Feuille d exercices 5 : Sytèmes linéaires, vecteurs de R d, opérations sur les matrices. 1 Système linéaire, matrice augmentée, pivot de Gauss

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1 Université Denis Diderot Paris 7 (24-25) TD Maths, Agro wwwprobajussieufr/ merle Mathieu Merle : merle@mathuniv-paris-diderotfr Feuille d exercices 5 : Sytèmes linéaires, vecteurs de R d, opérations sur les matrices Système linéaire, matrice augmentée, pivot de Gauss Préambule : On appelle système linéaire à p équations et n inconnues un système de la forme a x + + a n x n = b a 2 x + + a 2n x n = b 2 a p x + + a pn x n = b p où les (a ij ) i p, j n et les (b i ) i p sont des réels (ou, plus généralement, des complexes) On dit que A = (a ij ) i p j n est la matrice des coefficients, tandis que la matrice a a n b a 2 a 2n b 2 a p a pn b p est appelée matrice augmentée du système On peut alors appliquer l algorithme du pivot de Gauss directement à la matrice augmentée Une fois l algorithme terminé, on peut toujours, si besoin, revenir à la forme plus habituelle du système linéaire Exercice En appliquant l algorithme du pivot de Gauss, résoudre les systèmes linéaires dont la matrice augmentée est donnée par M 3 M = 5 2 ( ) 2 M = 2 3 M =

2 4 8 4 M = M = M = La deuxième équation du système est x + x 2 + x 3 =, ce qui est impossible Le système n a donc aucune solution 2 Le système est déjà réduit La deuxième équation du système est trivialement vérifiée pour tout (x, x 2 ) La première est x = L ensemble des solutions du système est donc finalement S = {(, x 2 ), x 2 R} 3 L algorithme du pivot donne successivement les matrices suivantes et on trouve donc que la seule solution du système est (29, 6, 3) 4 L algorithme du pivot donne successivement les matrices suivantes /2 /2 4 8 /2 2 3/2 3/2 /2 4 8, 5/2 2

3 donnant une équation impossible Il n y a donc pas de solution à ce système 5 L algorithme du pivot donne successivement les matrices suivantes / /3 3 5/ La variable x 3 est donc une variable libre, et on obtient l ensemble de solutions S = {(5 3x 3, 3 2x 3, x 3, ), x 3 R} 6 L algorithme du pivot donne successivement les matrices suivantes , 4 et on obtient donc l ensemble de solutions S = {( x 3 3x 4, 7 + 2x 3 2x 4, x 3, x 4, 4), (x 3, x 4 ) R 2 } 3

4 Exercice 2 Combien un système linéaire de 2 équations à 4 inconnues peut-il posséder de solutions? On donnera un ou plusieurs exemples pour illustrer la réponse 2 Lorsque n > k, combien un système linéaire de k équations à n inconnues peut-il posséder de solutions? Un système de 2 équations posséde ou bien aucune, ou bien une infinité de solutions Par exemple, la deuxième équation du système, dont la matrice augmentée s écrit ( ), est impossible, et donc un tel système ne possède aucune solution En revanche tout quadruplet de réels vérifie le système trivial (dont la matrice augmentée ne comporte que des zéros), et donc un tel système possède effectivement une infinité de solutions Il est en revanche impossible qu un système de deux équations à 4 inconnues possède un nombre fini, strictement positif, de solutions En effet, une fois que l algorithme du pivot est achevé on est forcément dans l une des situations suivantes : il existe au moins une équation impossible, auquel cas le système n a aucune solution le système n a pas d équation impossible Mais alors il ne peut y avoir que 2 pivots finaux, et donc le système possède forcément au moins 4 2 = 2 variables libres Dans ce cas il y a une infinité de solutions (et on verra plus tard que dans ce cas l espace des solutions est au moins de dimension 2) 2 Par un raisonnement en tous points similaire à celui de la question précédente, une fois que l algorithme du pivot est achevé on est forcément dans l une des situations suivantes : il existe au moins une équation impossible, auquel cas le système n a aucune solution le système n a pas d équation impossible Mais alors il ne peut y avoir que k pivots finaux, et donc le système possède forcément au moins n k variables libres Dans ce cas il y a une infinité de solutions (et l espace des solutions est au moins de dimension n k) Exercice 3 Déterminer pour quelles valeurs des paramètres (h, k et éventuellement g) le système dont la matrice augmentée M est donnée ci-dessous (i) ne possède aucune solution, (ii) possède une unique solution, (iii) possède une infinité de solutions ( ) 2 k M = 4 h 5 ( ) 3 h 2 M = 6 k 3 ( ) 2 h 3 M = 6 2 k 4

5 4 7 g 4 M = 3 5 h k La première étape de l algorithme du pivot nous fournit le système équivalent de matrice augmentée ( ) 2 k h 8 5 4k Supposons dans un premier temps h 8 On peut alors poursuivre l algorithme et on trouve successivement ( ) 2 k 5 4k h 8 ( hk ) h 8 5 4k, h 8 et dans ce cas, l unique solution du système est ( ) hk h 8, 5 4k h 8 Supposons désormais que h = 8, et que k 5/4 On obtient alors l équation x 2 = 5 4k, impossible à vérifier On en déduit que dans ce cas le système ne possède aucune solution Supposons enfin h = 8, k = 5/4 Dans ce cas le système équivalent a pour matrice augmentée ( ) 2 5/4, et l ensemble des solutions est S = {(5/4 2x 2, x 2 ), x 2 R} 2 Par une méthode en tous points similaires à celle utilisée dans la question précédente, on trouve que si k + 2h, l unique solution du système est ( k+3h 3k+6h, k+2h ) si k + 2h =, le système n a aucune solution 3 Quelles que soient les valeurs des paramètres, le système se résout par l algorithme du pivot, et on obtient une unique solution ( k/2 h, k 3h) 4 L agorithme du pivot fournit un système équivalent dont la matrice augmentée est /3 g + 4h/3 5/3 h/3 k + 2g + h On doit donc distinguer deux cas : si k + 2g + h le système n a aucune solution si k + 2g + h = alors l ensemble des solutions du système est S = {(g + 4h/3 x 3 /3, h/3 + 5x 3 /3, x 3 ), x 3 R} Exercice 4 On appelle interpolation polynômiale la démarche consistant à trouver un polynôme de degré n dont le graphe passe par n + points fixés Par exemple, si on 5

6 recherche le polynôme sous la forme a + a x + + a n x n, et si l un point a pour coordonnées (c, d) on exige que a + a c + a 2 c a n c n = d Quelle est l interpolation polynômiale des trois points de coordonnées (, 2), (2, 5), (3, 6)? On cherche ici un polynôme de degré 2 qui passe par les trois points donnés Autrement dit, on cherche a, a, a 2 tels que a + a + a 2 2 = 2 a + a 2 + a = 5 a + a 3 + a = 6 On cherche donc une solution d un système linéaire d inconnues (a, a, a 2 ), et dont la matrice augmentée s écrit On effectue alors l algorithme du pivot, et on obtient finalement l unique solution (7, 6, ) Le polynôme recherché est donc P (x) = 7 + 6x x 2 2 Vecteurs de R d Un vecteur u R d est déterminé par ses d coordonnées dans la base canonique u,, u d On écrit les coordonnées de u sous la forme d une matrice colonne, et on identifie u à cette matrice-colonne : u = Rappelons que si u R d, v R d, a R, on a u + v u + v = u d + v d u u d, au = au Si U := {u i } i I est une famille de vecteurs de R d on note Vect(U) l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de U, ie Vect(U) := {a u + + a n u n, (a,, a n ) R n, u i U i {, n}} au d 6

7 Exercice 5 Dans un repère orthonormé de l espace, on considère un système de 4 masses ponctuelles Les masses sont, respectivement, 2, 5, 2 et gramme(s), tandis que les points ont pour coordonnées respectives (5, 4, 3), (4, 3, 2), ( 4, 3, ), et ( 9, 8, 6) Calculer le centre de gravité du système Le centre de gravité est le barycentre des quatre points affectés des poids barycentriques respectifs 2/, 5/, 2/, / Le centre de gravité recherché est donc 2/ (5, 4, 3) + 5/ (4, 3, 2) + 2/ ( 4, 3, ) + / ( 9, 8, 6) = (3/, 9/, ) Exercice 6 Pour v, v n, et y (dépendant éventuellement du paramètre h) décrits ci-dessous, déterminer (éventuellement en fonction de h) si y Vect(v, v n ) : 2 5 v = 2, v 2 =, v 3 =, y = h 2 v =, v 2 =, y = v = 2, v 2 = 2, y = h h 4 v =, v 2 = 2, y = Dans chacun des cas on cherche à savoir si on peut trouver x,, x n tels que x v + + x n v n = y Si d désigne le nombre de coordonnées de y, on est donc exactement en train de résoudre un système linéaire de d équations à n inconnues, et notre but est de déterminer si ce système possède au moins une solution Dans ce premier cas la matrice augmentée du système correspondant est On applique l algorithme du pivot, on obtient ici une équation impossible, le système n a donc aucune solution et on conclut que y / Vect(v, v 2, v 3 ) 2 Dans ce cas la matrice augmentée du système correspondant est 2 h 3,

8 qui possède une solution si et seulement si h = 2 On conclut donc que y Vect(v, v 2 ) h = 2 3 Dans ce cas la matrice augmentée du système correspondant est 2 2, h et quelque soit h R, ce système possède une (unique) solution On conclut donc que h R, y Vect(v, v 2 ) 4 Dans ce cas la matrice augmentée du système correspondant est h 2 2, 5 4 qui possède une solution si et seulement si h = On conclut donc que y Vect(v, v 2 ) h = 3 Opérations sur les matrices Préambule Soit la matrice A de taille m n On peut écrire A = (a a n ), de sorte que le vecteur a i est la i-ième colonne de la matrice A Si x R n on peut effectuer le produit matriciel de A par x : Ax = x a + + x n a n On notera qu on obtient là un vecteur de R d, qui appartient à Vect(a,, a n ) Si B est une matrice n p, que l on peut donc écrire (par colonnes) B = (b b p ) on peut de même effectuer le produit matriciel de A par B : A B = AB = (Ab Ab p ) Puisque pour tout i p, Ab i R d, on obtient là une matrice de taille d p Notons (a ij ) i m, j n les coefficients de A et (b ij ) i n, j p ceux de B On a donc b l := b l b nl, et ainsi le coefficient situé à la i-ième ligne et la j-ième colonne est la i-ième coordonnée de Ab j, c est donc a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj = 8 n a ik b kj k=

9 Lorsque A est carrée, de taille m m on peut évidemment effectuer le produit de A avec elle-même, et on note A A = A 2, A 2 A = A 3, et plus généralement A n A = A n+ n Pour que la formule ci-dessus reste vraie lorsque n = on adopte la convention A = I m := Enfin, toujours pour une matrice carrée A de taille m m, si on peut trouver une matrice B telle que AB = I m, alors on a également BA = I m, on dit alors que A est inversible, et on note B = A Lorsque A est inversible, et si e =, observons que le premier vecteur colonne de A est solution de Ax = e De même, si on note e i le iième vecteur de la base canonique, la i-ième colonne de A est solution de Ax = e i On verra plus tard que la propriété d inversibilité de A est exactement équivalente au fait que les solutions de ces n équations matricielles existent et sont uniques Cette observation est à la base de l algorithme de calcul de A basé à nouveau sur le pivot de Gauss Exercice 7 Soit A une matrice de taille m n, et b R m A quel système linéaire l équation matricielle (d inconnue x R n ) Ax = b est-elle équivalente? Quelles sont la matrice des coefficients et la matrice augmentée de ce système? Résoudre Ax = b lorsque 6 2 A = , b = Quitte à noter x i la i-ième coordonnée de x, et à considérer les vecteurs Ax, et b coordonnée par coordonnée (les coordonnées étant uniques, on trouve donc m équations), on obtient un système linéaire de m équations à n inconnues (ces inconnues sont les coordonnées du vecteur inconnu, ie x,, x n ) L équation matricielle considérée est donc équivalente au système linéaire dont la matrice augmentée (de taille m n + ) est ( A b ) Dans le cadre de l exemple de cet exercice, on obtient donc la matrice augmentée ,

10 dont l unique solution est ( 3, ( 7) ) On conclut donc que l unique solution de notre équation 3 matricielle est le vecteur x = 7 Exercice 8 Soit A = (a a n ) une matrice de taille m n Pour un vecteur x = 2 Montrer que On a x x n, calculer Ax {Ax, x R n } = Vect {a,, a n } Ax = n x i a i 2 Si y {Ax, x R n }, alors il existe un x R n tel que y = Ax et donc i= y = x a + + x n a n, c est-à-dire exactement que y Vect {x,, x n } Réciproquement, si y Vect {a,, a n }, alors y est combinaison linéaire des colonnes de A, et donc il existe des coefficients λ,, λ n tels que y = n λ i a i i= Mais alors, pour x λ de coordonnées (λ,, λ n ), on a y = Ax λ, et donc y {Ax, x R n } Exercice 9 Calculer A n, n lorsque a A = b, où a, b, c sont des réels c A = ( ) 2 3 A = 3 a n A n = b n pour tout n N c n

11 b b b 2 Un calcul direct fournit que si B = b b b, alors b b b 2b + 2b + 2b 3 2b 3 2b 6b 6b 6b AB = 3 2b 3 2b 3 2b = 6b 6b 6b 3 2b 3 2b 3 2b 6b 6b 6b Une récurrence directe fournit donc que pour tout n, 2 6 n 2 6 n 2 6 n A n = 2 6 n 2 6 n 2 6 n 2 6 n 2 6 n 2 6 n tandis que, bien sûr, A = I 3 ( ) 2 3 Une récurrence directe fournit que pour tout n, A n n = avec u = et u n+ = 2u n + 3 n pour tout n En posant v n = u n α3 n, on obtient que pour tout n, u n v n+ = 2u n + 3 n α3 n+ = 2v n = 2u n 2α3 n ssi 3 n ( 3α) = 2α3 n, ie ssi α = On a donc que pour v n = u n 3 n, v n+ = 2v n, et comme v = on a v n = 2 n, de sorte que pour tout n, u n = 3 n 2 n, et finalement ( ) A n 2 n = 3 n 2 n 3 n 3 n Exercice Soit A = Montrer que pour tout entier n N, il existe un réel a n tel que A n = 2a n 2a n 2a n a n a n a n + Exprimer alors a n+ en fonction de a n, et en déduire une expression de A n en fonction de n On montre l assertion A n = 2a n 2a n 2a n par récurrence sur n Lorsque a n a n a n + n =, A = I 3 et donc l assertion est vraie avec a = Si l assertion est vraie au rang n, on a A n+ = AA n = 6 4a n 4a n 5 6 4a n, 3 2a n 3 + 2a n 4 2a n et donc l assertion est vérifiée au rang n + avec a n+ = 3 2a n

12 On a affaire à une suite arithmético-géométrique, et on obtient alors en posant v n = a n que v =, v n+ = 2v n, ie v n = ( 2) n, ie a n = ( 2) n + Finalement A n = ( 2) + 2 ( 2) n+ ( 2) n+ + ( 2) n + ( 2) n ( 2) n Exercice Soit A = Calculer A 2 et déterminer deux réels a, b tels que A 2 = aa + bi 3 2 Montrer alors que pour tout n N, il existe un réel a n tel que ( ) ( ) 2 A n = 3 a n A a n I 3 3 Exprimer a n+ en fonction de a n, et en déduire une expression de A n en fonction de n On a ie a =, b = A 2 = 6 2 = A + 2I 3, Montrons l assertion par récurrence sur n Lorsque n = l assertion est vraie avec a = /3 Si elle est vraie au rang n, alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A n+ = 3 a n A a n A = 3 a n ( A+2I 3 ) 3 + a n A = 3 + 2a n A+ 3 2a n, et l assertion est alors vérifiée au rang n + pourvu que a n+ = 2a n 3 On a donc a n = ( 2) n 3, et finalement, pour tout n, A n = 3 ( ( 2)n )A+ 3 (2 + ( 2)n ) I 3 = ( 2) n 2( ( 2) n ) 2( ( 2) n ) 2 + 3( 2) n 4( ( 2) n ) ( 2) n + ( 2) n 2 ( 2) n Exercice 2 On note J = Calculer J n pour tout n N Montrer que J et I 3 commutent, et en déduire l expression de (I 3 + aj) n en fonction de a R, n N Evidemment J = I 3, J = J On trouve par un calcul direct que J 2 est la matrice nulle, et donc J k est la matrice nulle pour tout k 2 On vérifie facilement que J et I 3 commutent puisque JI 3 = I 3 J = J 2

13 On a donc (I 3 + aj) n = n k= ( ) na n a k J k = I 3 + naj =, k ce que l on peut facilement vérifier par une récurrence immédiate Exercice 3 Soit P = Montrer que P est inversible et calculer P 2 Soit P = Montrer que P est inversible et calculer P On applique l algorithme du pivot à [P I 3 ], qui aboutit à [I 3 P ], avec /2 /2 /2 P = /2 /2 /2 On vérifie alors aisément que la matrice obtenue satisfait /2 /2 /2 bien P P = P P = I 3 Par la même méthode on obtient /2 /2 P = /2 /2 /2 /2 5 2 Exercice 4 Soit A = 7 2, et P = On a vu dans l exercice 6 précédent que P était inversible et on a calculé P Déterminer maintenant la matrice D telle que A = P DP Montrer alors que pour tout n N on a A n = P D n P, et en déduire une expression de A n en fonction de n D satisfait A = P DP Quitte à multiplier chaque membre de cette égalité à gauche par P, et à droite par P, on obtient P AP = P P DP P = I 3 DI 3 = D Pour trouver D, il suffit donc d effectuer le produit matriciel P AP, et on obtient 4 D = 6 8 Il est alors évident que 4 n D n = 6 n 8 n 3

14 Mais comme A n = (P DP ) n = P DP P DP P DP = P DI 3 DI 3 D DP = P D n P, on déduit par simple calcul matriciel que 4 n 6 n 8 n A n = P D n P = 4 n 6 n 8 n 4 n 6 n 8 n = 4 n + 6 n 8 n 6 n 8 n 4 n 4 n 6 n 6 n + 8 n 8 n 4 n 2 6 n 4 n 8 n 6 n 4 n + 8 n /2 /2 /2 /2 /2 /2 4