Dynamique du point matériel en référentiel galiléen

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1 Dynamique du point matériel en référentiel galiléen Exercice 1 : Mesure du champ de pesanteur Un ressort de constante de raideur > 0, de longueur à vide et de masse négligeable est suspendu verticalement par son extrémité A. A l autre extrémité B du ressort, on attache une masse quasi- ponctuelle. Le ressort s allonge alors de la quantité " = h, pour parvenir à une longueur totale dans la nouvelle position d équilibre " =. On choisit pour référentiel d étude le référentiel terrestre (R ), que nous supposerons galiléen, et nous utiliserons comme repère d espace le système des coordonnées cartésiennes. 1) Etude statique a) Exprimer le champ de pesanteur terrestre g en fonction des données du problème. b) Application numérique : pour = 200 g, on mesure h = 59,5 mm. Déterminer g. 2) Etude dynamique A partir de la position d équilibre O précédente, on écarte la masse m d une quantité et on la lâche sans vitesse initiale au temps = 0. a) Ecrire l équation du mouvement de la masse m. Montrer que l on obtient des oscillations, de pulsation que l on déterminera en fonctions des paramètres du problème. b) Exprimer g en fonction de h et. c) Application numérique : pour = 200 g, on compte 113 oscillations par minute. Déterminer g et commenter le résultat. Données numériques : = 33 N.m - 1, = 0,35 m et = 105 g. Correction : 1) Etude statique : a) Système : masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur la masse m : - poids : = = " - force de rappel du ressort : = = h Dans le référentiel galiléen d étude, la masse m est à l équilibre, donc possède une accélération nulle. Par application du principe fondamental de la dynamique, on peut donc écrire : = + = " h = 0

2 = ℎ b) A.N. : = 9,82. 2) Etude dynamique : a) On note (t) la position de la masse m par rapport à sa position d équilibre. La longueur du ressort à un instant t est alors donnée par : = + (). Bilan des forces exercées sur la masse m : - poids : = = " - force de rappel du ressort : = On applique le principe fondamental de la dynamique à la masse m dans le référentiel galiléen d étude : = + = " = " + + " = " ℎ = 0 + = 0 + = 0 "#$ = La solution de cette équation différentielle est purement sinusoïdale, de la forme : = cos + où " sont des constantes déterminées à partir des conditions initiales : = 0 = cos = " = 0 = sin = 0 = 0 " = "#$ = cos b) Sachant que : = ℎ " = = ℎ c) A.N. : = 8,33. Ce résultat est très éloigné de la valeur exacte de g. Ceci peut s expliquer par la trop grande simplicité du modèle qui néglige (entre autres) totalement la masse du ressort. Exercice 2 : Lancement d une balle avec ou sans force de frottements On considère une balle de masse m, assimilée à un point matériel M, lancée dans le vide. On choisit pour référentiel le référentiel terrestre ( ), que nous supposerons galiléen, et nous utiliserons comme repère d espace le système des coordonnées cartésiennes, d axe (Oz) donnée par la verticale locale. Le champ de pesanteur, supposé uniforme dans le référentiel d étude ( ), est noté =.

3 A l instant = 0, la balle est lancée du point O (choisi comme origine du repère d espace) avec une vitesse initiale. Le vecteur est situé dans le plan ("#) et fait un angle avec l horizontale ". 1) Etude sans force de frottements On suppose pour l instant que la balle est uniquement soumise à son poids P. a) Calculer, en fonction de, et, le temps nécessaire pour que la balle atteigne sa plus haute altitude et les coordonnées du point S ainsi atteint. b) Application numérique : calculer le temps et les coordonnées du point S dans les trois cas suivants : = 30, = 60 et = 90 2) Etude avec force de frottements On suppose désormais que la balle est soumise à son poids P ainsi qu à une force de frottement fluide exercée par l air, de la forme = a) Exprimer les composantes et de la vitesse de la balle à l instant t. Montrer que le vecteur vitesse tend vers une vitesse limite que l on précisera. b) Déterminer les coordonnées et de la balle à l instant t. c) Quelle est l expression du temps correspondant à l altitude maximale atteinte? d) Représenter l allure de la trajectoire de la balle. e) Calculer et pour = 30 et comparer les résultats au cas précédent. Commenter. Données numériques : = 1 kg, = 10 m.s- 2, = 100 m.s- 1 et = 0,1 N.s.m- 1. Correction : 1) Etude sans force de frottements : a) Système : masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur M : poids = = " On applique le principe fondamental de la dynamique à M dans le référentiel d étude galiléen : ()/ ()/ = avec = ()/ = + = On projette cette équation sur les axes (") et (") : = 0 = On intègre ensuite ces équations une première fois par rapport au temps, en tenant compte des conditions initiales : () 0 = 0 0 = cos "#$ () 0 = " 0 = sin () = cos () = " + sin

4 On intègre ces équations une seconde fois par rapport au temps, en tenant compte des conditions initiales : 0 = cos 0 =0 "#$ 0 =0 (0) = + sin 2 = cos = + sin 2 On reconnaît ici l équation d une parabole de sommet S, atteint au bout d un temps tel que : = 0 " + sin = 0 = sin Les coordonnées, de S sont : = cos sin sin sin " = + 2 = sin 2 sin " = 2 2 b) A.N. : () 5,0 8,7 10 () () ) Etude avec force de frottements : a) Bilan des forces exercées sur M : - poids : = = " - force de frottements : = On applique le principe fondamental de la dynamique à M dans le référentiel d étude galiléen : ()/ = + = " + = "#$ = " Par projection de l équation précédente sur les axes (") et ", on obtient : + = 0 " + = " " On intègre ces deux équations différentielles du premier ordre à coefficients constants : () = exp " () = " + exp où et sont des constantes d intégration déterminées à partir des conditions initiales :

5 0 = cos = " 0 = sin = " = cos exp " = sin + " exp " La vitesse limite du projectile est alors : lim = 0 " lim = " "#$ = b) Pour déterminer les coordonnées du projectile à l instant t, on intègre les expressions précédentes : = = cos exp " " = " + " = sin + " exp "# + où et sont des constantes d intégration déterminées à partir des conditions initiales : 0 = 0 = cos + " 0 = 0 = sin + " + = cos 1 exp " = sin + " 1 exp "# c) L altitude maximale est atteinte pour un temps tel que : = 0 sin + " exp exp = " " = sin + " = ln 1 + sin " d) La trajectoire est une parabole. e) A.N. : = 30 = 4,05 " = 30 = 95. On atteint un point moins élevé car il y a freinage du projectile par frottements. Exercice 3 : Solide sur un plan incliné Un solide de masse est en équilibre sur un plan incliné, faisant un angle avec l horizontale ". Sauf indication contraire, le contact entre le solide et le plan incliné sera supposé sans frottement. Le champ de pesanteur, supposé uniforme dans le référentiel d étude ( ), est noté. On choisit pour référentiel d étude le référentiel terrestre ( ), supposé galiléen.

6 1) Dans un premier temps, l équilibre est réalisé en maintenant le solide par un fil non élastique de masse négligeable. Ecrire les lois de l équilibre du solide. En déduire la tension du fil. 2) L équilibre est désormais réalisé en maintenant le solide par un fil élastique de masse négligeable, de constante de raideur > 0 et de longueur à vide. Déterminer la longueur du ressort lorsqu il maintient le solide sur le plan incliné. 3) Dans cette question, le contact entre le solide et le plan incliné se fait avec une force de frottement solide, dont le coefficient de frottement d adhérence est noté. Le solide n est plus maintenu par un fil. Démontrer que solide ne peut être en équilibre que si l angle est inférieur à un angle que l on déterminera. Correction : 1) Système : solide M de masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur M : - poids = = " - réaction du support = - tension du fil = Dans le référentiel galiléen d étude, le solide est à l équilibre, donc possède une accélération nulle. Par application du principe fondamental de la dynamique, on peut donc écrire : ()/ = = + + = " sin + cos + On projette cette équation sur les axes (") et (") : " cos + = 0 = " cos " sin = 0 = " sin 2) Système : solide M de masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur M : - poids = = " - réaction du support = - tension élastique du fil = Dans le référentiel galiléen d étude, le solide est à l équilibre, donc possède une accélération nulle. Par application du principe fondamental de la dynamique, on peut donc écrire : ()/ = = = " sin + cos + On projette cette équation sur les axes (") et (") : = " cos " cos + = 0 " " sin = 0 = + sin 3) Système : solide M de masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur M : - poids = = " - réaction du support = - force de frottement solide = Dans le référentiel galiléen d étude, le solide est à l équilibre, donc possède une accélération nulle. Par application du principe fondamental de la dynamique, on peut donc écrire :

7 ()/ = = + + = " sin + cos + On projette cette équation sur les axes (") et (") : " cos + = 0 = " cos " sin = 0 = " sin La condition d équilibre s écrit : " sin "# cos "#$ tan Exercice 4 : Pendule simple Le référentiel d étude, associé au repère (,,, ), est supposé galiléen. On étudie un pendule, constitué d un fil inextensible de longueur attaché au point O, au bout duquel se trouve un point matériel M de masse. On supposera que le fil reste tendu en permanence et que les éventuels frottements sont négligeables. On s intéresse à la situation d un pendule simple, pour lequel la trajectoire du fil dans est contenue dans un plan. On choisit d orienter le repère d espace de telle façon que le mouvement du pendule simple est contenu dans le plan ("#), où l axe (") est la verticale descendante. A tout instant, la position du point M est entièrement déterminée par la donnée de l angle θ que fait le pendule avec l axe ("). 1) Ecrire l équation du mouvement du pendule. On s intéresse aux petites oscillations du pendule, (c est- à- dire qu on peut considérer que, et sont petits devant 1). 2) Montrer que le mouvement du pendule est alors purement sinusoïdal, de pulsation que l on déterminera en fonctions des paramètres du problème. Correction : 1) On introduit la base des coordonnées cylindriques dans laquelle " = (cf. figure). On a donc : ()/() = + = "# "# "# "#$%&#%' ()/() =

8 Système : pendule de masse m Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen Bilan des forces exercées sur M : - poids = = " = " cos sin - tension du fil = Par application du principe fondamental de la dynamique, on peut donc écrire : ()/ = + " " = " cos sin Comme la norme T de la tension du fil est une inconnue, on projette l équation vectorielle précédente sur la direction perpendiculaire à la tension du fil pour se "débarrasser" de ce terme : " = " sin + sin = 0 2) Dans l approximation des petites oscillations, on peut écrire : sin "#$ + = 0 "#$ = On reconnaît ici une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants et sans second membre, dont la solution générale est un mouvement sinusoïdal de la forme : () = "# " + où et sont des constantes d intégration que l on détermine à partir des conditions initiales. Exercice 5 : Pendule conique Le référentiel d étude, associé au repère (,,, ), est supposé galiléen. On étudie un pendule, constitué d un fil inextensible de longueur attaché au point O, au bout duquel se trouve un point matériel M de masse. On supposera que le fil reste tendu en permanence et que les éventuels frottements sont négligeables. On s intéresse à la situation d un pendule conique, pour lequel la trajectoire du fil dans est un cône d angle au sommet constant. 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse angulaire de rotation de M est constante et l exprimer en fonction de, et. 2) Quelle valeur minimale peut prendre? Cette valeur sera notée "#. 3) Que se passe- t- il pour < "#? 4) L expérience montre que augmente lorsque augmente : est ce bien ce que l on obtient? Quelle est la valeur limite prise par lorsque? 5) Exprimer la norme T de tension du fil en fonction de, et. 6) Sachant que le fil cède lorsque la tension du fil dépasse une valeur limite "#, exprimer l angle "# et la vitesse angulaire "# que peut atteindre le pendule conique. 7) Application numérique : = 20 g, = 9,8 m.s- 2, = 50 cm et "# = 2 N. Déterminer "# en tour par seconde.

9 Correction : 1) Bilan des forces exercées sur M : - poids : = = " - tension du fil : = On applique le principe fondamental de la dynamique à M dans le référentiel d étude galiléen : ()/ ()/ = + = " + cos sin Dans le repère de coordonnées cylindriques, on a : " = + = sin "#$ = cos " = sin cos ()/ ()/ = sin = sin + sin On en déduit donc : " sin + " sin = " + cos sin " sin = sin " sin = 0 0 = " + cos " = = 0 "#$ = "# = " = cos On vient ainsi de démontrer que la vitesse angulaire de rotation de M est constante, de valeur donnée par la première équation du système : " = = "#$ " = cos " = cos représente une vitesse angulaire de rotation : c est donc une grandeur positive et bornée. Il n y a donc de solution que si : 0; 2 2) La vitesse angulaire atteint sa valeur minimale lorsque cos atteint sa valeur maximale : "# = 3) Si on impose au pendule une vitesse angulaire de rotation < "#, il n y a pas de valeur de qui soit solution du problème. Le pendule ne peut donc pas décrire un cône d angle constant et il se dirige vers la seule position d équilibre du problème, à savoir = 0.

10 4) On a : cos = "#$" " cos 0 "#$ 2 5) On a vu : " = cos = " cos 6) D après l expression précédente : cos = "# = "# = "##$% " "# = = cos "# " "# "# " 7) A.N. : "# = 84,4 " "# = 2,25 "#$. Exercice 6 : Pendule oscillant Un point matériel M de masse est suspendu à un fil inextensible de longueur l. L autre extrémité du fil se déplace horizontalement le long de l axe (") en effectuant des oscillations sinusoïdales d amplitude X et de pulsation : = sin " On considérera le référentiel d étude du laboratoire, associé au repère (,,, ), galiléen. A l instant, on note l inclinaison du fil du pendule par rapport à la verticale descendante ("). Le pendule est initialement au repos : = 0 = 0 et = 0 = 0 1) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point matériel M dans. En déduire une égalité ne faisant intervenir que,,,,, et.

11 2) On s intéresse aux petites oscillations du pendule, (c est- à- dire qu on peut considérer, et petits devant 1). Etablir l équation différentielle vérifiée par. 3) En recherchant une solution particulière sinusoïdale du type = sin ", exprimer en fonction de,,, et. Correction : 1) Bilan des forces exercées sur M : - poids : = = " - tension du fil : = On applique le principe fondamental de la dynamique à M dans le référentiel d étude galiléen : ()/ ()/ = + = " On exprime le vecteur accélération dans la base (, ) : " = + = sin " + ()/ ()/ = " cos " + = sin " + = cos + sin ()/ = sin " sin + sin " cos On projette alors le PFD selon afin de faire disparaître la tension du fil, de norme inconnue : sin " cos = " sin sin " cos = sin 2) On considère des petites oscillations du pendule :, et sin cos 1 On peut donc réécrire l équation précédente selon : sin " = " + + = = sin " sin " "#$ = 3) L évolution du mouvement est régie par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre. La solution de cette équation est : Solution Solution de l'équation Solution générale = + particulière sans second membre Solution sans second membre : + = 0 " = cos + sin Solution particulière : " = sin "

12 La solution particulière doit être solution de l équation différentielle sur. On a donc : sin " + sin " = sin " = La solution générale est donc : = cos + sin + sin " Les constantes d intégration A et B se déduisent des conditions initiales : = 0 0 =0 + =0 0 =0 = sin " sin