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1 Correcion ES-Analyse - ES Correcion - Analyse I Exercice 1. On remarque d abord que f es bien définie pour ou x. En effe, on a : e e ix e. Cee foncion es inégrable sur [, + [, car en elle es équivalene à Riemann) e, au voisinage de +, elle vérifie : e 1. 1 qui es inégrable (inégrale de Prouvons égalemen que f es de classe C 1. Pour cela, on remarque que la foncion g définie sur R R + par : g : (x, ) e e ix adme en ou poin de R R + une dérivée parielle par rappor à x égale à : De plus on a, pour ou x R : g x (x, ) i e e ix. g (x, ) x e e la foncion apparaissan à droie dans l inégalié précédene es inégrable sur ], + [ (elle es coninue en, e au voisinage de +, elle es négligeable devan 1/ ). On en dédui par le héorème de dérivaion des inégrales à paramères que f es dérivable, avec : f (x) i e e ix.. On exprime le membre de droie de cee égalié en foncion de f grâce à une inégraion par paries, en posan v() e u() 1 ix 1 e(ix 1). Puisque u()v() e lim u()v(), on en dédui : + f (x) i e e ix d (ix 1) i( ix 1) (x + 1) f(x) x + i (x + 1) f(x). Il ne rese plus qu à résoudre cee équaion différenielle. On l écri sous la forme : f f x (x + 1) + i (x + 1) ce qui donne : ln f 1 4 ln(x + 1) + i arcan(x) + K. Spé PT - Jacques Delfaud - Page 1 sur 5

2 Correcion ES-Analyse On en dédui qu il exise une consane C R elle que : f(x) C(x + 1) 1/4 exp ( ) i arcan x. On déermine la valeur de la consane C en calculan f() C. On a par ailleurs : f() e d e u du en effecuan le changemen de variables u. En uilisan le rappel, on rouve que C π. Conclusion : x R, f(x) ( ) i π(x + 1) 1/4 exp arcan x. II Problème : séries de pile ou face II.A - II.A.1) Éude des longueurs des séries a) L 1 (Ω n ) {1,, n}. b) Cas où m < n. (L 1 m) (P 1 P m F m+1 ) (F 1 F m P m+1 ). (L 1 m) es la réunion de deux évènemens incompaibles. Donc la probabilié de (L 1 m) es la somme des probabiliés de ces deux évènemens. Les lancers éan indépendans on obien : Donc P (L 1 m) p m q + q m p. P (P 1 P m F m+1 ) p m q e P(F 1 F m P m+1 ) q m p. c) Comme (L 1 n) (P 1 P n ) (F 1 F n ), on rouve : d) On dédui des quesions précédenes : II.A.) P (L 1 m) a) L (Ω n ) {, 1,, n 1}. b) Cas où m + k < n. On a : P (L 1 n) p n + q n. p m q + pq q m p + p n + q n + pq + p n + q n p( ) + q( + pp + qq p + q 1 (L 1 m) (L k) (P 1 P m F m+1 F m+k P m+k+1 ) (F 1 F m P m+1 P m+k F m+k+1 ), qui nous donne : c) Cas où m + k n : P ((L 1 m) (L k)) p m q k p + q m p k q p m+1 q k + q m+1 p k. (L 1 m) (L k) (P 1 P m F m+1 F m+k ) (F 1 F m P m+1 P m+k ), implique : P ((L 1 m) (L k)) p m q k + q m p k. Spé PT - Jacques Delfaud - Page sur 5

3 Correcion ES-Analyse d) Les évènemens (L 1 m) pour m varian enre 1 e n formen un sysème comple d évènemens. La formule des probabiliés oales donne alors : P (L k) P ((L 1 m) (L k)). Si m + k > n alors P ((L 1 m) (L k)). Si m + k n, c es-à-dire, si m n k alors P ((L 1 m) (L k)) p m q k + q m p k p n k q k + q n k p k. Si m + k < n, c es-à-dire m < n k alors P ((L 1 m) (L k)) p m+1 q k + q m+1 p k. D où : P (L k) n k 1 p q k n k 1 e) P (L ) P (L 1 n) p n + q n. Si p q : P (L k) p k p m+1 q k + q m+1 p k + p n k q k + q n k p k + q p k n k 1 + p n k q k + q n k p k p q k 1 ( n k 1 ) + q p k 1 ( n k 1 ) + p n k q k + q n k p k p q k n k+1 q k 1 + q p k n k+1 p k 1 + p n k q k + q n k p k p q k 1 + q p k 1 + p n k q k 1 ( p + q) + q n k p k 1 ( q + p). + q + ( p + q)p 1 ( ) q p p p( ) + q( (p q )p (q p )q p pq + q qp p n + pq q n + qp p + q p n q n. Donc P (L k) p n + q n + p + q p n q n p + q 1. k Si p q 1 : + ( q + p)q 1 ( ) p q q II.B - II.B.1) P (L k) p k p p n + 1. Éude du nombre de séries lors de n lancers N 1 (Ω 1 ) {1}. P (N 1 1) 1. N (Ω ) {1, }. P (N 1) P ((P 1 P ) (F 1 F )) p + q 1 P (N ) P ((P 1 F ) (F 1 P )) pq + qp pq 1. On vérifie que p + q + pq (p + q) 1. N 3 (Ω 3 ) {1,, 3}. P (N 3 1) P ((P 1 P P 3 ) (F 1 F F 3 )) p 3 + q P (N 3 ) P ((P 1 P F 3 ) (F 1 F P 3 ) (P 1 F F 3 ) (F 1 P P 3 )) p q + q p 1. P (N 3 3) P ((P 1 F P 3 ) (F 1 P F 3 )) p q + q p 1 4. On vérifie que p 3 + q 3 + p q + q p + p q + q p p 3 + 3p q + 3pq + q 3 (p + q) 3 1. E(N 1 ) 1, E(N ) , E(N 3) Spé PT - Jacques Delfaud - Page 3 sur 5

4 Correcion ES-Analyse II.B.) N n (Ω n ) {1,, n}. P (N n 1) p n + q n 1. P (N n n) p E( n ) q n E( n ) + q E( n ) p n E( n ) 1. (E désigne juse là la parie enière d un réel). II.B.3) Foncions générarices de N n a) Le héorème de ransfer di que si X es une variable aléaoire de valeurs disinces x k, k varian de 1 à p p e f une foncion définie sur l image de X alors E(f(X)) f(x k )P (X x k ). Prenons X N n, x k k, k varian de 1 à n e f : x s x. Il vien : E(s Nn ) E(f(X)) f(x k )P (X x k ) s k P (N n k) ) Conclusion : Pour s [, 1] G n (s) E (s Nn. b) G n(s) P (N n k)ks k 1 donc G n(1) kp (N n k) E(N n ). Conclusion : G n(1) es l espérance de N n. c) (N n k) P n ((N n k P n P ) ((N n k P n F ), réunion de deux évènemens incompaibles (P e F forman un sysème comple). Donc P ((N n k) P n ) P ((N n k P n P ) + P ((N n k P n F ). On a (N n k) P n P (N k) P P n parce que : - Si w (N n k) P n P alors les deux derniers lancers dans w éan ideniques, ils fon parie de la même série. Donc avan le lancer n, il y a le même nombre de séries qu après le lancer n donc N (w) k, donc w (N k) P P n. - Réciproquemen, si w (N k) P P n alors les deux derniers lancers éan ideniques, le nombre de séries ne changen pas enre le lancer e le lancer n, donc X n (w) k, donc w (N n k) P n P. On a (N n k) P n F (N k 1) F P n parce que : - Si w (N n k) P n F alors les deux derniers lancers dans w éan différens, ils se créen une nouvelle série par le lancer n. Donc N (w) k 1, donc w (N k 1) F P n. - Réciproquemen, si w (N k 1) F P n alors les deux derniers lancers éan différens, le nombre de séries augmene de 1 enre le lancer n 1 e le lancer n, donc X n (w) k, donc w (N n k) P n F. On en ire que : P ((N n k) P n P ) P ((N k) P P n ) P ((N k P )P (P n ), car les lancers son indépendans. De même : P ((N n k) P n F ) P ((N k 1) F P n ) P ((N k 1) F )P (P n ), d où P ((N n k) F n ) 1 P ((N k) F ) + 1 P ((N k 1) P ). On va uiliser la formule des probabiliés oales en uilisan d abord (F n, P n ) comme sysème comple d évènemens puis (F, P ). En uilisan les résulas acquis de la quesion, il vien : P (N n k) P ((N n k) P n ) + P ((N n k) F n ) ( 1 P ((N k) P ) + 1 ) P ((N k 1) F ) ( 1 + P ((N k) F ) + 1 ) P ((N k 1) P ) 1 (P ((N k) P ) + P ((N k) F )) + 1 (P ((N k 1) F ) + P ((N k 1) P )) Conclusion : P (N n k) 1 P (N k) + 1 P (N k 1). Spé PT - Jacques Delfaud - Page 4 sur 5

5 d) Soi n. G n (s) ( P (N n k)s k 1 n P (N k)s k + Comme P (N ) n), on a Comme P (N ), on a : Correcion ES-Analyse P (N k 1)s ). k P (N k)s k P (N k)s k G (s). P (N k 1)s k P (N k 1)s k k P (N j)s j+1 sg (s). j1 Donc : G 1 (s) P (N 1 1)s s. G n (s) 1 G (s) + 1 sg (s) 1 + s G (s). (G n (s)) n N es une suie géomérique de raison 1 + s. ( ) 1 + s Donc n N G n (s) s e) Soi n. Cee quesion demande de calculer E(N n ) c es-à-dire d après II.B.3.b) de calculer G n(1). ( ) 1 + s D après la quesion précédene, G n(s) + s(n 1) 1 ( ) n 1 + s. G n(1) 1 + (n 1) 1 n + 1. Remarque : Pour n, on rerouve bien E(N ) 3 e E(N 3) de la quesion II.B.1) Spé PT - Jacques Delfaud - Page 5 sur 5

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