Module 1 - Arithmétique Chapitre 1 - Numération

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1 Lycée Maximilien Sorre Année BTS SIO 1 Module 1 - Arithmétique Chapitre 1 - Numération 1 Introduction : que signifie 2014? Dans de nombreuses situations, il est nécessaire de pouvoir exprimer des quantités. Par exemple, dans l Égypte antique, lors des années de bonne récolte, le surplus agricole était collecté sous forme d impôt puis stocké en prévision d années moins favorables. Pour gérer ce système d impôt, une armée de scribes devait dénombrer des quantités de grains, des troupeaux, etc... Pour décrire un troupeau de 357 moutons, on pourrait tracer un bâton par mouton mais cela ne serait guère pratique. Pour cette raison, des méthodes plus efficaces pour représenter les quantités ont été inventées : l arrivée des symboles a permis de représenter les nombres par des écritures plus ou moins faciles à manipuler. Vers 2700 av JC, les mésopotamiens utilisent les signes de la graphie cunéiforme pour écrire les nombres. Valeur décimale Écriture babylonienne cunéiforme Décomposition en base Remarque. Dans le système babylonien cunéiforme, le zéro n existe pas encore. À cause de cela, par exemple 1, 60 et 3600 ont la même écriture. Le zéro est apparu plus tard, d abord dans le système babylonien (les premières apparitions se situeraient vers 2000 av JC, et un usage courant du zéro se fait vers le III ème siècle avant JC.), puis dans le système maya et dans le système indien (au III ème siècle). Autre exemple : le système maya. 1

2 Valeur décimale Écriture maya Décomposition De nombreuses civilisations ont utilisé (et utilisent encore) la base décimale (base 10), sans doute parce que nous possédons 10 doigts! En base décimale, les nombres sont décomposés en puissances de 10. Le système de numération de l Égypte antique (de 3000 av JC à 330 av JC) repose sur la base décimale. Par exemple, 526 = s écrit : L écriture des nombres de l Égypte antique décrite dans l exemple ci-dessus est un système additif : il suffit d additionner la valeur de tous les symboles pour obtenir le nombre représenté. Remarquons que la position des symbole ne change pas le résultat obtenu. Notre système de numération moderne, dans lequel les nombres sont une juxtaposition de chiffres, repose lui aussi sur la base décimale. Mais contrairement aux systèmes additifs comme le système de l Égypte antique, un même chiffre a une signification différente selon sa position dans l écriture du nombre. Par exemple 52 est différent de 25. On parle de notation positionnelle. Le système babylonien cunéiforme est le premier système connu dans lequel la position des symboles joue un rôle. Il est toutefois à noter que le système babylonien cunéiforme repose sur la base 60. C est en Chine au II ème siècle av JC que fut initiée l application de la notation positionnelle à une base décimale, dans un système ensuite amélioré en Inde, au VI ème siècle. Enfin, les chiffres que nous utilisons aujourd hui ont été inventés par les indiens, et leur 2

3 diffusion en Europe s est faite par l intermédiaire de la civilisation arabe aux alentours du IX ème siècle. Mais que signifie donc une écriture telle que 2014? Et bien à chaque position est associé un «poids», d autant plus important que le chiffre est plus à gauche. Ce poids est une puissance de la base utilisée, ici la base 10. Ainsi : 2014 = 2 Numération moderne - trois bases usuelles 2.1 Système décimal Le système de numération décimal moderne utilise 10 symboles, qui sont les 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Suivant sa position dans le nombre, le chiffre x peut valoir, x 10 0 (si il est complètement à droite), x 10 1 (si c est le deuxième en partant de la droite), x 10 2, etc = Ainsi, si un nombre entier s écrit a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0, où n est un entier supérieur ou égal à 1 et où pour tout entier k entre 1 et n, le symboles a k représente un chiffre pris dans l ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, alors ce nombre représente la quantité : a n 10 n + a n 1 10 n a a Le poids du chiffre a k, c est-à-dire la puissance de 10 par laquelle il faut multiplier ce chiffre pour connaître son influence sur le nombre, est 10 k. Remarque. Les chiffres dont le poids est le plus important sont à gauche dans l écriture du nombre. Ainsi, si l on veut obtenir une bonne approximation d un nombre, il suffit de ne conserver que les chiffres les plus à gauche, et de remplacer les autres par des 0. Remarquons que dans les calculs, on aligne les chiffres à partir de la droite pour pouvoir tenir compte des poids associés aux différentes positions. a) Addition : b) Multiplication :

4 1. La décomposition en puissance de 10 de est : 2. La décomposition en puissance de 10 de est : 2.2 Système binaire Le système binaire ou base 2 n utilise que deux chiffres, deux symboles : 0 et 1. Ce système sert en particulier en électronique et en informatique, puisque l électronique numérique ne sait représenter que deux valeurs (correspondant à deux plages de tension). Suivant sa position (à partir de la droite), au chiffre 1 correspondra la valeur : 2 0, 2 1, 2 2,... La base 2 est la plus petite base envisageable. Un chiffre binaire est appelé «bit» en informatique, ce qui est la contraction de «binary digit», autrement dit «chiffre binaire» en anglais. Propriété 1. Représentation des premiers entiers en binaire : En base 10 En binaire En base 10 En binaire Le nombre binaire s écrit en décimal : 2. Le nombre binaire s écrit en décimal : 3. Le nombre binaire s écrit en décimal : 4. Le nombre binaire s écrit en décimal : 2.3 Système hexadécimal Le système hexadécimal est l écriture dans la base 16. Les chiffres de la base 16 s obtiennent en complétant 0, 1,...9 avec les premières lettres de l alphabet. Ainsi les symboles utilisés comme chiffres pour la base 16 sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F. 4

5 Propriété 2. Représentation des premiers entiers en hexadécimal : En base 10 En hexadécimal En base 10 En hexadécimal B C D E F A Le nombre hexadécimal A1 16 s écrit en décimal : 2. Le nombre hexadécimal BF 16 s écrit en décimal : 3. Le nombre hexadécimal 4000 hexa s écrit en décimal : 4. Le nombre hexadécimal 5C b16 s écrit en décimal : Remarque. On peut aussi exprimer dans différentes bases les nombres réels et pas seulement les entiers naturels. Par exemple 0, 1 2 = et 0, 1 16 = Le nombre binaire 101, s écrit en décimal : 2. Le nombre hexadécimal 2A05, F 16 s écrit en décimal : 3 Conversions, changements de base 3.1 Entre la base 2 et la base De la base 2 à la base 10 Propriété 3. Les premières puissances de 2 (à connaître) sont : Pour passer de la base 2 à la base 10, on utilise les valeurs (en base 10) des puissances successives de 2. Par exemple pour convertir le nombre binaire N = b2, on écrit : Bits de N Puissance de Valeur en base

6 Autrement dit, l écriture en base 10 de N est : = 6973 b10. Exercice 1. Donner la valeur en base 10 des nombres suivants : b2, et De la base 10 à la base 2 Méthode 1 : par divisions successives Soit N un nombre décimal que l on veut convertir en base 2. Pour obtenir l écriture en base 2, on effectue la division euclidienne de N par 2. Puis on effectue la division euclidienne par 2 du quotient de la division précédente. On continue ainsi jusqu à obtenir un quotient nul. Les chiffres de l écriture en base 2 (lus de droite à gauche) sont les restes successifs de ces divisions euclidiennes. Convertissons le nombre décimal 6 10 en un nombre binaire : Remarque. Cette méthode a l avantage de faire apparaître tout de suite les 1 et les 0, mais attention à ne pas se tromper de sens de lecture! Écrivons le nombre décimal 221 en base 2. Exercice 2. Donner l écriture binaire des nombres décimaux : 5 ; 27 ; 87. 6

7 Méthode 2 : par plus grande puissance Pour convertir le nombre décimal 221 en base 2, on va chercher les puissances de 2 entrant dans ce nombre : La plus grande puissance de 2 inférieure ou égal à 221 est 2 7 = 128. (En effet, 2 8 = 256.) De plus : = 93. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 93 est 2 6 = 64. De plus : = 29. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 29 est 2 4 = 16. De plus : = 13. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 13 est 2 3 = 8. De plus : 13 8 = 5. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 5 est 2 2 = 4. Le reste vaut 5 4 = 1 = 2 0. Ainsi : 221 = Le nombre décimal 221 s écrit donc en binaire sous la forme : Exercice 3. Donner l écriture binaire des nombres décimaux : 9 ; Entre la base 16 et la base De la base 16 à la base 2 Comme 16 est une puissance de 2, la conversion est aisée. On se sert du tableau suivant : Base Base A Base Base Base 16 B C D E F Base Pour transformer un nombre hexadécimal en un nombre binaire, on remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent de 4 chiffres binaires. 9AB5 16 = Exercice 4. Transformer en binaire les nombres hexadécimaux : 3DA4B 16 ; 14F 16. 7

8 3.2.2 De la base 2 à la base 16 Inversement, pour passer de la base 2 à la base 16, on découpe le nombre en tranches de 4 chiffres à partir de la droite et on remplace chaque tranche par sa valeur en base = Exercice 5. Écrire en hexadécimal les nombres binaires : ; Entre la base 10 et la base 16 Remarque. Pour passer de la base 16 à la base 10, on peut passer de la base 16 à la base 2, puis de la base 2 à la base 10. Inversement, pour passer de la base 10 à la base 16, on peut passer de la base 10 à la base 2, puis de la base 2 à la base 16. Nous abordons ci-dessous les méthodes directes de conversion De la base 16 à la base 10 Pour passer de la base 16 à la base 10, on utilise la définition de la représentation en base 16 et les valeurs (en base 10) des puissances successives de 16. Convertissons le nombre hexadécimal A9B5 h en un nombre décimal : Base 16 A 9 B 5 Base Exercice 6. Convertir en base 10 les nombres hexadécimaux : 1F D37 h ; 55B1 h De la base 10 à la base 16 En imitant le principe du passage de la base 10 à la base 2, pour convertir un nombre décimal en nombre hexadécimal, on procède par divisions euclidiennes successives (d abord du nombre décimal à convertir, puis des quotients successifs) par 16. Les restes successifs, qui sont donc des entiers compris entre 0 et 15 en écriture décimale (et des entiers entre 0 et F en écriture hexadécimale), forment les chiffres de l écriture hexadécimale du nombre, lue de droite à gauche. Convertissons en hexadécimal le nombre décimal Exercice 7. Convertir en base 16 les nombres décimaux : 2014 ;

9 3.4 Comment faire pour les nombres réels? Pour convertir des nombres réels, on procède de la même façon en rajoutant les virgules. De la base 2 à la base 10 : 1101, 01 2 = = 13, De la base 10 à la base 2 : 43, = , De la base 16 à la base 2 : A, 3E 16 = 1010, De la base 2 à la base 16 : 111, 11 2 = 7, C 16. De la base 16 à la base 10 : 5B, 3 16 = 91, De la base 10 à la base 16 : 0, = 0, = 0, Remarque. Les nombres négatifs, quelle que soit la base dans laquelle ils sont exprimés, s écrivent avec un symbole moins (que l on note -) devant. 3.5 Applications Exercice Donner la forme binaire puis décimale du plus grand nombre qu on puisse écrire avec 4 bits. 2. Même question avec 8 bits (c est-à-dire un octet). 3. Une adresse IPV4 (Internet Protocol Version 4) est constituée de 4 nombres, chacun compris entre 0 et 255. Par exemple : a) Sur combien de bits est codée une adresse IP? b) Sur combien d octets? c) Combien d adresses IP peut-on coder avec cette norme? d) Avec la norme IPV6 (version 6 de l Internet Protocol), on utilise 16 nombres compris entre 0 et 255. Combien d adresses IP environ peut-on construire avec cette norme? (On peut s aider du fait que ) Exercice 9. Dans un logiciel comme Gimp ou Photoshop, les couleurs sont codées par 3 nombres hexadécimaux à deux chiffres représentant les valeurs de Rouge, Vert et Bleu (codage RVB). Ainsi F F F F F F représente le blanc et représente le noir. 1. Combien de couleurs différentes peut on représenter dans ce mode? 2. Combien de bits utilise ce codage? 4 Notion d arrondi et de précision Considérons le nombre 23, Il existe plusieurs façon de l arrondir : arrondi à l entier près : 23, arrondi par défaut à 10 2 près : 23,45, arrondi par excès à 10 3 près : 23,459, 9

10 arrondi avec une précision de 3 chiffres significatifs : 23,5. On peut aussi arrondir des nombres écrits dans d autres bases : 1001, arrondi à l entier près vaut , arrondi avec une précision de 3 chiffres significatifs vaut , arrondi avec une précision de 3 chiffres significatifs vaut A134B, C5 16 arrondi à l entier près vaut A134B 16. A134B, C5 16 arrondi avec une précision de 3 chiffres significatifs vaut A Si l on veut convertir le décimal 0, 1 10 en binaire, il est nécessaire d arrondir car sinon, il y a trop de décimales. Si on arrondit à 4 chiffres après la virgule, on obtient 0, Si on arrondit avec une précision de 2 chiffres significatifs, on obtient Définition. On appelle partie entière d un nombre x le plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre. On la note E(x). La partie entière de 2, 5878 vaut E(2, 5878) = La partie entière de 1/3 vaut E(1/3) = 5 Opérations sur les entiers naturels Rappel : Les entiers naturels sont Les opérations (addition, soustraction, multiplication et division) pour les entiers naturels en base décimale sont bien connues. Mais on peut faire des opérations avec les nombres dans d autres bases que la base décimale. 5.1 Opérations binaires Addition binaire Pour additionner deux entiers écrits en binaire, il suffit de savoir que : = 0, = = 1, = 10, = 11. Pour effectuer l addition binaire, on procède comme pour une addition décimale, en utilisant les trois égalités précédentes, et en tenant compte des éventuelles retenues. Exemples

11 Remarque. On peut vérifier les résultats des additions binaires en repassant en décimal. Par exemple : = et = On a bien = = = et = On a bien = = Remarque. Pour calculer à la main des additions de nombres hexadécimaux, on convertit les nombres en binaires, puis on fait l addition, puis on reconvertit le résultat en hexadécimal. Exercice 10. Effectuer les additions binaires : a) , b) Soustraction binaire On peut opérer comme dans la soustraction décimale Remarque. Pour faire les soustractions de nombres hexadécimaux, on convertit en binaire comme pour l addition. Exercice 11. Calculer : a) , b) A7 h B h Multiplication binaire On procède comme pour la multiplication décimale

12 Remarque. Attention à bien tenir compte des décalages. Exercice 12. Effectuer les multiplications binaires et , et vérifier le calcul en passant par l écriture décimale Division binaire On procède comme pour la division décimale. Calculons : On obtient = Exercice 13. Calculer et Cas particulier : division binaire par une puissance de 2. Les mots de la fin : Pourquoi les mathématiciens confondent Noël et Halloween? Parce que Dec 25 = Oct 31. Il y a 10 catégories de personnes : la catégorie de ceux qui comprennent le binaire, et la catégorie de ceux qui ne le comprennent pas. 12

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