La Numération. Système binaire mathématique, Système binaire signé, Système en virgule flottante, Système en base b, Codage par DCB

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1 La Numération Système binaire mathématique, Système binaire signé, Système en virgule flottante, Système en base b, Codage par DCB 1

2 I. Rappel sur le système décimal Définitions Chiffres décimaux : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Nombre décimal positif : suite finie ou non de chiffres qui peut comporter une virgule Entier naturel : suite finie de chiffres décimaux ne comportant pas de virgule La valeur d un nombre décimal s obtient via la relation a n a 1 a 0.a 1 a k = a n 10 n + +a a 0 + a a k 10 k Exemple : =

3 II. Le système binaire mathématique But : remplacer le nombre 10 par 2. Chiffres binaires : 0,1 Nombre binaire, Entier binaire Exemples : 0 = 0 2, 1 = 1 2, 2 = = 10 2, 3 = = = II. 1. Conversion Binaire-Décimal Sens facile : ( an a 1 a 0.a 1 a k )2 = a n2 n + +a a 0 + a a k 2 k Exemples : = 13 et =

4 II. 2. Conversion Décimal-Binaire Cas d un entier naturel A ln Théorème Tout entier A s écrit de manière unique A = a n 2 n + 2a 1 + a 0 où a i {0, 1}. On note A = (a n a 1 a 0 ) 2. Exemple 59 = En pratique, on fait les divisions euclidiennes successives par 2 jusqu à obtention d un quotient nul et on remonte les restes. 4

5 Cas d un réel F ]0, 1[ Remarque 0.5 = = ne pas espérer une écriture unique Théorème Si F ]0, 1[, on peut écrire F = k 1 a k 2 k où les a k sont des chiffres binaires non tous égaux à 1. Méthode = = a 1 = = a 2 = = 0.25 a 3 = = 0.5 a 4 = = 1 a 5 = 1 STOP 5

6 Cas d un réel positif X = A + F avec A ln et F ]0, 1[ Exemple : X= = Remarque Avec ce système, on écrit un réel négatif en utilisant le sigle -. Le système signé permettra d écrire des réels négatif sans utilisation d un sigle supplémentaire. II. 3. Opérations On calque les méthodes de la base 10 avec les systèmes de retenues cf TD. Exemples : , ,

7 II. 4. Soustraction par complémentaire Définitions Si A = a n a 0 (a n = 1) est un entier binaire, la longueur de A est l entier A = n + 1 et le complément à 1 de A est A = a n a 0 avec a i = 1 a i. Le complément à 1 de A sur p bits avec p n + 1 bits est Deux identités : C 1p (A) = 1 1a n a 0 } {{ } p bits A + A + 1 = 2 n+1 A + C 1p (A) + 1 = 2 p 7

8 Théorème Soit B = b p 1 b 0 (b p 1 = 1) et A = a n a 0 avec n p 1. Pour calculer B A (avec B > A), on met A sur p bits (en ajoutant des 0) et B A = B + C 1p (A) p Exemples , n = p = } {{ } B A n p } {{ } B A 8

9 Définition Le complément à 2 de A sur p bits avec p n + 1 bits est Identités C 2p (A) = C 1p (A) + 1 A + C 2p (A) = 2 p = } {{ } p B A = B + C 2p (A) 2 p Cas particulier important : p = A On note C 2 (A) = C 2 A (A). A + C 2 (A) = 2 A et 2 A = 1 } 0 {{ 0 } = A + 1 > A A 9

10 III. Système binaire signé Une machine écrit des nombres sur N bits avec N fixé 2 N caractères Ecriture des entiers binaires positifs uniquement : écriture non signée du système binaire classique (cf partie II). On écrit les entiers de 0 à 2 N 1. Cas de l octet : N = = 255 L écriture signée permet de représenter les entiers positifs et négatifs de 2 N 1 à 2 N

11 III.1. Ecriture signée des entiers positifs sur N bits Leurs écritures commencent par 0 et se fait sur au plus N 1 bits significatifs A := 0 0a k a 0 } {{ } N bits où a k a 0 est l écriture binaire mathématique de A (a k = 1). Notation A := 0 0A 2 On écrit 2 N 1 caractères les entiers de 0 à 2 N

12 III.2. Ecriture signée des entiers négatifs sur N bits Leurs écritures commencent par 1 et se fait sur au plus N 1 bits significatifs. On écrit 2 N 1 caractères entiers de 2 N 1 à 1. 1a N 2 a 0 } {{ } N bits représente l entier relatif x = 2 N 1 + a N 2 2 N a 0. Exemple ±1 en signé sur 8 bits. Attention 1 := , 1 := (1a N 2 a 0 ) 2 sens signé de 1a N 2 a 0. (1a N 2 a 0 ) 2 = +2 N 1 + a N 2 2 N a 0 = 2 N N 1 +x = 2 N + x = C 2,N ( x) 12

13 Théorème Soit x { 2 N 1,, 1}. La représentation signée de x sur N bits est C 2,N ( x). Remarque En signé sur N bits, x > 0 x + ( x):= x + C 2,N (x) = 2 N = 0 Intêret Si A, B {0, 2 N 1 1} se représentent en signé sur N bits, B A se représente aussi en signé sur N bits et Inconvénients B A = B + ( A). s adapte mal aux sommes ne respecte pas l ordre des entiers : par habitude, 101 > 001!!! faux en signé. Ecriture des réels 13

14 IV. Système en virgule flottante Représentation des réels qui permet de faire flotter la virgule décimale Norme (internationale) admise IEEE 754 Simple précision : 32 bits Double précision : 64 bits la plus courante pour les calculs Grande précision : 80 bits Not a Number : NaN Message d erreur 14

15 IV. 1 Simple précision Un réel x peut s écrire 1 bit de signe de x x = ± M 2 e 8 bits pour l exposant e [ 127, 127] 23 bits pour la Mantisse : nombre binaire M = 1.m [1, 10 2 [ Représentation de x m = a 1 a 2 a 23 a 24 Signe : s = 1 si x < 0 et s = 0 si x > 0. Exposant : (e + 127) 2 Mantisse a 24 = 0 a 1 a 2 a 23, a 24 = 1 0.a 1 a 2 a

16 Limitation x x Exemple 5 = ; = 129 = = Propriété sem représente le réel ( 1) s Remarque Non unicité (1 + m) 2 E

17 IV. 2 Les autres précisions FIG.: Norme IEEE 754 Quid de NaN? Place réservée bits d exposant

18 V. système de numération en base b N Principe Substituer l entier b à l entier 2 du système binaire. Chiffres de numération en base b : 0, 1,, b 1 Conversion Base b Décimal (a n a 0.a 1 a k ) b = j n a j b j Méthode : Divisions successives par b et on remonte les restes Conversion Décimal Base b Adaptation des méthodes du système binaire Ex : = cf TD 18

19 Système Octal b = 8 = 2 3 Chiffres : 0, 1,, 7 (a n a 0 ) 8 = écriture écriture binaire binaire de a n sur de a n 1 sur 3 bits 3 bits Système Héxadécimal b = 16 = 2 4 Chiffres : 0, 1,, 9, A, B,, F écriture binaire de a 0 sur 3 bits (a n a 0 ) H = écriture écriture binaire binaire de a n sur de a n 1 sur 4 bits 4 bits écriture binaire de a 0 sur 4 bits Exemple = = 2F56 H 19

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