Cours Info Représentation des nombres en machine. D.Malka MPSI D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

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1 Cours Info - 12 Représentation des nombres en machine D.Malka MPSI D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

2 Sommaire Sommaire 1 Bases de numération par position 2 Représentation des entiers Entiers naturels Entiers relatifs : complément à deux 3 Représentation approchée des réels D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

3 Bases de numération par position Sommaire 1 Bases de numération par position 2 Représentation des entiers Entiers naturels Entiers relatifs : complément à deux 3 Représentation approchée des réels D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

4 Bases de numération par position Numération par position Principe de la numération par position Représentation d un nombre dans un système de numération par position : On dispose d un jeu fini (souvent court) de chiffres pour écrire les nombres. La signification de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre. En base 10 On dispose de 10 chiffres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Dans le nombre 132 : 2 représente 2 unités 3 représente 3 dizaines 1 représente 1 centaine D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

5 Bases de numération par position Base 10 Détermination d un nombre en base 10 Comptons les étoiles Résultats :142 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

6 Bases de numération par position Base 10 Détermination d un nombre en base 10 Autrement dit : ou encore : 142 = = 2 unités + 4 paquets de 10 (4 dizaines) + 1 paquet de 10 paquets 10 (1 centaine) D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

7 Bases de numération par position Base 10 Ecriture d un nombre en base 10 Ecriture d un nombre entier en base 10 N = n a k 10 k k=0 avec k N et k, a k un entier naturel tel que 0 a k 9. On écrit alors le nombre : a n a n 1..a k...a 1 a 0 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

8 Bases de numération par position Base 10 Ecriture d un nombre en base 10 Exemple Ecrire 1458 comme une combinaison linéaire de puissance de = D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

9 Bases de numération par position Base 2 La base 2 La base 2 est très utilisée en informatique du fait du codage binaire de l information. Base à deux chiffres : symboles 0 et 1 Même règle d écriture que la base 10 : 0000, 0001, 0010, 00011, D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

10 Bases de numération par position Base 2 Ecriture d un nombre en base 2 Ecriture d un nombre entier en base 2 N = n a k 2 k k=0 avec k N et k a k un entier naturel tel que 0 a k 1 On écrit alors le nombre : a n a n 1..a k...a 1 a 0 Conséquence : le plus grand entier codable sur n bits est 2 n 1. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

11 Bases de numération par position Base 2 Passage de la base 2 à la base 10 Exemple 1 Que vaut N = (1101) 2 en base 10? N = N = N = 13 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

12 Bases de numération par position Base 2 Passage de la base 2 à la base 10 Exemple 2 Que vaut N = ( ) 2 en base 10? N = N = N = 78 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

13 Bases de numération par position Base 2 Passage de la base 2 à la base 10 Exemple 3 Quel est le plus grand entier naturel N max codable sur 32bits : écrit en base 2? écrit en base 10? N max = ( ) 2 ou encore N max = ( ) 2 1 N max = = D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

14 Bases de numération par position Base 2 Passage de la base 10 à la base 2 Algorithme : diviser par 2 le nombre N puis diviser par 2 les quotients successifs jusqu à ce que le quotient soit nul. La suite des restes est alors l écriture binaire de N =(10111) D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

15 Bases de numération par position Base b Ecriture d un nombre en base b Ecriture d un nombre entier en base b N = n a k b k k=0 avec k N et k a k un entier naturel tel que 0 a k b 1 On écrit alors le nombre : a n a n 1..a k...a 1 a 0 Conséquence : le plus grand entier codable sur n bits est b n 1. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

16 Bases de numération par position Base b Ecriture d un nombre en base b Exemple Donner l écriture décimale du nombre N = (3221) 4. N = = 233 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

17 Bases de numération par position Base b Passage de la base décimale à la base b Algorithme : diviser le nombre N puis les quotients successifs par b jusqu à ce que le quotient soit nul. Le suite des restes successifs est la représentation de N en base b. Exemple Donner la représentation en base 4 du nombre =(2113) 2 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

18 Représentation des entiers Sommaire 1 Bases de numération par position 2 Représentation des entiers Entiers naturels Entiers relatifs : complément à deux 3 Représentation approchée des réels D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

19 Représentation des entiers Entiers naturels Représentation des entiers naturels Entiers naturels : type int. Entier non signés (i.e. positif). Codage binaire de l information mémorisation et calcul avec des nombres représentés en bases 2. Si processeur 32 bits : entiers codés sur 4 octets (soit 32 bits). Exemple : Si processeur 64 bits : entiers codés sur 8 octets (soit 64 bits). Exemple : D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

20 Représentation des entiers Entiers naturels Bit de poids fort / bit de poids fiable Le bit de poids fort est pour un nombre binaire le bit ayant dans une représentation donnée la plus grande valeur (celui de gauche dans la représentation positionnelle habituelle). Le bit de poids faible est pour un nombre binaire le bit ayant dans une représentation donnée la moindre valeur (celui de droite dans la représentation positionnelle habituelle). Exemple Identifier le bit de poids fort et le bit de poids faible dans Bit de poids fort : 1, bit de poids faible : 0. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

21 Représentation des entiers Entiers naturels Dépassement de capacité Sur 32 bits, le plus grand nombre entier acceptable par le processeur est : N = ( ) 2 = = Sur 64 bits, le plus grand nombre entier acceptable par le processeur est : N = = = Pour les nombres au delà de ces valeurs : il y a dépassement de capacité.le stockage d entier plus long est possible mais plus complexe : on parle de long integer. En python, la conversion integer long integer est automatique. Le nombre est alors suivi d un L : 2 33 = L D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

22 Représentation des entiers Entiers naturels Dépassement de capacité Pour les nombres au delà de ces valeurs : il y a dépassement de capacité. Dans certains langage, au cours d une opération donnant lieu à un dépassement de capacité, les bits surnuméraire sont perdus! Et le résultat et faux! D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

23 Représentation des entiers Entiers relatifs : complément à deux Comment stocker les entiers relatifs? 1 ère idée : réserver un bit de signe (ici le bit de poids fort). Exemple sur 1 octet (8 bits) ( ) 2 = 54 ( ) 2 = 54 Le bit de poids fort vaut 1 si le nombre est négatif et 0 s il est positif. Inconvénients Zéro peut être représenté comme ( ) 2 ou ( ) 2 L addition classique ne fonctionne pas pour les nombres négatifs D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

24 Représentation des entiers Entiers relatifs : complément à deux Comment stocker les entiers relatifs? Solution retenue : le complément à deux. Représentation de x en complément à deux sur n bits (x) 2, si x est positif (2 n x ) 2, si x est négatif 19 et -19 sur 8 bits Représentation en complément à 2? (19) 10 = ( ) 2,( 19) 10 = ( ) 2 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

25 Représentation des entiers Entiers relatifs : complément à deux Comment stocker les entiers relatifs? Astuce pour calculer x On calculer x négatif en complément deux en suivant l algorithme suivant : exprimer x en base 2, changer les 0 en 1, les 1 en 0 dans ( x ) 2, ajouter 1 au résultat. Exemple -6 sur 4 bits? valeur absolue de -6 : 7 = (0110) et 1 0 : 1001 ajout de 1 : 1010 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

26 Représentation des entiers Entiers relatifs : complément à deux Comment stocker les entiers relatifs? Le bit de poids fort s est un bit de signe. Soit v la valeur des n 1 bits de poids faible. Avantage si s = 0, le nombre vaut v. si s = 1, le nombre vaut 2 n 1 + v. Valeurs représentables de 2 n 1 à 2 n 1 1. L addition usuelle fonctionne. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

27 Représentation approchée des réels Sommaire 1 Bases de numération par position 2 Représentation des entiers Entiers naturels Entiers relatifs : complément à deux 3 Représentation approchée des réels D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

28 Représentation approchée des réels Problématique Problématique Erreur de représentation CODE PYTHON In [1]: 1-1/3==2/3 Out[1]: False Tester le programme suivant : =0 hile s!=1: s=s+1/10 print(s)... le résultat est surprenant! D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

29 Représentation approchée des réels Problématique Problématique Absorption CODE PYTHON In [2]: a=1/ ; a Out[2]: e-14 In [3]: 1/(a-(a+a**3)) Out[3]: ZeroDivisionError Traceback (most recent call last) <ipython-input bc9f2> in <module>() ---> 1 1/(a-(a+a**3)) ZeroDivisionError: float division by zero In [4]: a**3 Out[4]: e-40 In [5]: a-(a+a**3) Out[5]: 0.0 In [6]: a-a-a**3 Out[6]: e-40 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

30 Représentation approchée des réels Problématique Problématique Cancellation CODE PYTHON In [7]: a= ;b= In [8]: 1/a,1/b Out[8]: ( e-09, e-09) In [9]: 1/a-1/b Out[9]: e-17 In [10]: (b-a)/(a*b) Out[10]: e-17 L addition n est plus associative? D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

31 Représentation approchée des réels Problématique Problématique Dépassement de capacité CODE PYTHON In [11]: 1e-200 Out[11]: 1e-200 In [12]: 1e-400 Out[12]: 0 In [13]: 1e308 Out[13]: 1e308 In [14]: 1e500 Out[14]: inf D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

32 Représentation approchée des réels Problématique Problématique Dépassement de capacité Quelle est l origine des phénomènes observés? = Mode de représentation des réels. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

33 Représentation approchée des réels Nombre binaire à virgule Nombre binaire à virgule Ecriture d un nombre décimal en base 10 N = n a k 10 k k= m avec k Z et k a k un entier naturel tel que 0 a k 9. On écrit alors le nombre : a n a n 1..a k...a 1 a 0,a 1 a 2...a m Ex : 1,12 = D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

34 Représentation approchée des réels Nombre binaire à virgule Une première solution : nombre binaire à virgule Sur le modèle des nombres décimaux, on réserve des bits au stockage de la partie non entière du nombre. Ecriture d un nombre binaire à virgule N = n a k 2 k k= m avec k Z et k a k un entier naturel tel que 0 a k 1. On écrit alors le nombre : (a n a n 1..a k...a 1 a 0,a 1 a 2...a m ) b Ex : 1,25 = = (1,01) 2 D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

35 Représentation approchée des réels Nombre binaire à virgule Une première solution : nombre binaire à virgule Exemple Décomposer 103,456 en puissance de 10 : Décomposer 11,52 en puissance de 2 puis l écrire en base 2 : 1011, D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

36 Représentation approchée des réels Rappel : écriture scientifique en base 10 Rappel : écriture scientifique en base 10 Ecriture scientifique des nombre en base 10 Soit un réel r. L écriture scientifique de r est : r = a.10 z où 1 a < 10 R et z Z. Exemple Ecriture scientifique de 3562, 2145 : 3, D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

37 Représentation approchée des réels Nombres à virgule flottante (floats) Nombres à virgule flottante On représente le nombre sur le modèle de l écriture scientifique mais en base 2. Nombre à virgules flottantes (floats) Soit N un nombre à virgule. N est représenté en mémoire sous la forme d un nombre à virgule flottante N = s m 2 e e Z 1 m < 2 On écrit la séquence de bits se m avec m = 1,m et e = e D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

38 Représentation approchée des réels Nombres à virgule flottante (floats) Nombres à virgule flottante Nombre à virgules flottantes (floats) Le codage se fait sur 64bits (processeur 64bits). Pour les nombres normalisés : s est le bit de signe : 0 pour positif, 1 pour négatif. m est la mantisse : nombre binaire à virgule codée sur 52bits, avec 1 =< m < 2. En pratique m commence donc toujours par 1 et ce bit n a donc pas besoin d être réservé. On code uniquement m tel que m = 1,m. e est l exposant : nombre relatif codé sur 11bits : 1022 e En pratique, on code e l exposant décalé de 1023 : 1 e D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

39 Représentation approchée des réels Nombres à virgule flottante (floats) Nombres à virgule flottante (floats) Exemples Que vaut en base 10? bit de signe 1 donc nombre négatif exposant e = = = 1541 donc e = e 1023 = 518 mantisse m = = = 0,875 N = 1, = 1, D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

40 Représentation approchée des réels Nombres à virgule flottante (floats) Valeurs spéciales Valeurs s m e e (0) (0) (2047) (2047) 1024 NAN 1 ou (2047) 1024 Nombre dénormalisé 1 ou (0) D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

41 Représentation approchée des réels Peut-on calculer avec les flottants? Dépassement de capacité overflow e > 1023 non représentable e = 1023 et mantisse> non représentable les calculs donnant de tels nombres donnent lieu à un dépassement de capacité (overflow) renvoie d un infini ou NaN (Not a Number) par la machine D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

42 Représentation approchée des réels Peut-on calculer avec les flottants? Dépassement de capacité underflow exposant< 1023 non représentable nombre inférieur au plus petit nombre dénormalisé représentable calcul donnant de tels nombre donne lieu à un soupassement de capacité (underflow) renvoie d un 0 ou d une erreur D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

43 Représentation approchée des réels Peut-on calculer avec les flottants? Problèmes posé les calculs en flottants Dépassements de capacité Erreur de conversion : 0,1 = 0, Absorption : si x y < 2 53 alors x + y = y Cancellation : effacement des chiffres significatifs si soustraction de deux nombres très proches donc perte de précision relative : = D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

44 Quelques conseils Représentation approchée des réels Peut-on calculer avec les flottants? Quelques conseils 1 Eviter la soustraction de deux nombres très proches (Risque de Cancellation) 2 Eviter l addition de deux nombres très différents (Risque d Absorption) 3 L arithmétique des réels ne s appliquent pas aux flottants : 1 pas de comparaison avec les flottants 2 en général, (x + y) + z x + (y + z) : l addition n est pas associative. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

45 Représentation approchée des réels Peut-on calculer avec les flottants? Peut-on calculer avec les flottants? Calcul avec les flottants Les calculs avec les flottants sont toujours approchés! On peut calculer avec les flottants... à condition : de faire attention aux calculs, d évaluer l erreur commise, la convergence, d interpréter de façon critique le résultat obtenu. D.Malka Cours Info - 12 MPSI / 45

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