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- Paule Bertrand
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1 1. L nformaton 1-1 Dualté état et temps Représentaton de l'nformaton La noton d'nformaton correspond à la connassance d'un état donné parm pluseurs possbles à un nstant donné. La Fgure 1 llustre cette noton avec un sgnal électrque. Elle montre qu l y a deux états sgnfcatfs, l état bas lorsque la tenson est nféreure à une référence basse, et un état haut lorsque la tenson est supéreure à une référence haute. Le trosème état, stué entre les références basse et haute, ne peut être utlsé comme support d nformaton. Pour qu l y at nformaton, l faut précser l nstant auquel on regarde l état du sgnal : par exemple, en t 1 le sgnal est haut et en t 2, le sgnal est bas. Tenson HAUT BAS Référence haute Référence basse t 1 t 2 temps Fgure 1.- Informaton : état et temps. 1-2 Quantté d'nformaton et codage de l'nformaton L nformaton est mesurable, avec une unté qu s appelle le bt. La formule I (bts)= log 2 (N) où N est le nombre d'états possbles donne la quantté d'nformaton. Un bt correspond donc à la connassance d un état parm deux. Par exemple, la connassance d un état parm 8 correspond à une quantté d nformaton de I = log 2 (8) = 3 bts. Les 8 états possbles sont repérés à l'ade de 3 chffres bnares (ayant l'un des deux états possbles 0 ou 1), comme le montre la Table 1. La quantté d nformaton exprmée en bts étant égale au nombre de chffres bnares correspondants, les chffres bnares sont appelés bts. Un mot de n bts correspond à n bts d'nformaton, pusqu'l correspond à une confguraton parm 2 n. Mas, l faut précser à quo correspondent les 2 n confguratons. En effet, le mot de n bts peut représenter une nstructon machne ou un opérande, qu peut être un nombre ou un caractère. Nous présentons brèvement le codage ou représentaton des nombres et des caractères. Avant d ntrodure les codages des nombres et des caractères, l est utle d'ntrodure la notaton hexadécmale, qu n'est pas un codage de l'nformaton, mas une manère smplfée d'écrre des nombres bnares. Un nombre bnare de n bts peut être écrt à l'ade de n/4 chffres hexadécmaux s n est multple de 4 (ou 1/6
2 n/4 +1 snon) en remplaçant chaque groupe de 4 chffres bnares, en partant des pods fables, par le chffre hexadécmal correspondant (Table 2). État X2 X1 X Table 1.- Représentaton de hut états dfférents Chffre d 3 d 2 d 1 d 0 hexadécmal A B C D E F Représentaton des nombres La Fgure 2 représente un mot de n bts. Table 2.- Notaton hexadécmale n-1 n Les nombres enters Fgure 2.- Mot de n bts Enters postfs 2/6
3 Un mot de n bts peut représenter tous les nombres postfs comprs entre 0 et 2 n -1. d étant le chffre bnare de rang, un mot de n bts correspond au nombre enter décmal N = n 1 d =0 2. Avec un octet, on peut donc représenter tous les enters postfs entre 0 et 255. Un mot de 32 bts permet de représenter tous les enters postfs entre 0 et Les enters sgnés La représentaton des enters sgnés pose un problème lé au zéro. En effet, l y a un nombre par de confguratons assocées à n bts, à répartr entre nombres postfs, nombres négatfs et la valeur 0. Il y a pluseurs représentatons possbles des enters sgnés. Dans toutes les confguratons, les nombres postfs sont représentés de la même manère, correspondant à la représentaton des enters postfs sur n-1 bts, avec d n-1 = 0. Le bt de pods fort d n-1 est appelé le bt de sgne : l est à 0 pour les nombres postfs. a) Valeur absolue et sgne Dans cette représentaton, le bt n-1 est le bt de sgne, et les bts 0 à n-2 donnent la valeur absolue. Un mot de n bts correspond au nombre enter décmal sgné N = d n 1 n 2 ( 1). d 2, sot N = 1 d 2 quand le bt de sgne est à 1 et d 2 lorsque le =0 bt de sgne est à zéro. n 2 = 0 Un octet permet de représenter les enters sgnés comprs entre -127 et Il y a deux représentatons possbles du zéro, qu sont (+0) et (-0). Un mot de 32 bts permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -(2 31-1) et , avec toujours deux zéros. b) Enters sgnés en complément à 1 Dans la représentaton en complément à 1, le nombre négatf -N est obtenu en remplaçant chaque chffre bnare d du nombre postf N par le complément d. (cf. l'opératon complément de l'algèbre de Boole) : les bts 1 sont remplacés par des 0 et récproquement. Un octet permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -127 ( ) et +127 ( ), avec deux zéros qu sont (+0) et (-0). c) Enters sgnés en complément à 2 En complément à 2, un nombre est représenté par N = - a n-1 2 n-1 n 2 + a 2. = 0 L écrture en complément à 2 correspond donc à la stuaton où le bt de pods fort est de pods négatf. n 2 = 0 3/6
4 La Table 3 donne l'ensemble des nombres en complément à 2 avec des mots de 3 bts d 2 d 1 d 0 N Table 3.- Nombres en complément à 2 sur 3 bts Un mot de n bts permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -2 n-1 et 2 n-1-1. Il y a mantenant une seule représentaton de 0 (qu est le 0 postf). Avec un octet, on représente les enters sgnés entre -128 ( ) et +127 ( ). La représentaton en complément à 2 d'un nombre négatf peut être obtenue à partr de la représentaton en complément à 1, à laquelle on ajoute +1. d) la représentaton excès N. L excès N est chos de manère à ce que la somme de l excès et du nombre ne sot jamas négatve. Cette somme est représentée comme un nombre postf normal. La représentaton en complément à 2 est la plus couramment utlsée pour l arthmétque sur les nombres enters. Elle a l avantage de ne pas ntrodure de tratement partculer pour le sgne dans le cas des addtons et des soustractons, et de permettre une détecton facle des cas de débordement. Les représentatons en sgne-valeur absolue et en complément à un ont des opératons arthmétques plus complexes. Elles ont auss l nconvénent d avor deux représentatons de zéro. La représentaton sgne-valeur absolue est utlsée pour la multplcaton des mantsses des nombres flottants. La représentaton excès N est utlsée pour les exposants des nombres flottants. Elle permet de ramener la comparason d exposants de sgne contrare à des comparasons d enters postfs. 2-2 Représentaton dte "flottante" La représentaton dte "flottante" a pour but de permettre de représenter une approxmaton des nombres réels, en permettant une dfférence non constante entre deux nombres représentés successfs. Dans cette représentaton, un nombre est caractérsé par son sgne, sa mantsse et son exposant qu est assocé à une base : +/- m.b e. En numératon décmale, 1,5 x est un exemple de nombre "flottant". En machne, la base B utlsée est 2. Dans la norme IEEE 754 qu est la plus utlsée mantenant, la mantsse, exprmée en sgne et valeur absolue, est 1,f où 1 est mplcte et f est la parte fractonnare, correspondant aux pussances successves de 2 -. L exposant est exprmé en code excès N. La Fgure 3 présente la représentaton 4/6
5 flottante double précson, sur 64 bts, qu est la plus couramment utlsée. La parte exposant donne sur 11 bts la valeur de l exposant en code excès La parte fractonnare a 52 bts. Le bt 63 donne le sgne de la parte fractonnare. Le nombre flottant double précson correspond à (-1) sgne x (1,f 1 f 2...f 52 ) x 2 (E-1023) La norme flottante IEEE 754 permet de représenter les nombres normalsés (bts de E dfférents de tous à 0 ou tous à 1), les nombres dénormalsés (E tous à 0 et parte fractonnare non nulle), la valeur zéro (E tous à 0 et parte fractonnare nulle), l nfn (E tous à 1 et parte fractonnare nulle) et des caractères spécaux (Not a number lorsque les bts de E sont tous à 1 et la parte fractonnare est dfférente de 0). En représentaton double précson, la mantsse m est comprse entre 1 lorsque tous les bts f 1 à f 52 sont à 0 et lorsque tous les bts f 1 à f 52 sont à 1. Le champ exposant E est comprs entre 1 et 2046 pour les nombres normalsés. Compte tenu de l'excès 1023, l'exposant réel est donc comprs entre et Le plus pett nombre postf normalsé représentable est donc et le plus grand est vosn de 2 x sot S PE f1 f52 sgne Parte exposant parte fractonnare Fgure 3 - Format flottant double précson. La représentaton smple précson sur 32 bts a 1 bt de sgne, 8 bts de parte exposant (avec excès +127) et 23 bts pour la parte fractonnare. 2-3 Représentaton des nombres décmaux Un certan nombre d'applcatons, notamment en geston, exgent des calculs décmaux exacts, sans arronds, ce qu mplque de travaller avec des nombres décmaux. En effet, avec un nombre fxé de bts, l est mpossble de convertr de manère exacte des nombres bnares en nombres décmaux et récproquement. On utlse alors la représentaton décmale codée bnare, dans laquelle chaque chffre décmal est codé avec 4 chffres bnares, selon la Table 4. Cette représentaton utlse unquement les chffres décmaux de la notaton hexadécmale. 0 5/6
6 Chffre décmal d 3 d 2 d 1 d Table 4 - Décmal codé bnare 3. Représentaton des caractères La représentaton des caractères est fondamentale. Les lettres de l'alphabet latn et un certan nombre de caractères usuels sont représentés par un octet, selon un code qu est le plus souvent le code ASCII. Par exemple, dans ce code, la lettre a est représentée par et le chffre 9 par /6
Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
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