) X un opérateur antiadjoint et C L(X, Y ) un opérateur d observation, où Y est un autre espace de Hilbert. On suppose que le système (A, C) exactement observable en temps τ. Alors, on a les deux résultats suivants : 1. Les systèmes (A, C) et ( A, C) sont détectables : il existe H +, H L(Y, X) tels que A + := A + H + C et A := A + H C engendrent des C semi-groupes exponentiellement stables sur X. En particulier, il existe M, ω > tel que e ta+ Me ωt, e ta Me ωt. 2. Pour H + = H = γc, avec γ >, les coefficients α ± := e τa± vérifient α ± < 1. Démonstration. 1. D après le Théorème 2.19, (A, C) exactement observable entraîne que (A, C) est détectable. D autre part, l observabilité exacte de (A, C) implique celle de ( A, C) puisque τ Ce ta 2 τ z dt = ( ) Ce sa e τa 2 z ds (en posant s = τ t) Y Y kτ 2 e τa 2 z (par observabilité exacte de (A, C)) kτ 2 z 2 (puisque A est antiadjoint). 18

19 Par conséquent, ( A, C) est également détectable, encore une fois par le Théorème Ce point est démontré dans Ramdani et al. [14, Lemma 2.2.]. Nous en redonnons ici la preuve. Posons pour z D(A) et t : z(t) = e ta z, z + (t) = e ta+ z. Compte tenu des équations différentielles satisfaites par z et z +, il est clair que w = z z + vérifie ẇ(t) = Aw(t) H + Cz + (t), et donc Comme e ta+ w() =, t w(t) = e (t s)a H + Cz + (s) ds. est un groupe unitaire, la relation ci-dessus entraîne immédiatement que w C((,τ),X) H + Cz + L 1 ((,τ),x), d où l on obtient aisément par Cauchy-Schwarz que Cw L 2 ((,τ),y ) tau C H + Cz + L 2 ((,τ),y ). Comme Cz = Cz + + Cw, l inégalité ci-dessus implique que ( ) Cz 2 L 2 ((,τ),y ) 2 Cz + 2 ( L 2 ((,τ),y ) + Cw 2 L 2 ((,τ),y ) τ 2 C 2 H + 2) Cz + 2 L 2 ((,τ),y ) En combinant cette inégalité avec l inégalité d observabilité (2.8), on obtient que le système (A + H + C, C) est exactement observable en temps τ : τ Cz + (t) 2 dt Kτ 2 z 2, z D(A). (3.3) avec la constante d observabilité K τ = k τ 2 (1 + τ 2 C 2 H + 2 ). Par ailleurs, on a ż+ (t) = (A + H + C)z + (t), z + () = z, et donc, en prenant le produit scalaire de la première relation ci-dessus par z + (t) puis en intégrant en temps, il vient que z + (τ) 2 z 2 = 2γ compte tenu du choix particulier H + = γc. τ Cz + (t) 2 dt, Combinée à (3.3), cette relation montre (puisque z est arbitraire) que α + = z + (τ) sup 1 2γKτ z X,z z 2 < 1. 19

20 3.2 Application au problème modèle D après le théorème 3.1, l algorithme itératif permettra de reconstruire les données initiales (w, w 1 ) dans (1.2) dès lors que le système est exactement observable et on a le résultat suivant. Théorème 3.2. Sous les hypothèses du théorème 3.1 et avec les mêmes notations, on introduit les observateurs direct et rétrograde z n + (t) et zn (t), n 1, respectivement définis par ż n + (t) = A + z n + (t) + γc y(t), t (, τ) z n + () = zn 1 () pour n 2 () =, z + 1 Alors, on a l estimation ż n (t) = A zn (t) γc y(t), t (, τ) zn (τ) = z n + (τ) pour n 1. z N () z (α + α ) N z, N 1. (3.4) Pour le problème modèle de type ondes (1.2) considéré dans ce cours, il existe une condition nécessaire et suffisante d observabilité exacte, appelée condition optique géométrique (COG) de Bardos-Lebeau-Rauch [6]. L énoncé précis de cette condition étant assez technique, nous nous contenterons ici d un énoncé formel (voir par exemple [24, p. 18] pour plus de précisions). On dira que le triplet (Ω, O, τ) vérifie la COG si tout rayon se propageant dans le domaine Ω et se réfléchissant sur Ω selon les lois de l optique pénètre la région d observation O en temps inférieur à τ. A titre d exemple : Configuration 1D : pour l équation des ondes mono-dimensionnelle dans l intervalle Ω = (, 1) avec observation interne sur O = (a, b), < α < β < 1, la COG est vérifiée pour τ > 2 (la vitesse de propagation étant supposée égale à l unité). Configuration 2D : pour l équation des ondes dans le carré unité Ω = (, 1) 2, la COG ne peut être satisfaite si O est une bande verticale ou horizontale (quel que soit τ), mais devient vraie si O est l union de deux telles bandes pour τ suffisamment grand (voir Figure 3). Dorénavant, nous supposerons la COG vérifiée pour le triplet (Ω, O, τ). D après le théorème 3.2, ceci garantit la convergence de l algorithme itératif (3.4). En particulier, en revenant à une formulation d ordre 2, l algorithme itératif pour le problème ondulatoire (1.2) prend la forme équivalente ci-dessous pour les opérateurs de gain H + = H = C : 2 w n + t 2 (x, t) w+ n (x, t) + 1 O (x) w+ n (x, t) = y(x, t) x Ω, t (, τ) t w n + (x, t) =, x Ω, t (, τ) w n + (x, ) = wn 1 (x, ), x Ω, w + n t (x, ) = w n 1 (x, ), x Ω, t 2 (3.5)

21 Figure 3 Deux positionnements de la zone d observation dans le carré unité : avec (à gauche) et sans (à droite) observabilité exacte. 2 wn t 2 (x, t) w n (x, t) 1 O (x) w n (x, t) = y(x, t) x Ω, t (, τ) t wn (x, t) =, x Ω, t (, τ) wn (x, τ) = w n + (x, τ), x Ω, wn t (x, τ) = w+ n t (x, τ), x Ω, (3.6) pour tout n 1 et avec la convention que w (, ) = w t (, ) =. L approximation des données initiales (w, w 1 ) est alors donnée par (wn (), ẇ N ()) et on a l estimation d erreur suivante (en norme énergie) : ( ) E wn () w, ẇn () w 1 (α + α ) N E(w, w 1 ) où l on a posé pour tout (ϕ, ϕ 1 ) H 1 (Ω) L2 (Ω) : E(ϕ, ϕ 1 ) := } ϕ 2 H 1(Ω) + ϕ L 2 (Ω). Ainsi la reconstruction nécessite simplement la résolution des problèmes directs et rétrogrades de type ondes (3.5)-(3.6) à l aide du solveur de son choix. Nous renvoyons le lecteur intéressé par l analyse numérique de la convergence de l algorithme après semidiscrétisation ou discrétisation totale à l article [12]. 21

22 Références [1] M. Agranovsky and P. Kuchment, Uniqueness of reconstruction and an inversion procedure for thermoacoustic and photoacoustic tomography with variable sound speed, Inverse Problems, 23 (27), pp [2] H. Ammari, E. Bonnetier, Y. Capdeboscq, M. Tanter, and M. Fink, Electrical impedance tomography by elastic deformation, SIAM J. Appl. Math., 68 (28), pp [3] H. Ammari, E. Bossy, V. Jugnon, and H. Kang, Mathematical modelling in photo-acoustic imaging of small absorbers, SIAM Review, To appear (21). [4] D. Auroux and J. Blum, Back and forth nudging algorithm for data assimilation problems, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 34 (25), pp [5] D. Auroux and J. Blum, A nudging-based data assimilation method : the back and forth nudging (bfn) algorithm, Nonlin. Proc. Geophys., 15 (28). [6] C. Bardos, G. Lebeau, and J. Rauch, Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary, SIAM J. Control Optim., 3 (1992), pp [7] L. Borcea, Electrical impedance tomography, Inverse Problems, 18 (22), pp. R99 R136. [8] T. Cazenave and A. Haraux, Introduction aux problèmes d évolution semilinéaires, vol. 1 of Mathématiques & Applications (Paris) [Mathematics and Applications], Ellipses, Paris, 199. [9] M. Cheney, D. Isaacson, and J. C. Newell, Electrical impedance tomography, SIAM Rev., 41 (1999), pp (electronic). [1] A. Friedman and M. Vogelius, Identification of small inhomogeneities of extreme conductivity by boundary measurements : a theorem on continuous dependence, Arch. Rational Mech. Anal., 15 (1989), pp [11] B. Gebauer and O. Scherzer, Impedance-acoustic tomography, SIAM J. Appl. Math., 69 (28), pp [12] G. Haine and K. Ramdani, Reconstructing initial data using observers : error analysis of the semi-discrete and fully discrete approximations, Numer. Math. To appear. [13] Y. Hristova, P. Kuchment, and L. Nguyen, Reconstruction and time reversal in thermoacoustic tomography in homogeneous and non-homogeneous acoustic media, Inverse Problems, 24 (28), p [14] K. Ito, K. Ramdani, and M. Tucsnak, A time reversal based algorithm for solving initial data inverse problems, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 4 (211), pp [15] K. Liu, Locally distributed control and damping for the conservative systems, SIAM J. Control Optim., 35 (1997), pp [16] D. Luenberger, Observing the state of a linear system, IEEE Trans. Mil. Electron., MIL-8 (1964), pp [17] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, vol. 44 of Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York,

23 [18] K. Ramdani, M. Tucsnak, and G. Weiss, Recovering the initial state of an infinite-dimensional system using observers, Automatica, (21). To appear. [19] E. D. Sontag, vol. 6 of Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, second ed., Deterministic finite-dimensional systems. [2] P. Stefanov and G. Uhlmann, Thermoacoustic tomography with variable sound speed, Inverse Problems, 25 (29), p (16pp). [21] E. Trélat, Contrôle optimal, Mathématiques Concrètes. [Concrete Mathematics], Vuibert, Paris, 25. Théorie & applications. [Theory and applications]. [22] M. Tucsnak and G. Weiss, Observation and control for operator semigroups, Birkhäuser Advanced Texts : Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts : Basel Textbooks], Birkhäuser Verlag, Basel, 29. [23] M. S. Vogelius and D. Volkov, Asymptotic formulas for perturbations in the electromagnetic fields due to the presence of inhomogeneities of small diameter, M2AN Math. Model. Numer. Anal., 34 (2), pp [24] E. Zuazua, Handbook of Differential Equations : Evolutionary Differential Equations, vol. 3, Elsevier Science, 26, ch. Controllability and Observability of Partial Differential Equations : Some results and open problems, pp