TSI 2 DS 1 ELECTRONIQUE durée 2 heures sam 22 sept Consacrez au maximum 1h15 au pba, au minimum 45 min au pb B

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1 TSI 2 DS 1 ELECTRONIQUE durée 2 heures sam 22 sept 218 CALCULATRICES INTERDITES Consignes de présentation OBLIGATOIRES Faire une marge à DROITE de 5 cm de large. Laisser un espace de 8 cm de haut au début de la première copie, pour les appréciations et la note. Encadrer les résultats littéraux et numériques. Tracer un trait en travers de toute la feuille entre deux questions. Démarrer chaque exercice en haut d'une page Tout résultat sera soigneusement démontré. Votre objectif est de BIEN REDIGER les questions que vous traitez, pas d essayer de TOUT traiter MAL. Consacrez au maximum 1h15 au pba, au minimum 45 min au pb B A. Oscillateur de relaxation Ce problème traite d un oscillateur de relaxation, système oscillant dont la sortie commute entre deux états, il s agit d un générateur de signaux en électronique 1 / Amplificateur opérationnel idéal La représentation symbolique de l amplificateur linéaire intégré (ALI) et la notation adoptée sont précisées en figure 1, ci-dessous : E i E i i S S E R 1 S v S v S R 2 = 2 R 1 La valeur absolue de la tension de saturation en sortie vaut : V SAT = 15 V Rappeler les hypothèses de l AO idéal Préciser ses deux régimes de fonctionnement et les conditions sur et v S associées. 2 / Comparateur à hystérésis Stabilité du montage Figure 1 Figure 2 Considérons le montage de la figure 2 ci-dessus. L amplificateur ALI est idéal. Dans son comportement intrinsèque, l ALI est un système linéaire du premier ordre. La tension de sortie v S de l AO est liée à la tension différentielle d entrée par une équation différentielle linéaire du premier ordre qui s écrit : dvs() t vs( t) = Ad ( t), 1-2 s : constante de temps de l amplificateur opérationnel ; A d 1 5 : coefficient d amplification statique (ou gain en régime continu) 2.1. Établir l équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle obéit v S(t) en fonction de A d, et (t). Le système est-il stable ou instable? En déduire le mode de fonctionnement de l AO Évaluer numériquement la constante de temps B caractéristique de l évolution de v S(t). Commenter.

2 Description du cycle d hystérésis 2.3. Justifier qu il y a basculement de v s de V sat à -V sat ou de -V sat à V sat pour deux valeurs seuils de à préciser La tension d entrée est sinusoïdale de pulsation et d amplitude V EM = 15V. Compléter la caractéristique statique de transfert vs = f( v E) du montage, fournie sur le document-réponse. Préciser le sens d orientation du cycle obtenu. Justifier le nom donné au montage : «comparateur non inverseur à hystérésis». 3 / Génération de signaux périodiques Les amplificateurs opérationnels du montage suivant (figure 5) sont supposés idéaux. R 2 R 1 AO1 C q R S E AO2 v S Figure Identifier les fonctions réalisées par chacun des montages associés à chacun des amplificateurs opérationnels AO1 et AO2. Expliquer pourquoi le dispositif est qualifié d «astable». La condition initiale imposée est q ( t = ) =. A cet instant, v S bascule en saturation positive : saturation négative correspond à un signal de sortie V SAT. v ( ) = V. La 3.2. Déterminer l évolution de (t) au cours du temps en fonction de R, C, V SAT et t. Pour quelle valeur de et à quel instant t le premier basculement de v S vers V SAT se produit-il? 3.3. En choisissant t comme origine des temps, déterminer la nouvelle évolution de (t). Pour quelle valeur de le basculement de v S en saturation positive se produit-il? Quelle est la durée t 1 de la phase de saturation négative de v S? Quelle est la durée t 2 de la phase suivante correspondant à une saturation positive de v S? Exprimer la période T des oscillations en fonction de R, R 1, R 2 et C Représenter, sur le chronogramme 2 du document-réponse, les évolutions de v S(t) et (t) au cours du temps, pour R2 = 2 R1. Quels types de signaux sont générés par un tel dispositif? 3.5. Compléter sur le document-réponse la caractéristique statique de transfert vs = f( v E) du montage. Préciser le sens d orientation du cycle obtenu. S SAT

3 B. Filtre passe-bande (banque PT 218) On désire réaliser un filtre passe-bande : pour cela on dispose d une série de 4 «boites» dont on peut voir les composants et leur montage. Les ALI seront toujours supposés idéaux et fonctionnant dans leur domaine de linéarité. 1. Indiquer sans calculs (en utilisant les équivalents d une capacité en haute fréquence et en basse fréquence) parmi les différents montages présentés ci-dessous (figure 8) lesquels réalisent un filtre passebande. 2. Parmi ceux que vous avez sélectionnés, pourquoi celui dans lequel est placé un ALI est-il plus intéressant? Par la suite, on utilisera ce montage noté M.

4 Gain (db) 3. Dans les représentations ci-dessous (figure 9-a, figure 9-b et figure 9-c), indiquer quel est le diagramme qui peut correspondre au montage M Fréquence (Hz) Figure 9-c 4. On rappelle que la fonction de transfert d un filtre passe-bande du second ordre s écrit sous la forme canonique suivante : H( jf ) H = f' 1 jq f. f - f' Déterminer les grandeurs H, Q et f sur le diagramme, définir les fréquences de coupure et vérifier que la largeur de bande passante vaut fc = f Q. Données numériques : log(2),3 log(3),48 log(5),7 log(7),85 log(ab) = log(a) log(b)

5 Document-réponse, à compléter et rendre avec la copie 2.4. Caractéristique statique de transfert : cycle d hystérésis : 5 V/division v S : 5 V/division v S (V) (V) 3.4. Génération de signaux périodiques (t) et v S(t) V SAT RC 2RC t V SAT chronogramme Caractéristique statique de transfert : génération de signaux périodiques : 5 V/division v S : 5 V/division v S (V) (V)

6 CORRIGE DS 18/9/218 PARTIE A 1.1 : hypothèses de l ALI idéal : résistance d entrée infinie, donc i = et i - = résistance de sortie nulle 1.2. Régime linéaire : - VSAT < vs < VSAT et = Régime saturé : vs = VSAT et > ou vs = - VSAT et < 2.1 E - est reliée à la masse par un fil donc V - = ALI idéal donc i = : R1 et R2 sont parcourues par la même intensité. Loi des nœuds en E : V E V R 1 = V V S R 2 = V V S 2R 1 2 (ve V ) = V - vs V = (2 ve vs)/3 dvs() t Equation différentielle vérifiée par vs : vs( t) = Ad ( t) =A d ( V - V - )= A d (2 ve vs)/3 D où d(v S) ( 1- A d 3 ) vs = 2 A d 3 ve Les solutions générales de l équation homogènes sont de la forme exp( ( A d 3-1)t/), Comme le coeff A d 3 1 est positif, vs tend vers l infini : ce n est pas possible physiquement, le montage est instable, donc l ALI ne peut pas fonctionner en régime linéaire, vs alterne entre les valeurs VSAT et VSAT 2.2 On peut définir B = / ( A d 3 1) s temps caractéristique très faible vs 2.3. vs = VSAT > V > V - (2 ve vs)/3 > ve > - vsat /2 ve vs = - VSAT < V < V - (2 ve vs)/3 < ve < vsat /2 hystérésis : pour une même valeur de comprise ve entre - vsat /2 et vsat /2, vs peut prendre deux valeurs 3.1 le montage associé à AO1 est celui étudié en question 2 : en sortie vs vaut soit VSAT, soit VSAT. Soit i l intensité du courant traversant R et C (car i - = ), de S vers E : i = V s V R = C d(v V E ) AO2 en régime linéaire et E relié à la masse par un fil : V - = V = On obtient : d(v E) = - 1 RC vs VE est une fct croissante lorsque vs = - VSAT et décroissante lorsque vs = VSAT L AO1 bascule entre les deux valeurs d où le nom d astable

7 3.2 t = : la charge d un condensateur est une fonction continue du temps q( - ) = q( ) = avec q = C (V - - ve) On en déduit ve ( - ) = ve ( ) = L énoncé donne vs ( ) = VSAT En intégrant l équation différentielle ci-dessus on obtient ve = 1 RC VSAT t Cette solution est valable tant que ve > - vsat /2, soit t < RC/2 Le premier basculement de vs vers VSAT se produit à t = RC/2, avec ve (t) = - vsat /2 3.3 t > t : la charge d un condensateur est une fct continue du temps q(t - ) = q(t ), avec q = C (V - - ve) On en déduit ve (t - ) = ve (t ) = - vsat /2 Dans cette phase vs (t) = - VSAT En intégrant l équation différentielle: ve(t) - ve(t) = 1 Cette solution est valable tant que ve < vsat /2, soit t - t < RC RC VSAT ( t - t ) ve(t) = 1 RC VSAT ( t - t ) - vsat /2 Le basculement de vs vers VSAT se produit à t1 = t RC = 3/2 RC, avec ve (t1) = vsat /2 La durée t1 de la phase négative de vs dure RC, de même que la phase positive. La période des oscillations est 2RC. Le montage génère un signal triangulaire et un signal créneau. 3.4 v SAT v S v SAT /2 t - v SAT /2 RC 2RC - v SAT 3.5 v S

8 PARTIE B 1. «Indiquer sans calcul» ne veut pas dire «indiquer sans justification» Il faut dessiner les schémas équivalents en BF et HF des 4 montages, oui, je sais c est fatigant, mais cela rapporte plus de points que d affirmer joyeusement que tel ou tel montage est passe-bande. L impédance d un condensateur est Zc = 1 jcω en BF :, donc Zc, donc le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en HF :, donc Zc, donc le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé dans les montages à ALI : - il y a rétroaction de S sur E - donc l ALI est en régime linéaire : V = V - - l entrée E est reliée à la masse par un fil : V = dans un filtre passe-bande VS tend vers en BF et HF Montage 1 en BF : le condensateur déconnecte VE du montage : VS = (seul cas où vous pouvez économiser un schéma) en HF VS = V - = V = Le montage 1 est un filtre passe-bande Montage 2 En BF on applique la loi des nœuds en E -, avec i - = V s V R = V V E R D où VS = - VE VE VS Il est inutile de faire l étude en HF, ce montage ne peut pas être un passe-bande Montage 3 en BF : le condensateur déconnecte VE du montage : VS = (vous pouvez économiser un schéma) en HF : on retrouve le cas BF du montage 2 : VS = - VE ce montage n est pas un passe-bande Montage 4 en BF : les condensateur déconnectent VE du montage : VS = (vous pouvez économiser un schéma) en HF : VS est la tension aux bornes d un fil (C1) donc VS = le montage 4 est un filtre passe-bande 2. L utilisation d un montage à ALI permet usuellement d augmenter l impédance d entrée du filtre et/ou de diminuer son impédance de sortie, et donc de moins perturber le reste du montage. Il peut également potentiellement permettre un gain supérieur à 1.

9 3. Le diagramme sans nom correspond à un filtre passe-bande 4. Cette question a été traitée en détail en classe a) Il faut faire le tableau asymptotique de la fonction de transfert b) Il faut démontrer que le gain G est maximum lorsque f = f : on trouve ainsi f = 15 Hz (attention, échelle log) de plus : GdBmax = 2 log (H) = 14 d où H = 5 c) Pente des asymptotes : IL FAUT SE PLACER LE PLUS LOIN POSSIBLE DU MAXIMUM : pour la décade [1,1] Hz, le gain augmente de 2 db pour la décade [1 4,1 5 ] Hz, le gain diminue de 2 db d) Intersection des asymptotes lorsque 2 log( H f ) 2 log ( ) = 2 log( H f ) - 2 log ( Q f Q d où f = f et GdB = 2 log( H Q ) On constate sur le graphe que les asymptotes se coupent sur le point maximum de GdB, donc Q = 1 e) Fréquences de coupure : définies par GdB(fc) = GdBmax 3 = 11 db On trouve environ 1 et 25 Hz, ce qui vérifie bien fc = f Q f )