Licence L3 de Mécanique Université Paris-Sud 11. Livret des sujets. TP Fluent

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1 Licence L3 de Mécanique Université Paris-Sud 11 Livret des sujets TP Fluent

2 Contents 1 T.P. 1 : Écoulements plans But du T.P Notion d établissement Écoulement de Couette plan Expérience de Couette, viscosité dynamique Écoulement longitudinal laminaire de Couette Modélisation et simulation de l écoulement Écoulement de Poiseuille Plan Expérience de Poiseuille Historique Propriétés physiques des fluides Modélisation et simulation de l écoulement T.P.2: Convection naturelle en cavité carrée But du T.P Introduction Modélisation du problème Description physique Mise en équations Conditions aux limites Adimensionnement et résultats Simulations numériques Géométrie et propriétés physiques Construction d un cas par Fluent Etude à Ra = Autres nombres de Rayleigh T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche But du T.P Description de l écoulement Modélisation d un écoulement derrière une marche i

3 Contents i Modélisation Étude numérique Étude physique T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée But du T.P Introduction Description physique Modélisation par Fluent Création d un maillage raffiné Simulation d un écoulement à très faible R e Simulation d un écoulement stationnaire Simulation d un écoulement instationnaire Bibliographie 33

4 Chapter 1 T.P. 1 : Écoulements plans 1.1 But du T.P. Nous essaierons au cours de ce T.P. de modéliser deux écoulements plans, l écoulement de Couette et celui de Poiseuille, à l aide d un logiciel industriel, Fluent. Nous vérifierons que les résultats obtenus soient conformes à la théorie. 1.2 Notion d établissement Dans une conduite, un écoulement de fluide incompressible peut être permanent ou non (instationnaire). Quand il est permanent, ses propriétés en un point fixe ne varient pas avec le temps. De plus, il peut évoluer le long de cette conduite jusqu à ce que le profil de vitesse atteigne une forme définitive, par exemple parabolique dans le cas d un écoulement de Poiseuille (Fig. 1.1). Ses caractéristiques cinématiques n évoluent plus d une section droite à l autre, l écoulement est alors établi. La distance au cours de laquelle le profil des vitesses évolue correspond à la longueur d entrée ou d établissement. La notion d écoulement permanent est une notion temporelle tandis que la notion d écoulement établi est une notion spatiale. 1

5 2 T.P. 1 : Écoulements plans Figure 1.1: Notion d établissement (figure extraite de R. Comolet, Mécanique des fluides, p.5). 1.3 Écoulement de Couette plan Expérience de Couette, viscosité dynamique Les propriétés visqueuses des fluides newtoniens sont caractérisées par les deux paramètres µ et ν, les viscosités dynamique et cinématique. Il est possible de mesurer µ à partir de l expérience dite de Couette. Considérons deux cylindres coaxiaux, de rayons peu différents, dont l espace intermédiaire est rempli de fluide (figure 1.2). Le cylindre extérieur est entraîné avec un moteur avec une vitesse angulaire constante ω. Pour maintenir le cylindre intérieur immobile, il faut lui appliquer un couple C de sens opposé. A partir de ce concept, il est possible de déterminer une mesure absolue de µ avec: µ = Ce (1.1) 2πr 3 hω où e est la distance entre les deux cylindres, petite devant le rayon moyen r, et h la hauteur du cylindre. La viscosité dynamique µ s exprime en kg.m 1.s 1, qui, dans le système international, est le poiseuille, P l. Un poiseuille est la viscosité d un fluide dans lequel la contrainte est de 1 N.m 2 quand le gradient de vitesse est de 1 m.s 1 par mètre. La viscosité cinématique ν = µ/ρ, où ρ est la masse volumique du fluide, a pour unité le m 2.s 1. L expérience peut être schématisée en considérant un plan mobile P se déplaçant parallèlement à un plan fixe P parallèle à Ox de surface S = 2πrh, à la distance e et avec la vitesse V = ωe (Fig. 1.2).

6 1.3 Écoulement de Couette plan 3 Figure 1.2: gauche : Expérience de Couette ; droite : Schématisation dans le plan de l expérience de Couette (figures extraites de R. Comolet, Mécanique des fluides, p.24) Écoulement longitudinal laminaire de Couette Si l écoulement est parallèle à une direction donnée Ox, les lignes de courant sont des droites parallèles. Dans le cas d un écoulement de Couette plan, où la plaque supérieure a une vitesse constante V, la distribution des vitesses est linéaire et s exprime par: u(y) = V e y (1.2) Dans le cas d un écoulement 2D, le vecteur tourbillon se réduit à un scalaire ω (vorticité) dirigé selon z, tel que: ω = v x u y (1.3) Pour le profil linéaire de Couette, on a alors : ω = u y = V D (1.4) soit une valeur constante. Cela signifie que lorsque le profil est linéaire, c est-à-dire lorsque l écoulement est établi, la vorticité est constante.

7 4 T.P. 1 : Écoulements plans Modélisation et simulation de l écoulement de Couette plan à l aide de Fluent Un écoulement 2D (xy) entre deux plaques infinies selon z va être modélisé à l aide de Fluent. La distance D entre les plaques est égale à 0,05 m et le domaine considéré est de longueur L tel que L = 5D. La plaque supérieure se déplace à une vitesse V 0 comprise entre 10 6 et 10 3 m.s 1 et la vitesse à l entrée est prise égale à V 0 /2. La simulation concerne un écoulement d huile de masse volumique (density dans Fluent) ρ = 10 3 kg.m 3 et de viscosité dynamique (viscosity) µ = 10 1 Pl. Construisez un maillage de points. La précision sur la convergence peut être prise égale à 10 5 et les coefficients de sous-relaxation de la vitesse et de la pression égaux à 0,5. Mesurez la longueur l nécessaire à l établissement du profil de Couette, en prenant comme critère la valeur théorique de vorticité ω = V 0 /D. Verifiez l allure linéaire du profil de vitesse u dans xy-plot. Calculez le débit dans Fluent et comparez-le à la théorie. Indiquez la vitesse que vous avez choisie, le nombre d itérations obtenu à convergence et le temps de calcul approximatif. Commentez les résultats numériques obtenus. 1.4 Écoulement de Poiseuille Plan Expérience de Poiseuille Un montage expérimental est représenté sur la figure 1.3. En général, le fluide provient d un réservoir auquel est relié le tube. Il s agit ici d un tube circulaire. À l entrée du tube, la répartition des vitesses est mal connue, souvent voisine d une répartition uniforme. Elle se modifie ensuite progressivement à mesure que l on avance dans le tube jusqu à atteindre une forme parabolique (Fig. 1.1). Cette première partie du tube, siège d une évolution du profil des vitesses, correspond à la longueur d établissement. Elle s étend en effet sur une longueur l qui dépend du nombre de Reynolds R e = UD/ν défini à partir de la vitesse U au point B (profil droit ou bouchon), du diamètre D de la conduite et de la viscosité cinématique ν du fluide. La figure 1.4 présente l évolution du profil pour R e = 500.

8 1.4 Écoulement de Poiseuille Plan 5 Figure 1.3: Écoulement dans un tube de Poiseuille (figure extraite de R. Comolet, Mécanique des fluides, p.95). Figure 1.4: Évolution du profil des vitesses dans la zone d entrée d une conduite cylindrique ; x/r est la distance relative des sections considérées (figure extraite de R. Comolet, Mécanique des fluides, p.96).

9 6 T.P. 1 : Écoulements plans Les résultats suivants sont admis dans le cas d une conduite cylindrique : l D 0, 6 pour R e 0 l D = 0, 06 R e pour 100 < R e < 500 l D = 0, 04 R e pour R e > 1000 Nous essaierons dans ce T.P. d établir des lois similaires mais pour des écoulements entre deux plans. Il est montré expérimentalement que le régime laminaire se produit réellement dans le tube à la condition que le nombre de Reynolds de l écoulement ne soit pas trop grand (R e < 2572). Pour des nombres de Reynolds plus élevés, l écoulement devient en général turbulent et ne satisfait plus aux lois précédentes Historique Les premières études expérimentales d écoulements laminaires ont été menées vers 1840 par le médecin physiologiste français Poiseuille à l occasion de recherches sur le mouvement du sang dans les vaisseaux sanguins. Il fit couler de l eau dans des tubes de verre capillaires (diamètres de quelques centièmes à quelques dixièmes de millimètres) et déduisit de ses expériences les caractères essentiels des écoulements laminaires. À la même époque, l allemand Hagen fit des expériences similaires avec des tubes plus gros (quelques millimètres de diamètres) et semble avoir ignoré les travaux de Poiseuille. Il observa que l écoulement changeait de nature pour des vitesses notables. En 1883, Reynolds reproduisit de façon systématique ces expériences dans des tubes de 5 à 25 mm de diamètres et colora un filet d eau. Quand le débit d eau était faible, l écoulement se maintenait sans osciller, il était laminaire. Quand le débit augmentait, le filet, d abord rectiligne, se mettait à osciller et diffusait dans tout le tube à partir d une certaine distance. Dans la première partie du tube, l écoulement était laminaire et dans la seconde, il devenait turbulent. Reynolds mit en évidence l importance du rapport sans dimension U D/ν dans ce changement de régime, qui devint le nombre dit de Reynolds. Il trouva que pour R e < 2000, l écoulement était toujours laminaire, tandis qu au dessus il devenait turbulent, plus ou moins facilement selon les circonstances. Si l on revient aux expériences de Poiseuille, il est clair que celui-ci ne pouvait obtenir dans ses tubes capillaires que des écoulements laminaires. En effet, avec D = 10 4 m,

10 1.4 Écoulement de Poiseuille Plan 7 ν = 10 6 m 2 /s (eau à 20 o C), la turbulence ne peut apparaître que pour des vitesses supérieures à 20 m/s, ce qui provoquerait la cassure d un tube aussi fin. Hagen, en utilisant des tubes plus gros, put mettre en évidence les deux types d écoulements. Dans les conduites industrielles de plusieurs décimètres de diamètre à plusieurs mètres, l écoulement est pratiquement toujours turbulent, même à un débit très faible. Depuis, l écoulement établi dans une conduite cylindrique porte souvent le nom de Poiseuille-Hagen Propriétés physiques des fluides Dans le tableau qui suit sont données, à titre indicatif, les valeurs de masse volumiques, de viscosités dynamiques et cinématiques, à 20 o C, pour une gamme de fluides connus. fluide ρ (kg.m 3 ) µ (N.s.m 2 ) ou P l ν (m 2.s 1 ) ou kg.m 1.s 1 alcool éthylique (éthanol) , ammoniaque 610 2, , eau , , éther éthylique 714 2, , glycérine (glycérol) , huile de graissage , , huile d olive , huile de paraffine , huile de ricin , huile de lubrification (avions) , , mercure , , Table 1.1: Constantes physiques des fluides à 20 o C.

11 8 T.P. 1 : Écoulements plans Modélisation et simulation de l écoulement de Poiseuille plan à l aide de Fluent Modélisez un écoulement 2D (xy) entre deux plaques infinies selon z (Fig. 1.5). La vitesse à l entrée est notée U 0. La hauteur D du canal est prise égale à 0,05 m et des domaines de longueur L = 5D et 30D seront considérés, selon la valeur du nombre de Reynolds. Ce dernier est défini comme suit: R e = U 0D ν = ρ U 0D µ, (1.5) avec ρ la masse volumique du fluide (density dans Fluent), µ la viscosité dynamique (viscosity) et ν la viscosité cinématique. Deux études vont être menées. Elles vont différer par la variable considérée, mais ont le même but d estimer le rapport l/d, où l est la longueur d établissement du profil de Poiseuille. Reportez dans un tableau final commun aux deux études le nombre de Reynolds R e, la viscosité dynamique µ, la viscosité cinématique ν, le rapport de forme du domaine L/D, le rapport l/d, la vitesse d entrée U 0, le maillage utilisé, le nombre d itérations et le temps de calcul approximatif. U 0 D L Figure 1.5: Modélisation de l écoulement de Poiseuille. Étude à bas nombre de Reynolds L écoulement est simulé pour un nombre de Reynolds au choix, variant entre et 5, avec L = 5D. Vous considèrerez un écoulement d huile à bas Reynolds tel que: ρ = 10 3 kg.m 3 µ = 10 1 N.s.m 2 (1.6)

12 1.4 Écoulement de Poiseuille Plan 9 Ces données correspondent à : Re = U 0. La vitesse à l entrée peut donc varier de 10 7 à 10 2 m.s 1 (soit 10 nanomètres et 1 cm par seconde). Prenez un maillage de , des coefficients de sous-relaxation α U = 0, 5 et α p = 0, 5 et une précision de résolution de Mesurez la longueur d établissement du profil en étudiant la vitesse longitudinale au centre du canal. Celle-ci doit être égale à la vitesse théorique de 3/2 U 0, avec une erreur admise de 1%. Reportez vos résultats dans le tableau général ainsi que sur la figure 1.6 fournie (que vous conserverez). Que remarquez-vous pour cette première étude? Étude pour des nombres de Reynolds supérieurs à 10 Considérez à présent une vitesse d entrée U 0 = 10 3 m.s 1 et faites varier la viscosité dynamique µ dans une gamme de 10 3 à Étudiez l écoulement de Poiseuille plan pour deux ou trois nombres de Reynolds, compris entre 20 et 300. Construisez un domaine tel que L = 30D, en conservant des cellules de rapport de forme faible (i.e. approximativement carrées). Le critère de convergence est toujours le bon accord avec la valeur théorique de 3/2 U 0 et la précision est suffisante pour 2, Calculez également le rapport l/d et déterminez le coefficient α tel que l/d = αre. Reportez vos résultats dans le tableau général et sur les figures 1.6 et 1.7. Comparez les résultats obtenus pour cette simulation de l écoulement de Poiseuille plan avec Fluent aux données expérimentales concernant la conduite cylindrique (section 1.4.1). Commentez.

13 10 T.P. 1 : Écoulements plans e Figure 1.6: Évolution de la longueur d établissement l/d en fonction du nombre de Reynolds R e, en échelle log-lin Figure 1.7: Évolution de la longueur d établissement l/d en fonction du nombre de Reynolds R e, en échelle lin-lin.

14 Chapter 2 T.P.2: Convection naturelle en cavité carrée 2.1 But du T.P. Le but du TP est de comparer les résultats de Fluent à ceux des références proposées. Nous étudierons en particulier le nombre de Nusselt, dont le calcul s effectue à partir du flux de chaleur à la paroi. 2.2 Introduction La convection thermique est définie comme un transport de l énergie interne par le mouvement d un fluide. On distingue deux types de convection : la convection naturelle et la convection forcée. La convection naturelle est un mouvement dont l origine est un déséquilibre thermique, ce mouvement disparaît lorsque les gradients de température sont nuls. Au contraire, en convection forcée, l écoulement persiste même si on annule ces gradients. On s intéresse ici à une configuration de convection naturelle d un fluide en cavité carrée, où un gradient de température est imposé entre deux parois verticales, les parois haute et basse étant supposées adiabatiques. On trouve des exemples d applications d une telle configuration dans les capteurs solaires, les fenêtres à double vitrage, ou encore la description de la circulation d air à l intérieur d une pièce. L écoulement de convection naturelle en cavité carrée a souvent constitué un problème test pour comparer les divers algorithmes numériques utilisés pour intégrer les équations de Navier-Stokes. Un concours numérique s est déroulé en Les résultats obtenus par De Vahl Davis ont ensuite servi de référence à bas nombre de Rayleigh. Par la suite, P. Le Quéré a étendu la gamme de Rayleigh du bench mark, en utilisant une méthode de résolution plus performante. Le but du TP est de 11

15 12 T.P.2: Convection naturelle en cavité carrée comparer les résultats de Fluent à ceux des références proposées. Nous étudierons en particulier le nombre de Nusselt, dont le calcul s effectue à partir du flux de chaleur à la paroi. 2.3 Modélisation du problème Description physique Une cavité carrée de côté L est considérée (figure 2.1). Les parois haute et basse de la cavité sont adiabatiques. Si les parois de gauche et de droite sont portées et maintenues à des températures respectives de T H et T C, avec T = T H T C > 0, la condition d équilibre mécanique, T g = 0 n est pas satisfaite et le gradient horizontal de température provoque la mise en mouvement du fluide et la formation d un écoulement dans la cavité. z w T=TH u T=T C L x Figure 2.1: Géométrie de cavité carrée. Si la masse volumique décroît avec la température on assiste à la formation d un écoulement ascendant le long de la paroi gauche, et d un écoulement descendant le long de la paroi de droite, la présence des parois horizontales forçant le fluide à tourner à droite en haut de la paroi chaude et symétriquement à tourner à gauche en bas de la paroi froide. L écoulement dans cette cavité peut être schématisé comme étant la réunion de deux écoulements le long de parois verticales limitées en hauteur par la présence d une paroi horizontale forçant le fluide à se déverser latéralement. Ces deux écoulements sont raccordés par les distributions de vitesse et de température (inconnues) dans la zone centrale appelée cœur de l écoulement. En particulier, on observe que si la convection est suffisamment vigoureuse, le fluide le long de la paroi horizontale supérieure est pratiquement à T H, tandis que celui le long de la paroi horizontale inférieure est quant à lui pratiquement à T C. La

16 2.3 Modélisation du problème 13 température dans le cœur présentera donc une stratification verticale stable, et la cavité se partage donc en deux couches limites verticales le long de parois isothermes dans un milieu ambiant infini (le cœur) stratifié en température Mise en équations On suppose que les équations gouvernant cet écoulement sont les équations de Navier-Stokes d un fluide incompressible à propriétés physiques constantes, qui s écrivent, avec les notations de la figure 2.1, u x + w ( z u ρ t + u u x + v u ) z ( w ρ t + u w x + v w ) z ( ρc P u T x + w T ) z = 0 (2.1) = P ( 2 ) x + µ u x + 2 u (2.2) 2 z 2 = P ( 2 ) z + µ w x + 2 w ρg (2.3) 2 z 2 ( 2 ) T = λ x + 2 T (2.4) 2 z 2 Si l écart de température à l origine du mouvement est petit, on considère que la masse volumique ρ est constante partout sauf dans le terme de poussée d Archimède où on effectue un développement de ρ au premier ordre en température, ρ = ρ 0 (1 β(t T 0 ) +...), avec : β = 1 ( ) ρ (2.5) ρ T Le terme 1 ρ 0 ( où P = P + ρ 0gz ρ 0 P ) z ρ 0g(1 β(t T 0 ) est la pression motrice. peut donc s écrire P z + gβ(t T 0) Les équations s écrivent alors (P est maintenant la pression motrice), en introduisant ν = µ/ρ 0, et a = λ/ρ 0 C p : u x + w z u t + u u x + v u z w t + u w x + v w z u T x + w T z = 0 (2.6) = P ( 2 ) x + ν u x + 2 u (2.7) 2 z 2 = P ( 2 ) z + ν w x + 2 w + gβ(t T 2 z 2 0 ) (2.8) ( 2 ) T = a x + 2 T (2.9) 2 z 2

17 14 T.P.2: Convection naturelle en cavité carrée Ces équations forment les équations dites de Boussinesq, modélisant les écoulements de convection naturelle sous l hypothèse de faibles écarts de température Conditions aux limites Une condition de non-glissement (adhérence) est appliquée aux parois solides. Le sommet et le bas étant adiabatiques, on impose un flux de chaleur nul : q paroi = 0. Le mur de gauche a une température de T H et celui de droite une température de T C Adimensionnement et résultats On adimensionne le système précédent. La longueur de référence est L, la vitesse de référence est V = a/l, et la température de référence est T = T H T C. Les paramètres adimensionnels sont alors le nombre de Prandtl P r = µ et le ρa ρgβ T L3 nombre de Rayleigh : Ra =. C est le nombre de Rayleigh qui caractérise µa la vigueur de la convection. Pour de faibles Ra, (jusqu à Ra ), le système d équations admet une solution stationnaire; au delà, le système devient instable. Les résultats obtenus par De Vahl Davis (Ra = 10 3, 10 4, 10 5, 10 6 ), et par Le Quéré (Ra = 10 6, 10 7, 10 8 ), sont reportés en dernière page, sous forme de planches représentant les lignes de courant, les isothermes, les isolignes de vitesse horizontale u et verticale w. Dans le tableau ci-contre sont reportés, pour chaque nombre de Rayleigh considéré (Ra = 10 3, 10 4, 10 5, solutions de De Vahl Davis et Ra = 10 6, 10 7, 10 8, solutions de Le Quéré), le maillage utilisé, les valeurs de u max et de z (u max est la valeur maximum de vitesse horizontale adimensionnelle sur la section verticale située au milieu de la cavité, et z est la hauteur adimensionnelle où cette vitesse maximale est obtenue), celles de w max et de x (maximum de vitesse verticale adimensionnelle sur la section horizontale à mi-cavité et la position x adimensionnelle correspondante), ainsi que les nombres de Nusselt moyen sur la section verticale à mi-cavité Nu 1/2 et à x = 0, Nu 0. Le nombre de Nusselt caractérise les échanges thermiques au niveau d une section droite donnée et se calcule par : Nu = x donné q. n dy/h = hl λ T/L λ (2.10) où H et L correspondent aux dimensions de la cavité et h est le coefficient de transfert de chaleur.

18 2.4 Simulations numériques 15 Ra maillage u max ( 1, z) z w max (x, 1 ) x Nu 1/ Nu Table 2.1: Résultats obtenus par De Vahl Davis (Ra = 10 3, 10 4, 10 5 ) et Le Quéré. 2.4 Simulations numériques Géométrie et propriétés physiques La cavité est carrée de côté L = 0.05 m. Le mur de gauche a une température de T H = 278, 4 K et celui de droite une température de T C = 273K. Le fluide considéré est de l air. Les valeurs des constantes physiques sont les suivantes : masse volumique ρ 0 1,2928 kg m 3 température de référence T K viscosité dynamique µ 1, Pl (kg m 1 s 1 ) conductivité thermique λ W m 1 K 1 chaleur spécifique C p 1, J kg 1 K 1 coefficient d expansion thermique β 3, K 1 constante de gravitation g 9,81 m s 2 diffusivité thermique a = λ/ρ 0 C p 1, m 2 s 1 Table 2.2: Propriétés du fluide. Ces valeurs correspondent à un nombre de Prandtl P r = 0, 72 et à un nombre de Rayleigh Ra = Construction d un cas par Fluent Dans Define Models, sélectionner le calcul de température. Pour travailler avec les équations de Boussinesq, sélectionner dans Define Materials à l aide du sous-menu Density l option Boussinesq : il faut spécifier la valeur de Density et β (le Thermal expansion coefficient est pris constant). Afin de prendre en compte la pesanteur, il faut sélectionner Gravity dans Define Operating Conditions : Il faut alors spécifier g (La force de gravité, g, est orientée inversement à la direction y) et T 0 (la Buoyancy reference temperature ). Construire une grille régulière.

19 16 T.P.2: Convection naturelle en cavité carrée Etude à Ra = 10 5 Faire varier les coefficients de sous-relaxation et en commenter les effets. Étudier les contours de fonction de courant et de température ainsi que des composantes horizontales et verticales de la vitesse. Comparer avec les figures fournies. Tracer les valeurs de u sur la section verticale à mi-cavité, noter u max et z correspondants. Comparer avec les résultats de De Vahl Davis. Faire de même pour la composante verticale de la vitesse sur la section horizontale à mi-cavité. Noter w max et x correspondants. On souhaite alors calculer les nombres de Nusselt en x = 0 et x = L/2. Le calcul du nombre de Nusselt s obtient grâce à l équation Fluent permet d accéder directement à la valeur du nombre de Nusselt aux parois. Comparer aux valeurs trouvées par De Vahl Davis Autres nombres de Rayleigh Pour obtenir d autres nombres de Rayleigh, modifier par des facteurs 10 la valeur de g. Ceci est bien sûr sans sens physique, mais cela permet, sans modifier le maillage ni les conditions limites, de traiter d autres cas de nombres de Rayleigh. Traiter ainsi les cas Ra = 10 3, Ra = 10 4, et Ra = Essayer ensuite de traiter les hauts Rayleigh. La convergence est de plus en plus difficile à obtenir. Il faut également réfléchir à la finesse du maillage. Il est recommandé, avec Fluent, de partir d une solution obtenue pour un nombre de Rayleigh inférieur. On peut ensuite soit travailler en stationnaire, soit activer un L modèle instationnaire, avec t 4. Cette opération peut prendre de gβ T L l ordre de 5000 pas de temps pour obtenir une solution stationnaire.

20 Chapter 3 T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche 3.1 But du T.P. Ce T.P. a pour but de simuler un écoulement de fluide incompressible derrière une marche descendante, à l aide du logiciel Fluent. L écoulement est supposé bidimensionnel, dans un canal de section rectangulaire qui débouche brusquement dans un canal de hauteur plus grande. La géométrie du domaine est décrite dans la figure 3.1. Elle est fréquente dans les systèmes industriels (par exemple en chambre de combustion de moteur d avion). En fluide visqueux, l approche analytique ne permet pas de décrire l écoulement. Les approches expérimentale et numérique restent alors les seuls moyens d étude. Ce problème demeure un cas test classique pour les logiciels de mécanique des fluides. 3.2 Description de l écoulement L allure de l écoulement dépend à la fois du régime étudié (laminaire ou turbulent) et du rapport de marche (h/h). L article cité plus haut donne une description détaillée de l organisation de l écoulement derrière une marche de rapport 1/2, pour des nombres de Reynolds variant de 70 à 8000, avec une approche expérimentale et numérique. Le nombre de Reynolds R e est basé ici sur la hauteur du canal H = 2h et sur la vitesse moyenne à l entrée U moy. Les figures 3.2 à 3.4, extraites de cet article, résument le phénomène. Pour des nombres de Reynolds suffisamment élevés, une zone de recirculation apparaît derrière la marche. En régime stationnaire, la longueur des zones recirculées (x/s) est un paramètre caractéristique de l organisation de l écoulement. 17

21 18 T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche Figure 3.1: Géométrie considérée. Expérimentalement (figure 3.2), la zone recirculée apparaît derrière la marche pour des nombres de Reynolds supérieurs à 100. Des recirculations supplémentaires sont observées à plus hauts Reynolds, sur la paroi supérieure à partir de R e = 600 et sur la paroi inférieure à partir de R e = Les résultats numériques sont en accord avec les expériences (figure 3.3). La figure 3.4 représente les profils de vitesse longitudinale à différents nombres de Reynolds. Il faut noter que pour une marche de rapport 1/2, l écoulement est laminaire pour R e < Entre 1200 et 6600, il est transitionnel et à partir de 6600, il devient turbulent.

22 3.2 Description de l écoulement 19 Figure 3.2: Localisation des points de décollement et de recollement de l écoulement au centre d une section test : variations des positions en fonction du nombre de Reynolds (Armaly et al., marche de rapport 1/2). Le centre de la section test correspond en fait à l axe central du montage expérimental, selon z, c est-à-dire vu de dessus.

23 20 T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche Figure 3.3: (a) Positions prédites des points de décollement et de recollement en fonction du nombre de Reynolds. (b) Comparaison des positions mesurées et prédites (2-D) des points de décollement et de recollement de l écoulement [Armaly et al.]. X 6 et x 7 sont obtenus par le calcul et non expérimentalement.

24 3.2 Description de l écoulement 21 Figure 3.4: Profils de vitesse expérimentaux et théoriques, à différentes stations x/s [Armaly et al.]. Les points représentent les mesures expérimentales et les courbes en trait plein les résultats numériques.

25 22 T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche 3.3 Modélisation d un écoulement derrière une marche Nous étudierons ici une marche de rapport 1/2 en régime laminaire. Le domaine de calcul est décrit sur la figure 3.5. Le profil est uniforme à l entrée du domaine et un profil de Poiseuille s établit sur une distance de L e = 1 m avant la zone descendante Modélisation Vous modéliserez un écoulement d eau de masse volumique ρ = 10 3 kg m 3 et de viscosité dynamique η = 10 3 N s m 2. Vous considérerez une géométrie de dimensions L = 2 m (1 m d établissement du profil de Poiseuille et 1 m de cavité) et H = 0, 2 m. Vous prendrez une précision à Figure 3.5: Domaine de calcul et conditions aux limites Étude numérique Construisez un maillage uniforme de Pour un nombre de Reynolds R e = 300, observez les effets des jeux de paramètres numériques suivants, en termes de précision et de temps de calcul: 1. SIMPLE, Power Law, α U = 0, 8 et α p = 0, SIMPLE, Power Law, α U = 0, 6 et α p = 0, SIMPLE, Quick, α U = 0, 8 et α p = 0, SIMPLEC, Power Law, α U = 0, SIMPLEC, Power Law, α U = 0, 6. Comment juger de la précision des résultats?

26 3.3 Modélisation d un écoulement derrière une marche Étude physique Pour le meilleur choix des paramètres numériques, vous réaliserez et étudierez les cas de calcul suivants. Précisez bien les paramètres (c est-à-dire le cas) que vous avez choisis. Afin d améliorer la précision des résultats, construisez un maillage de et vous étudierez l évolution de l écoulement en fonction du nombre de Reynolds, pour plusieurs nombres de Reynolds compris entre 300 et Pour une meilleure observation, vous pouvez augmenter la taille de la boîte à partir d un nombre de Reynolds donné, en adaptant le maillage en conséquence. Vous pouvez par exemple doubler le domaine d étude (cavité) en x et prendre 210 mailles au lieu de 140, ce qui permet de conserver une même taille de maille. Commentez le phénomène d apparition des différentes zones recirculées et la position des points de décollement et de recollement. Fluent permet de visualiser les coefficients de frottement aux parois du bas et du haut. Il est donc possible, à partir de son étude, d obtenir des informations sur la position des zones de recirculation. Le coefficient de frottement à la paroi est donné par: C f x = η u x. (3.1) y yparoi Tracez les courbes du coefficient de frottement à la paroi (en haut et en bas), pour un ou deux cas étudiés. Vous en déduirez les positions des points de décollement et de recollement pour le nombre de Reynolds considéré (coefficient de frottement nul). Étudiez alors l évolution des positions des différents points de décollement et de recollement en fonction du Reynolds. Vous pourrez reporter vos valeurs sur les courbes correspondantes obtenues par Armaly et al.. Comparez alors vos résultats aux données expérimentales et théoriques d Armaly et al..

27 24 T.P. 3 : Écoulement laminaire derrière une marche

28 Chapter 4 T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée 4.1 But du T.P. Ce T.P. consiste d une part à apprendre à construire un maillage raffiné avec Fluent et d autre part à étudier un écoulement autour d un obstacle de section carrée. 4.2 Introduction Les écoulements autour d obstacles solides immobiles (ou de façon équivalente les mouvements stationnaires d un solide au sein d un fluide immobile à l infini) constituent une famille d écoulements dont les applications sont nombreuses en aérodynamique et en acoustique. On qualifie ces écoulements d écoulements externes par opposition aux écoulements dans les domaines fermés appelés écoulements internes. On s intéresse ici à un écoulement 2D autour d un obstacle carré de côté D. Les écoulements 2D autour d obstacles circulaires ont été souvent étudiés, expérimentalement et numériquement. Les écoulements analogues autour d obstacles carrés ont suscité un peu moins d attention et constituent un cas d étude difficile qui fait actuellement l objet de nombreuses recherches. Les phénomènes et les différents régimes observés sont similaires, mais les résultats quantitatifs diffèrent en raison de la présence d arêtes vives qui induisent des décollements plus brutaux que pour des sections circulaires. Ces arêtes vives compliquent également la mise en œuvre de schémas numériques. Les applications pratiques d écoulements autour d obstacles présentant des angles sont cependant nombreuses (par exemple l influence du vent sur un écoulement d air autour de bâtiments et la mise en résonance possible de telles structures, voir figure 4.1). 25

29 26 T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée Dans ce T.P. on met en évidence les différents régimes d écoulement, et on cherche quelques résultats quantitatifs que l on comparera à ceux de Davis et Moore et de Pellerin et Nore. Figure 4.1: Ecoulement autour d un immeuble.

30 4.3 Description physique Description physique Considérons un cylindre à section carrée de côté D, de longueur infinie et d axe normal à la vitesse de l écoulement à l infini U 0. Quand le nombre de Reynolds R e = U 0 D est très petit (R e << 5), l écoulement ν autour de l obstacle est un écoulement de Stokes. Il se comporte presque comme un écoulement potentiel (fluide parfait); il n y a qu un très faible décollement dû à la présence des angles. Pour R e > 5 (mais pas trop élevé), l écoulement est stationnaire symétrique et on observe des recirculations au passage de l obstacle. Il apparaît tout d abord derrière l obstacle deux tourbillons symétriques (voir l exemple, à R e = 20, sur la figure 4.2.a). Puis, des recirculations apparaissent sur les bords d attaque du carré en haut et en bas (exemple à R e = 40 sur la figure 4.2.b). Les longueurs de sillage tourbillonnaire peuvent alors être calculées en fonction du nombre de Reynolds (voir les résultats numériques de la figure 4.3). Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 45, l écoulement est instationnaire. Les tourbillons se détachent l un après l autre, et forment peu à peu l allée caractéristique de Bénard-Kármán (figures 4.4 et 4.5), phénomène analogue à celui qui se produit pour un obstacle à section circulaire. Cette allée tourbillonnaire a été l objet d importantes recherches expérimentales de la part de Bénard, mais on doit à von Kármán d en avoir fait l étude théorique. Du fait de la dissymétrie de l écoulement et de la périodicité du phénomène, il apparaît une fréquence d émission des tourbillons f (visible sur l évolution temporelle de chaque variable, par exemple les vitesses longitudinale et transversales en certains points choisis, voir figure 4.6). On construit alors le nombre sans dimensions de Strouhal tel que : S t = fd U 0 (4.1) Sur la figure 4.7 sont représentés les nombres de Strouhal obtenus expérimentalement et numériquement pour des nombres de R e compris entre 50 et Pour un obstacle à section circulaire le nombre de Strouhal augmente en fonction du R e pour atteindre un palier S t = Dans le cas de l obstacle à section carrée, S t augmente, atteint un maximum, puis rediminue pour atteindre un palier. Les valeurs expérimentales et numériques sont très dispersées (jusqu à 30% entre deux études expérimentales).

31 28 T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée (a) (b) Figure 4.2: (a) Lignes de courant et (b) lignes d iso-vorticité à R e = 20 et R e = 40 (Pellerin et Nore). Figure 4.3: Longueurs de recirculation en régime stationnaire (Pellerin et Nore).

32 4.3 Description physique 29 Figure 4.4: Champs de vorticité à R e = 500 (Pellerin et Nore). Figure 4.5: Trajectoires à R e = 250 et R e = 1000 (Davis et Moore).

33 30 T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée Figure 4.6: Historique des vitesses longitudinale et transversale à R e = 500. Figure 4.7: Nombre de Strouhal : résultats expérimentaux et numériques.

34 4.4 Modélisation par Fluent Modélisation par Fluent Considérons un écoulement d air de masse volumique ρ = 1, 225 kg.m 3, de viscosité dynamique µ = 1, P l et de vitesse U 0, autour d un obstacle de section carrée. Les dimensions du domaine sont données sur la figure 4.8. Vous prendrez D = 1 m. U 0 6D D U 0 5D 18D 6D U 0 Figure 4.8: Domaine de calcul Création d un maillage raffiné Un premier travail consiste à construire un maillage adapté à cette géométrie. Choisissez un nombre de mailles de 150 en x et de 84 en y. Dans les deux directions x et y, vous partagerez le domaine en trois segments. Répartissez ensuite les mailles en fonction des dimensions du domaine (prendre environ 20 cellules pour l obstacle, dans chaque direction). Il faut alors raffiner le maillage près de l obstacle, où l imposition d un poids (coefficient) permet d agir sur le maillage. Familiarisez-vous avec cet outil et affichez le maillage obtenu. Dans Fluent, vous pourrez obtenir directement les coefficients de traînée et de portance, d où le calcul du nombre de Strouhal à partir de ces variables.

35 32 T.P. 4 : Écoulement autour d un obstacle à section carrée Simulation d un écoulement à très faible R e Pour R e = 1, vous allez simuler à l aide de Fluent, un écoulement stationnaire, laminaire, symétrique, avec une précision de 10 4 et des facteurs de sous-relaxation α u = 0, 5 et α p = 0, 5. Sur les frontières de l entrée, du haut et du bas du domaine, on impose la vitesse de l écoulement U 0 (INLET). Visualiser les lignes de courant et le champ de vorticité. Notez le nombre d itérations nécessaires Simulation d un écoulement stationnaire Pour un nombre de Reynolds inférieur au Reynolds critique, R e = 20 ou 40, calculez la longueur de recirculation et comparez-la aux résultats de la figure 4.3. Pour cela, il faut regarder l évolution de la vitesse longitudinale u dans le sillage. Visualisez les tourbillons symétriques en jouant sur l échelle de Ψ Simulation d un écoulement instationnaire Pour R e = 100, vous simulerez l écoulement instationnaire autour de l obstacle et calculerez le nombre de Strouhal correspondant. Lancez tout d abord le calcul en stationnaire sur 200 itérations. L écoulement est instationnaire pour cette valeur du nombre de Reynolds, et donc une solution stationnaire n existe pas. Cette solution approchée permet d initialiser le calcul instationnaire et d obtenir des résultats plus rapidement. Cette étape achevée, passez en instationnaire avec un pas de temps de 100 s. L allée de tourbillons met très longtemps à apparaître, c est pour cette raison que le pas de temps choisi est si important. Lancez un premier calcul de 200 pas et visualisez le résultat. On commence à apercevoir la dissymétrie de l écoulement (Ψ et ω). Visualisez les champs de vorticité et les lignes de courant. Pour calculer le nombre de Strouhal, il faut enregistrer les coefficients de trainée et de portance (Cd-history et Cl-history) Ainsi, après de nombreux pas, on visualise (Plot/file) l évolution de ces coefficients au cours du temps et on peut calculer la période des oscillations. En déduire la valeur de la fréquence f et le nombre de Strouhal correspondant. Comparez le résultat obtenu à ceux de la figure 4.7. Quelques conseils : ne lancez pas 1000 pas d un coup, mais faites plutôt le calcul par 500 pas de temps. Relancez le calcul et enregistrez l évolution des variables, soit à la suite du précédent fichier, soit dans un nouveau ficher. La deuxième option est préférable après un certain temps de calcul, afin de mieux mesurer la période sur l écran. Si le temps le permet, reproduire cette étude pour d autres nombres de Reynolds (R e = 300, R e = 500 par exemple).

36 Chapter 5 Bibliographie Logiciel Fluent Fluent Incorporated, User s guide and Tutorial guide, Fluent Incorporated, Aide en ligne de Fluent UNS. S.V. Patankar, Numerical heat transfer and fluid flow, McGraw-Hill, New York, Travaux Pratiques B. F. Armaly et al., Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow, Journal of Fluid Mechanics, vol 127, pp , A. Bejan, Convection heat transfer, Ed. Wiley, M. Braza, P. Chassaing and H. Ha Minh, Numerical study and physical analysis of the pressure and velocity fields in the near wake of a circular cylinder, Journal of Fluid Mechanics, 165, pp , R. Comolet, Mécanique expérimentale des fluides, ed. Masson, R. W. Davis and E. F. Moore, A numerical study of vortex shedding from rectangles, Journal of Fluid Mechanics, 116, pp , G. De Vahl Davis, Natural convection of air in a square cavity : a bench mark numerical solution. Int. J. Numer. Meth. Fluids 3, 249, Fluent Incorporated, Fluent Validation Guide, P. Le Quéré, Accurate solutions to the square thermally driven cavity at high Rayleigh number, Computer Fluids 20,1, S. Pellerin et C. Nore, Dynamique tourbillonnaire d écoulements autour d obstacles et de réseaux d obstacles, Rencontre Utilisateurs Fluent, septembre K. Ra znjević, Tables et diagrammes thermodynamiques, ed. Eyrolles, M. Rieutord, Une introduction à la dynamique des fluides, ed. Masson, H. Schlichting, Boundary Layer theory, ed. McGraw-Hill,