CCP Maths 2 MP 2007 Énoncé 1/6 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées.

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1 CCP Mahs MP 007 Éocé /6 EPREUVE PECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUE Duée : 4 heues Les calculaces so auosées * * * NB : Le cadda aachea la lus gade moace à la claé, à la écso e à la cocso de la édaco u cadda es ameé à eée ce u eu lu semble êe ue eeu d éocé, l le sgalea su sa coe e deva ousuve sa comoso e exlua les asos des aves u l a éé ameé à ede Noaos * * * Goues d somées su \ Das ce suje, es u ee auel suéeu ou égal à e o oe : E l esace vecoel \ e e,, e sa base caoue! le odu scalae caoue su E : s x x x e,,, y y,, y so deux veceus de E, o a x, y! XY x y où X e Y so les maces coloes des veceus x e y das la base ( es doc ue base ohoomale ou!), $ ( E) la \-algèbe des edomohsmes de E GL( E), D le goue des auomohsmes de E M, \ le \-esace vecoel des maces à lges e ue coloe M \ la \-algèbe des maces caées éelles de alle GL \ le goue des maces vesbles de M \ ou ue mace A de M \, A es sa mace asosée O \ le goue des maces ohogoales, c es-à-de des maces A de M \ véfa AA I où I es la mace ué de M \ Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf

2 CCP Mahs MP 007 Éocé /6 l esemble des maces syméues défes osves de maces A de \ véfa : ou oue mace, M \, c es-à-de des X M\ o ulle, XAX! 0 x, x,, x so des éels, o oe dag( x, x,, x ) la mace dagoale de M \ u adme ou coeffces dagoaux les éels x, x,, x das ce ode es u éel suéeu ou égal à, o oe s ¹ x x,, x E, x x O oe la ome fe su E : s f la ome su E : x x,, x E, x max x Ue ome N su E es de eucldee s l exse u odu scalae M su E el ue ou ou x E, N( x) M ( x, x) f dd Objecfs N es ue ome su E, o d u u edomohsme u$ ( E) es ue N-somée s ou ou x E, N u( x) N( x ) O oe Isom( N ) l esemble des N-somées L objecf du oblème es de déeme le ombe d élémes de Isom( N ) das le cas des omes eucldees us des omes I Desco des omes eucldees Ideé du aallélogamme a Moe ue s N es ue ome eucldee alos elle véfe l deé du aallélogamme, c es-à-de ou ous veceus x e y de E, o a N( x y) N( x y) ª N( x) N( y) º ¼ E dédue ue la ome es as eucldee f b Jusfe ue la ome es eucldee us moe ue ou z, la ome as eucldee o x x,, x e,, y y y so deux veceus de E, o oe X x # e Y x ¹ es y # les y ¹ maces coloes assocées Moe ue s l o ose x, y! XY, alos,! déf u odu scalae su E Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf

3 CCP Mahs MP 007 Éocé 3/6 3 o M u odu scalae su E e la mace de coeffces M ( e, ej) ous veceus x e y de E M ( x, y) XY e ue O a doc moé ue M!, Jusfe ue ou Toue ome eucldee eu doc s éce sous la fome N : x6 XX avec où X désge la mace coloe assocée à x II Quelues gééalés e exemles o N ue ome su E 4 Moe ue Isom( N), D es u sous-goue de GL( E ) 5 Ue caacésao géoméue des N-somées ( N) x E, N( x), la shèe ué ou N O oe ^ ` o u$ ( E) Moe ue u es ue N-somée s e seuleme s u6 ( N) 6 ( N) Le goue des N-somées es doc l esemble des edomohsmes lassa sable la N- shèe ué 6 Das cee ueso uueme e doc E \ O oe s la symée ohogoale a ao à la doe D Vec^e e` base caoue de \ e la oao vecoelle d agle 3 Les edomohsmes s e so-ls des -somées? où e e es la 3 7 Das cee ueso uueme 3 e doc E \ 3 ( xyz,, )\, o ose xyz (,, ) 3xy3z xz, ce u déf ue fome uadaue x a O oe X y, déeme ue mace syméue M\ 3( ), elle ue ¹ z xyz (,, ) XX b Déeme ue mace P O\ 3( ) e ue mace dagoale D M\ 3( ) elles ue PD P c Jusfe alos ue l alcao N : ( x, yz, ) 6 xyz (,, ) es ue ome eucldee su 3 \ d Déeme la aue géoméue de la uadue ( N ), la shèe ué ou la ome N e e doe ue éuao smle das ue ouvelle base e Jusfe ue ( ) es ue suface de évoluo, écse u veceu u dge so axe N f Dédue de la ueso 5, a ue cosdéao géoméue, ue Isom d élémes, N a ue fé Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf

4 CCP Mahs MP 007 Éocé 4/6 III Éude de Isom(N) losue N es ue ome eucldee u ( E) $, o oe u la mace de u das la base ^ N es ue ome, o oe IOM N u, u Isom( N ) L esemble IOM N es a cosuco u goue somohe à Isom N, c es «sa veso macelle» 8 Caacésao macelle des somées eucldees a o, N la ome eucldee assocée e!, le odu scalae assocé o u$ ( E) Moe ue u es ue N -somée s e seuleme s ou ous veceus x e y de E, o a ux ( ), uy ( )! xy,! b E dédue ue u es ue N -somée s e seuleme s sa mace A das véfe AA 9 Recoaîe alos IOM Que eu-o de du ombe d élémes de Jusfe voe éose ` IOM? 0 Ue alcao des olyômes eolaeus \ [ X ] désge le \ -esace vecoel des olyômes à coeffces éels de degé féeu ou égal à O se doe éels x0 x x O cosdèe l alcao léae u de \ [ X ] ves \ défe a P6 P x0, P x,, P x a Déeme le oyau de u E dédue ue ou ous éels y0, y,, y, l exse u uue olyôme L de [ X ] 0,,, L( x ) y (u el olyôme es \ el ue ou ou ^ ` aelé olyôme eolaeu) b Alcao : so u ee auel o ul e u,, u des éels sceme osfs, o ose U dag( u,, u ) e V dag( u,, u ) Moe u l exse u olyôme L, à coeffces éels, el ue V L( U ) Race caée das a o Déeme ue mace A elle ue ue ace caée de b o B ( ) coeffces éels, el ue A Q( B ) E dédue ue A e B commue A O d ue A es \ ue aue ace caée de Moe u l exse u olyôme Q, à c Moe ue la somme de deux maces syméues défes osves es ue mace vesble AB A B ) d Dédue des uesos écédees ue A B (o oua calcule Désomas, o oe l uue ace caée das de Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf

5 CCP Mahs MP 007 Éocé 5/6 Éude du goue d somée ou ue ome eucldee o N ue ome eucldee Il exse doc ue mace elle ue ou ou x E, N( x) N ( x) XX où X es le veceu coloe assocée à x a Moe ue s M O\ ( ), la mace ( ) M aae à IOM N b Moe ue l alcao \ de O ( \) das IOM es ue bjeco Le goue d somée d ue ome eucldee es-l f? N défe a M6 M IV Éude du cadal de Isom() Das cee ae es u éel sceme suéeu à, o aelle exosa cojugué de l uue éel el ue Pou allége l écue, ue -somée désge ue somée ou la ome e o oe Isom( ) le goue des -somées u$ ( E), u * désge l adjo de u ou!, O aelle ue u* $ ( E), es caacésé a l égalé suvae : ou ou 3 Edomohsmes de emuao sgée x, y E, u( x), y! x, u*( y)! ( désge le goue des emuaos de l esemble ^ ` o V ( e H H,, H ^, ` O oe, ou ^,,, ` u ( e) H e, VH, V( ) a Moe ue u V, H es ue -somée,,, u V H l edomohsme de E u véfe ou b Éce la mace de u V, H das la base caoue das le cas où 4, H,,, 3 4 V e 3 4 ¹ 4 Iégalé de Holdë a Moe ue ou ous éels a e b osfs ou uls, o a ab d a b O oua ulse la foco logahme éée b E dédue ue ou ous veceus x e y de E, o a x, y!d x y Ce ésula s aelle l égalé de Holdë (o oua d abod démoe l égalé losue x y ) c Que deve l égalé s? Das oue la sue, u désge ue -somée O oe a j les coeffces de la mace A > u@ 5 Moe ue ou ou j ^,,, `, a j E dédue la valeu de aj j Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf

6 CCP Mahs MP 007 Éocé 6/6 6 Ue fomule clé de dualé o x E O oe ^, z E z ` 6 a Jusfe l exsece du éel max x, y! y b Jusfe ue max x, y!d x y ; s x z 0, o ose y H x x o ^,,, ` x 0, o ose 0 y O déf as u veceu où H désge le sge de x e s y y,, y Moe ue x, y! x us moe l égalé suvae : x max xy,! 7 E dédue ue s u es ue -somée, u * es ue -somée Doe alos, e jusfa, la valeu de a j j 8 O suose de lus ue z a oe D, D,, ou ou k ^,,, `, k D des éels das 0, véfa y Dk Dk Moe avec so ue k k D e ed u u ombe f de valeus à déeme b E dédue ue ou ou e j das ^,,, `, a j e eu ede ue valeus dfféees ue l o écsea (o aelle ue les a j so les coeffces de la mace d ue -somée) 9 Cocluso Moe alos ue losue z, Isom( ) es u goue f do o déemea le cadal O emauea e acule ue ce cadal es déeda de Commeae : Les -somées ou z so seuleme e ombe f, coaeme aux somées eucldees u fome u goue f mas comac (as ès dffcle à moe) u \, la géomée eucldee es doc lus che ue celle des omes ou z F de l éocé Téléchagé gaueme su wwwdoc-olusf