CODAGE DES NOMBRES. I-Codage des entiers naturels. I) Codage des entiers naturels

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2 I) Codage des entiers naturels

3 I) Codage des entiers naturels

4 Ouvrir la calculatrice Windows dans le menu Programmes/accessoires/

5 Ouvrir la calculatrice Windows dans le menu Programmes/accessoires/ cliquer sur affichage

6 Ouvrir la calculatrice Windows dans le menu Programmes/accessoires/ choisir le mode programmation

7 Ouvrir la calculatrice Windows dans le menu Programmes/accessoires/ Choisir la base de représentation

8 Travail demandé : S entraîner à convertir un entier positif de la base décimale vers une autre (binaire ou hexadécimale). On fera d abord la conversion «à la main» sur papier puis on vérifiera le résultat à la calculatrice.

9 Travail demandé : Ouvrir maintenant la page «Entiers positifs» sur le site de la classe, menu IPT/TP/TP02/, et faire les tests de conversion (les valeurs proposées sont renouvelées à chaque chargement de la page).

10 Dans la console Pyzo, essayer les fonctions Python bin(), hex(), int(). Noter le préfixe 0b ou 0x avant les représentations en binaire ou en hexadécimal.

11 I) Codage des entiers naturels

12 Les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) sont réalisables dans toute base B. Avec mêmes règles que pour la base décimale ;

13 Les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) sont réalisables dans toute base B. Avec mêmes règles que pour la base décimale ; Avec la même technique de retenue (mais dépendant de la base) : il y a une retenue quand on additionne 2 chiffres a et b dans la base B et que la somme des valeurs décimales de a et b dépasse ou égale B.

14 Les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) sont réalisables dans toute base B. Avec mêmes règles que pour la base décimale ; Avec la même technique de retenue (mais dépendant de la base) : il y a une retenue quand on additionne 2 chiffres a et b dans la base B et que la somme des valeurs décimales de a et b dépasse ou égale B. Exemple : addition binaire = = = 10 soit 0 avec une retenue de 1

15 Exemple : addition binaire = = = 10 soit 0 avec une retenue de 1 Travail demandé : Essayer quelques additions et contrôler avec Python ou la calculatrice Windows. valeur binaire valeur décimale

16 Dans le codage dans la mémoire de la machine (qui utilise un nombre fini de bits), il y a un risque de débordement.

17 Dans le codage dans la mémoire de la machine (qui utilise un nombre fini de bits), il y a un risque de débordement. Par exemple, dans une machine codant sur 4 bits: =10111

18 Dans le codage dans la mémoire de la machine (qui utilise un nombre fini de bits), il y a un risque de débordement. Par exemple, dans une machine codant sur 4 bits: =10111 Ce bit ne peut pas être conservé par la machine

19 Travail demandé : Avec un codage sur 8 bits, que donne ? Contrôler avec la calculatrice Windows.

20 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions.

21 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions. Exemple :

22 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions. Exemple : Multiplication par le chiffre de droite

23 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions. Exemple : Multiplication par le chiffre de droite 101. Décalage d un bit vers la gauche

24 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions. Exemple : Multiplication par le chiffre de droite Décalage d un bit vers la gauche Décalage de deux bits vers la gauche

25 Comme en décimal, la multiplication n utilise que des décalages de bits et des additions. Exemple : Multiplication par le chiffre de droite Décalage d un bit vers la gauche Décalage de deux bits vers la gauche Addition (avec retenue éventuelle)

26 En binaire, on a que 0 et 1 comme symbole donc il n y a que deux possibilités : Écriture de 0 Recopie avec décalage de bits vers la gauche Conclusion : la multiplication en binaire se ramène des recopies suivies d une addition.

27 Travail demandé : Essayer quelques multiplications avec la calculatrice Windows.

28 La soustraction en binaire peut se faire comme en décimal. Exemple : :

29 La soustraction en binaire peut se faire comme en décimal. Exemple : :

30 La soustraction en binaire peut se faire comme en décimal. Exemple : :

31 La soustraction en binaire peut se faire comme en décimal. Exemple : :

32 La soustraction en binaire peut se faire comme en décimal. Exemple : :

33 Une autre technique consiste à utiliser les compléments à 2 et ne faire que des additions.

34 II-Codage des entiers relatifs I) Codage des entiers naturels II) Codage des entiers relatifs

35 II-Codage des entiers relatifs Le codage par complément à 2 est le standard de fait pour coder les entiers signés en informatique.

36 II-Codage des entiers relatifs Le codage par complément à 2 est le standard de fait pour coder les entiers signés en informatique. Propriétés du complément à 2 comp 2 (n ) + n = 0 ;

37 II-Codage des entiers relatifs Le codage par complément à 2 est le standard de fait pour coder les entiers signés en informatique. Propriétés du complément à 2 comp 2 (n ) + n = 0 ; comp 2 (comp 2 (n) ) = n ;

38 II-Codage des entiers relatifs Pour obtenir le complément à 2 d un nombre binaire, il faut donc prendre ce nombre retranché de 0 d après la relation comp 2 (n ) + n = 0

39 II-Codage des entiers relatifs Pour obtenir le complément à 2 d un nombre binaire, il faut donc prendre ce nombre retranché de 0 d après la relation comp 2 (n ) + n = 0 exemple : 47 s écrit donc son complément à 2 est

40 II-Codage des entiers relatifs Pour obtenir le complément à 2 d un nombre binaire, il faut donc prendre ce nombre retranché de 0 d après la relation comp 2 (n ) + n = 0 exemple : 47 s écrit donc son complément à 2 est

41 II-Codage des entiers relatifs On a donc comp 2 (101111) = On peut obtenir ce résultat de manière mnémotechnique par : Nombre à complémenter :

42 II-Codage des entiers relatifs On a donc comp 2 (101111) = On peut obtenir ce résultat de manière mnémotechnique par : Nombre à complémenter : On change les 0 en 1 et réciproquement :

43 II-Codage des entiers relatifs On a donc comp 2 (101111) = On peut obtenir ce résultat de manière mnémotechnique par : Nombre à complémenter : On change les 0 en 1 et réciproquement : On ajoute 1:

44 II-Codage des entiers relatifs Travail demandé : Ouvrir la page «Entiers négatifs» sur le site de la classe, menu IPT/TP/TP02, et faire les tests d écriture et de conversion des entiers négatifs. (les valeurs proposées sont renouvelées à chaque chargement de la page)

45 II-Codage des entiers relatifs La soustraction n m se fait alors comme une addition : n + comp 2 (m). Attention : Le résultat n est valide que s il n y a pas de débordement.

46 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = =

47 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = bits de signe

48 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = bits de signe compris Son complément à 2 est =

49 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = =

50 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = =

51 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = = Il y a débordement donc on ne garde que p =

52 II-Codage des entiers relatifs Exemple 1 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = = Il y a débordement donc on ne garde que p = On a donc p = +5 10

53 II-Codage des entiers relatifs Exemple 2 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est =

54 II-Codage des entiers relatifs Exemple 2 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = =

55 II-Codage des entiers relatifs Exemple 2 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = =

56 II-Codage des entiers relatifs Exemple 2 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = = C est un nombre négatif donc on prend le complément à 2 pour obtenir la valeur absolue. On trouve

57 II-Codage des entiers relatifs Exemple 2 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Son complément à 2 est = On a donc p = = = C est un nombre négatif donc on prend le complément à 2 pour obtenir la valeur absolue. On trouve On a donc p = 5 10

58 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = =

59 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et

60 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et On a donc p = =

61 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et On a donc p = = =

62 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et On a donc p = = = Il y a débordement donc on ne garde que p =

63 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et On a donc p = = = Il y a débordement donc on ne garde que p = C est un nombre négatif donc on prend le complément à 2 pour obtenir la valeur absolue. On trouve

64 II-Codage des entiers relatifs Exemple 3 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = Les compléments à 2 sont et On a donc p = = = Il y a débordement donc on ne garde que p = C est un nombre négatif donc on prend le complément à 2 pour obtenir la valeur absolue. On trouve On a donc p = 29 10

65 II-Codage des entiers relatifs Exemple 4 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = =

66 II-Codage des entiers relatifs Exemple 4 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il n y a pas de débordement donc on garde

67 II-Codage des entiers relatifs Exemple 4 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il n y a pas de débordement donc on garde PROBLÈME! C est un nombre négatif. En effet, sur 8 bits, les entiers positifs sont codés en machine de 0 à (2 7 1) 10 =

68 II-Codage des entiers relatifs Exemple 4 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il n y a pas de débordement donc on garde PROBLÈME! C est un nombre négatif. En effet, sur 8 bits, les entiers positifs sont codés en machine de 0 à (2 7 1) 10 = Le résultat est donc faux.

69 II-Codage des entiers relatifs Exemple 5 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = =

70 II-Codage des entiers relatifs Exemple 5 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = =

71 II-Codage des entiers relatifs Exemple 5 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il y a débordement donc on ne garde que PROBLÈME!

72 II-Codage des entiers relatifs Exemple 5 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il y a débordement donc on ne garde que PROBLÈME! C est un nombre positif. Il vaut

73 II-Codage des entiers relatifs Exemple 5 : p = exprimé en binaire sur 8 bits = = On a donc p = = Facile! Il y a débordement donc on ne garde que PROBLÈME! C est un nombre positif. Il vaut Le résultat est donc faux.

74 II-Codage des entiers relatifs Conclusion: Dans certains langages, la somme de deux entiers positifs proches de la limite de la représentation machine (ou deux entiers négatifs «grands» en valeur absolue) conduit à un résultat faux. Heureusement, Python sait repérer ces phénomènes et change automatiquement de représentation des nombres entiers pour éviter les erreurs.

75 II-Codage des entiers relatifs III-Division I) Codage des entiers naturels II) Codage des entiers relatifs III) Division

76 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

77 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

78 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

79 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

80 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

81 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

82 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

83 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : /

84 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : / plus petit que le diviseur: stop!

85 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : / plus petit que le diviseur: stop! Le résultat est donc : / = avec le reste 100 2

86 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : / plus petit que le diviseur: stop! Le résultat est donc : / = avec le reste Ou encore =

87 II-Codage des entiers relatifs III-Division Il reste à diviser. La méthode est la même qu avec des nombres décimaux. Exemple : / plus petit que le diviseur: stop! Le résultat est donc : / = avec le reste Ou encore = Vérifions : =

88 II-Codage des entiers relatifs III-Division Si l un des nombres est négatif, on prend son complément à 2 avant la division, le résultat obtenu est alors le complément à 2 du quotient cherché.

89 II-Codage des entiers relatifs III-Division Si l un des nombres est négatif, on prend son complément à 2 avant la division, le résultat obtenu est alors le complément à 2 du quotient cherché. Si les deux nombres sont négatifs, on prend leur complément à 2 avant la division, le résultat obtenu est alors en notation exacte.

90 II-Codage des entiers relatifs III-Division Si l un des nombres est négatif, on prend son complément à 2 avant la division, le résultat obtenu est alors le complément à 2 du quotient cherché. Si les deux nombres sont négatifs, on prend leur complément à 2 avant la division, le résultat obtenu est alors en notation exacte. Travail demandé : Poser quelques divisions et vérifier à la calculatrice Windows.

91 II-Codage des entiers relatifs III-Division

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