Convention entre l'université Libanaise et l'université de Nantes

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1 Convention entre l'université Libanaise et l'université de Nantes Etude de l écoulement turbulent dans un canal courbe représentant un échangeur multi-jets pour le refroidissement du point de contact meule de façonnage / verre plat lors de son façonnage. Présenté par : Marianne Bassil Directeurs: H. Peerhosaini, B. Garnier, D. Della Valle Encadrante:Tala Moussa Jury (Liban): Dr.Tannous Chalhoub Dr.Gilbert Akari Juillet 2012

2 Remerciement Je tiens à remercier dans un premier temps toute l équipe pédagogique de l Ecole Polytechnique de l Université de Nantes, et les intervenants professionnels responsables dans la formation Master 2 Recherche Thermique Energétique, pour avoir assuré la partie théorique. Je remercie également le directeur de stage Professeur Hassan PEERHOSSAINI et mon encadrante Tala MOUSSA pour l aide et les conseils concernant les missions évoquées dans ce stage. Je dois aussi un grand merci à la famille de l'université Libanaise, au personnel et aux enseignants de la Faculté de Génie, Branche I. C'est grâce à leur dévouement, leur support et leurs efforts que j'ai eu la chance d'accomplir ce travail en France et c'est grâce à la formation qu'ils m'ont inculquée que j'ai pu tenir à bout mes études ici à Nantes.

3 3 Résumé Le travail présenté dans ce rapport vise l'étude numérique et expérimentale de la structure de l écoulement et du champ hydrodynamique dans un système de refroidissement du procédé de façonnage du verre. Ce système consiste en un canal formant un arc de cercle et ayant une section quasi rectangulaire qui est utilisé pour refroidir une meule de façonnage lors du processus du façonnage du verre, par l intermédiaire des orifices d'injection disposés le long du canal et incliné de 45. L étude numérique est basée sur un modèle numérique tridimensionnel réalisé sous GAMBIT pour simuler un écoulement monophasique en régime turbulent. Cela nous amène à utiliser la technique de résolution numérique des équations de l écoulement par la méthode de volumes finis en utilisant le modèle de turbulence k réalisable du code CFD Fluent 6.3. L'étude expérimentale est basée sur la PIV (Particule Image Velocimetry) pour visualiser et mesurer le champ de vitesse de l'écoulement ainsi que les lignes de courant. Cette méthode de mesure est largement expliquée dans ce projet. On procède aussi par une autre mesure expérimentale classique du débit et des pressions. Enfin, nous comparons les résultats expérimentaux et numériques afin de voir la fiabilité de chacun et la validité du modèle numérique pour la certitude de l'étude. Mots clés : canal courbe, jet incliné asymétrique, écoulement de Dean, tourbillons, couche limite, débit uniforme, PIV, force centrifuge, gradient de pression, perte de charge. Abstract The work presented in this report is the numerical and experimental study of flow structure and hydrodynamic field in a coolant system of the process of shaping glass. This system consists of a channel forming an arc of circle and having a quasi rectangular section is used to cool a shaping grinding wheel in the process of shaping glass, through the injection ports arranged along the channel and inclined by 45. The numerical study is based on dimensional numerical model constructed in GAMBIT to simulate a single-phase flow turbulently. This leads us to use the technique of numerical solution of the flow equations by finite volume method using the turbulence model k feasible CFD code Fluent 6.3. The experimental study is based on the PIV (Particle Image Velocimetry) to visualize and measure the velocity field of flow and the streamlines. This measurement method is widely explained in this project. We also adopted other classic experimental measurements of flow and pressure. Finally, we compare the experimental and numerical results in order to see the reliability and validity of each of the numerical model for the certainty of the study. Keywords: curved channel, jet inclined asymmetric, Dean flow, vortices, boundary layer, uniform flow, PIV, centrifugal force, pressure gradient, pressure drop.

4 4 Nomenclature D Diamètre de la conduite m De Nombre de Dean ρ Masse volumique Kg.m 3 V Vitesse m.s -1 r Abscisse radial m z Abscisse axial m R Rayon de la conduite m Re Nombre de Reynolds m u',v',w' Vitesses fluctuantes locale instantanée m.s -1 u τ Vitesse de frottement à la paroi m.s -1 x Abscisse axial m Nu Nombre de Nusselt ν Viscosité cinématique de l'eau m 2.s -1 ε Taux de dissipation d'énergie cinétique turbulente m 2.s -3 μ Viscosité dynamique de l'eau Pa.s τ p Contraintes de cisaillement à la paroi N.m -2 δ Epaisseur de la couche limite m + Indice des coordonnées de paroi adimentionnelles l Longueur de mélange de Prandtl m P Pression Pa Q Débit volumique m 3.s -1 R Rayon du disque m H Epaisseur du fluide au dessus du disque m Re j Nombre de Reynolds du jet α Angle d'inclinaison du jet avec l'horizontale en Degrés º Nu max Nombre de Nusselt maximal Pr Nombre de Prandtl θ Angle d'inclinaison du jet avec l'horizontale en radians rad ξ Coefficient de perte de charge L Longueur des tubes souples m D Diamètre des tubes souples m J linéaire,singulière Perte de charge linéaire et singulière m P Puissance de la pompe W d p Diamètre de la particule m ZI Zone d'interrogation L int Longueur de la ZI m Δt Décalage temporel entre 2 signaux du laser s N Nombre de paires d'images prises Δd Déplacement spatial de la particule durant Δt m U pmax Vitesse maximale des particules dans le plan laser m.s -1 W pmax Vitesse maximale des particules dans le plan normal au laser m.s -1 T Temps entre 2 couples d'images s L Longueur de la section rectangulaire m l Largeur de la section rectangulaire m d t Diamètre des 25 orifices m R c Rayon de courbure du canal m

5 5 Table des matières: INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIQUE Ecoulement turbulent dans un canal courbe Particule Image Velocimetry (PIV) I. SIMULATION NUMERIQUE I.1 Modélisation sous GAMBIT I.2 Méthode numérique I.3 Modèle de turbulence I.4 Conditions aux limites I.5 Maillage et raffinement I.6 Résultats et interprétation: I.6.1 Structure de l'écoulement dans le canal en vue globale I.6.2 Structure de l'écoulement dans les orifices I.6.3 Structure de l'écoulement dans les sections débouchantes sur les orifices I.6.4 Variation de paramètres I.6.5 Calcul des pressions, vitesses et des pertes de charge: II. DISPOSITIF EXPERIMENTAL II.1 Description du dispositif expérimental II.2 Conception et dimensionnement du carter II.3 Dimensionnement du circuit hydraulique III. METROLOGIE III.1 Ensemencement III.2 Plan lumineux III.3 Acquisition des images III.4 Dimension de la ZI (L int ) III.5 Méthode de Corrélation III.6 Réglage temporel III.7 Temps entre deux couples d images T III.8 Recouvrement IV. TRAITEMENT DES IMAGES V. CARTER EXPERIMENTAL V.1 Facettes de visualisation V.2 Figures de la PIV VI. RESULTATS DE LA PIV ET COMPARAISON AVEC FLUENT CONCLUSION ET PERSPECTIVES ANNEXE Annexe Annexe REFERENCE... 82

6 6 INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIQUE 1. Ecoulement turbulent dans un canal courbe a. Généralités Les études concernant le débit à travers un canal courbe ont été développées afin de mieux comprendre les modèles d'écoulement dans des systèmes importants dans les domaines médicaux ou industriels (les artères coronaires, les systèmes de refroidissement ). Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. Ainsi l utilisation des fluides divers (viscosités différentes), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par : Re = ρ V D μ = V D υ (1) ρ= masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduit, μ = viscosité dynamique du fluide, υ = viscosité cinématique, avec υ=μ/ρ. On distingue trois régimes différents : Laminaire : si Re < Intermédiaire ou transitoire : si 2000 < Re < Turbulent : si Re > b. Ecoulement de Dean Un autre type d écoulement est l écoulement de Dean (Figure 1) C est un écoulement à faible vitesse, en régime permanent se développant à l intérieur d un tube courbé ayant un grand rayon de courbure. Présents dans de nombreuses applications industrielles, les écoulements fluides dans des conduites ou géométries courbes suscitent un intérêt scientifique certain. Les premières études théoriques ont été menées par Dean pour l écoulement d un fluide Newtonien dans une conduite tridimensionnelle courbe, et montrent notamment que des recirculations transverses à l écoulement principal peuvent être observées lorsque le fluide commence à suivre une trajectoire curviligne. Cet écoulement est une correction d un écoulement primaire et génère deux tourbillons contrarotatifs «cellules de Dean» causés par la combinaison de la force centrifuge qui tend à pousser le fluide radialement vers l extérieur et la force due au gradient de pression.

7 7 Dean roll-cells Centrifugal force F Figure 1 : Ecoulement de Dean. Un nombre adimensionnel (nombre de Dean De) est caractéristique de cet écoulement, fonction des forces d inertie, de viscosité et de Coriolis. De = Re r R (2) Avec r=rayon du tube et R=rayon du coude. Il est prouvé que les recirculations apparaissent lorsque le nombre de Dean excède une valeur critique proche de 36. c. Couche limite Lorsqu'un fluide réel s'écoule le long d'une paroi supposée fixe, les vitesses sur la paroi sont nulles alors qu'à l'infini (c'est-à-dire loin de l'obstacle) elles sont égales à la vitesse de l'écoulement non perturbé. Sur une normale à la paroi, la vitesse doit donc dans tous les cas varier entre 0 et un maximum. (Ceci est visualisé dans notre cas, voir résultats ultérieurs).la loi de variation dépend de la viscosité du fluide qui induit un frottement entre les couches voisines : la couche la plus lente tend à freiner la couche la plus rapide qui, en retour, tend à l'accélérer. Figure 2 : Composition de la couche limite. La couche limite est divisée en trois parties: (Figure 2) Couche limite laminaire : caractérisée par un faible frottement et une faible épaisseur. Zone de transition : la couche laminaire ne s attarde pas à vieillir et devenir instable. On parle de transition vers la turbulence. Des ondes bidimensionnelles (ondes de Tollmien Schlichting) apparaissent puis deviennent tridimensionnelles (perpendiculaires à l écoulement) et donc de plus en plus violentes car elles commencent à remonter les particules lentes vers les zones de vitesses élevées, le frottement augmente et des spots de turbulences commencent à apparaître. Couche limite turbulente : elle est composée de 3 sous-couches

8 8 Définissons les coordonnées de la paroi : + + u τ = τ p / ρ,u = u / uτ, y = yuτ / ν = y / δ + (3) u τ étant la vitesse de frottement à la paroi et τ p les contraintes de cisaillement à la paroi La sous-couche visqueuse : Elle constitue 4% de l épaisseur δ de la couche limite turbulente. L écoulement n y révèle pas sa nature turbulente, il est considéré laminaire à cause de la viscosité dominante (qui atténue les contraintes de Reynolds turbulentes) et le fait de rapprochement de la paroi. La contrainte de cisaillement est constante. Le profil de vitesse adimensionnel est linéaire : U + =y + valable jusqu à y + =5 (Figure 3) La couche tampon : (5 y + 30) La distribution de la vitesse n est plus linéaire et les contraintes de Reynolds ne sont plus négligeables. La production turbulente est importante due au large gradient de vitesse. La couche logarithmique : (30 y ) avec y/ δ =0.7. Elle constitue 70% de la couche limite turbulente. Cette couche est loin de la paroi, le gradient de vitesse dépend de la distance y de la paroi et l effet de la viscosité peut être annulé. Selon le modèle de longueur de mélange de Prandtl, les contraintes visqueuses u v =-l 2 (du/dy) 2 avec l=longueur de mélange =0.41 y près de la paroi et l=0.085 δ pour 0.3 y/ δ 0.7 et le profil de vitesse est donné par : U + =2.5 ln y (Figure 3). Figure 3 : Profil de la vitesse selon le modèle de Prandtl. d. Jet incliné En général les études ne traitent pas ce cas particulier du jet, car il est peu praticable, d où le manque d informations concernant ce domaine. Cependant, on ne peut pas nier son importance surtout dans les applications industrielles telle que le refroidissement des outils de façonnage, les lames des turbines, etc. Peu d auteurs l ont traité ; nous nous appuyions sur leurs résultats pour montrer les principales caractéristiques de ce jet et avoir une vision claire sur le jet incliné traité dans notre manipe expérimentale.

9 9 Figure 4 : Jet incliné [4]. Le jet de fluide est considéré comme un jet libre car l entraînement du liquide par les particules d air environnant peut être vu comme négligeable dans le cas où le jet est incliné. En ce qui concerne le transfert thermique entre le fluide et le disque, et toujours d après les expériences [6], le nombre de Nusselt (et donc le transfert thermique) augmente autant que l inclinaison augmente avec un sommet traduisant un maximum qui devient de plus en aigu. En plus, ce maximum est décalé du centre géométrique de l impact du jet et l impact de ce décalage est intense de plus en plus que l inclinaison augmente. Jet avec angle 45 Figure 5 : Jet avec angle 45, représentation du centre géométrique du jet décalé par rapport au jet normal [14]. Comparaison des jets en fonction de l angle de l inclinaison i. Variation de la pression Figure 6 : Variation de la pression en fonction de l inclinaison [14]. L augmentation de l inclinaison provoque un décalage du maximum de la pression vers l amont de l écoulement et ce décalage augmente à fur et à mesure que cette inclinaison

10 10 augmente. On remarquera l'augmentation des pressions amont par rapport à l'aval dans les résultats ultérieurs. ii. Variation du nombre de Nusselt Figure 7 : Variation du nombre de Nusselt en fonction de l inclinaison [14]. Le nombre de Nusselt augmente avec l augmentation de l inclinaison et son maximum subit un décalage vers l amont de l écoulement. Le profil devient de plus en plus asymétrique et aigu. On remarquera l'asymétrie du jet dans les résultats ultérieurs. L asymétrie montre que le débit en aval est plus important que celui en amont dû à l inertie initiale du jet oblique. 2. Particule Image Velocimetry (PIV) a. Principe de PIV La vélocimétrie par images de particules est une technique de mesure optique apparue au début des années 1980 et a fait l objet de nombreuses études surtout la caractérisation de l écoulement turbulent. Cette technique non intrusive permet d obtenir les champs de vitesse instantanés. Elle est souvent rencontrée sous deux types : la technique PIV classique dont la fréquence d échantillonnage est de l ordre de 5Hz et la PIV haute vitesse (HS-PIV) décrite par [11] de fréquence d acquisition beaucoup plus élevée, de l ordre de 2kHz. Fondamentalement cette technique consiste à produire une nappe laser pour illuminer un écoulement ensemencé des particules servant des traceurs (Figure 8). Chaque plan de vue sera ensuite capté à deux instants successifs par une caméra CCD. Une analyse de déplacement des particules entre ces deux instants amène sans doute à la déduction des vecteurs de vitesses.

11 11 Figure 8: Principe de PIV [12]. Le principe de l acquisition par PIV repose sur quatre étapes distinctes : L ensemencement de l écoulement (traceurs), Son illumination (LASER), Acquisition et enregistrement des images (caméra CCD, le détecteur CCD, pour l'anglais charge coupled device, assure la conversion d'un signal lumineux en un signal électrique), Post traitement des images. Chaque image est divisée en zones carrées de 2 n x 2 n pixels appelées fenêtres d'interrogation ou d'analyse en vue d'une corrélation croisée par transformée de Fourier rapide(fft). Figure 9 schématise le principe de la corrélation croisée de deux images successives. La fonction d'intercorrélation (Equation 4) sert à mesurer les similitudes entre les deux images et à déterminer le déplacement des particules dans chaque zone d'interrogation. C(X, Y) = I (x, y). I (x + X, y + Y)dxdy (4) où I (x, y) et I (x + X, y + Y) représentent les distributions lumineuses de la même fenêtre d'analyse dans le plan (x, y) aux instants t et t+δt. Figure 9:Principe de calcul du vecteur vitesse [2]. Le pic de corrélation obtenu correspond au déplacement le plus probable des particules, encore appelé véritable corrélation. Sa position par rapport au centre de la fenêtre d'interrogation (X 0,Y 0 ) détermine le vecteur déplacement moyen Δd de toutes le particules

12 12 dans la zone d'interrogation qui est divisé par le temps Δt séparant les deux images pour obtenir le vecteur vitesse correspondant à la fenêtre d'analyse considérée v =. En analysant toutes les zones d'interrogation ZI, on obtient un champ instantané de vitesse. Enfin, il est nécessaire de calculer un champ de vitesse moyen pour chaque ZI à partir d'un ensemble de champs instantanés de vecteurs calculés sur chaque couple d'images. Cela est possible car la caméra prend N couples d'images pour chaque ZI. N est choisi par l'utilisateur. b. Ensemencement La visualisation des plans lumineux dans l écoulement consiste à rendre visibles les particules de fluide tout en suivant le mouvement des traceurs injectés. Par conséquent, on ne mesure pas directement la vitesse de l écoulement mais plutôt celles des particules en suspension. Ces particules doivent satisfaire les critères suivants : Elles doivent être de petite taille de telle sorte à ne pas perturber l écoulement, et suffisamment grosses pour être observées, Elles doivent avoir une masse volumique proche du fluide utilisé afin d éviter la sédimentation, Elles doivent être des bons diffuseurs de la lumière à 90, Elles doivent être ensemencées d une façon homogène dans l écoulement de façon à avoir une concentration suffisante dans une zone d interrogation pour un calcul fiable des vecteurs vitesses [1]. c. Concentration des particules Plus on a de particules dans une zone d interrogation plus le rapport Signal / Bruit sera élevé. On estime qu il faut un minimum de particule n dans une ZI n 5 (Figure 10). Or [8].suggèrent que une concentration de 10 particules par fenêtre d interrogation est la valeur optimale. Figure 10: Fiabilité des mesures en fonction du nombre de particules dans la ZI.

13 13 d. Plan lumineux La génération d un plan lumineux monochromatique (densité d énergie élevée et sans abérations chromatiques) est réalisée à l aide d un LASER Nd-YAG (Neodymuim doped Yttrium Aluminiuim Garnet) de 150 mj. Dans notre cas le plan est pulsé.compte tenu des très faibles valeurs de Δt, un seul laser n'aurait pas le temps de se recharger pour produire les deux éclairs nécessaires. Le système laser est donc constitué de deux chambres ou cavités, d'un jeu de miroir projetant les deux faisceaux au même endroit ainsi que d'un dispositif produisant la nappe. e. Acquisition des images L acquisition des images des particules en mouvement dans le fluide se fait à l aide d une caméra équipée d un capteur CCD (Charge Coupled Device) à des instants différents. Cette caméra doit être assez rapide pour pouvoir capter les doublets successifs d images à deux instants successifs t et t+dt. Le Laser et la caméra sont généralement synchronisés dès le début des acquisitions et à chaque pulse du laser. Une fois les images sont capturées, elles seront enregistrées soit sur la mémoire interne de la caméra, soit sur une unité de stockage externe. f. Dimension de la ZI (L int ) Figure 11 : Acquisition des images. Le nombre de pixels de la caméra étant fini, plus on choisit une ZI grande, moins on aura de points de mesure de vitesse. Le choix de la dimension de L int est déjà contraint par sa relation précédente avec le décalage de temps et la nécessité d avoir suffisamment de particules dans la ZI. Les logiciels permettent le choix de L int en nombre de pixels de puissance de 2 qui s explique par l algorithme de la transformation de Fourrier rapide. Une zone de 16 x 16 pxls correspond à un minimum pour la validité du calcul. Il est généralement plus facile de faire des mesures sur des ZI de 32 x 32 ou même 64 x 64. Une fois que le système étudié est ensemencé, éclairé stroboscopiquement par un système double laser et que des prises de vues à deux instants successifs sont enregistrés par la caméra, il faut gérer et asservir le système. Pour cela on utilise le logiciel de la PIV. Il permet la gestion des différentes tâches : asservissement des différents instruments, acquisition, stockage et traitement des données acquises par la caméra. Ce logiciel permet de régler le temps entre les émissions des lasers de quelques microsecondes à quelques dizaines de millisecondes et de synchroniser la caméra avec le pas d échantillonnage choisi.

14 14 g. Méthode de Corrélation Une fois l acquisition des images est faite, on peut y commencer le découpage de chacune en des zones d interrogation (mailles) afin de remonter au calcul des vecteurs vitesses. On présente dans la suite les deux méthodes de corrélations relatives à l analyse des fenêtres d interrogation. - L autocorrélation : quand les deux expositions laser des particules se situent sur la même image (Figure 12 a). C est le cas quand on dispose d un simple appareil photo ou d une caméra non synchronisable avec les flashs laser. - L intercorrélation : «cross-correlation» en anglais, si on dispose d une paire d images avec chacune une exposition laser (Figure 12 b). Dans le cas d une autocorrélation, il existe toujours un pic principal trivial qui ne permet pas de détecter le pic secondaire pertinent lorsque le décalage spatial est trop petit. D où l impossibilité de détecter les très faibles déplacements. De plus la matrice est toujours centro-symétrique et il existe donc toujours une indétermination sur le signe du déplacement. Cette méthode demeure ainsi lourde d où le choix se fait souvent sur l intercorrélation. Figure 12: (a) Autocorrélation, (b) Intercorrélation. Le principe de l intercorrélation est présenté dans Figure 13: Figure 13: Intercorrélation [11]. D abord, deux images à l instant t et t +Δt sont divisées en fenêtres d interrogation. Leurs dimensions dépendent donc de l écoulement étudié et déterminent la résolution spatiale. Les algorithmes effectuent le calcul dans le domaine spectral à l aide de transformées de Fourier. Le déplacement spatial Δd est obtenu à partir de la position du pic principal de la fonction inter-corrélation, le second représentant le pic du bruit le plus intense. Connaissant Δt, il est alors possible de déterminer le vecteur vitesse.

15 15 h. Réglage temporel Le réglage temporel Δt entre les deux pulsations LASER disons entre deux prises successives de la caméra est un facteur de réglage très important pour les mesures adéquates. Il est le paramètre clé du traitement. Or, pour une faible valeur de Δt on ne voit pas les particules se déplacer, et pour une grande valeur les particules ne restent pas dans la zone d interrogation (Figure 14). Figure 14: Acquisition des images. Afin de limiter le nombre de paires incomplètes entre les deux images, il est nécessaire de limiter le déplacement des particules, Δd P,max, à 1/4 de la dimension de la zone d interrogation, L int : Δd, < L 4 Δt < L 4U, (5) où U P,max est la vitesse maximum des particules dans le plan du laser. D autre part, une autre contrainte pour le décalage temporel est l existence d une composante de vitesse normale au plan étudié. Cette composante tend à faire sortir les particules du plan d illumination et cause ainsi des paires incomplètes. Afin de limiter cet effet, il est nécessaire de limiter le déplacement normal au plan P, ΔZ P,max, à 1/4 de l épaisseur du plan laser, e : ΔZ, < e 4 Δt < e 4W, (6) où W P,max est la vitesse maximum des particules dans la direction normale au plan du laser. i. Temps entre deux couples d images T T doit être un nombre entier de fois l intervalle entre deux impulsions (cavité de f Hz).Ainsi le minimum possible pour la fréquence d acquisition des champs de vitesse est de f Hz, d où une valeur T max = 1/f (s). j. Recouvrement Le principe de recouvrement des fenêtres d interrogation sert principalement à tenir compte des particules qui entrent ou sortent d une fenêtre entre les instants t et t+δt. En effet, on peut montrer que, lorsque le nombre de particules sortant (ou entrant) entre les deux images augmente, le rapport Signal/Bruit décroît et la détection de la bonne vitesse est de plus en plus difficile. Ainsi, par le recouvrement on récupère l information perdue de

16 16 la zone d interrogation (ZI) et on augmente le nombre de points de mesure. Figure 15 schématise un recouvrement de 50 %. k. Incertitudes: Avec Figure 15 : Principe de recouvrement des zones d interrogation. v = x t v v = x x + t t (7) et les incertitudes relatives respectivement sur le déplacement et sur le temps. Les principales erreurs de la PIV autre que celles liés aux traceurs, sont présentées dans cette section sous formes de trois catégories. o Erreur de troncature : La différence entre le mouvement discret mesuré et le déplacement réel au sens lagrangien introduit une erreur que l on dit de troncature. Dans le cas d une corrélation croisée sans décalage de fenêtre, celleci est proportionnelle à Δt [10]. Un moyen de réduire cette erreur pour un Δt donné (ou d augmenter Δt sans dégrader cette erreur),consiste à opérer à un décalage de fenêtres centré au point d où l on mesure la vitesse. L erreur de troncature est alors proportionnelle à Δt 2 [9]. o Erreur de détection : l erreur de détection est quantifiable par le nombre de calculs de corrélation donnant des vecteurs de déplacement aberrants c est-àdire quand le pic détecté ne correspond pas au déplacement moyen réel des particules dans cette zone. Les principales causes de ces calculs faux sont un ensemencement insuffisant, la présence de forts gradients et d importants écoulements transverses. Ces trois effets tendent à limiter le nombre de particules par fenêtre d interrogation et donc de réduire le rapport signal sur bruit. Entre les deux pulses LASER, il peut y avoir des pertes de particules à la fois dans le plan et hors du plan (on note respectivement 1-F I et 1- F O ces fractions de particules).en notant N I la densité de particules [1]. montrent qu il est préférable d avoir N I F I F O > 7 pour limiter les erreurs potentielles. Notons que l utilisation de décalage de fenêtres permet de maintenir F I proche de l unité. o Erreur RMS et l erreur de biais : L erreur RMS (ou précision) est affectée par de nombreux facteur: nombre fini d échantillons, taille finie de fenêtre d interrogation, ensemencement ou éclairage non homogène, gradients de vitesse importants, forte composante 3D, sensibilité et bruit de la caméra, etc [7]. Cependant, l erreur de biais représente la sensibilité de la mesure à la partie

17 17 non entière de pixel de déplacement. Les biais sont nombreux et souvent difficilement quantifiables. On supposera donc qu ils doublent la précision. k. Problèmes particuliers - Cas d une composante de vitesse majoritaire Si l écoulement possède une vitesse moyenne importante dans une direction (ce qui est notre cas ), la précision sur les fluctuations de vitesse est très limitée par le faible Δt qui doit être utilisé. Afin de récupérer toute la précision possible il est nécessaire d appliquer un offset constant offset=u moy. Δt et adapté comme l indique Figure 16 ci-contre : Figure 16: Déplacement de la ZI. Le déplacement mesurable redevient alors d=offset±¼ L int - Cas d une vitesse normale W importante : C'est le problème envisagé dans notre cas. C est certainement le cas le plus difficile d utilisation du système PIV. On décale le deuxième flash laser (d une distance égale à W. Δt) de manière à essayer de suivre les particules dans leur mouvement normal au plan de mesure.(figure 17). Mais il faut alors connaître parfaitement W et que sa valeur soit constante sur toute l image. Or dans notre cas W est variable sur toute l'image (résultats ultérieurs) donc on ne peut pas appliqué cette méthode. Figure 17: Décalage du deuxième flash laser. Notre projet consiste sur l étude de l écoulement dans un canal courbe. La méthode de PIV ainsi expliquée est utilisée pour calculer le champ de vitesse dans la section débouchant sur les orifices d injection du canal. Une étude numérique précède cette mesure expérimentale afin d étudier les divers propriétés hydrodynamiques de cet écoulement.

18 18 I. SIMULATION NUMERIQUE I.1 Modélisation sous GAMBIT Il s agit d étudier l écoulement dans le système échangeur multi-jets à refroidissement d un disque tournant en contact avec une plaque en verre (Figure 18). Le système multi-jet est constitué d un canal courbe circulaire à section semi-circulaire muni d un ensemble d orifices inclinés qui ciblent la zone à refroidir. La géométrie considérée est un canal courbe (carter) de section rectangulaire de longueur L=2,6 cm et de largeur l=1,23 cm. L entrée du fluide se fait par une zone représentée par l intersection entre un cylindre de diamètre D=1,48 cm et une ellipse, le diamètre du tube étant d=1,23 cm et son rayon de courbure est R c =9,3 cm.la sortie se fait au niveau de vingt cinq trous de diamètre d t =2,5 mm qui sont placés régulièrement (espacés de 8 ) le long du canal suivant une inclinaison de 45. y (a) z x (b) (c) Figure 18: Différentes vues de la géométrie : (a) du dessus, (b) en 3D et (c) en face. Dans cette étude, nous avons utilisé l outil CFD (Computational Fluid Dynamic) afin de résoudre les équations de Navier-Stockes et de continuité qui régissent l écoulement du fluide incompressible en régime permanent.

19 19 I.2 Méthode numérique Le code numérique utilisé est le CFD FLUENT, basé sur une approche Eulérienne pour la résolution des équations de Cauchy. La discrétisation du problème est réalisée par la méthode des volumes finis à mailles centrées. Le schéma numérique adopté est un schéma implicite à double précision et de second ordre de type Upwind [13]. En utilisant l approche découplée, les équations régissant le mouvement sont résolues séquentiellement. Pour obtenir une précision du second ordre, les quantités situées sur les faces des mailles sont calculées en utilisant une approche linéaire multidimensionnelle [3]. Le couplage pression-vitesse est calculé par l algorithme SIMPLEC. I.3 Modèle de turbulence Le code numérique FLUENT 6.3 est basé sur l approche des volumes finis pour résoudre les équations de Navier-Stockes. Parmi les différents modèles de turbulence, le modèle k-ε réalisable est utilisé dans nos calculs (k=energie cinétique de turbulence et ε le taux de dissipation de turbulence k=0.5 (u 2 +v 2 +w 2 )et ε= k 3/2 /L, avec L une échelle de longueur et V i est la vitesse fluctuante). I.4 Conditions aux limites - Conditions d entrées Dans la zone d entrée, un profil de vitesse turbulente établie dans un canal droit a été imposé. Le débit d'entrée est de 3,8 m 3 /h. La viscosité cinématique de l'eau à 20 C est de 1, m 2 /s 2.La vitesse de l écoulement à l entrée du tube est : V 3.8 Q m / s. 2 S ( ) 4 (8) L écoulement étant turbulent du fait que le nombre de Reynolds calculé est : VD Re Re critique (9) L énergie cinétique de turbulence et son taux de dissipation sont employés pour spécifier les conditions de turbulence à l entrée de l écoulement. - Conditions de sortie L'écoulement sort à la pression atmosphérique (pression relative = 0 Pa). - Conditions à la paroi Des conditions de non glissement, d'adiabaticité et d imperméabilité ont été appliquées sur toutes les frontières solides.

20 20 I.5 Maillage et raffinement Pour déterminer la densité adéquate du maillage, nous avons conduit une série de simulations portant sur la géométrie imposée. L'étude de sensibilité du maillage consiste à doter d'un maillage initial faiblement dense et de le resserrer graduellement jusqu'à ce qu aucun effet sur la qualité des résultats ne soit observé. Le maillage retenu sera celui qui présente une bonne qualité de résultats avec la densité la plus faible. Le choix des mailles non structurées, particulièrement présentes tout le long du tube, répond aux besoins de recouvrir efficacement le champ de l'écoulement sans avoir besoin à utiliser des mailles fortement distordues. Cela aide aussi à économiser des points par rapport aux maillages structurés avec une possibilité de raffiner le maillage sans en augmenter la taille. Un maillage hexaédrique et tétraédrique non structuré a été adopté pour cette simulation (Figure 19 et Figure 20). Le maillage a été raffiné au niveau des parois solides ainsi que dans les zones susceptibles d'être le siège de variations du gradient. La taille des mailles augmente graduellement depuis la paroi vers le centre d'écoulement. Ce raffinement est nécessaire pour résoudre correctement les variations des champs de vitesse et de turbulence dans ces régions. Figure 19: Section des orifices d injection : Maillage densifié dans le traitement de la zone pariétale du jet avec un raffinement adaptatif dans la section jet.

21 21 Figure 20: Maillage tétraédrique densifé à l entrée raffinement remarquable aux bords. I.6 Résultats et interprétation: y z x y=0 Figure 21:Repère x,y,z. I.6.1 Structure de l'écoulement dans le canal en vue globale I Pression absolue et vitesse Pour analyser la structure de l écoulement dans le canal, on considère la présence d une force centrifuge causée par la courbure et agissante sur le fluide en circulation avec une force d aspiration due à la présence des orifices. Le fluide entre avec une vitesse de 6.14m/s, les lignes de courants sont presque droites, au fur à mesure que l écoulement se développe dans le canal sa vitesse diminue jusqu à s annuler à la fin. En effet, la vitesse diminue car le débit diminue à fur et à mesure de l'avancement dû aux injections dans les

22 22 orifices (Figure 22 a ). Les lignes de courant commencent à dévier avec la courbure, contrairement au profil de pression où, à l entrée, on observe (Figure 22 b) une pression de Pa et de l autre côté vers le dernier trou un maximum de Pa. Ce qui apparait tout à fait évident puisque la pression et la vitesse agissent d une manière inversement proportionnelle. Dans les zones de confinement où les sections sont fermés devant la circulation du fluide la vitesse est nulle et la pression est maximale. Les valeurs de la pression et vitesse dans chaque section entre chaque 2 orifices sont calculées dans une section ultérieure ( I.6.5.1). (a) (b) Figure 22:a) Vitesse dans la section y=1, b) Pression absolue dans la section y=1. I Energie cinétique turbulente E = avec u',v' et w' les vitesses fluctuantes. (10) Les parois du canal principal sont supposés adiabatiques, l énergie cinétique turbulente qualifiant les fluctuations de vitesse de l écoulement atteint son maximum (1,6 m 2 /s 2 )dans la section proche de l entrée où la vitesse est maximale à proximité de la couche limite le long de la courbure. Cela paraît clair sur Figure 23 prise dans la section y=1. Ce maximum d énergie cinétique turbulente est interprété par le fait que le fluide arrivant à grande vitesse dans la section d entrée, il sera affecté par la courbure brusque du canal et induira donc des fluctuations de vitesses importantes. L énergie cinétique sera donc également importante.

23 23 Figure 23:Energie cinétique turbulente dans la section y=1. I Lignes de courant L'aspect de l'écoulement peut être décrit de la manière suivante: Les lignes de courant sont bien développées à l entrée (Figure 24 a), et on remarque une division de l écoulement principal en 2 écoulements secondaires à l arrivée à la partie courbe du canal au niveau d un point de bifurcation (Figure 24 b). (a) (b) Figure 24:a) Ligne de courant en vue globale, b) Point de bifurcation. On a alors séparation de l'écoulement en 2 écoulements tourbillonnaires.on observe le trajet de l'eau tout au long du carter suivant 2 tourbillons haut et bas tournant dans 2 sens contraires l'un de l'autre. (Figure 26).

24 24 Une recirculation apparait dans le sens opposé à l'écoulement initial observée au niveau de la zone des deux premiers orifices: Cellules de Dean (voir l'introduction 1 b Ecoulement de Dean). L'écoulement tend à reculer au lieu d'avancer (Figure 25). Figure 25:Recirculation. Ceci se manifeste par les sens de rotation des 2 tourbillons haut et bas différents de ceux des autres orifices (Figure 26): Figure 26:Séparation du courant en 2 tourbillons. Pour les orifices1 et 2, le tourbillon haut tourne dans le sens des aiguilles d'une montre et celui du bas tourne dans le sens trigonométrique alors qu'il en est le contraire pour les autres orifices. Détachement des lignes de courant de la paroi au-delà de l orifice 10 vers le centre du carter (Figure 27): Les lignes de flux sont affectées par la force de pression plutôt que de la force centrifuge.

25 25 Figure 27:Détachement de la paroi. A la fin, on a rebondissement en amont et création d une recirculation pour arroser les orifices 23,24 et 25 (Figure 28): Figure 28:Rebondissement pour arroser les derniers orifices. I.6.2 Structure de l'écoulement dans les orifices I Débit (Figure 29) montre la distribution du débit dans les différents orifices. A partir du cinquième orifice,le débit est presque établi (égal dans tous les orifices).en moyenne ce débit est égal à 0,151 m 3 /h. Le débit total obtenu par la somme des débits calculés pour tous les trous est égale à 3.78 m 3 /h. Par suite l erreur relative de calcul sera : e valeurréelle valeurapprochée %. 3.8 valeurréelle (11)

26 26 0,159 Débit (m 3 /h) 0,156 0,153 0,150 0,147 0,144 0,141 0,138 0,135 0,132 Débit par orifice Orifice I Vitesse et lignes de courant Figure 29:Distribution du débit dans les orifices. La distribution de la vitesse et des lignes de courant dans tous les orifices sont presque similaires (Figure 30). (a) (b) Figure 30:Vitesse et lignes de courant a) Orifice 1, b) Orifice 25. En effet, la pression (Pression atmosphérique) et le débit à la sortie de chaque orifice sont presque les mêmes alors il en est de même pour la vitesse (Principe de la loi de Bernoulli entre l'entrée du carter et le sein de chaque orifice). L'écoulement est asymétrique. Cela est dû à l'inclinaison du jet (Voir l'introduction 1.d.ii Jet inclinévariation du nombre de Nusselt). Une déviation des lignes de courant est observée dans la section du trou et par suite le jet sera non centré. A cause du frottement du fluide sur la paroi du trou, une couche limite turbulente se développe. La vitesse suit la loi dans une couche limite. Elle est nulle à la paroi puis augmente atteint une valeur maximale de 12 m/s qui se trouve constante à partir d'une distance précise de la paroi (épaisseur de la couche limite). Sa valeur moyenne dans chaque orifice est de 8,87 m/s. Ainsi le nombre de Reynolds du jet dans les orifices est

27 27 Re = VD ʋ = = > Re = 2400 (12) I Pression Pression(Pa) Pression statique absolue(pa) Pression dynamique(pa) Pression totale absolue(pa) Orifice Figure 31:Distribution de pression à la sortie des orifices. Figure 31 montre la variation de la pression absolue statique P s, dynamique P d (0.5ρV ) et totale (P s + P d ) dans chaque orifice. La pression statique absolue est égale à la pression atmosphérique : 1 bar. D autre part, les vitesses aux sorties des trous sont presque proches à partir du cinquième trou ( 8,87 m/s) donc la masse volumique de l eau génère une pression dynamique presque constante le long du canal, du premier trou au dernier ( 0.4 bar ).La pression totale est donc 1+0.4=1,4 bar. I Energie cinétique turbulente Avec l'augmentation de la vitesse dans la couche limite, l énergie cinétique turbulente augmente. Elle est maximale aux bords de cette couche de cisaillement(14 m 2 /s 2 ), là où la vitesse est maximale. Au fur à mesure qu on s éloigne de cette couche, une chute d énergie sera remarquée du fait du faible gradient de vitesse dans cette région. Ceci est similaire pour tous les orifices ( Figure 32). (a) (b) Figure 32:Energie cinétique turbulente a) Orifice 1, b) Orifice 25

28 28. I.6.3 Structure de l'écoulement dans les sections débouchantes sur les orifices I Lignes de courant On en distingue 3 distributions (Similarité de distribution par groupe d'orifices): - Orifices 1 et 2: (Figure 33) On voit clairement les 2 tourbillons haut et bas de recirculation. (a) (b) Figure 33:Lignes de courant dans les sections débouchantes sur les orifices a) Orifice 1, b) Orifice 2. - Orifices 3 à 15: (Figure 34) On voit clairement les 2 tourbillons haut et bas de l'écoulement initial.

29 Figure 34:Lignes de courant dans les sections débouchantes sur les orifices 3 à

30 30 - Orifices 16 à 25: (Figure 35) On remarque plus ou moins une perte de la turbulence, les lignes de courant découlant d'un tourbillon descendent parallèlement les unes aux autres pour arroser les orifices. En plus, on remarque bien le changement de sens de rotation des tourbillons de l'orifice 25 par rapport aux orifices de 3 à 22 causé par les recirculations déjà décrites dans Figure 28. I Pression Figure 35:Lignes de courant dans les sections débouchantes sur les orifices 16 à 25. La distribution de la pression absolue statique est la même pour toutes les sections débouchantes sur les orifices. Elle diminue à fur et à mesure de la descente dans l'orifice (Figure 36): Passant d'une valeur de Pa (sauf pour l'orifice 1 elle est égale à Pa), elle diminue jusqu'à Pa à l'entrée de l'orifice puis jusqu'à Pa à sa sortie (Pression atmosphérique). Ainsi elle est maximale à l'amont de l'écoulement du jet (Voir l'introduction 1.d.i Variation de la pression). Puisque les distributions sont les mêmes pour tous les orifices, on se contente de montrer celles des orifices 1,5,10,15,20 et 25. Les

31 31 valeurs détaillées de la pression à l'entrée de chaque orifice et entre 2 orifices sont données dans une section ultérieure ( I Tableau 2). Figure 36:Pression dans les sections débouchantes sur les orifices 1,5,10,15,20 et 25. I Vorticité Puisque l'aspect de l'écoulement est similaire pour chaque groupe d'orifice, il en est de même pour la distribution de la vorticité. On en distingue 5 distributions selon les groupes (Figure 37): Orifices 1 et 2; 3 à 12; 13 à 15; 16 à 24 et 25.

32 32

33 33 Figure 37:Vorticité dans les sections débouchantes sur les groupes d'orifices selon la similarité dans chaque groupe. Cependant de façon commune, elle atteint une valeur de s -1 dans les zones d'apparition des tourbillons et le virage des lignes de courant et elle est nulle dans la zone de lignes de courant parallèles non tournantes. En effet, la vorticité est reliée à la quantité de vitesse angulaire ou de rotation que subit un fluide localement. I Vitesse totale De façon commune, la vitesse est faible à l'endroit des 2 tourbillons bas et haut car il y a tendance à tourner et quitter l'orifice au lieu d'y descendre et pénétrer. Elle est maximale dans les zones de descente des lignes de courant.

34 34 On distingue 6 distributions de vitesse: - Orifices 1 et 2: (Figure 38) La vitesse est répartie suivant une échelle de 0 à 3,6 m/s. La partie dominante sont les vitesse de 3 à 3,6 m/s. Figure 38:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 1et 2. - Orifices 3 à 6: (Figure 39) La vitesse est répartie suivant une échelle de 0 à 3,6 m/s. La partie dominante sont les vitesses de 3 et 3,6 m/s. Figure 39:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 3 à 6.

35 35 - Orifices 7 à 10: (Figure 40) La vitesse diminue par rapport aux orifices précédents (échelle de 0 à 2,6 m/s avec dominance des vitesses de 2,5 et 3 m/s) ce qui est bien en accord avec le principe de diminution de vitesse tout au long du canal. Figure 40:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 7 à Orifices 11 à 13: (Figure 41) Diminution davantage de vitesse (échelle de 0 à 2,4 m/s avec dominance des vitesses de 2 m/s). Figure 41:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 11 à Orifices 14 à 20: (Figure 42) Diminution davantage de vitesse (dominance des vitesses de 0,5 à 1,5 m/s).

36 36 Figure 42:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 14 à Orifices 21 à 25: (Figure 43) Diminution davantage de vitesse (dominance des vitesses de 0 à 0,9 m/s). Figure 43:Vitesse totale dans les sections débouchantes sur les orifices 21 à 25. I Vitesse radiale (suivant x) De façon commune, le signe de la vitesse dépend du sens du tourbillon. Il est positif si le sens est trigonométrique et négatif s'il n' est pas. Les valeurs de vitesse radiale sont faibles (échelle de -0,6 à 0,4 m/s) car l'écoulement principal est suivant l'axe des z. On distingue 5 distributions de vitesse: - Orifices 1 et 2: (Figure 44) La vitesse est répartie suivant une échelle de -0,6 à 0,4 m/s. On a diversité de valeurs de vitesse. La partie dominante sont les vitesses de 0,2 m/s.

37 37 Figure 44:Vitesse radiale dans les sections débouchantes sur les orifices 1 et 2 - Orifices 3 à 10: (Figure 45) La vitesse est répartie suivant une échelle de -0,6 à 0,4 m/s. On a diversité de valeurs de vitesse. La partie dominante sont les vitesses de 0,2 m/s. Figure 45:Vitesse radiale dans les sections débouchantes sur les orifices 3 à 10.

38 38 - Orifices 11 à 15: (Figure 46) La diversité de valeurs de vitesse diminue. La dominance des vitesses de 0,2 m/s est plus importante que celle des orifices précédents ). Figure 46:Vitesse radiale dans les sections débouchantes sur les orifices 11 à Orifices 16 à 20: (Figure 47) Diminution de vitesse et dominance de la vitesse nulle car les lignes de courant sont parallèles descendantes donc la vitesse est suivant y. Figure 47:Vitesse radiale dans les sections débouchantes sur les orifices 16 à Orifices 21 à 25: (Figure 48) Augmentation de la vitesse radiale puisqu'il y a recirculation et virage des lignes de courant ce qui fait que la vitesse tend à être bi et tridimensionnelle. On observe une dominance des vitesse de 0,2 m/s. Des vitesses nulles correspondent aux zones de lignes de courant parallèles descendantes.

39 39 Figure 48:Vitesse radiale dans les sections débouchantes sur les orifices 21 à 25. I Vitesse tangentielle (suivant y) De façon commune, il y a dominance de vitesses négatives puisque l'écoulement qui vient arroser les orifices est descendant. Les vitesses positives apparaissent à l'endroit des tourbillons où il y a tendance à quitter l'orifice pour suivre l'écoulement initial. La vitesse y est plus élevée par rapport aux autres zones. Les valeurs de vitesse tangentielle sont plus grandes que celle radiale et suivent l'échelle de -1à 0,4 m/s. On distingue 6distributions de vitesse: - Orifices 1 et 2: (Figure 49) La vitesse est répartie suivant une échelle de -1 à 0,4 m/s. La partie dominante sont les vitesses de -0,4 et -0,2 m/s. Figure 49:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 1 et 2. - Orifices 3 à 5: (Figure 50) La vitesse diminue par rapport aux orifices précédents (échelle de -1 à 0,2 m/s avec dominance des vitesses de -0,2 et 0 m/s et trace de vitesses de 0,4 m/s).

40 40 Figure 50:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 3 à 5. - Orifices 6 à 10: (Figure 51) Dominance des vitesses de -0,2 m/s et trace de vitesses de 0,4 m/s. Figure 51:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 6 à Orifices 11 à 14: (Figure 52) Dominance des vitesses de -0,2 m/s et trace de vitesses de 0,4 m/s.

41 41 Figure 52:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 11 à Orifices 15 à 18: (Figure 53) Dominance des vitesses de -0,2 m/s et disparition des vitesses de 0,4 m/s. Figure 53:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 15 à Orifices 19 à 25: (Figure 54) Dominance des vitesses de -0,2 m/s et disparition des vitesses de 0,4 m/s.

42 42 Figure 54:Vitesse tangentielle dans les sections débouchantes sur les orifices 19 à 25. I Vitesse axiale (suivant z) De façon commune, il y a dominance de vitesses négatives puisque l'écoulement initial parcourt le carter suivant -z. Les vitesses positives apparaissent à l'endroit des tourbillons de recirculation. Les valeurs de vitesse axiale sont plus grandes que celle radiale et tangentielle puisque l'écoulement initial est suivant z. Elles suivent l'échelle de -5à 1,5 m/s. Elles sont faibles et presque nulles dans les zones où les lignes de courant sont descendantes dans l'orifice. On distingue 6 distributions de vitesse: Orifices 1 et 2: (Figure 55) Des valeurs positives (0 à 1,5 m/s) apparaissent due à la recirculation. Figure 55:Vitesse axiale dans les sections débouchantes sur les orifices 1et 2. Orifices 3 à 5: (Figure 56) Les valeurs sont toutes négatives (absence d'une recirculation) (échelle de -4 à -0,5 m/s avec dominance des vitesses de -2 m/s).

43 43 Figure 56:Vitesse axiale dans les sections débouchantes sur les orifices 3 à 5. Orifices 6 à 9: (Figure 57) Petite zone de -3 m/s et dominance des vitesses de -2 et - 1,5 m/s. Figure 57:Vitesse axiale dans les sections débouchantes sur les orifices 6 à 9. Orifices 10 à 19: (Figure 58) Diminution légère de vitesse axiale et dominance des vitesses de -2,5 et -2 m/s.