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1 GUILLAUME VIDALAIN MODÉLISATION DES PHÉNOMÈNES CONVECTIFS LORS DU CHANGEMENT DE PHASE SOLIDE-LIQUIDE PAR UTILISATION DE L'ÉQUATION DE DIFFUSION DE LA CHALEUR ET D'UNE FORME MODIFIÉE DE LA CONDUCTIVITÉ Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie mécanique pour l'obtention du grade de maître es sciences (M.Se.) DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2007 GUILLAUME VIDALAIN, 2007

2 Résumé Dans ce mémoire on s'intéresse à la modélisation du changement de phase solideliquide en convection naturelle et en convection forcée en utilisant l'équation de diffusion de la chaleur et une forme modifiée de la conductivité. Comme on ne cherche pas à résoudre le champ des vitesses, on intègre à l'intérieur de la conductivité modifiée les effets thermiques des mouvements convectifs, puis on résout l'équation de conduction en utilisant ces conductivités modifiées. L'objectif du mémoire est de prédire la position de l'interface solide-liquide en fonction du temps dans un processus de fusion ou de solidification en présence de convection, et ce avec un modèle conductif. Dans les deux cas types que nous avons traités, la valeur de la conductivité modifiée à utiliser dans le modèle conductif simplifié est d'abord estimée par une étude d'ordre de grandeur. Le premier cas type étudié est celui du changement de phase en présence de convection forcée se déroulant dans une conduite à paroi froide. On a réussi à développer une relation permettant d'obtenir la valeur de la conductivité modifiée directionnelle à utiliser dans le modèle conductif en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement ainsi que du facteur de forme de la conduite. Cette relation a montré de bons résultats en comparaison avec ceux issus d'un modèle numérique complet plus classique (CFD). Le deuxième cas type étudié est celui de la fusion d'un matériau sous l'effet de la convection naturelle à l'intérieur d'une enceinte. Nous avons réussi à paramétrer l'évolution des valeurs de conductivité modifiée à utiliser par notre modèle conductif, celles-ci sont fonction de l'avancement du front de fusion et du nombre de Nusselt. Cette modélisation est comparée à la fois avec les résultats fournis par un modèle numérique complet (CFD) mais aussi avec des résultats expérimentaux issus de la littérature. Ces comparaisons ont montré une bonne concordance entre notre modélisation et la réalité. ii

3 Abstract In this work we hâve developed an enhanced conduction model for predicting solid-liquid interface positions in convection-dominated phase-change processus. The flow field is not calculated and the effects of convection are taken into account via the modification of the material conductivity. Our objective is to obtain a good approximation of the solid-liquid interface évolution. It is shown that the enhanced thermal conductivity of the melt may be formulated in terms of directional thermal conductivity components and that their value may be correlated in terms of dimensional numbers obtained from an order of magnitude analysis. The proposed approach is then tested for two différent cases. The first test case is devoted to forced convection dominated solidification in a duct while the second test case is concerned with buoyancy dominated melting in an enclosure. The results of the simulations using our conduction model are then compared with a full CFD model and in the case of melting in an enclosure expérimental data, they show good agreements. iii

4 Remerciements Je désire exprimer mes remerciements à mon directeur de recherche Louis Gosselin pour ses précieux conseils et son soutien tout au long de cette recherche. Je tiens aussi à exprimer ma gratitude envers mes parents pour m'avoir encouragé dans cette aventure. L'idée original de ce présent mémoire revient au professeur Marcel Lacroix que je remercie également. Je tiens aussi à remercier Mario (Bo 202), camarade de promo des Arts & Métiers avec lequel j'ai effectué l'ensemble de ma maitrise, pour l'aide qu'il m'a apporté au cours de ces deux années passé au Québec, et d'une manière générale l'ensemble de mes camarades du LTTE de l'université Laval: Charles (grand chasseur d'orignal devant l'éternel), Marc (Bo 202), Yannick, Phil, Sabar (Ch 201) et Picier (Ch 201). La présente étude a été réalisée grâce aux bourses octroyées par la Région Champagne-Ardenne, la Région Ile de France, et le Centre Régional des Oeuvres Universitaires et Sociales de Reims en France (CROUS). IV

5 Table des matières Résumé Abstract Remerciements Table des matières Liste des figures Liste des tableaux Nomenclature ii iii iv v viii xi xii Chapitre I Introduction Problématique Revue bibliographique Objectif et organisation du mémoire 5 Chapitre II Présentation de deux problèmes (cas types) considérés Introduction Présentations des deux cas types étudiés Cas type 1 : Changement de phase dans une conduite Cas type 2 : Changement de phase dans une enceinte rectangulaire Modèle mathématique complet Hypothèses simplificatrices Équations de conservations Modèle numérique pour le modèle mathématique complet (CFD) Présentation du modèle conductif simplifié Conclusion 18 Chapitre III Simulation du changement de phase dans une conduite (cas type 1) avec modèle CFD complet Introduction Géométrie du système considéré Modèle mathématique complet : équations sans dimension Description du maillage et des paramètres de calcul Estimation du temps d'atteinte du régime permanent Étude de maillage Effet du maillage sur l'évaluation de la fraction liquide lors du changement de phase dans la conduite Effet du maillage sur l'évaluation de la position l'interface solide-liquide Conclusion 29 v

6 Chapitre IV Résolution du problème de changement de phase dans la conduite par modification de c p et de \i Introduction Modélisation du changement de phase par modification de l'évolution de c p (T) Resolution du problème de Stefan Solution de Neumann Modélisation numérique du changement de phase Résultats issus de la modélisation numérique Paramétrage de la viscosité pour bloquer les vitesses dans la partie solide Variation simultanée de c p et de p Recherche du bon intervalle Ap Conclusion 40 Chapitre V Modélisation du changement de phase sous convection forcée pour le cas type 1 par modification de la conductivité Introduction Définition du modèle à conductivité modifiée Équation de conservation de l'énergie modifiée Ordre de grandeur du rapport des conductivités totales Calcul des valeurs des conductivités convectives x et y à l'aide du modèle CFD complet Résultat et analyse Recherche des valeurs de conductivités modifiées Méthodologie employée Résultat et analyse Influence du facteur de forme de la conduite, variation du paramètre H/L Description des conduites utilisées Étude de maillage sur les conduites de rapport H/L : 0.3 et Résultats et analyse de l'étude des deux nouvelles géométries via l'utilisation du modèle CFD complet Évaluation de la conductivité modifiée à utiliser en fonction de la géométrie de la conduite Développement de relations analytiques reliant m et ê max à Re H et H/L Définitions des lois de comportement Précision requises sur les coefficients des régressions linéaires Validation des modèles de prédiction, équations (5.10) et (5.11) Étude de maillage sur les conduites de rapport H/L = 0,45 et 0, Résultats et comparaison avec les prédictions des lois de comportement Réajustement des coefficients issus des lois de comportements Régime transitoire Conclusion 63 vi

7 Chapitre VI Modélisation du changement de phase en présence de convection naturelle par modification de la conductivité pour le cas type Introduction Modélisation de la fusion via la modification de la conductivité Modification de l'équation de conduction Modification de la conductivité Présentation des «User-defined Functions» Choix du maillage et du pas de temps Résultats Inclusion d'une conductivité modifiée dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur de la conductivité modifiée dans la zone conductive Résultats issus des calculs faits avec le modèle conductif amélioré Modélisation de la fusion via l'utilisation d'un terme source de génération de chaleur Définition du terme source Mise en place du terme source Amélioration du modèle avec terme source par ajout d'un terme puits dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur du terme «puits de chaleur» Résultats Conclusion 87 Conclusion 88 Bibliographie 91 Annexe I 93 Annexe II 94 Annexe III 95 Annexe IV 98 vu

8 Liste des figures Figure 1.1: Plan en coupe d'un moule vue de dessus et de face. 2 Figure 2.1 : Vue en coupe de l'écoulement dans la conduite 9 Figure 2.2 : Forme des couches limites de vitesse et de température 9 Figure 2.3 : Forme de l'interface liquide-solide 10 Figure 2.4 : Vue en coupe de l'enceinte remplie de gallium 10 Figure 2.5 : Évolution de l'interface solide-liquide lors du changement de phase à l'intérieur de l'enceinte, a) régime conductif, b) régime mixte, c) régime purement convectif 11 Figure 3.1 : Géométrie du conduit étudié 21 Figure 3.2 : Schéma du maillage utilisé pour la conduite 23 Figure 3.3 : Évolution du flux de chaleur à la paroi froide, avec H/L = 0.6 et 160 nœuds par unités de longueur. 25 Figure 3.4 : Évolution de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage, Re L = 2000, H/L = Figure 3.5 : Position de l'interface vs Re L, 160x48, Re L = 2000, H/L = Figure 3.6 : Tracé de l'interface en fonction du maillage, ReL = 2000, H/L = Figure 4.1 : Schéma de l'enceinte 31 Figure 4.2 : Mise en équation du problème de Stefan par Neumann [7] 32 Figure 4.3 : Évolution de X(t) solution de Neumann 33 Figure 4.4 : Définition du c p (T) pour inclure la chaleur latente 34 Figure 4.5 : Comparaison de la position de l'interface solide-liquide X(t), modèle de Neumann et modèle à c p modifié. 36 Figure 4.6 : Modification de la chaleur spécifique et de la viscosité pour simuler le changement de phase et la couche solide à l'intérieur de la conduite. 38 Figure 4.7 : Positionnement de la couche solide vs Umoditïée / M-reeiie, H/L = Figure 5.1 : Définition des conductivités vs T 45 Figure 5.2 : Position de l'interface solide-liquide, modèle à conductivité modifiée paramétré avec le tableau 5.1 vs modèle CFD complet 46 Figure 5.3 : Paramètres mesurés sur le profil obtenu avec le modèle simplifiée 47 vin

9 Figure 5.4 : Évolution des valeurs de k m permettant d'approximer ê max, ê sorl j e, f, 49 Figure 5.5 : Profil des différentes conduites 50 Figure 5.6 : Évaluation de ê max, ê SO rtie et f en fonction de ReH et de H/L avec le modèle CFD complet. 52 Figure 5.7 : Valeur de k m à utiliser avec le modèle conductif en fonction de Ren et de H/L, selon trois critères. 53 Figure 5.8 : Comparaison des valeurs de m trouvées numériquement vs (5.10) 58 Figure 5.9 : Évolution de f, et de ê ma x en fonction du Re H 59 Figure 5.10: Définition de ao en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L 60 Figure 5.11: Définition de bo en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L 60 Figure 5.12: Définition de b_3 et de b4 en fonction de H/L 61 Figure 5.13 : Évolution de la fraction liquide moyenne modèle simplifié vs modèle CFD complet 63 Figure 6.1 : Bloc de gallium dans son enceinte 67 Figure 6.2 : Modification de la conductivité dans le modèle numérique 69 Figure 6.3 : Algorithme de résolution [13] 70 Figure 6.4 : Interfaces obtenue ave le modèle «k-modifiée - r i= 1.25» vs modèle CFD complet 72 Figure 6.5 : Évolution de la fraction liquide moyenne modèle à conductivité modifié vs CFD complet 73 Figure 6.6 : Évolution du taux de transfert de chaleur sur la paroi chaude modèle conductif simplifié vs modèle CFD complet 74 Figure 6.7 : Modélisation de la zone conductive de la phase liquide 75 Figure 6.8 : Évolution des fractions liquides, modèle simplifié (m) et modèle simplifié avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive (m et 112) vs [8]. 77 Figure 6.9 : Évolution du taux de transfert de chaleur à la paroi froide modèle simplifié amélioré avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive (ni et r 2) vs modèle CFD complet 77 IX

10 Figure 6.10 : Front de fusion du modèle conductif amélioré avec conductivité modifié dans la zone liquide conductive(r)i et 1^2) vs CFD complet 78 Figure 6.11 : Évolution interface modèle «S q '"-r 2 = 0.175» vs CFD complet 82 Figure 6.12 : Évolution des fractions liquides modèles sources vs [8] 83 Figure 6.13 : Représentation de la cavité carrée siège du terme «puits de chaleur» 84 Figure 6.14 : Interface modèle «S q - r 3 = r)4 = 0.175» vs CFD complet 85 Figure 6.15 : Évolution de la fraction liquide 86 Figure AIII.l : Définition des différents modèles de u(t) 96 Figure AIII.2 : Comparaison profils de couche solide vs Profil de référence 97 x

11 Liste des tableaux Tableau 3.1 : Conditions aux limites 21 Tableau 3.2 : Paramètres de calcul utilisés lors de l'étude de maillage 23 Tableau 3.3 : Valeur finale de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage et de Re L (H/L = 0.6). 27 Tableau 4.1 : Valeurs des AT, c p, mo difié et Àt utilisées 35 Tableau 5.1 : Valeurs des conductivités totales et modifiées vs Re L, H/L=0.6, obtenu par utilisation de la CFF. 44 Tableau 5.2 : Conditions aux limites 46 Tableau 5.3 : Influence du maillage sur l'évolution de la fraction liquide en régime permanent, avec modèle CFD complet (Ren =1150). 51 Tableau 5.4 : Étude de maillage, évolution de la valeur finale de f,, Re H = Tableau 7.1 : Temps de calcul des différents modèles 89 Tableau AIL 1 : Propriété thermodynamique du gallium 94 Tableau AIII.l : Temps de calcul pour les différents modèles 97 Tableau AIV.l : Corrélation sur les valeurs de m 98 Tableau AIV.2 : Corrélations sur les valeurs de ê max, ê sort i e, et de f, 99 XI

12 Nomenclature Lettres D distance, m H hauteur, m fi fraction liquide k conductivité thermique, W m" 1 K~' L longueur, m Pe nombre de Peclet Re nombre de Reynolds Pr nombre de Prandtl Nu nombre de Nusselt s position de l'interface solide-liquide S terme source Ste nombre de Stefan g accélération gravitationnelle, m 2 s" 1 t temps, s T température, K T m température de fusion du matériau, K q taux de transfert de chaleur par unité de longueur, W m" 1 u,v composante de vitesse, m s" U vitesse d'entrée, m s" 1 x,y coordonnées cartésiennes, m c p chaleur spécifique, J kg -1 K -1 Lettres grecques a diffusivité thermique, m 2 s -1 P coefficient d'expansion thermique, K' 1 À. chaleur latente, J kg -1 v viscosité cinématique, m 2 s" 1 xii

13 9 1 u viscosité dynamique, kg m s" p density, kg m" il, Ç,s coefficient algébrique constante \ solution analytique du problème de Stefan Indice oo x,y O s,l entrée référence à la direction référence au changement de phase référence à la phase liquide ou solide Exposant quantité sans dimension valeur moyenne xin

14 Chapitre I Introduction 1.1 Problématique Le changement de phase d'un matériau est une réaction physique que l'on rencontre en premier lieu dans la nature. Par exemple lors de la formation du gel sur les vitres et les routes en hiver, et de façon plus impressionnante lors des irruptions volcaniques ou de la fonte des glaces dans l'antarctique. De manière plus commune c'est aussi un phénomène que l'homme utilise pour donner forme à la matière, pour se chauffer ou se refroidir. En effet, il existe plusieurs procédés industriels où intervient le changement de phase d'un matériau : la métallurgie, la plasturgie, mais également les systèmes de stockage d'énergie par changement de phase. Pour prendre conscience du poids économique que représentent les industries utilisant ce phénomène, penchons-nous sur l'une d'entre elles: la métallurgie. Il faut savoir que l'industrie métallurgique représente 1.5% du PIB du Canada soit 14.4 milliard de US$ 11]. Au Canada, on a fondu 16.3 millions de tonnes (Mt) d'acier en 2004 [2], et plus de 2.4 Mt d'aluminium ont été produites au Québec soit 10% de la production mondiale. On peut donc dire que l'industrie métallurgique est un secteur économique important de la province qui se place au 4 eme rang des producteurs d'aluminium [3]. En raison du développement des pays émergeants (Asie du sud-est, Chine), ce secteur est promis à un bel avenir car la demande en matière première de ces pays est grandissante, et ne va pas fléchir dans les prochaines années [4,5]. Les techniques utilisées dans l'industrie, que ce soit pour l'obtention de matière première, ou lors de la coulée de pièce (par gravité ou par injection), nécessitent une bonne connaissance de l'évolution temporelle de l'état du matériau. C'est aussi une nécessité lors du design des systèmes de stockage ou de diffusion d'énergie, utilisant le changement de phase. 1

15 En effet, si nous prenons le cas de la fonderie, on sait que lors du processus d'obtention d'un matériau, qu'il s'agisse d'un alliage ou non, on crée un bain liquide dans lequel vont se mélanger les différents constituants. Dans le cas d'un four à arc ouvert sur le dessus, il va se former plusieurs interfaces solide-liquide : sur le dessus à cause du refroidissement par convection avec l'air ambiant, et sur les cotés en raison des pertes thermiques dans les parois. L'existence de ces interfaces n'est pas forcément nuisible. Dans le cas de la métallurgie, la couche de scorie en surface empêche la détérioration de certains alliages par l'air et la couche de solide se déposant sur les côtés empêche l'érosion des parois. Cependant il faut veiller à ce que le développement de cette couche ne soit pas trop important. Car si l'on perd en volume de métal liquide disponible, on perd également en rentabilité. Mais on ne s'intéresse pas seulement au développement de cette interface solideliquide lors de la phase d'obtention d'un alliage métallique. Ainsi lors de la coulée d'une pièce, si le matériau se refroidit trop lentement, il risque de bloquer les canaux d'alimentation et la pièce sera inutilisable. Et de la même manière, lors de l'injection dans des moules, si le tube n'est pas bien dimensionné, le matériau vient l'obstruer entraînant au mieux un arrêt de la production et au pire une mise hors-service de la machine. Enfin, les propriétés mécaniques de la pièce moulée peuvent être altérée si le refroidissement à l'intérieur du moule est trop rapide (déchirures, retassures, criques, porosités, etc.). ^ = ^ Canaux d'alimentation 4 Figure 1.1 : Plan en coupe d'un moule vue de dessus et de face. 2

16 Les entreprises évoluant dans un contexte compétitif à échelle mondiale, on comprend facilement que toute avancée des connaissances susceptible de leur donner un avantage concurrentiel soit prise en considération. De plus, dans le contexte énergétique actuel, les gains dus à des économies d'énergies apportés par des modifications de design et d'utilisation sont appréciables. Nous avons uniquement parlé du secteur sidérurgique jusqu'à présent, mais les domaines de la thermique ou de la climatisation ont aussi une place importante dans l'économie. Pour toutes ces raisons, avoir une bonne connaissance de l'évolution des phases liquides et solides d'un constituant dans un processus donné, permet des gains de rentabilité et des économies d'énergies. L'enjeu est d'obtenir des modèles de calculs valides et rapides. En effet, les modèles disponibles sont typiquement trop lents pour une gestion en temps réel de ces processus. 1.2 Revue bibliographique Depuis une vingtaine d'années, l'étude du phénomène de changement de phase d'un matériau sous l'effet de la convection a été le sujet d'un grand nombre de travaux. L'engouement pour l'étude de ces problèmes vient des nombreuses applications pratiques où le changement de phase peut être ensuite utilisé, principalement dans la métallurgie, et dans les systèmes de stockage d'énergie par chaleur latente. Bien que l'utilisation d'un modèle conductif utilisant des conductivités modifiées pour prendre en compte les effets de la convection ait déjà été utilisée, il y a très peu d'articles qui s'intéressent à leurs choix et à leurs descriptions. Dans ces conditions, dresser une revue bibliographique pertinente s'est révélé une tâche ardue. Pour revenir au commencement de l'étude de la solidification ou de la fusion, il nous faut faire un petit retour dans l'histoire. L'étude de l'évolution de l'interface solideliquide d'un mélange est un sujet qui a commencé par les études menées par Lame et Clapeyron en 1831 [6J. Mais se sont les travaux de Stefan sur la fonte des glaces en

17 qui ont donné son nom à ce type de problème où les conditions aux limites du système évoluent [7]. Neumann a alors développé une première solution analytique dans le cadre du corps semi-infini. Il a considéré le transfert de chaleur à l'intérieur des phases liquide et solide comme étant purement conductif. De plus, il a intégré l'absorption d'énergie due au changement de phase en imposant une condition à la frontière entre les deux phases. Le modèle de Neumann ne s'appliquant qu'à des coordonnées rectangulaires, Paterson a par la suite développé une méthode adaptant la solution de Stefan aux coordonnées cylindriques [7]. On constate que ces modèles analytiques ne prennent pas en compte la convection naturelle. Or, les travaux de Gau et Viskanta, sur la fusion du gallium dans une enceinte rectangulaire chauffée sur une paroi verticale, ont mis en exergue le rôle important joué par la convection naturelle sur la forme de l'interface et son évolution, mais aussi sur l'accroissement du taux de fusion qu'entraine la prise en compte de la convection naturelle par rapport au modèle de Neumann. En effet, on constate de 40 à 75 % de phase liquide en plus pour un même temps d'observation [8], Cependant, la prise en compte des phénomènes convectifs s'avère coûteuse en termes de temps de calcul lorsque l'on modélise numériquement ces processus. En effet, même dans le cas où l'on ne s'intéresse qu'à l'évolution de la position de l'interface solide-liquide, il faut quand même résoudre toutes les équations (conservation de la masse, quantité de mouvement, énergie). Or, ces problèmes sont fortement non linéaires, car le champ des vitesses dans la partie liquide définit le transfert de chaleur, et à cela se rajoute le problème des conditions aux limites qui varient à cause de l'évolution de l'interface solide-liquide. Comme le coefficient de transfert à cette interface est en général inconnu, l'équation couplée de l'énergie dans la partie solide et la partie liquide, ainsi que l'équation de la conservation de masse et de la quantité de mouvement doivent être résolues simultanément. Ainsi, même des problèmes à géométrie simple se révèlent complexes et très lents à simuler numériquement. C'est le cas par exemple lorsque l'on envisage de contrôler la température d'un four à haute température sur un intervalle de temps très long [9] ou de prédire le comportement thermique d'un système de stockage d'énergie par chaleur latente fonctionnant cycliquement [10]. Or, on se rend compte que bien souvent la connaissance du champ des vitesses nous est utile pour la résolution mais 4

18 ne nous intéresse pas par la suite. Une des solutions imaginée, pour gagner du temps lors de la résolution numérique, est d'abandonner le calcul des vitesses, et consiste à résoudre uniquement l'équation d'énergie en intégrant les effets convectifs via une modification de la conductivité [11]. Cela a déjà été employé pour prédire le comportement thermique des fours et ceux de systèmes de stockage d'énergie [10], mais la valeur de conductivité équivalente à utiliser doit être, en partie, déterminée expérimentalement. Hirata et Nishida se sont intéressés à la fusion d'un matériau à changement de phase (PCM) à l'intérieur d'un cylindre horizontal chaud [12]. Ils ont résolu ce problème en utilisant une conductivité équivalente dans la phase liquide du PCM. La valeur de cette conductivité équivalente a été fixée en fonction des résultats de la convection naturelle entre des cylindres concentriques horizontaux. Cette méthode a fourni de très bon résultat comparé aux résultats expérimentaux. Cependant, aucun de ces articles ne s'intéresse réellement aux calculs de la valeur de la conductivité modifiée la plus appropriée à leur étude. En effet, la plupart du temps il n'est jamais question de la méthode à utiliser afin de modifier correctement la variation de la conductivité. Celle-ci est souvent fixée empiriquement de manière à faire coïncider les données numériques et expérimentales. Dans notre étude nous allons montrer qu'il existe plusieurs corrélations de nombres adimensionnels obtenus à partir d'analyses d'ordre de grandeur, qui permettent d'évaluer l'augmentation de la conductivité. Nous étudierons successivement le cas où la convection forcée est dominante et ensuite celui de la convection naturelle. 1.3 Objectif et organisation du mémoire L'objectif principal de ce mémoire sera de trouver un modèle numérique simplifié (basé sur l'équation de l'énergie) permettant la résolution de problème de convection naturelle ou forcée. Notre modèle aura pour but de permettre une diminution du temps de 5

19 calcul, tout en fournissant des résultats acceptables en termes de positionnement de l'interface solide-liquide et d'estimation de la fraction liquide. Dans notre deuxième chapitre, nous étudierons deux systèmes où se produit un changement de phase : l'écoulement dans une conduite dont les parois sont froides, et la fusion d'un métal à l'intérieur d'une enceinte. Nous présenterons les différents modes de transfert de chaleur qui sont les vecteurs de la transformation pour ces deux exemples. Puis, nous définirons les modèles mathématiques permettant de résoudre ce type de problèmes. Les données expérimentales sont relativement peu nombreuses en ce qui concerne le changement de phase à l'intérieur de la conduite. Si nous voulons comparer les résultats de notre modèle à conductivité modifiée avec ceux données par un modèle numérique complet, il nous faut sélectionner et valider un modèle numérique complet de référence. Ce sera le travail présenté dans le troisième chapitre. Pour valider ce modèle de référence, nous effectuerons une étude de maillage en portant une attention particulière aux différentes quantités géométriques telles que l'épaisseur de notre couche solide, ou bien l'évolution de la fraction liquide. Dans le chapitre IV, nous développerons un premier modèle de changement de phase simplifiée, en modifiant l'évolution des paramètres thermodynamiques du fluide. Cela permettra, premièrement, de mieux comprendre le processus de solidification à l'intérieur de la conduite. Et deuxièmement, on pourra obtenir ainsi un ordre de grandeur des temps de calculs nécessaire à la résolution d'un problème de changement de phase effectué sans utilisation de la méthode enthalpique. Cela nous sera utile par la suite pour comparer la rapidité des différents modèles présentés dans le mémoire. Au chapitre V, on travaillera sur la modification de l'équation de la chaleur dans le cas de la convection forcée. On étudiera dans un premier temps l'ordre de grandeur de la conductivité. Puis dans un deuxième temps nous validerons cette étude en comparant 6

20 les résultats fournis par le modèle numérique proposé avec ceux utilisant la méthode enthalpique et le modèle fluide complet. Le chapitre VI nous permettra de faire l'étude d'un cas où la convection naturelle est dominante dans le processus de fusion. De la même manière qu'au chapitre V, nous commencerons par faire une étude de l'ordre de grandeur de la conductivité modifiée. Nous comparerons ensuite les résultats fournis par notre modèle avec ceux issus des travaux de [8] et [13]. Nous conclurons au chapitre VII en résumant les principaux résultats obtenus et en émettant des recommandations quand à la suite à donner à cet étude. 7

21 Chapitre II Présentation de deux problèmes (cas types) considérés 2.1 Introduction Nous l'avons vu dans l'introduction, les problèmes de changement de phase en présence de convection peuvent se traiter aujourd'hui correctement à l'aide, par exemple, de la CFD. Cependant, la résolution de ces problèmes nécessite un temps de calcul élevés même dans des situations où la géométrie est relativement simple. En effet, si aucune simplification n'est faite lors de la mise en équation du problème, on doit prendre en compte au minimum: la conservation de la masse, les équations de quantité de mouvement et l'équation d'énergie. De plus, les phénomènes tels que la turbulence ou les phénomènes électromagnétiques rendent les calculs encore plus complexes et longs. Le développement d'un modèle conductif simplifié de changement de phase a pour but, en réduisant le nombre d'équations, de diminuer le temps de résolution de problèmes semblables à ceux présentés dans ce chapitre. Dans ce chapitre, nous présenterons deux systèmes pour lequel le modèle simplifié sera mis à l'épreuve. Afin de quantifier la performance de ce modèle simplifié nous avons besoin d'un modèle de référence. Les modèles mathématiques et numériques de référence sont étudiés et le modèle simplifié est présenté succinctement. 2.2 Présentations des deux cas types étudiés Nous allons dans cette section, présenter les deux cas types que nous allons étudier. Le premier est celui du changement de phase dans une conduite en convection forcée, le second concerne la fusion d'un bloc de gallium dans une enceinte en convection naturelle. X

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