Produit scalaire dans l espace. Corrigés d exercices Version du 13/05/2014

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1 Corrigés d exercices Version du 13/05/014 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 306 : N Page 307 : N 7 Page 308 : N 36 Page 309 : N 40 N page Par lecture graphique des coordonnées du point B (on lit OB = 8 j ), par définition du O; i, j, k et en tenant compte du fait que OADBCFGE est un cube, repère orthonormé ( ) il vient : A ( 8;0;0) On a alors : OE = OB + BE = OB + OC = 8j + 8k Donc : E ( 0;8;8) On a : OI = OB + BI = OB + ( BE + BD) = OB + OC + OA = 8j + 8k + 8i = 4i + 8j + 4k Donc : I ( 4;8;4) 1 Le point K est défini par : AK = AF 4 On a donc : AO+ OK = ( AO+ OF) puis : OK = OA + OF Il nous faut donc les coordonnées des points A (nous les avons!) et F Pour le point F, on a facilement : OF = OC + CF = OC + OA = 8i + 8k Ainsi : F ( 8;0;8) On a alors : K 8+ 8; 0+ 0; K 8;0; soit ( ) 5 Le point L est défini par : CL = CE 8 Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/6 M Lichtenberg Classe de Terminale S

2 On a donc : CO + OL = 5 ( CO + OE) Produit scalaire dans l espace Corrigés d exercices / Version du 13/05/ puis : OL = OC + OE On a immédiatement C ( 0;0;8) et nous avons obtenu ci-dessus E ( 0;8;8) On a alors : L 0+ 0; 0+ 8; L 0;5;8 En définitive : soit : ( ) A ( 8;0;0), E ( 0;8;8), I ( 4;8;4), K ( 8;0;) et ( 0;5;8) L A partir de A ( 8;0;0) et E ( 0;8;8), on a immédiatement : AE ( 0 8;8 0;8 0) AE ( 8;8;8) Il vient alors, le repère considéré étant orthonormé : ( ) AE = = 3 8 = 8 3 AE = 8 3, soit : A partir de là, on a immédiatement : e = 1 AE d où : AE e ; ; A partir de I ( 4;8;4), K ( 8;0;) et ( 0;5;8) Comme IK IL 4; 3;4 L, on a facilement : = = = = 84 = IL = = = 41 = KL = = = 15 ( 4; 8; ) et donc : IK IK ( ) ( ) ( ) KL( 8;5;6) et donc : IL ( ) ( ) et donc : KL ( ) KL = IK + IL, il vient, d après la réciproque du théorème de Pythagore : Le triangle IKL est rectangle en I 4 a Un point M ( x; ; ) y z du plan appartient à la sphère S de centre Ω passant par O si, et seulement si, on a : Ω M =Ω O Soit encore : Ω M =Ω O Lycée Fénelon Sainte-Marie /6 M Lichtenberg Classe de Terminale S

3 Corrigés d exercices / Version du 13/05/014 Comme le repère considéré est orthonormal, il vient : Ω M = ( x ) + ( y ) + ( z ) et Ω O = ( ) + ( ) + ( ) = 1 Une équation cartésienne de la sphère S de centre Ω ( ;;) et passant par O est : ( x ) ( y ) ( z ) + + = 1 b Erreur dans l énoncé, le cube considéré n est pas inscrit dans la sphère S Rappelons qu un cube est inscrit dans une sphère si chacun de ses 8 sommets est un points de la sphère On vérifie aisément ici que les coordonnées du point G ( 8;8;8) ne vérifient pas l équation obtenue ci-dessus De fait, l énoncé «devient» correct si on considère plutôt Ω ( 4;4;4) N 7 page 307 Comme le tétraèdre ABCD est régulier, les triangles ABC et DBC sont équilatéraux Les DI en sont les hauteurs respectivement issues des sommets A et D droites ( AI ) et ( ) Si nous notons a la longueur des arêtes du tétraèdre, on a classiquement : On a alors : 3 AI = DI = a 3 3 IA ID = IA ID cos ( IA, ID) = a cos cos AID = a AID = ( IA + ID IA ID ) = ( IA + ID DA ) = a + a a = a Il vient alors : 1 a cos AID = a et donc : cos AID = 1 D où : AID 71 (valeur approchée par excès au degré près) AID 71 (valeur approchée par excès au degré près) Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/6 M Lichtenberg Classe de Terminale S

4 Corrigés d exercices / Version du 13/05/014 N 36 page 308 Comme l espace est rapporté à un repère orthonormé, il vient immédiatement : u = u = ( cosα cos β) + ( cosαsin β) + ( sinα) = cos α cos β + cos α sin β + sin α = ( cos β + sin β) cos α + sin α = 1 = cos α + sin α = 1 D où : u = 1 Le vecteur u est bien unitaire Dans un repère orthonormé, pour tous réels α et β, u cosα cos β ; cosαsin β ; sinα est unitaire le vecteur ( ) N 40 page On peut procéder de diverses façons En utilisant les propriétés algébriques du produit scalaire (c est ce qui est ici attendu), il vient : BC IH = BC IE + EH = BC IE + BC EH = BC BC = BC = AD = 4 = 16 ( ) = 0 BJ FA = ( BE + EJ ) FA = BE FA + EJ FA = 0 = 0 = 0 ( ) ( ) JI JG = JE+ EI JH + HG = JE JH + JE HG+ EI JH + EI HG = 0 = = JE + EI EF = + EF EF = + = + = BC IH = 16, BJ FA = 0 et JI JG = A titre de comparaison, on peut aussi effectuer les calculs à l aide de coordonnées Pour ce faire, on peut rapporter l espace au repère ( A ; i, j, k 1 ) où i = 1 AB, j = AD et 4 1 k = AE Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/6 M Lichtenberg Classe de Terminale S

5 Corrigés d exercices / Version du 13/05/014 On a alors : AB= i et donc B ( ;0;0) AC = AB+ BC = i + AD = i + 4 j et donc : C ( ;4;0 ) AD = 4 j et donc : D ( 0;4;0) AF = AB+ BF = i+ AE = i+ k et donc : F ( ;0;) 1 AI = AF et donc : I ( 1;0;1) AG = AB+ BC+ CG = AB+ AD+ AE = i + 4j + k et donc G ( ;4;) AH = AD+ DH = AD+ AE = 4j+ k et donc : H ( 0;4;) 1 1 AJ = AE+ EJ = AE+ EH = AE+ AD= j + k et donc J ( 0;;) On a alors : BC ( ;;) BJ ( 0;4;0) JI ( 1; ; 1) et IH ( 1;4;1) et FA( ;0; ) et JG ( ;;0) et donc : BC IH = = 16 ( ) et donc : BC IH = = 0 ( ) ( ) et donc : JI JG = = ( ) ( ) On retrouve les résultats obtenus précédemment On a : JI JG = = JI JG cos ( JI, JG) = JI JG cosijg Dans le triangle IEJ rectangle en E, on a : 1 1 EJ = ED = 4 = Alors, d après le théorème de Pythagore : EI = EB = EF = = et IJ = IE + EJ = + = + 4 = Dans le triangle JHG rectangle en H, on a : JH = EH = 4 = et HG = Alors, d après le théorème de Pythagore : JG HJ HG = + = + = Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/6 M Lichtenberg Classe de Terminale S

6 Corrigés d exercices / Version du 13/05/014 On a donc : JI JG= = 6 cosijg D où : cos IJG = 1 1 = = puis IJG 106,8 (valeur approchée à 0,1 près) IJG 106,8 (valeur approchée à 0,1 près) Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/6 M Lichtenberg Classe de Terminale S