Stéphane Paltani. Cosmologie I,

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1 Stéphane Paltani Département d astronomie, Université de Genève Cosmologie I,

2 Ce cours est essentiellement basé sur le cours Lectures on Gravitational Lensing, de Ramesh Narayan et Matthias Bartelmann, disponible sur

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5 1919 : La première lentille gravitationnelle Observations du déplacement apparent d étoiles de l amas des Hyades lors d une éclipse de Soleil en 1919 par Eddington Vérification d une prédiction de la relativité générale

6 1919 : La première lentille gravitationnelle

7 Premiers développements L idée que la lumière suivait le champ de gravité date d avant Einstein : vision corpusculaire de la lumière Einstein publie en 1915 le premier calcul en relativité générale et trouve le double du calcul classique Valeur prédite par Einstein : 1.75" Observations à Sobral (Brésil) : 1.98"±0.12 Observations à Principe : 1.61"±0.30 Eddington (1920) note que, dans certaines conditions, on peut voir plus d une image par source Chowlson (1924) et Einstein (1936) étudient le cas d un alignement parfait étoile étoile observateur. On prédit un anneau, l anneau d Einstein, mais c est excessivement rare Zwicky (1937) montre cependant qu on peut s attendre à trouver des cas de de galaxies par des galaxies

8 Le quasar QSO Deux quasars découverts par Walsh et al. (1979) se révèlent être deux images d un même objet

9 Spectres de QSO A et B Spectres en absorption et en émission identiques Quelques dizaines d objets connus

10 La Croix d Einstein

11 Micro Paczyński (1986) montra que l alignement étoile étoile observateur n est pas si rare : à tout moment, 1 étoile/millions fait un tel alignement en direction du Grand nuage de Magellan Un effet d amplification se produit ; c est une micro-lentille gravitationnelle Des projets (MACHO (Massive Compact Halo Object), EROS (Éxpérience de Recherche des Objets Sombres), OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment)) ont cherché ou cherchent de tels événements en direction de zone à forte densité stellaire pour détecter des objets massifs compacts sombres

12 OGLE BLG-071 Double pic, indiquant un autour de l étoile responsable de la micro-lentille ; probablement une planète

13 L anneau d Einstein Courtesy of NRAO/AUI Quasar 4C vu en radio par le VLA (Hewitt et al. 1987)

14 par des amas : Abell 1869 Lynds & Petrosian (1986) ; Soucail et al. (1987)

15 par des amas : Abell 2218 Les arcs sont des galaxies lointaines déformées par la lentille (Paczyński 1987)

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17 Indice de réfraction d une lentille gravitationnelle La lentille se comporte comme un corps avec : n = 1 2 c 2 Φ Donc : v = c n c 2 c Φ ; le photon ralentit au passage de la lentille et est dévié Le délai de Shapiro est : t = 2 c 3 Φ dl L angle de déflexion sera : ˆα = ndl = 2 c 2 Φdz

18 Paramètre d impact On paramétrise l interaction par le paramètre d impact b. La déviation se passe pour z ±b On écrit le potentiel gravitationnel : GM Φ(b, z) = (b 2 + z 2 ) 1/2 et Φ GM b = (b 2 + z 2 ) 3/2 La déflexion vaut alors : ˆα = 4GM c 2 b = 2R S b en utilisant le rayon de Scharwzschild R S = 2GM c 2 L angle est donc généralement très petit Pour le Soleil, un photon rasant (b = km, M = kg), on obtient : ˆα = 1.7

19 Géométrie

20 Équation de la lentille On introduit l angle de déflexion réduit : Par simple géométrie : α = D ds D s ˆα θd s = βd s + ˆαD ds On obtient donc l équation de la lentille : β = θ α(θ) Note : Les distances sont des distances angulaires

21 Rayon d Einstein Soit : ˆα = 4GM c 2 b = 4GM 1 c 2 θd s L équation de la lentille devient : β = θ D ds D d D s 4GM c 2 θ Si la lentille est exactement sur l axe : [ 4GM D ds θ E θ = c 2 D d D s ] 1/2 Par symétrie, la source apparaîtra comme un anneau de rayon θ E, le rayon d Einstein L anneau d Einstein ne sera complet que si la lentille est parfaitement symétrique

22 Anneau d Einstein

23 Taille de l anneau d Einstein Pour deux étoiles, l anneau est inobservable : ( ) M 1/2 ( ) D 1/2 θ E = M 10 kpc Mais pas forcément pour deux galaxies : ( ) M 1/2 ( ) D 1/2 θ E = M 1 Gpc Pour une étoile, seule l amplification sera observable, car la lentille multiplie les chemins optiques conduisant à l observateur ; c est le phénomène de micro-lentille

24 Lentille non-alignée Si β 0 : β = θ θ E θ On trouve une solution de chaque côté de la source : θ ± = 1 ( ) β ± β θE 2 Une image, I, aura α < θ E et l autre, I +, α > θ E Si β, I M, µ et I + S, µ + 1

25 Amplification par lentille gravitationnelle L angle solide change en fonction de la position de la source et de la lentille Amplification = surface apparente taille de la source µ = θdθ βdβ Avec u = β/θ E et l équation de la lentille : µ ± = [ 1 ( θe θ ± ) 4 ] 1 = u u u ± 1 2 Comme θ < θ E, µ < 0 ; l image est inversée Amplification totale : µ = µ + + µ = u u u Valeur au rayon d Einstein : µ = = 1.34

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27 Approximation plane On fait l approximation que la lentille est infiniment fine, avec une densité de surface Σ( ξ) = ρ( ξ, z)dz La déviation resultante est une somme de déviations ; c est un 2D vecteur dans le plan du ciel : ˆα( ξ) = 4G c 2 ( ξ ξ )Σ( ξ ) ξ ξ 2 d ξ Pour une lentille à symétrie circulaire, ˆα = 4GM(ξ) c 2 ξ, avec M(ξ) = 2π ξ 0 Σ( ξ )ξ dξ

28 Lentille plane homogène La déviation par une lentille de densité de surface homogène Σ s écrit : α = D ds D s ˆα = D ds D s 4G Donc β = θ α(θ) θ La densité critique Σ cr = c 2 ξ (πσξ2 ) = 4πGΣ c 2 D d D ds θ D s ( ) c2 D s D 1 = 3.5 kg m 2 4πG D d D ds 1 Gpc avec la distance effective D = D dd ds D s Une lentille ayant la densité critique focalise exactement le rayonnement de toute source. Elle a une distance focale bien définie Les images multiples apparaissent si Σ > Σ cr

29 Potentiel effectif de la lentille Soit le potentiel scalaire : ψ( θ) = D ds 2 D d D s c 2 Φ(D dθ, z)dz Le gradient de ψ s écrit : θ ψ = D d ξ ψ = 2 c 2 D ds D s Φdz = α Et le laplacien, en utilisant l équation de Poisson : : θ = 2 D d D ds c 2 ξ Φdz = 2 D d D ds D s c 2 4πGΣ = D s = 2 Σ θ Σ cr 2κ(θ)

30 Relation avec le jacobian Soit le jacobian : ( β A ) ( θ = δ ij α ) ( ) i = δ ij 2 ψ M 1 θ j θ i θ j M est la matrice d amplification L amplification vaut : δθ 2 δβ 2 = detm = 1 deta C est la généralisation de : µ = θdθ βdβ en cas d absence de symétrie

31 Convergence et cisaillement La convergence κ s écrit donc : ( ) κ = 1 2 ψ 2 θ ψ θ2 2 Introduisons : γ 1 = 1 2 ( ) 2 ψ θ1 2 2 ψ θ2 2 γ cos 2φ γ 2 = 2 ψ θ 1 θ 2 γ sin 2φ

32 Interprétation de la convergence et du cisaillement Le jacobian peut s écrire : ( ) 1 κ γ1 γ A = 2 γ 2 1 κ + γ 1 D où : A = (1 κ) ( ) ( cos 2φ sin2φ γ sin 2φ cos 2φ L image d un cercle est donc une ellipse de demi-grands axes : ) Et l amplification : (1 κ γ) 1, (1 κ + γ) 1 µ = detm = 1 deta = 1 (1 κ) 2 γ 2

33 Déformation par convergence et cisaillement

34 Potentiels et déflexions pour quelques distributions Modèle de lentille ψ(θ) α(θ) Mδ( ξ) σ 2 2Gξ D ds D s 4GM D d c 2 log θ D ds 4πσ 2 D s c 2 θ D ds D s 4GM D d c 2 θ D ds D s 4πσ 2 c 2 σ 2 1 2G ξ 2 +rc 2 D ds 4πσ 2 D s c θ 2 + θ 2 2 c D ds D s 4πσ 2 c 2 θ θ 2 +θ 2 c Σ κ 2 θ2 κ θ

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36 Fonction de retard L équation de la lentille, en utilisant le potentiel effectif, est : β = θ θ ψ donc : [ ] 1 θ 2 ( θ β) 2 ψ = 0 On introduit la fonction de retard : t( θ) = (1 + z d) D d D s c D ds [ 1 2 ( θ β) 2 ψ ] L équation de la lentille devient alors une application du principe de Fermat t = 0 La fonction de retard contient un terme géométrique ( θ β) 2 et un terme représentant le délai gravifique de Shapiro

37 Illustration de la fonction de retard

38 Fonction de retard en fonction de β Haut : source exactement alignée Milieu : source légèrement excentrée Bas : source loin de la lentille

39 Propriétés des solutions de l équation de la lentille On voit généralement un délai entre les images Le hessien de t( θ) = ( 2 t θ i θ j ) A permet de distinguer trois types de solutions : Type I : det A > 0 et tr A > 0 ; minimum de t( θ) Type II : det A < 0 : point de selle. L image est inversée Type III : det A > 0 et tr A < 0 ; maximum de t( θ) La courbure de t( θ) détermine l inverse de l amplification Il y a en général un nombre impair d images

40 Détermination de Avec des hypothèses sur la géométrie de la lentille et la position des images observées, on peut résoudre l équation de la lentille et reconstituer le profil de masse de la lentille. On obtient donc θ et ψ Si la source varie, on peut mesurer le délai en observant la source de manière répétée Les quasars sont les objets idéaux : simples et variables Les seules inconnues sont les distances, qui dépendent des redshifts (mesurés) par la constante de, et plus généralement la cosmologie On peut donc mesurer les distances, et donc déterminer (dans une cosmologie donnée)

41 Courbes de lumière de QSO A/B Ovaldsen et al Retard de 425 jours

42 Mesures de H 0 Koopmans and Fasnacht 1999 Les valeurs dépendent du choix de la cosmologie

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44 Régime de lentille gravitationnel faible La déformation de l image s exprime par la convergence et le cisaillement Un objet circulaire comme une galaxie sera transformé en une image elliptique Dans un régime faible, il n y a qu une seule image par source On ne peut a priori pas déterminer la convergence, ni l amplification La détermination du cisaillement par l ellipticité des galaxies permet par contre de déterminer le potentiel effectif Malheureusement, l inclinaison de la galaxie, par effet de projection, conduit au même effet que le cisaillement

45 Cisaillement et projection

46 Images de galaxies derrière un amas

47 Détermination de la masse On peut mesurer γ en mesurant l ellipticité moyenne de galaxies proches les unes des autres, et en supposant que γ est constant sur ce champ La méthode de Kaiser & Squires (1993) utilise la relation entre κ et γ 1 et γ 2 dans l espace de Fourier, d où : κ( θ) = 1 [ d 2 θ Re D ( θ π θ )γ( θ ] ) avec D( θ) = (θ2 2 θ2 1 ) 2iθ 1θ 2 θ 4 et γ( θ) = γ 1 ( θ) + iγ 2 ( θ) Sous l hypothèse de densité de surface uniforme, on peut déterminer Σ en utilisant κ

48 Dégénérescence de masse de surface L ellipticité mesurée est en fait γ/(1 κ) La mesure de l ellipticité n est pas sensible à un changement de taille de l objet L ellipticité est inchangée par une transformation 1 κ = λ(1 κ), γ = λγ Il y a donc une dégénérescence liée à κ λκ + (1 λ), ce qui équivaut à changer la masse de la lentille On peut lever cette dégénérescence en estimant la convergence par deux méthodes : Par comptage de galaxies ; la convergence change la distribution des magnitudes des galaxies Par la distribution des tailles des galaxies Comme pour l ellipticité, on a besoin de moyennes sur des galaxies proches

49 L amas du boulet

50 Tomographie de la matière noire Massey et al. 2007

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