Réponses aux exercices supplémentaires de l intra 2 STT1700 (Automne 2009)

Transcription

1 Réposes aux exercces supplémetares de l tra STT700 (Autome 009). Sot X le ombre de fos où le magce deve correctemet le résultat du dé parm les lacers. Alors X ~ B(, p ), où p = prob. de dever correctemet le résultat du dé pour quelqu u qu a pas de pouvors extra-sesorels = /6.. P( X 0) = Il est doc très très mprobable d avor autat de succès pour quelqu u qu a pas de pouvors. O coclut doc que le magce a u pouvor (ou u truc!).. Sot X le ombre de réposes correctes parm les o questos. Alors X ~ B(0, p ), où p = prob. de dever la boe répose pour quelqu u qu a pas lu le texte et qu répod doc au hasard = /5. P( X 8) = Il est doc mprobable d avor autat de boes réposes pour quelqu u qu répod au hasard. O coclut que les test e mesure pas l apttude à lre pusque quelqu u qu a pas lu le texte peut avor u certa succès e répodat au test. 3. a) 0.99; b) ; c) 0.389; d) ; e) 0.7; f) a) 3.5; b).5; c) 38.75; d) 3.9; e).3; f) Sot X la talle d u homme tré au hasard de la populato. O a X ~ N (70,00). Sot L la logueur du matelas recherchée. O veut L tel que P( X < L) =0.99. O trouve L = 93.6 pouces. 6. Sot X la quatté de petts pos mse par la mache das ue bote. O a ~ (,6). P X < 300 = 0.0. O trouve μ = 309.3g. X N μ O cherche μ tel que ( ) 7. a) 0.677; b) 0.755; c) Sot X le QI d ue persoe trée au hasard de la populato. O a X ~ N(00,00). S X est la moyee de 0 persoes trées au hasard, alors X ~ N (00,0). O calcule P( X 0) = S μ = 00, l est très mprobable de tomber sur u échatllo ot la moyee est auss élevée que 0. O rejette doc l hypothèse que μ = 00, et o coclut que μ est fort probablemet supéreure à Sot X la producto de céréales d u lot sas egras. O a X ~ N(6,). Sot Y la producto de céréales d u lot avec egras. O a Y ~ N(6.3,). Sot X est la moyee de la producto des lots sas egras, alors X ~ N (6,/6). Sot Y est la moyee de la producto des lots sas egras, alors Y ~ N (6.3,/).

2 O a X Y ~ N( 0.3,/6 /) +. O veut P( X Y) P( X Y ) = 0 = Sot X le QI d ue persoe trée au hasard de la premère populato. O a X ~ N ( μ, 00). De plus, X ~ N( μ,0). Sot X le QI d ue persoe trée au hasard de la deuxème populato. O a X ~ N( μ,). De plus, X N( μ,/5). a) S μ μ, X X ~ N (0,0 + /5). = 0 = S les moyees des deux populatos sot égales, alors l est très mprobable de tomber sur des échatllos qu préseterot ue dfférece auss élevée que 0. O coclut que les moyees e sot pas égales et que μ < μ. b) P( X X ). Sot X le pods de la eme persoe qu s etasse das l asceseur, a E X = ; V X =. Sot ( ) 6 ( ) T = X = =,...,. le pods total des persoes qu s etasset das l asceseur. Par le TLC, o T ~ N(896,06). Remarquez qu o utlse le TLC be que = < 30. O trouve que PT 000 = ( ). Sot X ~ N (00,900). Alors X ~ N (00,900 / 5). P X μ = P X 0. a) Il faut calculer ( ) ( ) b) Il faut calculer P( X μ ) = P( X ) X μ μ c) Il faut calculer P = P( X ) d) O cherche tel que P( X ) 98 0 = O trouve = Sot X ~ N( μ,3). Alors X ~ N( μ,3 / 30). P X μ 6 = P X 6 + μ = a) Il faut calculer ( ) ( ) b) Il faut calculer P( X μ ) P( μ X μ ) 6 = = c) O cherche tel que P( μ 6 X μ+ 6) = O trouve = 35.. Sot X le ombre de pèces défectueuses parm les 0 pèces spectées. Alors X ~ B(0, p), où p = prob. de tomber sur ue pèce défectueuse. Par le TLC, o a X ~ N 0 p,0 p( p). ( ) a) P( X p = ) = O

3 b) P( X p = 0.0) = p = 0.05, P( X p ) c) S alors = 0.05 = Autremet dt, s le lot est acceptable (.e., p = 0.05 ), l est très mprobable de tomber sur u échatllo de 0 pèces coteat autat de pèces défectueuses. O coclut que lot est for t probablemet acceptable. d) O cherche C tel que P X C p = 0.05 = O trouve C =.5 = O a X ~ N( μ, /6). P X b) 0.095; ; 0.953;. ( ) a) O cherche C tel que ( C μ ) = 50 = O trouve C = Sot X le ombre de gauchers qu etret das l amphthéâtre parm les 50 étudats. Alors X ~ B(50, p ), où p = prob. d être gaucher = 0.. Par le TLC, o a X ~ N(50,0), P( X 6) = a) 0.09; b) 0.0; c) 0.7; 8. O a X ~ N ( μ;9 ). Doc la répose est : χ. 9. O a V( X X) = + = +. O cherche et qu mmse (00 ) cette varace. O dérve doc par rapport à. V( X X ). O a = + (00 ) V( X X) = 0 =. + Falemet, o a = 00 =. + terprétato tout à fat aturelle. Réfléchssez à ce résultat car l a ue 0. Smlare à L exemple vu e classe. 3

4 p( p). O sat que Var( ˆp ) =. Motrer que Var( ˆp ) / est doc équvalet à motrer que p( p). Or la focto p( p) se comporte comme sut : pq 0 p. Ic, l faut utlser que la lo de Studet est symétrque et de moyee 0. La faço de procéder est smlare à celle que vous utlserez pour ue orme de moyee 0 et de varace. a),08586; b) -.353; c).5798; d).77; e).08596; f).853; 3. Itervalle de coface pour p : 8 0 ± p P,88 ˆ ˆ ˆ,05 ˆ p p p+ = P,05,88 = ˆ { N (0,) 5. O cherche tel que [ ˆ ] P p 0, P p 0,0 p p+ 0, p 0,0 p p p+ 0,0 p P 0.95 { N (0,) 0,0 p 0,0 P pq pq { N (0,)

5 Mas s p est au maxmum 5%, alors pq est maxmum lorsque p est égal à 5% (vor fgure c-dessous. pq 0 p O posera doc das l équato c-dessus p = 5%, ce qu ous garatra la plus grade talle d échatllo possble. Doc, o cherche tel que 0,0 p 0,0 P , p 0, {ˆ N (0,) Autremet dt, l faut résoudre pour l équato suvate : 0,0 0, = a) X N( μ ) N( ) 56). Doc, ( X μ) X μ ~ ; ~ 0; ~ χ (par le théorème.6 p. ( X μ) ~ χ (par le théorème,7 p. 56). O a doc motré que ˆ = X μ = ~ χ. / 5

6 ˆ E = E ( ˆ ) = ( ˆ ) E = (p.55) b) ˆ V (p.55) = V ( ) ˆ = V ( ˆ ) =. c) D abord, o a ( ) ( X ) S μ = ( ) ( ) = ~ χ. (pour les mêmes rasos qu e (a)). S E = E ( S ) = E( S ) = ( ) ( ) S V = V ( S ) = V( S ) = ( ) d) ˆ est melleur car sas bas et l a ue plus pette varace que S (motrez le!). 6