Chapitre 6 : systèmes linéaires

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1 Chapitre 6 : systèmes linéaires. Résolutions des systèmes linéaires. Vocabulaire Définition. On appelle système linéaire (S) de n équations à p inconnues un système d équations de la forme a x + a x a p x p = b (L ) a x + a x a p x p = b (L ) (S).... (L i ) a n x + a n x a np x p = b n (L n ) où les a ij sont des nombres réels fixés appelés coefficients du système et les (b i ) i=,...,n sont des réels fixés qui constituent le second membre du système. Les x,..., x p sont les p inconnues du sytème. Par commodité, chaque équation est repérée par un nom : L i pour i-ème ligne. Une solution du système est un p-uplet (x ; x ; ; x p ) pour lesquels toutes les équations sont vérifiées. Résoudre le système (S), c est trouver l ensemble des solutions de ce système. Exemple. Résoudre les trois systèmes suivants : { x + y = x y = { x + y = x + y = { x + y = x + y = Définition. Un système est dit : compatible lorsqu il admet au moins une solution, incompatible s il n en admet aucune. homogène lorsque le second membre est consitué uniquement de coefficients nuls. On appelle système homogène associé à un système (S) le système obtenu en gardant les mêmes coefficients et en remplaçant le second membre par des 0. de Cramer lorsque n = p et lorsque le système possède une unique solution. a x + a x a n x n = b + a x a n x n = b triangulaire lorsqu il est de la forme : = a nn x n = b n Enfin, deux systèmes sont dits équivalents lorsqu ils ont le même ensemble de solutions. Exemple. Justifier qu un système homogène est compatible. Quel est l ensemble des solutions d un système homogène de Cramer d inconnues (x ; ; x n )?. Lien avec les matrices Soient A = a... a p..... a n... a np seulement si AX = B., X = x.. x p et B = Proposition.... b b p. Alors, (x ; x ; ; x n ) est une solution du système (S) si et Exemple. Vérifier que la propriété précédente est vraie pour les systèmes de l exemple. Proposition. Un système est de Cramer si et seulement si la matrice associée A est inversible. Dans ce cas, l unique solution du système est donnée par X = A B. Exemple 4. Vérifier que la propriété précédente est vraie pour les systèmes de l exemple. ECE 04-05, Chapitre 6 : systèmes linéaires /

2 Remarque. On a donc une première méthode pour résoudre les systèmes de Cramer : trouver l inverse de la matrice A puis l unique solution du système par la formule ci-dessus. C est la bonne méthode lorsqu on a déjà calculé l inverse de la matrice A dans une question précédente. Cepant, ce n est pas, en général, la méthode la plus rapide (en fait, calculer l inverse de A revient en quelque sorte à résoudre le système avec tous les seconds membres possibles alors qu il suffirait de le résoudre pour seul). De plus, la résolution des systèmes qui ne sont pas de Cramer (notamment si A n est pas inversible) ne peut se faire ainsi. Nous allons à présent décrire une méthode systématique (c est à dire un algorithme) qui permet de résoudre tous les systèmes linéaires, appelée algorithme du pivot de Gauss. Ce n est pas la seule méthode, mais c est sans doute la moins fastidieuse dès que le système est un peu gros (disons à partir de équations à inconnues). Plusieurs variantes de cette méthode existe (il existe notamment un algorithme total et un algorithme partiel).. Algorithme du pivot de Gauss L idée est de résoudre le système en combinant des lignes pour éliminer des coefficients, car ce genre d opérations permet toujours de se ramener à un système équivalent à celui de départ. Les opération suivantes conduisent à un système équivalent au système précédent : L i L j : échanger les lignes i et j. L i al i où a R : multiplier la ligne i par a. Proposition. L i L i + bl j où i j, b R : ajouter b fois la ligne j à la ligne a. 4 L i al i + bl j où i j, a R, b R : remplacer L i par al i + bl j. Méthode. Algorithme du pivot de Gauss (total) Pour résoudre le système (S) : on rédige «résolvons le système par la méthode du pivot de Gauss» on écrit les matrice A et B côte à côte. on choisit parmi les coefficients non nuls de A un coefficient a ij, appelé le pivot, que l on entoure, dans une ligne et une colonnes qui ne contiennent pas d autre pivot. Si c est impossible on passe à l étape 6 4 on réécrit le tableau après avoir effectuer les opérations L k L k a kj a ij L i ou bien L k a ij L k a kj L i pour tout k i et on indique les opérations effectuées 5 on reproduit l étape 6 On conclut en fonction de la situation : (a) si tous les coefficients d une ligne sont nuls, sauf son second membre : le système n a pas de solution. (b) sinon, toutes les inconnues dans les colonnes sans pivot sont des paramètres, et peuvent prre n importe quelle valeur dans R. On écrit le système correspondant au tableau final avec les inconnues, et on exprime les solutions en isolant les inconnues des colonnes à pivot. Remarque. Une méthode alternative, (algorithme partiel du pivot de Gauss), consiste à n effectuer l étape 4 que pour les lignes sans pivot. On obtient dans l étape 6 b un système que l on résout par des substitutions simples. Le bon choix des pivots est fondamental pour alléger les calculs. On choisira en priorité les pivots dans des colonnes contenant le plus de termes nuls possibles. De plus, il faut toujours privilégier les pivots les plus simples, les coefficients égaux à étant l idéal. On peut s écarter légèrement de cette algorithme pour : simplifier une ligne avec l opération L i λ L i (cela permet par exemple d obtenir un pivot égal à ). conclure directement que le système est incompatible lorsque deux lignes sont manifestement contradictoires. supprimer une ligne identique (ou proportionelle) à une autre. trouver une combinaison qui trivialise la résolution. Exemple 5. Résoudre les systèmes suivants à l aide d un algorithme du pivot de Gauss : { x + y = 4 x + y = 4 { x + y = 4x + y + z = x + y = 4 x y = x y = x y = x + y = 4 x y + z = 0 x y = x y = 4x + y = 4x + y = 5 x + 0y = 0 x + y = x y = y z = z x = ECE 04-05, Chapitre 6 : systèmes linéaires /

3 Résoudre successivement les systèmes suivants : { x + y + z =, { x + y + z = x y + z = 0, x + y + z = x y + z = 0 x 7y + z =, x + y + z = x y + z = 0 x 7y + z = x y + z = 0, x + y + z = x y + z = 0 x 7y + z = x y + z = 0 4y 5z =. Pivot de Gauss et inverse d une matrice. Caractérisation des matrices inversibles et pivot de Gauss La proriété suivante, admise, permet de caractériser les matrices inversibles à l issue de l algorithme du pivot de Gauss, effectué sur la matrice sans l augmenter d un second membre. Proposition 4. Le nombre de pivots obtenus dans la résolution d un système par la méthode de Gauss (qu elle soit totale ou partielle) ne dép pas du choix des pivots. Ce nombre est appelé le rang du système ou le rang de la matrice. Un système est de Cramer lorsqu il y a autant de pivot que d inconnue et d équation. Par conséquent, une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si on a n pivot à l issue d un algorithme du pivot de Gauss Exemple 6. La matrice A = est-elle inversible? Remarque. Si la question est uniquement de savoir si une matrice est inversible ou non, il est alors beaucoup plus économique en terme de calcul de ne faire qu un algorithme partiel. Proposition 5. Un matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls Démonstration. se servir de la propriété précédente. Détermination de l inverse d une matrice par la méthode du pivot de Gauss On considère une matrice A carrée de taille n (n N ) dont on sait qu elle est inversible. Méthode. Pour calculer A on appliquant l algorithme du pivot de Gauss total sur la matrice A avec comme second membre Id n, en le prolongeant jusqu à obtenir la matrice identité à la place de A. La matrice obtenue à la place de Id n est alors A. 0 Exemple 7. Vérifier que A = 0 est inversible et l inverser par par la méthode du pivot de Gauss. 0 Retrouver tous les résultats sur les matrices carrée de taille en appliquant cette méthode. ECE 04-05, Chapitre 6 : systèmes linéaires /

4 Bilan du chapitre 6 Objectifs prioritaires connaître le vocabulaire lié aux systèmes linéaires savoir résoudre un système linéaire assez simple ( ou inconnues, avec paramètre mais simple Etre efficace dans la réalisation de l algorithme (bon choix de pivot, etc...) savoir dire si une matrice est inversible (cas assez simples) savoir déterminer l inverse d une matrice (cas assez simples) connaître la condition d inversibilité d une matrice triangulaire Objectifs secondaires savoir résoudre des systèmes linéaires compliqués (gros ou avec paramètres compliqués) savoir dire si une matrice est inversible (cas compliquées) savoir déterminer l inverse d une matrice (cas compliqués) Approfondissement savoir programmer un algorithme de Gauss en Scilab savoir démontrer des propriétés admises Exercice. Résolution de système x y + z = x + y z = x y + z = 0 x + y + z = 4 x + y + z = 7x + y 5z = TD du chapitre 6 4 y x = x + y + z = x + z = x + y + z + t = 0 x y + z + t = 0 x + y z + t = 0 x + y + z t = x + y t = 0 x y + z + t = 5y + z = 0 x + y + x + t = 0 x + y + z + t = 0 x y z = 0 y + z t = 0 x z + t = 0 Exercice. systèmes avec paramètres dans le second membre Résoudre les systèmes suivants, pour a, b, c des réels donnés. On distinguera les cas selon les valeurs de ces réels. x + y + z = a x y z = b x + y + z = c x y z = a 4x + 4y + z = b x y z = c x y z + t = a x + z + t = 5 b x + y + z + t = b y + z = a Exercice. systèmes avec paramètre dans les coefficients Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles les systèmes sont de Cramer, puis les résoudre en distinguant tous les cas. { ( λ)x + y = 0 x + ( λ)y = 0 ( λ)x y + z = 0 x ( + λ)y + z = 0 x y + ( λ)z = 0 ( λ)x + 4z = 0 x (4 + λ)y + z = 0 x y + (5 λ)z = 0 ECE 04-05, TD du chapitre 6 /

5 Exercice 4. Inversibilité de matrices et calcul d inverse Étudier l inversibilité (et déterminer l inverse si possible) des matrices suivantes ,,, 0 0, et Exercice 5. Inversibilité et paramètres a Pour quelles valeurs des réels a et b la matrice A = a est-elle inversible? Déterminer alors l inverse. b λ 6 (difficile) Même question pour B = 6 4 λ, où λ est un nombre réel. 4 7 λ Exercice 6. D après ESC 00 On donne les matrices carrées d ordre suivantes : A = Diagonalisation de A et de B B = P = 0 (a) Montrer que P est inversible et calculer P. 0 0 (b) Justifier la relation P AP = D = (c) Calculer la matrice = P BP et vérifier qu elle est diagonale. On se propose de calculer les matrices colonne X n définies par les relations : 0 X 0 = 0, X = et n N, X n+ = AX n+ + BX n. A cet effet, on définit pour tout n élément de N : Y n = P X n et on pose également Y n = (a) Montrer que Y 0 = 0 et Y = 4 (b) Montrer que pour tout entier naturel n, Y n+ = DY n+ + Y n. (c) Montrer alors que pour tout entier naturel n : u n+ = u n+ v n+ = 4v n w n+ = 4w n+ 4w n En déduire les expressions explicites de u n, v n, et w n en fonction de n. (d) Donner finalement la matrice X n, en fonction de n. Exercice 7. ESLSCA-ISC Soient A = et P = 0 (a) Montrer que P est inversible et calculer son inverse. 0 0 (b) Montrer que A = P A P = (a) Soit M une matrice carrée d ordre à coefficients réels commutant avec A, c est à dire telle que A M = M A. On pose M = P M P. Montrer que A M = M A. Réciproquement, montrer que si M commute avec A alors la matrice M définie par M = P M P commute avec A. (b) Déterminer l ensemble des matrices commutant avec A. (On écrira ces matrices avec des coefficients indéterminés) (c) En déduire la forme générale des matrice commutant avec A. u n v n w n ECE 04-05, TD du chapitre 6 /

6 corrigé du TP de Scilab Voici un modèle de corrigé de la dernière question du TP et en voici un autre (le symbole signifie «ou») a=input( un dé ou deux? ) if a== then b=grand(,, uin,,6) if b==6 then disp( gagné ) else disp( perdu ) else b=grand(,, uin,,6) if b==[6,6] then disp( gagné ) else disp( perdu ) a=input( un dé ou deux? ) if a== then b=grand(,, uin,,6) else b=grand(,, uin,,6) if (b==6) (b==[6,6]) then disp( gagné ) else disp( perdu ) ECE 04-05, corrigé du TP de Scilab /