Value at Risk. Le risque de marché est une estimation de l'incertitude des. rentabilités futures qui résulte d une évolution défavorable des

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1 Value a Risk.Le risque de marché: Le risque de marché es une esimaion de l'inceriude des renabiliés fuures qui résule d une évoluion défavorable des faceurs du marché. Le risque de marché peu se définir comme une diminuion de la valeur d'un porefeuille due aux changemens des prix d acifs financiers qui le composen. Il reflèe la pere poenielle qui peu êre causée par la chue de la valeur de marché du porefeuille. La définiion du risque fai référence au erme ''volailié '' qui es souven approximée par l écar ype des rendemens d'un acif donné. L écar ype es une mesure de l'écaremen des rendemens par

2 rappor à leur moyenne hisorique. La principale ''loi'' de la finance es donc la relaion enre le rendemen e le risque. Mais, au lieu de considérer à la fois les variaions posiives e négaives du prix de l acion, l invesisseur peu êre uniquemen concerné par une mesure du risque qui ne s inéresse qu aux variaions négaives de la valeur de son porefeuille (risque de pere). On doi alors rouver des mesures de risque comme le semi-écar ype négaif qui s inéresse uniquemen aux observaions en dessous d une moyenne ou d un prix (risque baissier ou downside risk) ou des mesures des pires peres possibles d un porefeuille duran un horizon emporel e pour un niveau de confiance donné : c es le principe fondaeur de la Value a Risk.. Un peu d hisoire : Jusqu'à la fin des années 80, les méhodes uilisées pour déecer e gérer les risques de marché n'éaien adapés qu'à des produis spécifiques. Il éai alors impossible de comparer les mesures de risque enre les différens acifs. En plus, le développemen specaculaire des produis dérivés, l'augmenaion de la volailié des marchés financiers, e surou les crises financières à répéiion on

3 poussé les insiuions financières à rechercher un indicaeur global e synhéique des risques financiers. En Juille 993, le Groupe des 30 (consiué des représenans des insiuions financières inernaionales e des auoriés de régulaion) recommandai de quanifier les risques par une mesure sandard : Value a Risk (VaR). En ocobre 994, le direceur général La banque américaine JP MORGAN Dennis Weahersone, ne désiran plus voir une muliude de rappors de risques de marché sur son bureau demanda à ses collaboraeurs de développer un rappor simplifié sur lequel l'exposiion de la banque au risque du marché éai clairemen exprimé. La banque développa alors son propre modèle de mesure du risque du marché (modèle inerne): Riskmerics don la diffusion grauie sur le ne a éé à l origine du développemen specaculaire de la VaR sur l'échelon mondial. En Janvier 996, le comié de Bâle adope l'amendemen ''risques de marchés'' aux accords de Bâle de 988 (Ces accords, pour sabiliser le sysème bancaire mondial, exigeaien une réserve de 3

4 fonds propres minimum de 8% par rappor aux crédis accordés. C'es une conraine de solvabilié appelée le raio Cooke). Ce amendemen ''risques de marchés'' auorise les banques d'uiliser leur propre modèle inerne: la VaR, pour déerminer le niveau en fonds propres suscepibles de couvrir les peres évenuelles qu'elles peuven subir si les condiions de marché évoluen défavorablemen. 3. Définiion de la Value a Risk (VaR): La pere maximale aendue d'un porefeuille sur un horizon emporel donné e à un niveau de confiance donné sous des condiions normales de marché. Esimer la VaR consise à répondre à la quesion suivane : Quel es le monan maximal qu un invesisseur risque de perdre avec une probabilié de x % pour une période y? Par exemple, un gesionnaire de porefeuille peu déclarer que le monan de la VaR mensuelle es de 0 millions d'euros avec une probabilié de 99%. Ce qui signifie que pour le mois prochain, il y a seulemen une probabilié de % pour que la pere soi plus élevée que 0 millions d'euros. 4

5 Les variables fondamenales pour l esimaion de la VaR son : - le niveau de confiance : c'es la probabilié que la pere ne soi pas plus élevée que ce qui éai aendu. - L'horizon de prévision: c es le cadre emporel de la VaR esimée. On suppose que duran ce horizon de prévision, le porefeuille ne change pas. 3-volailié des rendemens. Soien r, r, r 3, r n des variables aléaoires qui représenen les rendemens financiers d un acif donné. Supposons que { r } suive un processus sochasique : r z Où / ) E(, E( / ) e z /. La VaR avec une probabilié donnée (0, ), noée VaR ( ), se défini comme le quanile de la disribuion de probabilié des rendemens financiers : F ( VaR( )) Pr( r VaR( )) Ce quanile peu êre esimé en inversan la foncion de disribuion des rendemens financiers sandardisés G(z). VaR( ) F ( ) G ( ) L esimaion de la VaR implique la spécificaion de G(z) e l esimaion de,. 5

6 Méhodes d esimaion de la VaR: Les méhodes paramériques supposen que les rendemens financiers sandardisés suiven une foncion de disribuion connue. Les disribuions les plus souven uilisées son la loi normale e la loi de suden. Si on suppose que sandard (z); alors : z = / sui une disribuion normale VaR ( ) ( ) où ( ) es la quanile de la disribuion normale sandard, e e son respecivemen la moyenne e la variance condiionnelles des rendemens financiers. Afin d esimer la variance condiionnelle des rendemens, on uilise un modèle de la famille GARCH qui correspond le mieux aux caracérisiques empiriques des rendemens. Si on suppose que z sui une loi de disribuion de suden à v degré de liberés, ( T v (z)) ; alors VaR ( ) T v ( ) où T ( ) es le quanile de la -disribuion de Suden avec v degrés de v liberé, e e son la moyenne e la variance condiionnelles des rendemens. 6

7 Les modèles GARCH : La classe la plus populaire des modèles de la volailié condiionnelle es représenée par le modèle auorégressif condiionnellemen hééroscédasique inrodui par Engle (98). Ces modèles on éé généralisés par Bollerslev (986) : ce son les modèles GARCH (p, q). Le modèle le plus uilisé empiriquemen es le modèle GARCH (,) : Ce modèle a deux caracérisiques fondamenales : une spécificaion pariculière de l'équaion de la variance inspirée par les caracérisiques empiriques des données financières (fais sylisés) e une hypohèse selon laquelle les résidus sandardisés soien indépendans ideniquemen disribués (i.i.d). Afin d'implémener l'algorihme GARCH, il es nécessaire de spécifier la disribuion des. En général, on fai appel à la disribuion normale sandard. Ainsi, quand la variance de la série emporelle es calculée, le quanile 5% es calculé comme.645 fois l'écar ype esimé, alors que le quanile % es calculé comme -,33 fois l'écar ype esimé. Remarque: Riskmerics vs GARCH Sous l'approche Riskmerics, les résidus sandardisés son égalemen supposés normalemen disribués. En revanche, la variance es calculée en uilisan une moyenne mobile exponeniellemen pondérée (Exponenially Weighed Moving Average), qui correspond à un modèle IGARCH: ( ) y où La somme des paramères de persisance équivau à. Par conséquen, il exise une racine uniaire dans le processus GARCH. Le modèles EWMA n es donc qu'un modèle GARCH (,) spécifié avec les paramères : 0, e. 7

8 Tess de validaion de la VaR (Backesing) : «VaR is only good as is backes.when someone shows me a VaR number, I don ask how i is compued, I ask o see he backes» (Brown,008). Le backesing consise à vérifier que les peres évenuelles ex pos son inférieures ou égales aux chiffres de la VaR calculés ex ane. C es un indicaeur de la perinence ex pos des chiffres de la VaR anicipée. Le comié de Bâle pour la supervision bancaire a imposé aux banques e aures insiuions financières une réserve minimale en capial afin de se prémunir conre des peres évenuelles résulan d une évoluion défavorable des faceurs du marché, en se basan sur les esimaions de la Value a Risk. En 996, le comié de Bâle a auorisé les insiuions financières d uiliser leurs propres modèles inernes d esimaion de leur Value a Risk afin de déerminer leurs réserves en capial. En conreparie, le comié a exigé que les réserves minimales en capial doiven êre suffisammen larges pour couvrir des peres évenuelles duran une période de déenion du porefeuille de 0 jours avec une esimaion journalière à un niveau de confiance de 99%. 8

9 Afin de pouvoir juger de la perinence du modèle inerne uilisé pour l esimaion de la VaR par chaque insiuion financière, le comié de Bâle exige qu un backes (une évaluaion) soi effecué sur une période d une année (50 jours ouvrables) pendan laquelle les rendemens journaliers réalisés du porefeuille de la banque son comparés à la Value a Risk esimée. Les peres réalisées au-delà de la VaR esimée son appelées violaions ou excepions. En se basan sur le nombre de ces violaions, différens faceurs d échelle (scaling facors) son imposés e mulipliés par la Value a Risk afin d obenir la réserve minimale en capial comme le monre le ableau suivan : 9

10 Tes de Kupiec (995) : Le es le plus courammen uilisé pour vérifier la validié des modèles VaR es le es du rappor de vraisemblance inrodui par Kupiec (995). Un modèle peu êre rejeé si le nombre de violaions es rop élevé, indiquan l échec du modèle dans l esimaion de la VaR. D un aure côé, un modèle peu êre rejeé si le nombre de violaions es rop faible voire nul. En effe, dans le premier cas, un modèle agressif sous-esimerai le niveau du risque e incierai l insiuion financière à prendre des posiions rop risquées alors que dans le deuxième cas, un modèle conservaeur enraînerai une pere d opporuniés d invesissemens e donc de profis. Le es de Kupiec monre que si l on suppose que la probabilié d une excepion es consane, alors le nombre d excepions x sui une disribuion binomiale dans l échanillon de aillet : f ( x) T x x T x p ( p) Un modèle VaR adéqua doi fournir des esimaions VaR avec une couverure incondiionnelle ( ) x ˆp = T (aux d échec=failure rae) égal au aux de couverure désiré ( p ) correspondan à niveau de confiance donné (% pour un niveau de confiance de 99%,e 5% pour 95% ). Ainsi, pour effecuer le es de Kupiec, la seule informaion nécessaire es le nombre d observaions (T), le nombre d excepions (x), e le degré de confiance. Par conséquen, l hypohèse nulle du es pour l adéquaion du modèle : H 0 : p pˆ x T 0

11 La saisique du rappor de vraisemblance s exprime comme suie : LR UC ( p) ln T x T T x x p x x T x qui es asympoiquemen disribuée selon un khi-deux à un degré de liberé (). Par conséquen, l hypohèse nulle sera rejeée si 3, 84 LR. Le ableau suivan monre les régions de confiance du es de KUPIEC. UC La VaR modèle GARCH-Loi de Suden (S-VaR) Quanile de la loi de Suden La Cornish-Fisher Value a Risk: CF-VaR La VaR normale ajusée avec le skewness e le kurosis de la disribuion des rendemens sandardisés: z CF z ( 6 z ) S ( 4 z 3 3z) K ( 36 z 3 5z) S

12 z es le quanile de la loi normale sandard, S : skewness e K : l excès de kurosis. Ainsi, la Cornish-Fisher VaR es: CF VaR z CF La Cornish-Fisher VaR perme de calculer la Value-a-Risk pour les disribuions avec asymmérie and queues épaisses. Si la disribuion es normale, le skewness e l excés de kurosis du rendemen de porefeuille CF son nuls, z es donc équivalen au quanile de la loi normale z. Backesing sur

13 Table. Dépassemen des modèles VaR Table. Résulas du es de Kupiec Reurns NVaR Riskmerics SVaR cfvar

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