Modélisation des transports

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1 Modélisation des transports Cinzia Cirillo, Eric Cornelis & Philippe TOINT D.E.S. interuniversitaire en gestion des transports

2 Les Modèles de choix discrets Dr. CINZIA CIRILLO Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix (FUNDP) Groupe de Recherche sur les Transports(GRT) CIEM, Bruxelles p. 1

3 Modèles de choix discrets 1. Modèles désagrégés 2. Règles de décision 3. Formes de distribution 4. Modèles Logit CIEM, Bruxelles p. 2

4 Modèles de choix discrets Modèles désagrégés Règles de décision Formes de distribution Modèles Logit CIEM, Bruxelles p. 3

5 Un framework pour la theorie de choix Le choix peut etre considere comme le résultat d une sequence de decision, qui incluent les étapes suivantes : Definition du probleme de choix Generation des alternatives Evaluation des attributs Choix Implementation CIEM, Bruxelles p. 4

6 Remarque préliminaire Art de trouver un modèle approprié pour situation particulière grande familiarité avec la réalité étudiée grande compréhension de la méthodologie et du background théorique CIEM, Bruxelles p. 5

7 Modèles désagrégés demande = résultat de plusieurs décisions de chaque individu décision = choix entre un nombre FINI d alternatives Modèle hypothèses sur le décideur sur les alternatives sur les attributs sur les règles de décision CIEM, Bruxelles p. 6

8 Décideur Modèle désagrégé décideur = un individu Si décideur = ménage néglige ttes les interactions à l intérieur du ménage Il faut inclure les caractéristiques (ou attributs) des individus Rôle de l analyste : identifier celles qui sont pertinentes CIEM, Bruxelles p. 7

9 Alternatives alternative = un des choix possibles Analyser le choix connaître ce qui a été choisi mais aussi ce qui n a pas été choisi Hypothèses sur les alternatives considérées par le décideur avant de faire son choix ensemble de choix Ensemble discret 2 concepts : ensemble universel de choix : potentielles ttes les alternatives ensemble de choix réduit : sous-ensemble considéré par un individu CIEM, Bruxelles p. 8

10 Atributs caractéristiques des alternatives affectant le choix peuvent être génériques : communes à toutes les alternatives spécifiques à une alternative il peut y avoir des attributs qualitatifs pas toujours observables, peuvent être fonctions des données CIEM, Bruxelles p. 9

11 Modèles de choix discrets Modèles désagrégés Règles de décision Formes de distribution Modèles Logit CIEM, Bruxelles p. 10

12 Règles de décision règles modèles 3 théories théorie économique neoclassique modèle de Luce modèle d utilité aléatoire CIEM, Bruxelles p. 11

13 Théorie économique neoclassique chaque décideur est capable de comparer 2 alternatives a et b dans l ensemble de choix C en utilisant un opérateur de préférence indifférence Si a b, décideur préfère a à b ou est indifférent Propriétés de Réflexivité a a a C Transitivité a b et b c a c a, b, c C mparabilité a b ou b a a, b C CIEM, Bruxelles p. 12

14 Théorie économique neoclassique (suite) Comme C est fini, tjrs une alternative préférée à ttes les autres a t.q.a a a C fction U : C IR a U(a) telle que a b U(a) U(b) a, b C donc a = arg max U(a) a C CIEM, Bruxelles p. 13

15 Utilité U est l utilité choisir avec assigner une valeur, l utilité, à chaque alternative et sélectionner celle (a ) maximisant l utilité AUCUN NIVEAU D INCERTITUDE on veut en introduire règles intrinséquement stochastiques même une connaissance parfaite ne supprime pas l incertain modèle de Luce règles déterministes mais impossibilité d observer ttes les dim. modèle d utilité aléatoire CIEM, Bruxelles p. 14

16 Modèle de Luce à chaque alternative, une probabilité d être choisie Axiome du choix caractérise une loi de proba pour le choix Soit P C (a) proba de choisir a dans C P C (S) proba de choisir un élément de S dans C Les 2 propriétés suivantes sont vérifiées U, C et C tels que S C U 1. Si une alternative a C est dominée ie b C t.q. b est tjrs préférée à a ou P {a,b} (a) = 0 alors retirer a de C ne modifie pas la proba d une autre alternative d être choisie P C (S) = P C\{a} (S\{a}) CIEM, Bruxelles p. 15

17 Modèle de Luce (suite) 2. Si aucune alternative n est dominée ie si 0 < P {a,b} (a) < 1 a, b C alors la proba de choix est indépendante de la séquence de décisions ie P C (a) = P C (S)P S (a) CIEM, Bruxelles p. 16

18 Modèle de Luce (fin) Autre interprétation : l axiome de choix est une C.N.S. pour fction v : C IR t.q. S CP S (a) = v(a) v(b) b S v est unique à un facteur de proportionalité près si v : C IR t.q. S CP S (a) = v(a) v(b) b S alors k IR t.q. v(a) = kv (a) a C v fonction d utilité CIEM, Bruxelles p. 17

19 Modèle d utilité aléatoire Hyp. : comme dans neoclassique, décideur a une capacité parfaite de discriminer MAIS analyste a une info incomplète incertitude à prendre en compte 4 sources attributs d alternatives non observés attributs d individus non observés erreurs de mesure variables proxy, instrumentales CIEM, Bruxelles p. 18

20 Modèle d utilité aléatoire (suite) utilité : variable aléatoire l utilité qu un individu i associe à l alternative a : Ua i = Va i + ɛ i a Va i part déterministe ɛ i a part aléatoire terme d erreur on choisit l alternative d utilité maximale P i C (a) = P [U i a = max b C U i b] CIEM, Bruxelles p. 19

21 Modèle d utilité aléatoire (suite) Modèles basés sur des hypothèses concernant ɛ i a V i a CIEM, Bruxelles p. 20

22 Hypothèses sur le terme aléatoire hypothèses sur la moyenne hypothèses sur la variance hypothèses sur la forme fonctionnelle CIEM, Bruxelles p. 21

23 Hypothèses sur la moyenne on suppose E(ɛ) = 0 pas restrictif : si pas vrai, on met les moyennes dans les parts déterministes les Constantes Spécifiques aux Alternatives (CSA) l hyp. de moyenne nulle est valide si on incorpore dans la partie déterministe de l utilité une CSA pour chaque alternative En pratique impossible d estimer ttes les valeurs des CSA à partir des observations seule la entre 2 CSA peut être identifiée CIEM, Bruxelles p. 22

24 Hypothèses sur la variance Échelle peut être arbitrairement spécifiée on peut prendre U ou αu décision sur α hyp. sur la variance v de la distribution de l erreur si Var[α(ɛ 1 ɛ 2 )] = v v α = Var[ɛ1 ɛ 2 ] CIEM, Bruxelles p. 23

25 Modèles de choix discrets Modèles désagrégés Règles de décision Formes de distribution Modèles Logit CIEM, Bruxelles p. 24

26 Formes de distribution linéaire Logit Probit CIEM, Bruxelles p. 25

27 Modèle linéaire fction de densité du terme d erreur : f(x) = { 1 2L si x [ L, L] 0 ailleurs avec L 0 IR Cste arbitraire Problèmes : P ( valeurs extrêmes ) = 0 extrêmes L événements exceptionnels jamais capturés discontinuités des dérivées en L, L pbs dans les procédures d estimation L détermine l échelle : α = 3 CIEM, Bruxelles p. 26 L

28 Modèle Probit Normal Probability Unit termes d erreurs normalement distribués σ > 0 IR cste arbitraire f(x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x σ )2 Modèle motivé par TCL : termes d erreurs = somme de quantités inobservées indépendantes CIEM, Bruxelles p. 27

29 Modèle Logit Logistic Probability Unit Le plus populaire termes d erreurs indépendants et distribués de manière identique suivant des lois de Gumbel : f(x) = µe µ(x η) e eµ(x η) η IR paramètre de localisation µ > 0 IR paramètre d échelle CIEM, Bruxelles p. 28

30 loi de Gumbel Moyenne : η + γ µ n 1 où γ = lim n i i=1 ln(n) (Cste d Euler) Variance : π2 6µ 2 distribution de Gumbel approximation de la loi normale Prop. : Si ɛ 1 Gumbel distribuée de param. η 1 et µ ɛ 2 Gumbel distribuée de param. η 2 et µ alors ɛ = ɛ 2 ɛ 1 suit la distribution logistique de param. de localisation η 2 η 1 et de facteur d échelle µ f(x) = CIEM, Bruxelles p. 29 µe µx µx 2

31 loi de Gumbel (suite) Facteur d échelle : α = µ 3 π Pour comparer 2 utilités, il faut le même α CIEM, Bruxelles p. 30

32 Hypothèses sur le terme déterministe utilité fct des attributs de l alternative et de ceux du décideur Va i = V a i(xi a ) où x i a vecteur des attributs de l alternative a et du décideur i utilité linéaire dans les paramètres, les n attributs non linéarité mise dans les param. V i a(x i a) = β 1 x i a(1)+β 2 x i a(2)+ +β n x i a(n) = β 1,..., β n param. à estimer n k=1 β k x i a CIEM, Bruxelles p. 31

33 Modèles de choix discrets Modèles désagrégés Règles de décision Formes de distribution Modèles Logit CIEM, Bruxelles p. 32

34 Modèle logit multinomial généralisation du logit à plus de 2 alternatives Si termes d erreur indépendants, distribués identiquement suivant Gumbel de param. de localisation 0 et d échelle µ P C (i) = e µv i k C eµv k Rem. : Si S = C et V (a) = e µv (a) axiome du choix de Luce CIEM, Bruxelles p. 33

35 Modèle logit multinomial (suite) Propriété : indépendance vis à vis des alternatives non pertinentes Le rapport des probabilités de 2 alternatives est indépendant de l ensemble de choix S, T t.q. S T C alternatives a 1, a 2 S P S (a 1 ) P S (a 2 ) = P T (a 1 ) P T (a 2 ) le rapport des proba. de choix de 2 alternatives quelconques est totalement non influencé par les utilités systématiques de n importe quelle autre alternative CIEM, Bruxelles p. 34

36 Modèle logit multinomial (suite) Paradoxe : CIEM, Bruxelles p. 35

37 Modèle logit multinomial (suite) C = {1, 2a, 2b} Attribut : temps de parcours V 1 = V 2a = V 2b = T même temps sur chaque alternative δ temps de parcours sur a et b T Intuitivement P (1) = P (2) = 50% qu importe le choix de a ou b P {1,2a,2b} (1) = P {1,2a,2b} (2a) = P {1,2a,2b} (2b) = e µt k {1,2a,2b} eµt = 1 3 CIEM, Bruxelles p. 36

38 Modèle Nested Logit on passe outre l hyp. d indépendance extension du Logit multinomial pour prendre en compte la corrélation entre alternatives C {C k } t.q. C = k C k C k C l = k l utilité de chaque alternative : un terme associé à l alternative et un terme lié au ss-ensemble : si i C k U i = V i + ɛ i + V Ck + ɛ Ck CIEM, Bruxelles p. 37

39 Modèle Nested Logit (suite) ɛ i et ɛ Ck indépendants ɛ i indépendants, identiquement Gumbel distribués de facteur d échelle σ k distribution de ɛ Ck t.q. v.a. max U j Gumbel distribuée j C k de param. d échelle µ À chaque C k pseudo utilité V C k = V Ck + 1 σ k ln j C k e σ kv j où V ck composante de l utilité commune à ttes les alternatives ds C k CIEM, Bruxelles p. 38

40 Modèle Nested Logit (suite) où P C (i) = P C (C k )P Ck (i) P C (C k ) = eµv Ck n l=1 eµv C l et P Ck (i) = e σ kv i j C k e σ kv (j) µ et σ k reflets de la corrélation entre alternatives dans C k CIEM, Bruxelles p. 39

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