Intégration et probabilités ENS Paris, TD9 Variables aléatoires, fonctions caractéristiques. Corrigé :

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1 Inégraion e probabiliés ENS Paris, 0-03 TD9 Variables aléaoires, foncions caracérisiques Corrigé 0 Peie quesion. Calculer la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié x x <?. Quelle es la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié cosx/πx?. On calcule, en inégran par paries pour 0 : x x < e ix dx = R 0 xcosxdx = cos. Pour = 0, la première inégrale vau normal, c es une densié de probabilié!.. D après le cours, si µ es une mesure de probabiliés don la foncion caracérisique µ es inégrable par rappor à la mesure de Lebesgue λ, alors µ es absolumen coninue par rappor à λ, e sa densié es donnée λ-p.p. par x µe ix d. π R On en dédui que pour presque ou x R : x x < = π d cos R e ix. Les deux membres éan des foncions coninues en x, on a l égalié pour ou x R. En faisan le changemen de variable x = x, il s ensui que la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié cosx/πx es x x x <. Lois de variables aléaoires Exercice. Soien X, Y e Z des variables aléaoires réelles définies sur un espace de probabilié Ω,A,P.. On suppose que X = Y p.s. Monrer que X e Y on la même loi. Monrer que la réciproque es fausse. Pour des quesions, demande de précisions ou explicaions, n hésiez pas à m envoyer un mail à igor.korchemski@ens.fr, ou bien à venir me voir au bureau V4.

2 . On suppose que X e Y on la même loi. a Soi f : R R une foncion borélienne. Monrer que les variables aléaoires f X e f Y on la même loi. b Monrer que les variables aléaoires XZ e Y Z n on pas nécessairemen la même loi.. Si X = Y p.s. alors pour oue foncion borélienne f : R R + : Ef X = f XωPdω = f XωPdω = Ef Y. Ω Ω Pour la deuxième égalié, on a uilisé le fai que l inégrale de deux foncions presque parou égales es la même. Ceci monre que X e Y on la même loi. La réciproque es fausse. Considérons une variable aléaoire X de loi normale N 0, c es-àdire de densié π e x / par rappor à la mesure de Lebesgue. Posons Y = X. Alors Y es une variable aléaoire X de loi normale N 0,. En effe soi g : R R + une foncion borélienne. Alors EgY = + g xe x / dx = + gxe x / dx. Donc X e Y on la même loi mais ne son pas égales p.s en effe PX = Y = PX = 0 = 0 car X es une variable aléaoire à densié.. a Pour oue foncion borélienne g : R R +, la foncion g f es borélienne. Comme X e Y on la même loi, on a Eg f X = Eg f Y, ce qui monre que f X e f Y on la même loi. b On reprend les variables X e Y de la quesion. Soi Z = X. Alors XZ = X e Y Z = X. La loi de X es une mesure de probabilié sur R + différene de la mesure de Dirac δ 0 e la loi de X es une mesure de probabilié sur R donc XZ e Y Z n on pas la même loi. Exercice. Simulaion de variables aléaoires. Soien X une variable aléaoire réelle définie sur un espace de probabilié Ω,A,P e F sa foncion de répariion définie par F = PX pour R.. Si F es coninue e sricemen croissane, e si U es une variable uniforme sur [0,], quelle es la loi de la variable aléaoire F U?. Dans le cas général on défini F, l inverse coninu à droie de F par, Quelle es la loi de la variable aléaoire F U? F u = inf{x R : Fx > u}. 3. Soi U une variable aléaoire de loi uniforme sur [0,], e X la variable aléaoire définie par X = p lnu. Déerminer la loi de X.. Soi R. On a {F U } = {U F}. Donc PF U = PU F = F. Or la foncion de répariion d une variable aléaoire caracérise sa loi. Ainsi F U a la même loi que X.

3 . Soi R. On a {F U } = n {U < F + /n}. Donc PF U = P n { U < F + n} = lim P U < F + = lim F + = F, n n n n la dernière égalié éan une conséquence de la coninuié à droie de F. 3. La foncion de répariion d une variable exponenielle de paramère p es Fx = e px pour x 0. Ainsi, F u = ln u/p. Ainsi, ln U/p sui la loi exponenielle de paramère p. Comme U e U on même loi, ceci perme de dire que ln U/p sui la loi exponenielle de paramère p. Remarque. Une aure possibilié es de calculer E [ F p lnu] pour oue foncion mesurable F : R + R + en uilisan la formule du changemen de variable cf TD précéden. Exercice 3. Variables exponenielles. On di qu une variable aléaoire réelle posiive vérifie la propriéé d absence de mémoire si pour ous s, > 0, PX > + s = PX > PX > s. Trouver oues les variables aléaoires réelle posiives X qui vérifien la propriéé d absence de mémoire.. Soi X une variable aléaoire exponenielle. Calculer la loi de la variable aléaoire X, où x désigne la parie enière de x.. Si X es exponenielle de paramère λ alors PX > = λe λx dx = e λ, e la propriéé d absence de mémoire es vérifiée. Si X = 0 p.s. cee propriéé es égalemen vérifiée. Réciproquemen, si PX > s = 0 pour ou s > 0, alors X = 0 p.s. On peu donc supposer qu il exise s > 0 el que PX > s > 0. La propriéé d absence de mémoire implique alors que PX > > 0 pour ou > 0 e que la foncion G : logpx > es addiive. De plus, G = log F X es coninue à droie, donc G es linéaire on aurai pu aussi invoquer la décroissance en de PX >. E G 0. Donc il exise λ 0 el que G = λ pour ou > 0, e donc X es exponenielle de paramère λ.. On pose N = X. On a PN = k = PX [k,k + [ = k+ ce qui signifie que N sui la loi géomérique de paramère e λ. k λe λx dx = e λk e λk+ = e λ e λk, Foncions caracérisiques Noaion. Si X es une variable aléaoire réelle, on noera φ X sa foncion caracérisique, définie par φ X = E [ e ix] pour R. Exercice 4. 3

4 . Calculer les foncions générarices des lois suivanes : a Bernoulli de paramère p [0,]. b Binomiale de paramères n, p, avec n N, p [0, ]. c Géomérique de paramère p ]0,[. d Poisson de paramère λ > 0.. Calculer les foncions caracérisiques des lois suivanes : a Exponenielle de paramère θ > 0. b Uniforme sur [0,].. Soi s [0,]. On a a Gs = p + ps, b Gs = p + ps n, c Gs = p sp, d Gs = exp λ s.. Soi R. On a a φ = θ θ i, b φ = expi. i Exercice 5. Soi X une variable aléaoire réelle.. On suppose que X adme un momen d ordre n N. Monrer que φ X es de classe C n e que pour ou enier k n, on a R, φ k X = ik E [ X k expix ]. En pariculier : φ k X 0 = ik E [ X k]. On suppose que φ X es fois dérivable en 0. Monrer que X adme un momen d ordre e que E[X ] = φ X 0. Indicaion. On pourra considérer φ X+φ X. 3. Soi k enier. On suppose que φ X es k fois dérivable en 0. Monrer que X adme des momens jusqu à l ordre k/ ici x es la parie enière de x donnés par. 4. Faire l exercice 8.. Ceci provien immédiaemen du héorème de dérivaion sous le signe inégral en uilisan la dominaion i k X k expix X k L pour k n. 4

5 . La foncion φ X éan deux fois dérivable en 0, la formule de Taylor-Young garani un développemen limié à l ordre : On en dédui que : φ X = + φ X 0 + φ X 0 + o. φ lim X + φ X 0 = φ 0. Or φ X + φ X = Reφ X = E[cosX]. Il s ensui par que [ ] cosx lime = 0 φ X 0. Or cosx 0. Le lemme de Faou fourni donc : [ ] cosx E[X ] = E liminf 0 liminf E 0 [ ] cosx La quesion. perme de conclure que E[X ] = φ X Raisonner par récurrence en adapan la preuve de la quesion précédene. = φ X 0 <. 4. L exercice 8 monre qu en général il n es pas vrai que X adme un momen d ordre lorsque φ X es dérivable en 0. 4 Complémens hors TD Exercice 7. Soi F la foncion de répariion d une mesure de probabliié µ elle que Fx {0,} pour ou x D, où D es un ensemble dense de R. Monrer que µ es une mesure de Dirac. Par coninuié à droie de F on a Fx {0,} pour ou R. On pose a = inf{x R : Fx = }. Comme Fx quand x + on a a < +. De même a >. Par coninuié à droie de F, on a Fx = [a,+ [, e donc F es la foncion de répariion de δ a. Exercice 8. Soi X une variable aléaoire réelle de loi P X = k Z a kδ k symérique càd a k = a k e elle que k 0 ka k =. Le momen d ordre de X es-il fini? Trouver une suie a k k elle que φ X soi dérivable en 0. Comparer avec l exercice 5. On calcule aisémen E[ X ] = ka k = +. D aure par : k>0 φ X = a 0 + a k cosk. k= 5

6 Choisissons a 0 = a = a = 0 e pour k : c a k = a k = k lnk, où c = k lnk de sore que : 0 φ X = c k= k= k cosk. lnk On vérifie ensuie que cee quanié end vers 0 lorsque 0 en décomposan cee dernière somme suivan que k / ou k < /. Tou d abord : cosk k lnk ln k ln x dx = 0. / ln 0 k / k / Ensuie, en uilisan l inégalié cosx x pour x R : k</ cosk k lnk k</ / lnk / ln +, lnx dx. Une inégraion par paries donne y [ lnx dx = x lnx ] y + y lnx dx. Mais lorsque x, /lnx = o/ lnx e donc lorsque y : y [ ] y lnx dx = x y + o lnx lnx dx de sore que Il s ensui que / lnx dx / lnx dx 0 0 Ceci achève de démonrer que φ X / 0 lorsque 0. ln 0. Exercice 9. Problème des momens On considère la foncion f : R + R : lnx f x = sinπ lnx x π exp. Calculer R+ xk f xdx pour ou k N. Que peu-on dire des v.a. X e Y de densié respecives lnx x π exp lnx e + sinπ lnx x π exp? 6

7 Soi n 0. La foncion x x n sinπ lnx variable u = lnx aboui à lnx I = sinπ lnx 0 x π exp x π exp lnx es inégrable sur R+, e le changemen de + u dx = exp + nu sinπu du. π En remarquan que u / + nu = /u n/ + n /, le changemen de variable v = u n/ donne + v I = Cse. sinπv exp dv = 0. Ainsi pour α [ ;] les momens des lois K + α sinπ lnx x π exp lnx avec K = lnx 0 x π exp dx son égaux sans que ces lois ne soien égales. Exercice 0. Pouvoir paranormal moyen On considère l expérience de divinaion suivane. On dispose d un jeu de 5 cares disinces, d un manipulaeur e d un devin. Le devin ne peu à aucun momen voir le jeu ou le manipulaeur, e doi deviner quelle es la care se rouvan sur le dessus du paque. Il annonce donc une care au hasard, e le manipulaeur reourne silencieusemen les cares les unes après les aures jusqu à omber sur la care annoncée par le devin. Après quoi ce dernier doi deviner la care qui sui. Il annonce une care au hasard parmi les 5 resanes, e le manipulaeur coninue de reourner les cares à parir de l endroi où il s éai arrêé. Ainsi de suie jusqu à ce que ou le paque soi reourné.. Donner un espace de probabilié correspondan à cee expérience.. Monrer que si X es une variable aléaoire à valeurs dans N alors EX = PX k. k 3. Combien de cares en moyenne le devin rouvera--il?. Supposons que les cares dans le paque soien numéroées de à 5. Le devin annonce les cares dans un aure ordre, c es à dire qu il annonce une permuaion de {,...,5}. On se place donc sur S 5,P S 5,P = #/5!.. Cee formule es l équivalen discre du résula de l exercice quesion du Td6. On a EX = k PX = k = k PX k PX k + k k N N+ = lim kpx k k PK k = N k= PX k. k k= 7

8 3. Le nombre de cares que le devin rouvera es E l on a pour k 5 PX k = j <...<j k 5 X = max{k : ω < ω <... < ωk}. P{ω : ω = j,...,ωk = j k } = j <...<j k 5 5 k! 5! = k!. Ainsi, il rouvera en moyenne cares. 5 EX = k! e k= Fin 8