INTÉGRATION (Partie 2)

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1 INTÉGRATION (Prti ) I. Clcul d'intégrls ) Définition Définition : Soit f un fonction continu sur un intrvll I, t dux réls d I t F un primitiv d f sur [ ; ]. On ppll intégrl d f sur [ ; ] l différnc F() F() noté Rmrqu : L définition st étndu à ds fonctions d sign qulconqu. Ainsi pour un fonction f négtiv sur [ ; ], on put écrir : f (x) dx = F() F() = G() G() = ( f (x))dx où G st un primitiv d l fonction f. Dns c cs, l'intégrl d l fonction f sur [ ; ] st égl à l'opposé d l'ir compris ntr l'x ds sciss t l cour rprésnttiv d f sur [ ; ]. f (x) dx. Nottions : On écrit : f (x) dx = F(x) = F() F() Méthod : Clculr un intégrl à prtir d'un primitiv Vidéo Vidéo Vidéo 3 Clculr : A = x dx 5 B = ( 3x + x 5)dx C = x dx Yvn Monk Acdémi d Strsourg

2 A = 3 x dx = 3 x = 3 x = 3 3 = B = ( 3x + x 5)dx = x 3 + x 5x 5 = = = C = x dx = x = ( ) = + = = 9 Propriétés : Soit f un fonction continu sur un intrvll I ; t dux réls d I. ) f (x) dx = ) f (x) dx = f (x) dx ) f (x) dx = F() F() = ) f (x) dx = F() F() = F() F() = f (x) dx Rmrqu : Si un intégrl st null, lors l fonction n'st ps nécssirmnt null. Pr xmpl : x 3 dx = x = ( ) = =. Yvn Monk Acdémi d Strsourg

3 3 Méthod : Clculr l'ir délimité pr ls cours d dux fonctions continus t positivs Vidéo On considèr ls fonctions f t g définis pr f (x) = x + t g(x) = x + x + 5. Détrminr l'ir délimité pr ls cours rprésnttivs d f t d g sur l'intrvll ;. On clcul l différnc d l'ir sous l cour rprésnttiv d g t d l'ir sous l cour rprésnttiv d f. Cl rvint à clculr l différnc ds intégrls : g(x)dx f (x)dx = x + x + 5 dx x + = 3 x3 + x + 5x dx 3 x3 + x = ( ) + 5 ( ) = = ( ) = = 9 u.. ) Rltion d Chsls Propriétés : Soit f un fonction continu sur un intrvll I ;, t c trois réls d I. c f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx Démonstrtion : c c f (x) dx + f (x) dx c = F(c) F() + F() F(c) = F() F() = f (x) dx Yvn Monk Acdémi d Strsourg

4 3) Linérité Propriété : Soit f t g dux fonctions continus sur un intrvll I ; t dux réls d I. ) Pour k rél, kf (x) dx = k f (x) dx ) ( f (x) + g(x) )dx = f (x) dx + g(x) dx Démonstrtion : On ppliqu ls propriétés sur ls primitivs : - kf st un primitiv d kf - F + G st un primitiv d f + g Méthod : Appliqur l linérité Vidéo Clculr : x 5 x dx x 5 x dx = x dx 5 = x 5 ln x x dx = 5 ln ln = 5 ) Inéglités Propriétés : Soit f t g dux fonctions continus sur un intrvll I ; t dux réls d I vc. ) Si, pour tout x d ;, f (x), lors f (x) dx ) Si, pour tout x d ;, f (x) g(x), lors f (x) dx g(x) dx Démonstrtion : ) Pr définition, lorsqu f st positiv, l'intégrl d f st un ir donc st positiv. ) Si f (x) g(x) lors f (x) g(x). Yvn Monk Acdémi d Strsourg

5 5 Donc n ppliqunt ), on : ( f (x) g(x) )dx. Pr linérité, on f (x) dx g(x) dx t donc f (x) dx g(x) dx. Méthod : Encdrr un intégrl Vidéo ) Démontrr qu pour tout x d [ ; ], on x x. ) En déduir qu x dx. ) Sur [ ; ], x x. Comm l fonction xponntill st croissnt t positiv sur!, on x x. ) On déduit d l qustion précédnt qu dx x dx x dx. dx = t x dx = x D'où x dx = II. Vlur moynn d'un fonction Définition : Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; ] vc. On ppll vlur moynn d f sur [ ; ] l nomr rél m = f (x) dx. Intrpréttion géométriqu : L'ir sous l cour rprésnttiv d f (n roug ci-dssous) st égl à l'ir sous l droit d'éqution y = m (n lu). Exmpl : Clculons l vlur moynn d l fonction f défini pr f (x) = 3x x + 5 sur l'intrvll [ ; ]. Yvn Monk Acdémi d Strsourg

6 6 m = ( 3x x + 5)dx = x3 x + 5x = ( + 5) = 85 Méthod : Clculr un vlur moynn d'un fonction Vidéo On modélis à l'id d'un fonction l nomr d mlds lors d'un épidémi. Au x-ièm jour près l signlmnt ds prmirs cs, l nomr d mlds st égl à f (x) = 6x x 3. Détrminr l nomr moyn d mlds chqu jour sur un périod d 6 jours. 6 m = f (x) dx 6 = 6 ( 6x x 3 )dx 6 = x3 x 6 = = = 63 = 3 3 L nomr moyn d mlds chqu jour st nviron égl à 3. Hors du cdr d l clss, ucun rproduction, mêm prtill, utrs qu clls prévus à l'rticl L -5 du cod d l propriété intllctull, n put êtr fit d c sit sns l'utoristion xprss d l'utur. Yvn Monk Acdémi d Strsourg