MECANISMES MODELISES

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1 MEANISMES MODELISES Les évaluatons de sûreté relatves aux nstallatons de stockage de déchets radoactfs en couche géologque profonde nécesstent la compréhenson et la modélsaton d une part des systèmes hydrogéologques gouvernant les écoulements souterrans et d autre part des mécansmes de transfert des radonuclédes à travers la roche hôte et les dfférents matéraux de remplssage d une nstallaton. Les modèles d écoulements souterrans consttuent la base des calculs des transferts des radonuclédes depus les nstallatons de stockage usqu aux exutores des systèmes hydrogéologques. Les échelles de modélsaton condusent à s ntéresser aux mécansmes de l écoulement et du transfert des radonuclédes au nveau macroscopque. ONEPT DE BASE La plupart des roches et des sols contennent naturellement un certan pourcentage de vde, qu peut être occupé par de l eau ou des polluants : c est ce qu on appelle la porosté. La porosté est consttuée par les espaces lbres qu exstent entre les grans de la roche ou par les fssures ou mcro fssures. Pour caractérser la porosté d un mleu géologque, l convent de défnr un volume élémentare représentatf (VER) dont la talle permet de détermner une valeur moyenne de la porosté telle que les effets dus à la varaton de la talle des pores soent néglgeables. La talle du volume représentatf dot également garantr que les varatons des paramètres d un volume à un autre peuvent être approchées par des fonctons contnues et correspondre aux échelles de mesure des nstruments de relevé des valeurs des paramètres. Le concept du VER permet de représenter le domane géologque par un mleu poreux équvalent pour lequel les proprétés physques du mleu sont approchées par des grandeurs moyennes tradusant, à l échelle du VER, les hétérogénétés du mleu géologque. MEANISMES D EOULEMENT Equaton de contnuté en mleu poreux On applque au mleu poreux contnu équvalent l équaton de contnuté (ou blan des masses d eau) qu consste à écrre l égalté entre le blan des flux de masse d eau à travers les surfaces d un volume élémentare représentatf et la varaton dans le temps de la masse d eau dans ce volume. L ntégrale sur la surface est transformée par la formule d Ostrogradsky en ntégrale sur le volume délmté par cette surface. On peut écrre l équaton de contnuté en y aoutant un terme dû aux apports externes. dv( ρ u ) + ( ρω) + ρ q = (1)

2 avec : ρ : masse volumque de l eau (kg.m -3 ); ω : porosté totale du mleu ; u : vtesse de l eau (m.an -1 ); q : terme d apport externe, flux volumque par unté de volume du mleu poreux (m 3 /m 3 /an) harge hydraulque - Lo de DARY Une partcule flude anmée d une vtesse u, à une presson p et stuée à l alttude z, est caractérsée par sa charge h qu est égale à son énerge par unté de masse. 2 u p h = g ρg Le premer terme correspond à l énerge cnétque, les deux autres à l énerge potentelle. Pour les écoulements souterrans, l énerge cnétque peut être néglgée car les vtesses de crculaton sont touours très fables. L équaton (2) se ramène alors à : p h = + z ρ (3) g La vtesse de fltraton est donnée par la lo de Darcy qu établt le rapport entre la vtesse et la dfférence de hauteur d eau par mètre lnéare du mleu poreux traversé par l écoulement, appelé gradent hydraulque et qu est égal au gradent de la charge hydraulque défne précédemment. z (2) u = K grad h (4) Le coeffcent K est appelé conductvté hydraulque et caractérse l apttude du mleu à lasser crculer l eau sous un gradent de charge donné. La vtesse de fltraton est appelée vtesse de Darcy. Equaton générale de l écoulement Les équatons (1) et (4) permettent d écrre l équaton générale de l écoulement.

3 avec h dv( K grad h) = Ss + q (5) S s : coeffcent d emmagasnement spécfque des nappes captves qu caractérse l apttude du mleu à stocker l eau (m -1 ), q : débt d eau nectée ou prélevée par m 3 de mleu (m 3 /m 3 /an) TRANSFERTS DES RADIONULEIDES Généraltés hypothèses Les transferts de radonuclédes en soluton concernent d'une part les éléments qu sont nclus dans des combnasons chmques formant des sels solubles dans l'eau, d'autre part des sels dts "nsolubles" qu peuvent cependant être transportés en soluton à l'état de traces. Tous ces éléments transportés sont dts "en soluton" dans la mesure où ls ne consttuent pas une phase moble dfférente de la phase flude (l'eau du mleu naturel). Quand des éléments en soluton sont transportés par un flude en mouvement, on défnt la concentraton de chacune des substances en soluton par unté de volume du flude (appelée "concentraton volumque"). Le code MELODIE tent compte des mécansmes de convecton, dsperson et dffuson du radonucléde, ans que des nteractons physco-chmques avec le mleu, de la décrossance et de la flaton radoactves. Mécansmes Mgraton de substances non réactves Les mécansmes de mgraton sans nteractons entre les substances transportées et le mleu se résument à tros prncpaux phénomènes : Advecton est le phénomène par lequel les éléments dssous sont transportés par le mouvement de l eau. L équaton qu le régt est obtenue en effectuant le blan de masse de l élément étudé. Le flux volumque de l élément à travers la surface d un volume élémentare est obtenu en multplant la vtesse de Darcy par la concentraton volumque de l élément et la varaton de la masse de l élément contenue dans le volume élémentare en multplant la quantté d eau en mouvement de ce volume (représentée par la porosté cnématque) par la varaton de la concentraton volumque de l élément consdéré. dv( u) = ωc (6)

4 Dffuson e phénomène concerne l agtaton moléculare et est tradut par la lo de FIK qu exprme la proportonnalté entre le flux volumque d un élément dssout dans l eau au repos et le gradent de concentraton de cet élément. La proportonnalté est exprmée par le coeffcent sotropque de dffuson moléculare d. Le blan de masse des flux de l élément dssout permet d écrre : dv( d Dsperson cnématque grad ) = Le trosème phénomène tent compte de l hétérogénété des vtesses mcroscopques de l eau dans le mleu poreux qu ne sont pas unformes dans le sens de l écoulement. Il entraîne une propagaton plus rapde des substances transportées au vosnage de l axe des pores qu, couplée au phénomène de dffuson, produt un étalement des éléments transportés dans le sens de l écoulement. Par alleurs, les dfférences de longueur de chemn relant un pore à un autre créent des dfférences de vtesse moyenne de l eau. es dfférentes longueurs de chemns traversés produsent une dluton de la concentraton de l élément plus ou mons grande qu amène à un étalement dans la drecton perpendculare à l écoulement. La dsperson cnématque modélse ce phénomène et est tradute par une lo smlare à la lo de FIK mas dont le coeffcent de proportonnalté est foncton de la vtesse de Darcy. e coeffcent D est un tenseur et est exprmé dans ses drectons prncpales d ansotrope, la premère dans le sens de l écoulement, les deux autres perpendcularement à la premère : (7) D = α L α T α T u avec : D : tenseur de dsperson α L : coeffcent de dspersvté longtudnale dans le sens de l'écoulement (m), α T :coeffcent de dspersvté transversale perpendcularement à l'écoulement (m), L équaton de transport réunssant ces tros phénomènes s écrt :

5 dv avec : ' ( D + ω d ) grad u = ( ω ωc ) + ωc (8) ω : porosté totale du mleu ω c : porosté cnématque du mleu : concentraton volumque dans la phase moble de l eau (kg.m -3 ) ' : concentraton volumque dans la phase mmoble de l eau (kg.m -3 ) u : vtesse de fltraton (m.an -1 ) ette équaton peut être smplfée de la manère suvante : avec : ω ' : dv ( D + ω d ) grad u = ω' porosté cnématque dans le cas où la fracton d eau mmoble lée à la phase solde est supposée très peu envahe par les éléments transportés '=, porosté totale du mleu dans le cas nverse ' =. (9) Interactons physco-chmques La phase mmoble comprend essentellement la phase solde, mas également le lqude mmoble lé au solde par les forces d'attracton moléculare. La prse en compte des nteractons physco-chmques avec la phase solde se tradut par un terme supplémentare dans l'équaton de transport. Il s'exprme en masse de l'élément consdéré par unté de volume de mleu poreux et par unté de temps (kg.m -3.s -1 ). Les mécansmes physco-chmques modélsés se lmtent à l'adsorpton-désorpton de l élément transporté. La fxaton d'éléments en soluton sur les partcules mnérales se tradut par une quantté d'éléments lés à la phase solde. Le code MELODIE consdère une concentraton massque F, représentant la masse d'éléments adsorbés par unté de masse du solde. Le modèle est établ en supposant que : chaque radonucléde se déplace ndépendamment des autres ; les phénomènes d'nteracton entre radonuclédes sont néglgés,

6 la fxaton des radonuclédes en soluton sur la phase solde du mleu géologque se fat de manère réversble, nstantanée et sut une lo lnéare en foncton de la concentraton. Dans le cas d'un mleu poreux, la concentraton massque F s écrt : F = K (1) d où : F : concentraton massque adsorbée par unté de masse de la phase solde (kg/kg ), : concentraton volumque de l élément dans la phase lqude (kg.m -3 ), K 3 d : coeffcent de dstrbuton de l'élément consdéré (m.kg -1 ). Le coeffcent K d tradut la capacté d échange d ons de l élément avec la phase solde. La capacté d échange d ons d un élément dépend des autres éléments contenus dans la phase lqude, la capacté totale d échange d ons de la phase solde ne dépendant que de la température. Les fables quanttés d éléments transportés permettent de modélser le phénomène d adsorpton de chaque élément par un coeffcent ndépendant des autres. L'équaton (9) devent : dv ( D + ω d ) grad u = ω' R Dans cette équaton le terme R est appelé "coeffcent de retard" et tradut le phénomène d adsorpton. R est un coeffcent multplcateur de la porosté, qu modfe la vtesse apparente du déplacement et s écrt : R 1 ω 1 + ρ K s d ω ' ρ s : masse volumque du mleu (kg.m -3 ) = (12) Les autres nteractons géochmques entre les dfférents éléments radoactfs des déchets et l eau ne sont pas modélsées. En partculer la composton chmque de l eau et sa température, qu nfluent sur la solublté et la capacté de rétenton des éléments consdérés, ne sont pas prses en compte. Décrossance radoactve En l'absence de transport, la lo de décrossance radoactve s'écrt : (11)

7 = λ (13) λ : constante de décrossance radoactve (an -1 ), La décrossance radoactve fat "dsparaître", par unté de temps, la masse λ par unté de volume de la phase lqude. Pour ramener la décrossance radoactve à l'unté de volume du mleu poreux, l convent de la multpler par ω '. L'équaton (11) devent : dv ( D ω d ) grad u = ω' R + λrω' Flaton radoactve + (14) S un radonucléde dsparaît par décrossance radoactve, l engendre par flaton un nucléde dfférent. Un terme de l équaton de transport de l élément correspond à cette «producton» de l élément. S'l exste une concentraton F de l'élément dans la phase adsorbée, celle-c va se transformer en élément par flaton. Dans le cas d'une adsorpton lnéare et réversble pour l'élément et l'élément, l'équaton de transport de l'élément devent : dv ω' R avec : D + ω d ) grad u ( + λ R ω' λ R ω' = M M (15) λ, λ : constantes de décrossance radoactve des éléments et (an -1 ), M M : rapport des masses des éléments et ( ), R, R : "coeffcents de retard" des éléments et ( ),

8 METHODES DE DISRETISATION Les méthodes de dscrétsaton consstent à approcher la détermnaton des varables nconnues en tout pont et à tout nstant (problème contnu) par la détermnaton de ces varables en un nombre fn de ponts et d'nstants (problème dscret). Dans cet obectf le domane d'étude est subdvsé en un nombre fns d éléments dont les sommets (nœuds) sont les ponts où la valeur de la varable nconnue est calculée. A certans de ces nœuds, des condtons aux lmtes sont mposées pour modélser le relâchement des radonuclédes du dépôt dans la géosphère ou tenr compte de proprétés partculères aux frontères du domane. Les paramètres physques tels que : perméablté, porosté, coeffcent de dffuson et dspersvté sont consdérés comme constants sur chaque élément du mallage. Dfférentes méthodes de dscrétsaton ont été programmées dans le code MELODIE. L une concerne la méthode des éléments fns, largement utlsée pour la résoluton de problèmes parabolques qu permet une bonne résoluton du terme dffusf Mas cette dernère n est pas ben adaptée pour approcher le terme convectf (pour des problèmes convecton-dffuson, et plus partculèrement ceux à convecton domnante). Pour paller ces nsuffsances une autre méthode appelée FVFE «Fnte Volume Fnte Element» a été développée. Le terme de convecton est traté par une méthode de volume fn va un schéma de Godounov. Deux méthodes de constructon du mallage dual ont été mplantées, la méthode G ou la méthode M, en ognant respectvement les centres de gravté des faces trangulares des tétraèdres aux mleux des arrêtes et les ponts de concourt des médatrces des faces trangulares des tétraèdres aux mleux des arrêtes. Pour les deux méthodes des exgences au nveau du mallage et de la dscrétsaton temporelles dovent être respectées pour satsfare au prncpe du maxmum et donc à la stablté du schéma numérque. e prncpe garantt que la soluton «calculée» possède les bonnes proprétés de la soluton «réelle». Un schéma temporel de type sem-mplcte a été développé, le terme dffusf est résolu de manère mplcte. Le terme convectf est résolu suvant les cas de manère mplcte, explcte ou selon le schéma de ranck-ncholson en respectant de manère classque une condton FL pour garantr la stablté de résoluton moyennant des condtons d admssbltés de mallage.