Introduction à la RDM

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1 Chapitre 1 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Introduction à la RDM I. But de la résistance des matériaux : La résistance des matériaux (RDM) a pour buts : La connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux telles que : - La résistance à la limite élastique : Re - La résistance à la rupture : Rr - Le module d'élasticité : E etc. L'étude de la résistance des pièces (les pièces supportent-elles les efforts qui leurs sont appliquées en toute sécurité?). L'étude de la déformation des pièces. L étude des actions intérieures qui s exercent dans une pièce mécanique. De déterminer les dimensions d une pièce ou de vérifier qu une pièce de dimension donnée est acceptable. II. Hypothèses générales : II.1. Hypothèses sur les matériaux : Continuité : les matériaux sont constitués de grains dont les distances intermoléculaires sont petites (de qqn A ) devant les plus petites dimensions que nous aurons à utiliser. Nous considérons donc que la matière est continue. Homogénéité : on admettra que tous les éléments du matériau, aussi petits soientils, ont une structure identique. Isotropie : On admettra qu'en tout point et dans toutes les directions autour de ce point, les matériaux possèdent les mêmes propriétés mécaniques. II.2. Hypothèses sur les poutres : On appelle poutre (E) un solide engendré par une surface dont le centre de gravité G décrit une courbe plane appelée ligne moyenne. Une poutre est droite si la ligne moyenne est une droite. Une poutre est caractérisée par : La section S est constante (ou à faible variation et reste perpendiculaire à la ligne moyenne) A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 1

2 La poutre possède un plan de symétrie. La longueur de la poutre est supérieure à 10 fois la plus grande dimension de la section. II.3. Hypothèses sur les forces extérieures : Les forces extérieures sont situées dans le plan de symétrie de la poutre ou disposées symétriquement par rapport à ce plan. Plan de symétrie On ne peut pas remplacer un système de forces par un autre équivalent. II.4. Hypothèses sur les déformations : Hypothèse de Navier et Bernoulli : Les sections planes et normales à la ligne moyenne restent planes et normales à celle-ci après déformation. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 2

3 Section plane et droite Hypothèse de Barré de Saint Venant : Dans les zones éloignées des points d application de charges, les effets mécaniques (contrainte et déformation) sont indépendants du mode d application. III. Efforts extérieurs et efforts de cohésion : III.1. Etude de l'équilibre de la poutre : La poutre (E) est soumise en générale à : des actions à distance (par exemple son poids propre). des actions de contact avec le milieu extérieur (par exemple actions mécaniques de liaison avec le milieu extérieur). L'ensemble des actions mécanique de l'extérieure ( E ) sur la poutre (E) qu'il s'agisse de forces concentrées ou réparties sera désigné par : torseur des forces extérieures de ( E ) sur (E) et noté par E / E G A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 3

4 (1) L'équilibre de (E) se traduira par : G 0 E / E G En tout point et en particulier en O origine du repère (R0) la relation (1) entraîne que : R ( E / E) 0 M ( E / E) / O 0 (2) Avec : R ( E / E ) : est la résultante des actions mécanique extérieures de E / E. E / E. M E / E ) / O ( : est le moment résultant au point O des actions mécaniques extérieures de III.2. Etude de l'équilibre du tronçon (1) : Le tronçon (1) de la poutre (E) est soumis à un système de forces extérieures qui comporte : Les actions mécaniques du milieu extérieur E / 1 par exemple la pesanteur et les actions des liaisons. Notons E / 1 le torseur associé à ces actions mécaniques au point G. G les actions de 2/1 à travers la section (S). Ces actions inconnues à priori, sont des forces extérieures pour le tronçon (1) mais intérieures pour la poutre (E). La connaissance de ces forces intérieures de cohésion et leur répartition constitue l'un des buts de la RDM. G coh Notons par le torseur de cohésion associé à ces actions au point G. L'équilibre de (1) se traduit par : E / 1 On appellera E / 1 G G + coh G =0 G (3) le torseur gauche et on le note par gch G G drt droit et on le note. et G E / 2 le torseur Dans le but de simplifier l'écriture des équations que nous rencontrerons ultérieurement, nous conviendrons de désigner seulement par R et M G les éléments de réduction du torseur des forces de cohésion dans la poutre que le tronçon (2) exerce sur le tronçon 1. R et M G sont en fonction de l'abscisse x du centre de gravité G de la section de cohésion ou de coupure. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 4

5 La relation (3) entraîne alors que : R R E /1 M G M E /1/ G Remarque : La poutre (E) est composée de (1) (2) d où : E / 1 G + E / 2 G R G coh = 0 G donc coh G = - gauche G = + drt G = - E / 1 G = + E / 2 G R E / 1 R E / 2 et M G M E / 1/ G M E / 2/ G III.3. Composantes des efforts de cohésions du G coh A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 5

6 IV. Définition des sollicitations simples : La sollicitation est dite simple lorsque le torseur associé aux efforts de cohésion se réduit à un élément non nul. Les différentes sollicitations simples sont données dans le tableau suivant : Schéma Elément de réduction sollicitation N 0 M 0 T 0 M 0 t f Extension simple si N>0 compression simple si N<0 N 0 M 0 t T 0 M 0 Cisaillement simple f Mt N 0 M 0 t T 0 M 0 Torsion simple f Mfy Mfz N 0 M 0 t T 0 M 0 Flexion pure f T Mf N 0 M 0 t T 0 M 0 Flexion simple f A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 6

7 V. Contraintes : V.1. Définition : Les efforts de cohésion sont des actions mécaniques que le tronçon (2) exerce sur le tronçon (1). Ces actions sont réparties en tout point de la section (S). Par définition, on appelle contrainte : df lim C ds ds0 M V.2. Unité : Dans le système légal, l'unité est le pascal (Pa) ; 1 Pa = 1 N/m 2 On utilisera le plus souvent son multiple ; le méga pascal (MPa) 1MPa=l0 6 Pa =1N/mm 2 On rappelle que 1 MPa = 10 bars V.3. Contrainte normale et contrainte tangentielle : Contrainte normale : On appelle contrainte normale σ (sigma), la composante de la contrainte sur la normale à la section (flexion, traction ). Contrainte tangentielle : On appelle contrainte tangentielle τ (tau), la composante de la contrainte sur le plan de l'élément de section (cisaillement, torsion ). A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 7

8 Exercices d application Exercice 1 : Pour chacune des structures suivantes : Déterminer les efforts de liaison. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre. Tracer les diagrammes des efforts intérieurs. Dans le cas des structures hyperstatiques, déterminer tout en fonctions des inconnues hyperstatiques choisies. 1) : Exercice 2 : (Extrait du DS Novembre 2016) Considérons l équilibre du levier (3), toute en adoptant les hypothèses suivantes (figure Masse de levier négligeable. Le levier est assimilé à une poutre de section droite circulaire. Levier en acier tel que : Re = 235 MPa et E = MPa. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 8

9 Les efforts extérieurs appliqués sur le levier sont modélisés par les torseurs suivants : (tous les efforts sont en N) ; ; 4 / 3 0 C 7 / B 10/ A Avec CA=250 mm et CB = 75 mm. 1. Déterminer la répartition des efforts de cohésions le long du levier (3)? 2. Tracer les diagrammes représentants la variation de ces efforts en fonction de la longueur? 3. Déduire la section la plus sollicitée et la nature des sollicitations appliquées sur le levier (3). Exercice 3 : (Extrait du DS Novembre 2007) La potence de levage décrite sur la figure 2 peut étre modélisée, dans le cas de son chargement le plus défavorable, par une poutre coudée de section carré de cote a=30mm et de module de Young E=210 GPa, encastrée en O dans le sol et soumise, à son extrémité B à la charge maximale d une valeur P = 2100 N comme l indique la figure Caractériser et déterminer les efforts de la liaison encastrement au point O? 2. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre OAB en précisant la nature de la sollicitation dans chaque branche? 3. Représenter les diagrammes des efforts de cohésion le long de la poutre OAB? A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 9

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