Chapitre R2. Matrices

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1 Chapitre R2 Matrices I. Opérations sur les matrices / Définition / Opérations sur les matrices / Multiplication par blocs / Puissance et polynômes de matrices / Quand les matrices commutent / Les erreurs à éviter II. Matrices particulières / Le groupe linéaire formé des matrices inversibles / Matrices élémentaires et dimension / Sev des matrices diagonales, triangulaires / Matrices nilpotentes / Matrices symétriques, antisymétriques III. Opérations élémentaires sur les matrices / Matrices d opérations élémentaires et lien avec la multiplication / Matrices échelonnées, échelonnées réduites / Application au calcul de l inverse d une matrice IV. Outils matriciels / La transposée / La trace / Le rang / Le déterminant / Un exemple important : le déterminant de Vandermonde

2 Chapitre R2 Matrices Dans ce chapitre, K désignera R, C ou Q. I. Opérations sur les matrices. I.1/ Définition. Définition. Soient p et q dans N. On appelle matrice de taille (p, q) à coefficients dans K un tableau : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q a p1 a p2 a pq Enfin, on note M pq (K) l ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients dans K et M nn (K) est noté plus simplement M n (K). Remarques. 1. Quand on écrit M pq (K) ou a ij, le premier indice c est la ligne, le deuxième c est la colonne. 2. Formellement, une matrice est application : {1,..., p} {1,..., q} R (i, j) a ij Ainsi une matrice est une famille M indexée par {1,..., p} {1,..., q}, on peut donc écrire M = (a ij ) (ij) {1,...,p} {1,...,q} ou encore M = (a ij ). Exemples. 1. Si q = 1, c est une matrice colonne. 2. Si p = 1 c est une matrice ligne. 3. Si p = q = n, c est une matrice carrée. 4. Si (i, j), a ij = 0, c est la matrice nulle de taille (p, q). On la note Si p = q = n et, c est la matrice unité de taille n. On la note I 0 n

3 I.2/ Opérations sur les matrices Définitions. 1. Somme. Soit A = (a ij ) et B = (b ij ) dans M pq (K). Alors A + B est la matrice M = (m ij ) de M pq (K) telle que pour tout (i, j) de {1,..., p} {1,..., q} : m ij = a ij + b ij 2. Multiplication par un scalaire. Soit A = (a ij ) dans M pq (K) et λ dans K. Alors λ.a est la matrice M = (m ij ) de M pq (K) telle que pour tout (i, j) de {1,..., p} {1,..., q} : m ij = λ.a ij 3. Produit. Soit A = (a ij ) dans M pq (K) et B = (b ij ) dans M qr (K). Alors A B est la matrice M = (m ij ) de M pr (K) telle que pour tout (i, j) de {1,..., p} {1,..., r} : m ij = q a ik.b kj k=1 = a i1.b 1j + a i2.b 2j a iq.b qj Remarques. 1. Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir la même taille, c est-à-dire le même nombre de colonnes et le même nombre de lignes. La somme consiste à additionner les coefficients se trouvant aux mêmes places dans les 2 matrices. 2. La multiplication par un scalaire consiste à multiplier tous les coefficients de la matrice par le scalaire. 3. Pour multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonne de la première matrice soit égal au nombre de ligne de la seconde. Propriétés élémentaires (M pq (K), +,.) est un K-ev. 2. L opération est associative, distributive par rapport à + et la multiplication d une matrice A par une matrice unité (si la multiplication est possible) est égale à A. Remarque. Le produit n est pas commutatif. Par contre les scalaires peuvent commuter puisque : λ.(a B) = (λ.a) B = A (λ.b) pour toutes matrices A et B et tout scalaire λ pour lesquels l expression précédente a un sens. 3

4 I.3/ Multiplication par blocs. Définition - le produit par blocs. Soient A 1, B 1, C 1, D 1, A 2, B 2, C 2 et D 2 des matrices. [ A 1 B 1 C 1 D 1 ]. [ A 2 B 2 C 2 D 2 ] = [ A 1.A 2 + B 1 C 2 A 1.B 2 + B 1.D 2 C 1.A 2 + D 1 C 2 C 1 B 2 + D 1 D 2 ]. La seule condition étant que ces opérations soient cohérentes en terme de taille. Cette définition se généralise même si les matrices sont coupées en plus ou moins de blocs. On fait comme si les blocs étaient des coefficients. I.4/ Puissance et polynômes de matrices. Définitions. Soit A une matrice carrée. 1. Soit P = a n X n a 0 dans K[X]. On note alors P (A) la matrice : P (A) = a n A n a 1 A + a 0 I n Bien remarquer le terme a 0 qui devient a 0 I n. 2. En particulier, si P = X n, alors P (A) = A n, c est la puissance n de A. 3. Un polynôme annulateur de A est un polynôme P de K[X] tel que P (A) = 0. I.5/ Quand les matrices commutent. Définition. Soient A et B dans M n (K). On dit que les matrices A et B commutent si et seulement si : AB = BA Propriétés (AB) n = A n.b n 2. (A + B) n = Soient A et B dans M n (K) des matrices qui commutent. n ( n k ) Ak B n k (Newton) k=0 4

5 I.6/ Les erreurs à éviter. Erreurs. 1. AB = 0 n implique pas forcément A = 0 ou B = AB = AC n implique pas forcément B = C. 3. On ne divise pas par une matrice. 4. Attention à la factorisation. Par exemple : A 2 + 2A = A(A + 2I) A(A + 2) La dernière équation n a pas de sens puisqu on ne sait pas additionner une matrice avec un scalaire. II. Matrices particulières. II.1/ Le groupe linéaire formé des matrices inversibles. Définitions. 1. Soit A dans M pq (K). La matrice A est inversible si et seulement s il existe B dans M qp (K) telle que : AB = I p et BA = I q On note alors B = A 1 l inverse de A. 2. Gl n (K) est l ensemble des matrices inversibles de M n (K). Propriétés Seules les matrices carrées peuvent être inversibles ce qui justifie la notation Gl n et non pas Gl pq. 2. Soit A dans M pq (K) et B dans M qp (K) : { A est carrée AB = I A est inversible Ainsi pour montrer qu une matrice est inversible, il suffit de trouver B telle que AB = I et de vérifier qu elle est carrée. L autre égalité BA = I est automatique. 3. Le produit de deux matrices inversibles est inversible et (AB) 1 = B 1 A (Gl n (K), ) est un groupe. 5

6 Exercice 1. 4 Soit A dans M n (K). Montrer que si A admet un polynôme annulateur ayant un coefficient constant non nul (c est-à-dire de valuation nulle) alors A est inversible. De plus A 1 est un polynôme en A. II.2/ Matrices élémentaires et dimension. Définition. Soit p et q fixés dans N. On note E ij la matrice de M pq (K) nulle partout sauf à la ligne i et à la colonne j. Propriétés E ij E kl = { E il si j = k 0 sinon si le produit précédent a un sens. 2. (E ij ) (i,j) {1,...,p} {1,...,q} est une base de M pq (K). Si A = (a ij ) alors A = a ij E ij. 3. dim K (M pq (K)) = p q et donc dim K (M n (K)) = n 2 p q i=1 j=1 II.3/ Sev des matrices diagonales, triangulaires. Concernant les matrices carrées. Elles ont une diagonale principale, celle contenant les coefficients dont l indice de ligne est égale à l indice de colonne. L autre diagonale n est pas très intéressante ; on l ignore. On appelle alors respectivement les matrices matrice diagonale, matrice triangulaire supérieure, matrice triangulaire inférieure. Les étoiles pouvant représentées n importe quel élément de K. Plus formellement : Définitions. Soit M = (a ij ) dans M n (K). 1. M est diagonale si et seulement si : i, j {1,..., n}, i j a ij = 0 2. M est triangulaire supérieure si et seulement si : i, j {1,..., n}, i > j a ij = 0 3. M est triangulaire inférieure si et seulement si : i, j {1,..., n}, i < j a ij = 0 4. On note respectivement l ensemble des matrices diagonales, triangulaires supérieures et triangulaires inférieures de taille n à coefficients dans K par D n (K), T n + (K) et Tn (K). 6

7 Propriétés D n (K), T n + (K) et Tn (K) sont des sev de M n (K) de dimensions respectives n, n(n+1) 2 et n(n 1) En particulier, ces ensembles sont stables par CL et donc par somme, différence, multiplication par un scalaire. 2. D n (K), T + n (K) et T n (K) sont aussi stables par produit. 3. Une matrice diagonale, triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure est inversible si et seulement si elle ne contient aucun scalaire nul sur la diagonale. 4. Pour élever une matrice diagonale à la puissance n, il suffit d élever ses coefficients à la puissance n. Ceci est bien sûr faux si la matrice n est pas diagonale. Exemple. ( ) n = ( 2n n ) et ( ) n 1 n ( 2n 0 3 n ) 2. II.4/ Matrices nilpotentes. Définition. Une matrice A de M n (K) est nilpotente si et seulement s il existe n dans N tel que A n = 0. En d autres termes, A est nilpotente si et seulement s il existe un polynôme annulateur de A de la forme X n. Le plus petit n tel que A n = 0 est appelé l indice de nilpotence. Propriété. 7 Exercice 1. 8 Une matrice nilpotente n est pas inversible. Montrer que si A est nilpotente alors I A est inversible. Exercice 2. 9 Déterminer les puissances de A = On considérera la matrice N = A I 3. 7

8 II.5/ Matrices symétriques, antisymétriques. Définitions. Soit M = (m i j) dans M n (K). 1. M est symétrique si et seulement si i, j {1,..., n}, a ij = a ji. 2. M est antisymétrique si et seulement si i, j {1,..., n}, a ij = a ji. 3. On note S n (K) et A n (K) respectivement l ensemble des matrices symétriques et antisymétriques. Propriétés Les éléments diagonaux d une matrice antisymétrique sont nuls. 2. S n (K) et A n (K) sont des sev supplémentaires de M n (K) de dimensions respectives n(n+1) 2 et n(n 1) 2. Attention. Le produit de 2 matrices symétriques (resp. antisymétrique) n est pas forcément une matrice symétrique (resp. antisymétrique). Contre-exemple : ( ) ( ) = ( ) 8

9 III. Opérations élémentaires sur les matrices III.1/ Matrices d opérations élémentaires et lien avec la multiplication. Définitions. 1. Il existe 3 opérations élémentaires (OE) sur les lignes d une matrice. L i L i + λl j avec λ dans K : à la ligne i on additionne λ fois la ligne j. L i L j : on échange les lignes i et j. L i λl i avec λ dans K : on multiplie la ligne i par λ. Il existe les 3 mêmes OE sur les colonnes. 2. A chaque OE α, on associe l OE α 1 définie par : α L i L i + λl j L i L j L i λl i α 1 L i L i λl j L i L j L i λ 1 L i On définit de même l OE α 1 s il s agit d une OE sur les colonnes. 3. Soit α une OE. La matrice d OE associée à α de taille n est la matrice F α obtenue en effectuant l OE α sur la matrice unité I n. 4. Si on peut passer de A à B par une suite d OE sur les lignes (resp. sur les colonnes, resp. sur les lignes et les colonnes), on note A L B (resp. A C B resp. A LC B) Propriétés Pour toute OE α, la matrice F α est inversible et F 1 α = F α Effectuer une OE α sur les lignes de A revient à multiplier A à gauche par F α. 3. Effectuer une OE α sur les colonnes de A revient à multiplier A à droite par F α. 4. Les relations L, C et LC sont des relations d équivalence sur M pq (K). 9

10 III.2/ Matrices échelonnées, échelonnées réduites. Définition. 1. Une matrice est échelonnée si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes : Les lignes de 0 sont regroupées sur le bas de la matrice c est-à-dire que si la matrice contient une ligne de 0, les lignes suivantes sont aussi des lignes de 0. Les premiers coefficients non nuls de chaque ligne (s ils existent) se décalent strictement sur la droite de ligne en ligne. En d autres termes si le premier coefficient non nul d une ligne est sur la colonne i alors le premier coefficient non nul des lignes suivantes seront sur une colonne strictement supérieure à i. 2. Dans une matrice échelonnée, les premiers coefficients non nuls de chaque ligne sont appelés des pivots. 3. Une matrice est échelonnée réduite si et seulement si elle est échelonnée, les pivots sont égaux à 1 et les colonnes avec des pivots ne contiennent que des 0 à part le pivot. Algorithme du pivot de Gauss. Il existe un algorithme permettant de transformer, à l aide d OE sur les lignes, toute matrice 1. en une matrice échelonnée (Algorithme du pivot - partie I). 2. en une matrice échelonnée réduite (Algorithme du pivot - partie II). Revoir l algorithme dans son cours de 1ère année. Remarque. Lorsqu on réduit une matrice échelonnée à l aide de l algorithme du pivot de Gauss, le nombre de pivots et leurs places ne changent pas. Propriétés Les seules matrices échelonnées inversibles sont les matrices unités I n pour n dans N. 2. Toute matrice inversible est le produit de matrices d OE. 3. Pour toute matrice, il existe une unique matrice échelonnée réduite qui lui soit équivalente par lignes. 4. Les matrices échelonnées équivalentes par lignes ont le même nombre de pivots. 10

11 III.3/ Application au calcul de l inverse d une matrice. Théorème. 13 Soit M dans M n (K). Pour calculer l inverse de M, il suffit de réduire la matrice (M I n ) (Les matrices M et I n étant collées). 1. S il existe un pivot dans la partie droite (la partie contenant I n au début), la matrice n est pas inversible. 2. Sinon, la matrice réduite est de la forme (I n N). La matrice M est alors inversible et M 1 = N. IV. Outils matriciels. IV.1/ La transposée. Définition. Soit A = (a ij ) dans M pq (K). La transposée de A, notée t A est la matrice (a ij ) vérifiant a ij = a ji pour tous i, j de {1,..., n}. La transposée transforme donc les lignes en colonne et inversement. Propriétés Soit A dans M pq (K), alors t ( t A) = A 2. La transposée est une AL, cad que : A, B M pq (K), t (λa + µb) = λ t A + µ t B 3. Soit A dans M pq (K) et B dans M qr (K), alors t (AB) = t B t A 4. Si A est inversible alors t A est inversible et t (A 1 ) = ( t A) 1 Remarque. Soit M dans M n (K) alors M est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si t M = M (resp. t M = M). Attention aux matrices définies par blocs.. Soient A, B, C, D des matrices, t [ A B t C D ] = [ A t C t B t D ] Exercice Montrer que la transposée est une involution linéaire. En déduire une décomposition en somme directe de M n (K) 2. En déduire que la transposée est une symétrie par rapport à S n (K) et de direction A n (K). 3. Quelle est la symétrie associée à cette projection? 11

12 IV.2/ La trace Définition. Soit M = (a ij ) dans M n (K). La trace de A est égale à : tr(a) = n a ii i=1 = a 11 + a a nn La trace d une matrice carrée est donc la somme des éléments diagonaux. Propriétés tr( t A) = tr(a) pour toute matrice carrée. 2. tr est une forme linéaire, cad une AL de M n (K) dans K. 3. A M pq (K), B M qp (K), tr(ab) = tr(ba) IV.3/ Le rang Définition. Le rang d une matrice A est le nombre de pivots présents dans une matrice échelonnée équivalente par lignes à A. Ceci a un sens puisque nous avons déjà montré que les matrices échelonnées équivalentes par lignes ont le même nombre de pivots. Propriétés Soit A dans M n (K), alors A inversible si et seulement si rg(a) = n. 2. Le rang n est pas modifié par la multiplication à gauche ou à droite par une matrice inversible. Formellement, pour A dans M pq (K), on a : D Gl q (K), rg(ad) = rg(a) G Gl p (K), rg(ga) = rg(a) 3. rg( t A) = rg(a) pour toute matrice A. 4. Le rang est un invariant pour les relations L et C, cad que pour A et B dans M pq (K) A L B rg(a) = rg(b) et A C B rg(a) = rg(b) 5. Le rang est un invariant idéal pour la relation LC, cad que pour A et B dans M pq (K) A B rg(a) = rg(b) LC 12

13 IV.4/ Le déterminant Théorème de construction. 18 Il existe une unique application det de M n (K) dans K vérifiant : det est linéaire par rapport à chaque ligne. det est antisymétrique (ou alternée) par rapport aux lignes. det(i n ) = 1. Remarques. On rappelle que 1. Si A = (a ij ) alors det(a) est aussi noté a a 1n a n1... a nn 2. antisymétrique (ou alternée) par rapport aux lignes signifie que le déterminant est multiplié par 1 si on échange deux lignes de la matrice. 3. linéaire par rapport aux lignes si : det A λl 1 + µl 2 B = λ.det A L 1 B + µ.det A L 2 B avec λ et µ dans K, L 1 et L 2 des matrices lignes de M 1n (K), A et B des matrices ayant n colonnes et suffisamment de lignes pour que les matrices apparaissant dans les déterminants soient carrées. Théorème - propriétés fondamentales A est inversible si et seulement si det(a) det(a.b) = det(a). det(b) 3. Si A est inversible alors det (A 1 ) = det (A) 1 4. det(λ.a) = λ n det(a) Soit A et B dans M n (R). 13

14 Théorème. 20 Soit A une matrice de M n (R). 1. det(a) = det( t A) 2. Le déterminant est la seule application f de M n (R) dans R telle que : f linéaire par rapport à chaque colonne. f antisymétrique par rapport aux colonnes f(i n ) = 1 3. Le déterminant est nul si l une des propriétés suivantes est vérifiée : A contient une ligne ou une colonne nulle. A contient deux lignes ou deux colonnes identiques. Une ligne (resp. une colonne) de A est combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). 4. Effets des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes : Opérations élémentaires Effet sur le déterminant L i L i + λl j Aucun C i C i + λc j L i L j déterminant multiplié C i C j par -1 L i λl i déterminant multiplié C i λc i par λ IV.5/ Un exemple important : le déterminant de Vandermonde. Théorème. 21 Soient a 1,..., a n dans K. 1 a 0 a a n 0 1 a 1 a a n 1 1 a 2 a a n 2 1 a n a 2 n... a n n = (a j a i ) 1 i<j n En particulier, ce déterminant appelé déterminant de Vandermonde est non nul si et seulement si les coefficients a 0,..., a n sont différents 14

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