Traction et compression simple A. Traction simple
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1 Chapitre 2 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Traction et compression simple A. Traction simple I. Définition : Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l'allonger ou si le torseur associé aux efforts de cohésion de la partie droite 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G barycentre de la section droite, à une résultante portée par la normale à cette section. = 2 /1 G coh N N G Avec N> G G II. Essai de traction : Il s agit de l essai de base pour l étude des matériaux. on principe est le suivant : on soumet une éprouvette normalisée à un effort d extension F croissant et on mesure l allongement L correspondant. La figure ci-dessous donne l allure du graphe obtenu pour un matériau homogène : l acier doux. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 1
2 La courbe obtenue F f L est appelée : courbe de traction ; elle est pratiquement indépendante des dimensions de référence de l éprouvette. Elle fait apparaître les zones : OA : zone linéaire : l éprouvette à une déformation élastique. L allongement est proportionnel à l effort appliqué. AB : palier ductile (n existe pas pour certains matériaux). BCD : zone des grandes déformations. L éprouvette à une déformation plastique ou permanente. L allongement n est plus proportionnel à l effort appliqué. En C : point de striction. En D : effort ultime (rupture). N.B : En RDM, on ne traite que la zone OA. III. Etude des déformations : Allongement : L = L - Lo Allongement relatif : L L e ; e % 1 L L Dans le domaine des déformations élastique (RDM) x e L L Il existe aussi des déformations dans le plan (déformations transversales) de la section droite tel que : y z Avec : Coefficient de poisson ( =,3 pour les métaux ferreux : les aciers). Remarque : Le signe (-) traduit le fait qu une extension ( L >) donnera une contraction ( D<) et qu inversement, une compression ( L <) donnera une dilatation ( D>). x x A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 2
3 IV. Etude des contraintes : Les efforts de cohésion se réduisent à une force N = F normale à la section N d Or lim ds dn d N F Remarque : σ : contrainte normale d extension en [N/mm 2 ] ; elle est répartie uniformément sur toute la section. σ V. Relation contrainte-déformation : loi de HOOKE La déformation est la réponse d'un matériau à une contrainte. x E x x F x E E F L E L E F L K L L L et x L E Avec K : L VI. Caractéristique mécanique d'un matériau : Rigidité Module d'élasticité longitudinal ou module de YOUNG : en traction On mesure L et F F E On calcule x On calcule E x et x L L Charge à la limite élastique Fe : La force maximale qu'on peut appliquer à l'éprouvette dans le domaine élastique. Il lui F correspond la valeur de σe ou Re. Avec Re : contrainte à la limite élastique e. Charge à la rupture Fr : A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 3
4 La force maximale que peut supporter l'éprouvette. Il lui correspond la valeur de σr ou F Rr. Avec Rr : contrainte de rupture r. Allongement relative A% : Lu L C est le rapport A% 1. Avec Lu : longueur de l éprouvette après rupture. L triction Z% : u C est le rapport Z% 1. Avec u : section de l éprouvette après rupture. VII. Condition de rigidité : Pour des raisons fonctionnelles (problème d'alignement d'appuis, cahier des charges...), il est parfois important de limiter l'allongement. Il doit rester inférieur à une valeur limite Llim. D'où la condition de rigidité ou de déformation : FL L Llim ou Llim E VIII. Condition de résistance : Pour des raisons de sécurité la contrainte doit rester inférieure à la limite élastique à l extension (résistance), en adoptant un coefficient de sécurité (s) on aura la contrainte Re pratique à l extension : σp ou Rpe tel que p Rpe. s D'où, la condition de résistance est : nom R pe F R pe IX. Concentration de contraintes : Pour les poutres présentant des variations brusques de section, la contrainte n'est plus uniforme, alors un phénomène de concentration de contrainte se produit au voisinage du changement de la section. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 4
5 Dans ce cas on définit une contrainte maximale tel que : max Kt nom Avec Kt : coefficient de concentration de contrainte est donné par des abaques (Voir annexes A). Exemple : Pour un filetage triangulaire IO Kt = 2,5 au fond des filets. max A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 5
6 B. Compression simple I. Définition : Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à la raccourcir ou si le torseur associé aux efforts de cohésion de la partie droite 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G barycentre de la section droite, à une résultante portée par la normale à cette section. = 2 /1 Avec N G coh G N G N G N.B : La compression pure, n est ni plus ni moins qu une extension négative donc tout ce qui a été dit pour l extension est valable pour la compression. II. Etude des contraintes : Elles sont normales à () et uniformément réparties dans cette dernière. La contrainte σ a pour valeur : N Avec N donc σ III. Etude des déformations : Dans le domaine élastique, les contraintes et les déformations sont proportionnelles. La loi de HOOKE est toujours valable dans le domaine élastique et on a : E N L Le raccourcissement L (mm) est : L ; N donc L E IV. Condition de résistance : A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 6
7 Pour des raisons de sécurité la contrainte normale doit rester inférieure à la résistance pratique à la compression Rpc, on définit Rpc par le rapport suivant : Avec Rec : résistance élastique à la compression (MPa). s : cœfficient de sécurité. Rec R pc. s D'où, la condition de résistance est : nom R pc N R pc Remarques : Les aciers doux et mi-durs ont la même résistance élastique Re en traction et en compression. Le béton et la fonte ont des résistances élastiques très différentes en traction et en compression, ainsi que tous les matériaux non homogènes et non isotropes. i le poids de la poutre verticale n est pas négligeable (câble d ascenseurs de grands immeubles, piles de ponts, cheminées d usine ), dans ce cas : La condition de résistance est : N P R pc Avec P : poids total de la poutre (N). V. Condition de rigidité : Pour des raisons fonctionnelles (problème d'alignement d'appuis, cahier des charges...), il est parfois important de limiter le raccourcissement. Il doit rester inférieur à une valeur limite Llim. D'où la condition de rigidité ou de déformation : N L L Llim ou Llim E VI. Concentration de contraintes : Pour les poutres présentant des variations brusques de section, la contrainte n'est plus uniforme, alors un phénomène de concentration de contrainte se produit au voisinage du changement de la section. Cette concentration de contrainte est peu dangereuse en compression ; elle est, en général, négligée. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 7
8 VII. Méthodes de calculs en traction-compression : Il existe deux méthodes de calculs en traction ou en compression. VII.1. Le calcul de vérification : Les efforts sont connus, l organe est bien déterminé (dimensions et matériaux connus) et on vérifie s il convient ou non? i cela n est pas le cas, on calcule de nouvelles dimensions, et /ou on change de matériau. VII.2. Le calcul de détermination : Les efforts sont connus (par exemple), le matériau est déterminé et on calcule les dimensions. Dans les deux cas, on peut faire soit un calcul de résistance (contraintes déterminantes), soit un calcul de déformation (déformations déterminantes) soit les deux types de calcul en même temps. Remarque : La compression dépend des dimensions de la poutre, tel que sa longueur doit vérifier : 3D L 8D sinon on a du flambement ou du matage. Organigramme du calcul de détermination : Calcul de résistance : on connaît : l effort N le matériau (R pe ou R pc) on connaît : l effort N les dimensions transversales nom R peou pc on connaît : le matériau les dimensions transversales R Calcul de déformation : L Llim on connaît : l effort N le matériau (module E) la longueur et L lim on connaît : l effort N les dimensions transversales la longueur et L lim on connaît : le matériau (module E) les dimensions transversales la longueur et L lim on calcule : les dimensions transversales N Rpe N R pe D où d ou b et h on calcule : R pe ou R pc puis R e ou R ec R pe N On choisit le matériau on calcule : L effort max qui peut supporter l organe N Rpe N R On N max pe détermine on calcule : les dimensions transversales N L E L N L E L lim lim on calcule : le module (E) N L E L lim On choisit le matériau on calcule : L effort max qui peut supporter l organe L N lim L On détermine N max E A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 8
9 Organigramme du calcul de vérification : A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 9
10 Exercices d application Exercice 1 : Dimension d un câble (Extrait du D Novembre 27) On se propose de soulever une poutre de longueur L = 6 m dont le poids est égal à N. Pour cela, on dispose symétriquement des sangles séparées d une distance a. Chaque sangle comporte un anneau sur lequel on ancre les crochets d une élingue formée de deux brins de câble de longueur l = 4 m chacun (figure 1). Le câble est constitué de 6 torons de 19 fils de diamètre d (diamètre d un fil) dont la résistance élastique à l extension est : Re = 8 MPa et d une âme textile dont on néglige la résistance mécanique (figure 2). Le coefficient de sécuruté pour les structures de levage est s=6. 1. Déterminer la tension du câble en fonction de P et? (En isolant la poutre) 2. Calculer la tension maximale T max du câble? 3. Calculer le diamètre minimal d d un fil? Exercice 2 : Vérification d un tirant. Un profilé IPN, sert de chemin de roulement pour un palan. Il est suspendu par 3 tirants de diamètre d=1mm et de longueur L=4mm. Ces tirants sont en acier de résistance élastique Re=24 MPa et de module d Young E=2.1 5 MPa. Le tirant le plus chargé supporte une charge verticale F=6 N. On adopte un coefficient de sécurité s = 8. Figure 3 : chemin de roulement pour un palan A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 1
11 1. Modéliser les efforts appliquer sur le tirant 1 et déterminer la nature de la sollicitation. 2. Vérifier que ce tirant peut supporter la charge F dans des conditions satisfaisantes de sécurité. 3. Vérifier que l allongement reste acceptable sachant que l allongement ne doit pas dépasser.5 mm. Exercice 3 : Détermination de l épaisseur d une joue de chaîne Galle. Une joue de chaîne Galle a les dimensions définies sur la figure 4. Elle est en acier dur de limite élastique Re= 6 MPa et supporte un effort d extension F=2.1 3 N. Le coefficient de sécurité s=4. On adopte, pour tenir compte du trou de diamètre 6 mm, un coefficient de concentration de contrainte Kt= Calculer l épaisseur e1 minimale au niveau de la section AB. 2. Calculer l épaisseur e2 minimale au niveau de la section CD. 3. Choisir une épaisseur e pour la joue de la chaîne. Figure 4 Exercice 4 : Détermination du diamètre d un câble. Un système de levage est représenté par la figure 5 (a) ci-dessous. Le moteur transmet le mouvement de rotation au tambour par l intermédiaire d un réducteur à engrenage. On se limite d étudier la résistance du câble et le montage crochet câble. 1. Caractéristiques du câble : Poids négligé. Limite élastique à la traction Re= 12 MPa. Module d Young E =2.15 MPa. La charge F = 14 N. a. Déterminer le diamètre minimal du câble sachant que le coefficient de sécurité est s=2. b. Déterminer l allongement absolu du câble. 2. Montage crochet - câble : (à faire au chapitre 3) Le crochet est assemblé au câble à l aide de deux plats réunis par des boulons (voir figure 5 (b). Les boulons en acier ont pour diamètre d = 7 mm et de résistance pratique au cisaillement Rpg = 7 MPa. A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 11
12 a. Calculer le nombre total des boulons nécessaire pour l assemblage? Figure 5 Exercice 5 : Une poutre de section circulaire de diamètre D chargée en compression par une force F. Calculer : 1. La contrainte de compression. 2. La déformation longitudinale et la variation de sa longueur. 3. La déformation transversale et la variation de son diamètre. On donne : F =1 3 N D = 1-2 m L = 1 m E = N/m 2 υ =.3. Exercice 6 : Une éprouvette cylindrique en aluminium de diamètre d=1 mm, de longueur l=1 mm est soumise à un effort de traction F=5 N. On observe un allongement Δl =.92 mm. La force à la limite élastique est Fe=195 kn. On adopte un coefficient de sécurité s = Calculer le module d Young E? 2. Déterminer la répartition des contraintes et la valeur maximale de la contrainte? 3. Calculer la résistance à la limite élastique? A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 12
13 4. Vérifier la condition de résistance et conclure? Exercice 7 : (Extrait du D Novembre 216) Une étude théorique nous a permis de déterminer l effort axial appliqué à la bielle d une pompe hydraulique. Cet effort est cyclique de période 2π est représenté sur la figure Effort axial (N) La bielle est formée par une tige cylindrique de diamètre D et de longueur L=4mm. Les caractéristiques mécaniques de l acier employé sont les suivantes : La limite élastique : Re = Reg= 3 MPa, Le module d Young : E = 21 MPa, Le coefficient de poisson = Figure 6 2 π On adopte un coefficient de sécurité s = Calculer le diamètre minimal D de la bielle? 2. Calculer le raccourcissement ΔL de la bielle dans la phase de compression? 3. Calculer l allongement ΔL de la bielle dans la phase de l extension? En déduire la déformation longitudinale εx et la déformation transversale εy? On suppose maintenant que la bielle présente aussi un trou de perçage. Le coefficient de concentration de contrainte est Kt= Calculer dans ce cas le diamètre minimal D de la bielle? A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 13
14 ANNEXE Coefficients de concentration des contraintes A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 14
15 Annexe A A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 15
16 uite Annexe A A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 16
17 Annexe B A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 17
18 Annexe C A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 18
19 A.U ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 19
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