Annales sur le logarithme

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1 Annales sur le logarithme Antilles-Guyane, sept ( points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal ). On considère la fonction f, définie sur l intervalle [ ; + [ par : ( O, ı, j On note (C) sa courbe représentative. f(x) = lnx+(lnx). Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C). (a) Résoudre dans ] ; + [ l équation f(x) =. (On pourra poser ln x = X). (b) Résoudre dans ] ; + [ l inéquation f(x) >.. (a) Déterminer les limites de f en et en +. (b) Calculer f (x). (c) Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C) au point d abscisse e On se propose d étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T ). Pour cela, on considère la fonction ϕ, définie sur ] ; + [ par : ( ) 4 ϕ(x) = f(x) 4e 5 4 x. 8 (a) Montrer que ϕ (x) = 4lnx 4e 5 4 puis calculer ϕ (x). x (b) Étudier le sens de variation de ϕ sur ] ; + [. En déduire que, pour tout x appartenant à ] ; + [, on a ϕ (x). ( ) (c) Calculer ϕ e 5 4. Pour tout x appartenant à ] ; + [ déterminer le signe de ϕ(x). En déduire la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T ). 5. Tracer la courbe (C) et la droite (T ). (Unité graphique : cm). Partie B - Calcul d une aire. Vérifier que la fonction h, définie par x xlnx x, est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ] ; + [.. On pose I = e e (a) Calculer I. lnx dx et I = e e (lnx) dx. (b) En utilisant une intégration par parties, montrer que I = 5 4 e 5 e. (c) Calculer e e f(x) dx. En déduire l aire, en unités d aire, de l ensemble des points M(x ; y) du plan tels que e x e et f(x) y.

2 Amérique du nord, juin ( points) Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction f k définie sur [ ; + [ par : f k (x) = ln(e x +kx) x. Soit C k la courbe représentative de la fonction f k dans le plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordonnées). Étude préliminaire : mise en place d une inégalité. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par :. Étudier le sens de variation de g. g(x) = ln(+x) x.. En déduire que pour tout réel a positif ou nul ln(+a) a. Partie A : Étude de la fonction f définie sur [ ; + [ par f (x) = ln(e x + x) x. ( O, ı, j. Calculer f (x) pour tout réel x appartenant à l intervalle [ ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f.. Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle [ ; + [, f (x) = ln (+ x ). En déduire la limite de f e x en +.. Dresser le tableau de variation de f. Partie B : Étude et propriétés des fonctions f k.. Calculer f k (x) pour tout réel x appartenant à l intervalle [ ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f k.. Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle [ ; + [, f k (x) = ln (+k x ). En déduire la limite de f e x k, en +.. (a) Dresser le tableau de variation de f k. (b) Montrer que pour tout réel x de l intervalle [ ; + [, on a f k (x) k e. 4. Déterminer une équation de la tangente T k à C k au point O. 5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m. Étudier la position relative de C p et C m. 6. Tracer les courbes C et C ainsi que leurs tangentes respectives T et T en O. Partie C : Majoration d une intégrale. Soit λ un réel strictement positif, on note A(λ) l aire, en unités d aire, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C k et les droites d équation x = et x = λ.. Sans calculer A(λ), montrer que A(λ) k préliminaire). λ. Calculer à l aide d une intégration par parties l intégrale. On admet que A(λ) admet une limite en +. Montrer que lim A(λ) k. λ + Interpréter graphiquement ce résultat xe x dx (on pourra utiliser le résultat de la question λ xe x dx. ),

3 Nouvelle-Calédonie, mars 5 (6 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ı, j Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par : f(x) = x,x+,ln(x+). Faire apparaître sur l écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre x 4, 5 y 5. Reproduire sur la copie l allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.. D après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : (a) Sur les variations de la fonction f? (b) Sur le nombre de solutions de l équation f(x) =?. On se propose maintenant d étudier la fonction f (a) Étudier le sens de variation de la fonction f (b) Étudier les limites de la fonction f en et en +, puis dresser le tableau de variations de f. (c) Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l équation f(x) =. (d) Les résultats aux questions. a. et. c. confirment-ils les conjectures émises à la question.? 4. On veut représenter, sur l écran d une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [, ;,], de façon à visualiser les résultats de la question.. (a) Quelles valeurs extrêmes de l ordonnée y proposez-vous pour mettre en évidence les résultats de la question. c. dans la fenêtre de votre calculatrice? (b) À l aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à près de la plus grande solution α de l équation f(x) =. 5. Soit F la fonction définie sur ] ; + [ par F(x) = x,x,x+,(x+)ln(x+). (a) Démontrer que F est une primitive de f sur ] ; + [. (b) Interpréter graphiquement l intégrale (c) Calculer α α ). f(x) dx. f(x) dx et exprimer le résultat sous la forme bα +cα (b et c réels). 4 Amérique du nord, mai 8 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f(x) = lnx lnx. On ( nomme (C) la courbe représentative de f et Γ la courbe d équation y = lnx dans un repère orthogonal O, ı, ) j.. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en et en +.. (a) Déterminer lim x + [f(x) lnx]. Interpréter graphiquement cette limite. (b) Préciser les positions relatives de (C) et de Γ.

4 . On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O. (a) Soit a un réel appartenant à l intervalle ] ; + [. Démontrer que la tangente T a à (C) au point d abscisse a passe par l origine du repère si et seulement si f(a) af (a) =. Soit g la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par g(x) = f(x) xf (x). (b) Montrer que sur ] ; + [, les équations g(x) = et (lnx) (lnx) lnx = ont les mêmes solutions. (c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t) = t t t montrer que la fonction u s annule une fois et une seule sur R. (d) En déduire l existence d une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O. La courbe (C) et la courbe Γ sont données en annexe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure. 4. On considère un réel m et l équation f(x) = mx d inconnue x. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l intervalle ] ; ] Centres étrangers, juin 8 (7 points) Courbe Γ représentative de la fonction ln I. Restitution organisée des connaissances Courbe e x C représentative de la fonction f Prérequis : on rappelle que : lim x + x = +. lnx. Démontrer que lim x + x =.

5 lnx. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x + x =. n II. Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : f(x) = x lnx x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O, ı, j. Soit u la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par u(x) = x +lnx. (a) Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle ] ; + [. ) (unité graphique cm). (b) Calculer u() et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l intervalle ] ; + [.. Étude de la fonction f (a) Déterminer les limites de f en et en +. (b) Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations de la fonction f.. Éléments graphiques et tracés. (a) Démontrer que la droite ( ) d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C. (b) Déterminer la position de C par rapport à ( ). (c) Tracer la courbe C et la droite ( ). Calculs d aires On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A(α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite ( ) et les droites d équation x = et x = α.. On suppose dans cette question que α >. (a) À l aide d une intégration par parties, démontrer que : A(α) = lnα α α. (b) Déterminer la limite l de A(α) lorsque α tend vers +.. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse. sera prise en compte dans l évaluation. ( ) Démontrer que l = A. e 6 La Réunion, juin 8 ( points) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ] ; + [ par : f(x) = ln(x) x. Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés en annexe,. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l ensemble de définition ainsi que l extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés.. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il des tangentes à la courbe (C) qui contiennent le point O origine du repère? Si oui donner leur équation.

6 Partie B Soit g la fonction définie sur l intervalle ] ; [ par g(x) =. (a) Que représente f pour la fonction g? x lnt t dt. (b) En déduire le sens de variations de g sur ] ; [. ( ). Interpréter géométriquement les réels g() et g.. (a) À l aide d une intégration par parties, montrer que g(x) = lnx+. x (b) Déterminer la limite de g en +. ANNEXE exercice.5..5 (C) O x e + f(x) e 7 Liban, juin 9 (8 points) On considère la fonction f définie sur R par f(x) = ln ( +e x) + x.

7 La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. Partie A. (a) Déterminer la limite de la fonction f en +. (b) Montrer que la droite (D) d équation y = x est asymptote à la courbe (C). Tracer (D). (c) Étudier la position relative de (D) et de (C). (d) Montrer que pour tout réel x, f(x) = ln(e x +) x. (e) En déduire la limite de f en.. (a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel, f (x) = ex (e x +). Partie B (b) En déduire les variations de la fonction f. Soit n un entier naturel non nul. On appelle d n, l aire, en unités d aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C), la droite (D) d équation y = x et les droites d équations x = et x = n.. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, d n = n ln ( +e x) dx.. On admet que pour tout réel x, ln(+e x ) e x. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, d n. La suite (d n ) n est-elle convergente? Partie C Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe (C). On note (T) la tangente à la courbe (C) au point d abscisse.. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soient M et N deux points de la courbe (C) d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T). ANNEXE Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve Exercice

8 y C x Polynésie, sept 8 (6 points) On considère la fonction f définie sur R par f(x) = ln ( e x +e x). La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée en annexe. Partie A - Étude de fonction f.. Montrer que, pour tout réel x, f(x) = x+ln(+e x ). On admet que, pour tout réel x, f(x) = x+ln(+e x ).. Calculer lim f(x) et montrer que la droite (d) d équation y = x est asymptote à (C). x + Étudier la position relative de (C) et de (d).. Calculer lim x f(x) et montrer que la droite (d ) d équation y = x+ln est asymptote à (C). 4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à ln. 5. Tracer les droites (d) et (d ) sur la feuille annexe. Partie B - Encadrement d une intégrale. On pose I = [f(x) x] dx.. Donner une interprétation géométrique de I.. Montrer que, pour tout X [ ; + [, ln(+x) X.. En déduire que I e x dx et donner un encadrement de I d amplitude,.

9 Annexe Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. EXERCICE j ı 9 Polynésie, sept 9 (7 points) Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f n définie sur ] ; + [ par : f n (x) = nx xlnx. On note (C n ) la courbe représentative de la fonction f n, dans un repère orthonormal ( O, ı, j Les courbes (C ), (C ) et (C ) représentatives des fonctions f, f et f sont données en annexe. On rappelle que lim x xlnx =. Partie A : Étude de la fonction f définie sur ] ; + [ par f (x) = xlnx.. Déterminer la limite de f en +.. Étudier les variations de la fonction f sur ] ; + [. Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction f n, n entier naturel. Soit n un entier naturel.. Démontrer que pour x ] ; + [, f n(x) = n lnx où f n désigne la fonction dérivée de f n.. (a) Démontrer que la courbe (C n ) admet en un unique point A n d abscisse e n une tangente parallèle à l axe des abscisses. (b) Prouver que le point A n appartient à la droite d équation y = x. (c) Placer sur la figure en annexe les points A, A, A.. (a) Démontrer que la courbe (C n ) coupe l axe des abscisses en un unique point, noté B n, dont l abscisse est e n. (b) Démontrer que la tangente à (C n ) au point B n a un coefficient directeur indépendant de l entier n. (c) Placer sur la figure en annexe les points B, B, B. Partie C : Calculs d aires Pour tout entier naturel n, on considère le domaine du plan D n délimité par l axe des abscisses, la courbe (C n ) et les droites d équation x = e n et x = e n. On note I n l aire en unités d aires du domaine D n. ).

10 . Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domaines D, D, D.. (a) À l aide d une intégration par parties, calculer e xlnx dx. (b) En déduire que I = 4 4e. (c) On admet que le domaine D n+ est l image du domaine D n par l homothétie de centre O et de rapport e. Exprimer I et I en fonction de I.

11 ANNEXE Cette page sera complétée et remise à la fin de l épreuve Exercice 4,5 O,5,,5,5 (C ) (C ) (C ) Liban, juin (6 points) Partie A Soit u la fonction définie sur ] ; + [ par u(x) = x +lnx.. Étudier les variations de u sur ] ; + [ et préciser ses limites en et en +.. (a) Montrer que l équation u(x) = admet une solution unique sur ] ; + [. On note α cette solution. (b) À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude de α.. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4. Montrer l égalité : lnα = α. Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ] ; + [ par On note f la fonction dérivée de f sur ] ; + [. f(x) = x +( lnx).

12 . Exprimer, pour tout x de ] ; + [, f (x) en fonction de u(x).. En déduire les variations de f sur ] ; + [. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ı, j ), on note : Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées ( ; ) ; M le point de Γ d abscisse x appartenant à ] ; + [.. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f(x).. Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g(x) = f(x. (a) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ] ; + [. (b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées. (c) Montrer que AP = α +α.. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P? La Réunion, sept (6 points) par Pour tout nombre réelk strictement positif, on considère la fonctionf k définie sur l intervalle]; + [ f k (x) = ln(x) kx +. Partie A. Déterminer la limite de la fonction f k en. ln(x). On rappelle que lim =. x + x ln(x) Démontrer que lim =. x + x En déduire la limite de la fonction f k en +.. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, f k kx (x) =. x 4. Pour un nombre réel k strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f k. x k + f k (x) ln(k) Justifier les renseignements sur les variations de la fonction f k figurant dans ce tableau. 5. On a tracé ci-dessous la courbe C k représentative ( d une ) fonction f k pour une certaine valeur du nombre réel k strictement positif. Le point A ; appartient à la courbe C k. Quelle est la valeur du nombre réel k correspondant? Justifier la démarche.

13 O A C k Partie B Dans cette partie on pose k =.. Calculer ln(x) dx. On pourra utiliser une intégration par parties.. Calculer, en unité d aire, la mesure de l aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f l axe des abscisses et les droites d équation x = et x =. Nouvelle-Calédonie, Novembre (7 points) PARTIE A : restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b si pour tout x [a ; b] u(x) alors b a b a [u(x)+v(x)] dx = αu(x) dx = α b a b a u(x) dx+ b a b a v(x) dx u(x) dx u(x) dx où α est un nombre réel. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b], f(x) g(x) alors : PARTIE B : b a f(x) dx Soit ϕ la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par b a g(x) dx. ϕ(x) = +x x lnx.. (a) Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l intervalle [ ; + [. (b) Calculer ϕ(e). Démontrer que l équation ϕ(x) = admet une unique solution α sur l intervalle [ ; e]. Déterminer un encadrement de α d amplitude.

14 (c) Déterminer le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x.. Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par f(x) = lnx +x. On note f la fonction dérivée de f. (a) Calculer f (x) et montrer que pour tout x on a : f ϕ(x) (x) = x(+x ). (b) Déduire de la question. le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. (c) Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle [ ; + [ on a : (d) En déduire lim x + f(x). f(x) lnx x.. (a) À l aide d une intégration par parties, montrer que e lnx x dx = e. (b) On note C la courbe représentative de la fonction f, dans un repère orthonormé ( O, ı, j d unité graphique cm. Soit A l aire exprimée en cm du domaine compris entre la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x = et x = e. Déterminer un encadrement de A. )