Numération II. Laval. January 24, Bellepierre

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1 Bellepierre January 24, 2013

2 Opération en base 4 Les nombres sont tous écrit en base 4... La table d addition Exemple

3 Opération en base 4 Soustraction Soustraire, c est compléter une addition. Exemple =? ?

4 Opération en base 4 La table de multiplication x Exemple 2 3 x = 1203

5 Opération en base 4 Diviser 1 on commence par la table du quotient 2 on pose la division Exemple : =? 21 1 = = =

6 Opération en base 2 Les nombres sont tous écrit en base 2... La table d addition facile à retenir Exemple : =

7 Opération en base 2 Soustraction Soustraire, c est compléter une addition. Exemple =? 1 1 +?

8 Opération en base 2 Une table de multiplication facile à retenir x Des décalages Multiplier par (2) 10, c est multiplier par (10) 2 (2 p ) 10 = (1 0 }.{{.. 0} ) 2 p Exemple 1 1 x = 1111

9 Opération en base 2 Diviser 1 inutile de faire la table 2 on pose la division Exemple : =? 11 0 = =

10 Les entiers en informatique Différentes représentations 1 Les entiers relatifs (byte, short, int, long) sont représentés sur un ou plusieurs octets avec comme premier bit le signe. 2 Les entiers naturels sont représentés sur un ou plusieurs octets sans bit réservé au signe. Exemple : byte

11 Représentation en complément à 2 des entiers signés Nombres positifs Ils sont représentés comme attendu. Le premier bit, celui du signe, vaut 0. Nombres négatifs 1 Le bit de gauche, celui du signe, vaut 1. 2 Sur les autres bits, On inverse les bits de l écriture binaire de sa valeur absolue et on ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Exemple (3) 10 = ( ) 2 En inversant les 7 bits de valeurs, donne

12 Représentation en complément à 2 des entiers signés Nombres positifs Ils sont représentés comme attendu. Le premier bit, celui du signe, vaut 0. Nombres négatifs 1 Le bit de gauche, celui du signe, vaut 1. 2 Sur les autres bits, On inverse les bits de l écriture binaire de sa valeur absolue et on ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Exemple (3) 10 = ( ) 2 En inversant les 7 bits de valeurs, donne En ajoutant 1, on obtient

13 Représentation en complément à 2 des entiers signés Nombres positifs Ils sont représentés comme attendu. Le premier bit, celui du signe, vaut 0. Nombres négatifs 1 Le bit de gauche, celui du signe, vaut 1. 2 Sur les autres bits, On inverse les bits de l écriture binaire de sa valeur absolue et on ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Exemple (3) 10 = ( ) 2 En inversant les 7 bits de valeurs, donne En ajoutant 1, on obtient En plaçant le bit de signe, on obtient

14 Représentation en complément à 2 des entiers signés Nombres positifs Ils sont représentés comme attendu. Le premier bit, celui du signe, vaut 0. Nombres négatifs 1 Le bit de gauche, celui du signe, vaut 1. 2 Sur les autres bits, On inverse les bits de l écriture binaire de sa valeur absolue et on ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Exemple (3) 10 = ( ) 2 En inversant les 7 bits de valeurs, donne En ajoutant 1, on obtient En plaçant le bit de signe, on obtient ( 3) 10 = ( ) 2

15 Dépassement et complément à On retrouve bien, comme il y a dépassement, 3 + (-3) =O Remarques 1 Zéro admet une unique représentation : Les additions de nombres relatifs se font naturellement, on respecte la définition (-n)+n = 0 grâce au dépassement. Exemples : les types de nombres signés en java Type Taille Mémoire byte de -128 à oct short de à oct int de à oct long de 2 63 à oct

16 Les réels en informatique Virgule flottante Les réels sont généralement représentés en virgule flottante. Exposant {}}{ 1, = } {{ } 10 5 Mantisse Norme IEEE Directement implémenté dans les microprocesseurs, garantissant une exécution rapide. 2 La mantisse M vérifie 1 M < 2. 3 Le premier bit vaut toujours 1(ce qui permet de gagner un bit de précision). Le nombre vaut en simple précision ( 1) S M 2 E 127 où M est la mantisse codée sur 23 bits, S est le signe codé sur 1 bit(0 ou 1) et E-127 est l exposant avec E codé sur 8 bits.

17 Codage des réels Mémoire Signe Exposant Mantisse Valeur Précision Chiffres significatifs Simple précision 4 oct 1 bit 8bits 23 bits ( 1) S M 2 E bits 7 Double Précision 8 oct 1 bit 11bits 52 bits ( 1) S M 2 E bits 16 Exemple avec (0, 2) 10 Signe Exposant Mantisse Binaire , Base On obtient donc la valeur approché 0, 2 1, au lieu de la valeur exacte 0, 2 = 1, Danger Ces codages ne sont pas utilisés en comptabilité.

18 Les réels en java Type Taille Mémoire float de à oct double de 4, à+1, oct

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