Chapitre 2. Fonctions usuelles. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 1 / 62
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- Élise Bibeau
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1 Chapitre Fonctions usuelles Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 1 / 6
2 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Plan 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction logarithme Tableau de variations et courbe représentative Fonction exponentielle Fonction puissance Fonctions hyperboliques 3 Fonctions trigonométriques usuelles Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles / 6
3 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction logarithme Définition et premières propriétés : Définition : On appelle logarithme Népérien, et on note ln, la fonction définie sur R + dérivable sur R + et telle que : ln (x) = 1 x ; ln(1) = 0. Proposition (propriétés algébriques) Soient a et b deux nombres strictement positifs. Alors : 1 ln(ab) = ln(a) + ln(b); ln ( 1 a) = ln(a); 3 ln ( a b ) = ln(a) ln(b). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 4 / 6
4 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe représentative 5 T : y = x Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 6 / 6
5 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe représentative Équations et inéquations associées : On retiendra le principe suivant : (x; y) ( R +), ln(x) = ln(y) x = y, de même si l on remplace l égalité par des inégalités. Ceci est vrai car ln est strictement croissante. Exercice Résoudre l équation ln(x + ) = ln(x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 7 / 6
6 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe représentative La fonction logarithme décimal : Définition : On appelle la fonction logarithme décimal, que l on note log ou log 10, la fonction définie sur R + donnée par log(x) = ln(x) ln(10), x R +. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 8 / 6
7 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe représentative Représentation graphique Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 9 / 6
8 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction exponentielle Définition et premières propriétés : Définition : 1 On appelle nombre d Euler, noté e, l unique nombre réel tel que ln(e) = 1 ; Plus généralement, l équation de paramètre x : ln(u) = x admet une unique solution notée e x (ou encore exp(x)). La fonction, notée exp, qui à tout réel x associe e x est appelée fonction exponentielle. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 11 / 6
9 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction exponentielle Proposition (propriétés algébriques) Soient a et b deux nombres réels. Alors : 1 e a+b = e a e b ; e a = 1 e a ; 3 e a b = ea e b. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 1 / 6
10 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction exponentielle Tableau de variations et courbe représentative : Proposition La fonction exp est dérivable sur R et : x R, exp (x) = exp(x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 13 / 6
11 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction exponentielle T : y = x Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 14 / 6
12 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction exponentielle Équations et inéquations associées : Dans certains cas simples, on pourra passer l égalité (ou l inégalité) au logarithme. Pour réaliser ceci, on retient les choses suivantes : Pour tout réel x, ln(e x ) = x par définition de l exponentielle ; Pour tout x > 0, ln(e ln(x) ) = ln(x) e ln(x) = x. Nous avons donc l égalité : e ln(x) = x. On retiendra également le principe suivant : (x; y) ( R +), e x = e y x = y, de même si l on remplace l égalité par des inégalités. Ceci est vrai car exp est strictement croissante. Exercice Résoudre l équation : e x+1 = e x. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 15 / 6
13 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance La notation a b : Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 17 / 6
14 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance Fonction puissance : Définition : Soit α un réel. On appelle fonction puissance d exposant α la fonction définie par : f(x) = exp(α ln(x)). On note : f(x) = x α. Il ne faut pas penser que x α est égal à x x, cette dernière quantité }{{} α fois ne voulant rien dire lorsque α n est pas un entier. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 18 / 6
15 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance Fonction puissance : Proposition (propriétés algébriques) Soient α et β deux réels quelconques et x et y deux réels strictement positifs. Alors : 1 x α+β = x α x β ; x α = 1 x α ; 3 x α β = xα x β ; 4 ln (x α ) = α ln(x) ; 5 (x α ) β = x αβ ; 6 (xy) α = x α y α. Exercice Résoudre l équation x + x+ = 1. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 19 / 6
16 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance Proposition Pour tout α R, la fonction définie par f(x) = x α est dérivable sur R +, et : x R +, f (x) = αx α 1. Les variations selon les valeurs de α sont données par le tableau suivant : Paramètre α < 0 α = 0 α > 0 Variation strictement décroissante constante strictement croissante Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 0 / 6
17 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 1 / 6
18 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction puissance Proposition (limites aux bords) 1 Si α < 0, lim x 0 + xα = +, lim x + xα = 0 + ; Si α > 0, lim xα = 0, lim x 0 + x + xα = +. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles / 6
19 Fonctions hyperboliques Plan 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonctions hyperboliques Définition et premières propriétés Dérivées et limites aux bords du domaine de définition Tableaux de variations et courbes représentatives 3 Fonctions trigonométriques usuelles Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 3 / 6
20 Fonctions hyperboliques Définition et premières propriétés Définition : On appelle : 1 fonction cosinus hyperbolique, et on note ch, la fonction définie par ch(x) = ex + e x. fonction sinus hyperbolique, et on note sh, la fonction définie par sh(x) = ex e x. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 5 / 6
21 Fonctions hyperboliques Définition et premières propriétés Proposition ch(x) + sh(x) = e x ; ch(x) sh(x) = e x ; ch (x) sh (x) = 1. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 6 / 6
22 Fonctions hyperboliques Dérivées et limites aux bords du domaine de définition Proposition 1 (a) ch est dérivable sur R et pour tout réel x, ch (x) = sh(x) ; (b) sh est dérivable sur R et pour tout réel x, sh (x) = ch(x). (a) (b) lim ch(x) = +, lim x sh(x) =, lim lim x ch(x) = + ; x + sh(x) = +. x + Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 8 / 6
23 Fonctions hyperboliques Tableaux de variations et courbes représentatives 8 (a) 4 (b) T : y = x T : y = (a) Courbe représentative de ch. (b) Courbe représentative de sh. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 30 / 6
24 Plan 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonctions hyperboliques 3 Fonctions trigonométriques usuelles Rappels de trigonométrie Les fonctions cosinus et sinus La fonction tangente Équations et inéquations trigonométriques Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 31 / 6
25 Rappels de trigonométrie On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1. À tout réel x correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique ; À tout point M du cercle trigonométrique correspond une infinité de réels, mais un unique réel θ 0 ] ; ], appelé mesure principale. Tous les autres réels θ associés au même point sont de la forme θ = θ 0 + k, avec k Z. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 33 / 6
26 Rappels de trigonométrie Exercice Déterminer la mesure principale de Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 34 / 6
27 Rappels de trigonométrie cosinus, sinus et tangente d un nombre réel : Définition : Soient x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x. On appelle : cosinus de x, et on note cos(x), l abscisse de M. sinus de x, et on note sin(x), l ordonnée de M. tan(x) = sin(x), lorsque cette expression a un sens. cos(x) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 35 / 6
28 Rappels de trigonométrie J I Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 36 / 6
29 Rappels de trigonométrie relations fondamentales : Proposition 1 Pour tout réel x, cos (x) + sin (x) = 1. x R { + k, k Z}, 1 + tan 1 (x) = cos (x). Exercice Calculer sin ( ( 1) et tan ( 1) sachant que cos ) =. 4 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 37 / 6
30 Rappels de trigonométrie valeurs remarquables : 3 3 réel x cos(x) sin(x) tan(x) non défini Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 38 / 6
31 Rappels de trigonométrie valeurs remarquables : Exercice Calculer sin ( 91 6 ). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 39 / 6
32 Les fonctions cosinus et sinus définitions et premières propriétés : Définition : 1 On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui à tout réel x associe cos(x). On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui à tout réel x associe sin(x). Proposition (propriétés algébriques) Pour tout réel x, nous avons les relations : 1. 1 cos(x) 1 et 1 sin(x) 1 ;. Pour tout entier relatif k, cos(x + k) = cos(x) et sin(x + k) = sin(x) ( périodicité) ; 3. cos( x) = cos(x), cos( x) = cos(x), cos( + x) = cos(x) ; 4. sin( x) = sin(x), sin( x) = sin(x), sin( + x) = sin(x) ; 5. cos ( x) = sin(x), sin ( x) = cos(x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 41 / 6
33 Les fonctions cosinus et sinus dérivées et tableaux de variations : Proposition 1 La fonction cosinus est dérivable sur R, et x R, cos (x) = sin(x) ; La fonction sinus est dérivable sur R, et x R, sin (x) = cos(x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 4 / 6
34 Les fonctions cosinus et sinus dérivées et tableaux de variations : x 0 x 0 sin(x) cos(x) cos 0 sin Tableau de variations de la fonction cos sur [0; ] Tableau de variations de la fonction sin sur [0; ] Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 43 / 6
35 Les fonctions cosinus et sinus courbes représentatives : Les fonctions cos et sin sont définies sur R. La fonction cos est périodique. On peut donc restreindre son étude sur un intervalle de longueur : [ ; ]. x R, cos( x) = cos(x). La fonction cosinus est donc paire. Il suffit donc d étudier la fonction cos sur [0; ]. On complètera le tracé de la courbe représentative par symétrie par rapport à l axe des ordonnées, puis par périodicité. De la même façon (sin est impaire et périodique), on complètera le tracé de la courbe représentative par symétrie par rapport à l origine puis par périodicité Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 44 / 6
36 La fonction tangente définition et premières propriétés : Définition : On appelle fonction tangente, et on note tan, la fonction définie sur R { sin(x) + k, k Z} par tan(x) = cos(x). Proposition Pour tout x R { + k, k Z}, nous avons : 1 tan( x) = tan(x) (imparité) ; tan( + x) = tan(x) (-périodicité) ; 3 tan( x) = tan(x) ; 4 tan ( x) = 1 tan(x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 46 / 6
37 La fonction tangente dérivée et sens de variation : Proposition La fonction tangente est dérivable sur D = R { + k, k Z}, et : x D, tan (x) = 1 + tan (x) = 1 cos (x). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 47 / 6
38 La fonction tangente limites et tableau de variations : Proposition (limites) (a) (b) lim tan(x) = + et lim tan(x) = ; x x + lim tan(x) = et lim tan(x) = +. x + x Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 48 / 6
39 La fonction tangente courbe représentative : Représentation graphique de la fonction tan. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 49 / 6
40 Équations et inéquations trigonométriques Les fonctions cosinus, sinus et tangentes n étant pas strictement monotones, nous n avons pas en toutes généralités les équivalences cos(x) = cos(y) x = y etc... Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 51 / 6
41 Équations et inéquations trigonométriques équations fondamentales : Proposition 1. cos(u) = cos(v ) U = V [] ou U = V [] ;. sin(u) = sin(v ) U = V [] ou U = V [] ; 3. tan(u) = tan(v ) U = V []. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 5 / 6
42 Équations et inéquations trigonométriques Illustrations graphiques Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 53 / 6
43 Équations et inéquations trigonométriques Illustrations graphiques. 3 3 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 54 / 6
44 Équations et inéquations trigonométriques Illustrations graphiques Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 55 / 6
45 Équations et inéquations trigonométriques Exercice Résoudre les équations suivantes : (a) cos(x) = 1 ; (b) cos(x) = cos ( x 6 ). Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 56 / 6
46 Équations et inéquations trigonométriques inéquations fondamentales : Exercice Résoudre l inéquation : cos(x) 1. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 57 / 6
47 Équations et inéquations trigonométriques formulaire de trigonométrie : Relations fondamentales : cos (x) + sin (x) = tan (x) = 1 cos (x) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 58 / 6
48 Équations et inéquations trigonométriques formulaire de trigonométrie : Formules d addition : cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) tan(a b) = tan(a) tan(b) 1 + tan(a) tan(b) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 59 / 6
49 Équations et inéquations trigonométriques formulaire de trigonométrie : Formules de duplication : cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) 1 = 1 sin (a) sin(a) = sin(a) cos(a) tan(a) = tan(a) 1 tan (a) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 60 / 6
50 Équations et inéquations trigonométriques formulaire de trigonométrie : Formules de linéarisation : cos (a) = 1 + cos(a) sin (a) = 1 cos(a) cos(a) cos(b) = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] cos(a) sin(b) = 1 [sin(a + b) sin(a b)] sin(a) sin(b) = 1 [cos(a + b) cos(a b)] Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 61 / 6
51 Équations et inéquations trigonométriques formulaire de trigonométrie : Transformations de sommes en produits : cos(p) + cos(q) = cos ( p+q sin(p) + sin(q) = sin ( p+q ) ( cos p q ) ) ) cos ( p q cos(p) cos(q) = sin ( p+q sin(p) sin(q) = cos ( p+q ) ( sin p q ) ) ) sin ( p q Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Fonctions usuelles 6 / 6
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