N o XIF au catalogue. Techniques d'enquête. Décembre 2005

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1 N o -00-XIF au catalogue Tecnques 'enquête Décembe 005

2 Comment obten autes eegnements Toute emane e eegnements au suj u pésent pout ou au suj e statstques ou e sevces connees ot ête aessée à : Dvson es métoes enquêtes aupès es entepses, Statstque Canaa, Ottawa, Ontao, KA 0T6 (télépone : ). Pou obten es eegnements su l eemble es onnées e Statstque Canaa qu sont sponbles, veullez compose l un es numéos sa fas suvants. Vous pouvez également communque avec nous pa couel ou vste note ste Web. Sevce natonal e eegnements Sevce natonal appaels e télécommuncato pou les malentenants Reegnements concenant le Pogamme es sevces e épôt Télécopeu pou le Pogamme es sevces e épôt Reegnements pa couel nfostats@statcan.ca Ste Web Reegnements pou accée au pout Le pout n o -00-XIF au catalogue est sponble gatutement. Pou obten un eemplae, l sufft e vste note ste Web à e cos la ubque Nos pouts sevces. Nomes e sevce à la clentèle Statstque Canaa s engage à foun à ses clents es sevces apes, fables coutos, ce, a la langue offcelle e leu co. À c éga, note ogame s est oté e nomes e sevce à la clentèle qu ovent ête obsevées pa les emploés losqu ls offent es sevces à la clentèle. Pou obten une cope e ces nomes e sevce, veullez communque avec Statstque Canaa au numéo sa fas Les nomes e sevce sont auss publées a le ste sous À popos e Statstque Canaa > Off es sevces au Canae.

3 Statstque Canaa Dvson es métoes enquêtes aupès es entepses Tecnques 'enquête Décembe 005 Publcaton autosée pa le mte espoable e Statstque Canaa Mte e l Inuste, 006 Tous ots ésevés. Le contenu e la pésente publcaton électonque peut ête epout en tout ou en pate, pa quelque moen que ce sot, sa aute pemsson e Statstque Canaa, sous éseve que la epoucton sot effectuée unquement à es f étue pvée, e ecece, e ctque, e compte enu ou en vue en pépae un ésumé estné au jounau /ou à es f non commecales. Statstque Canaa ot ête cté comme sut : Souce (ou «Aapté e», s l a leu) : Statstque Canaa, année e publcaton, nom u pout, numéo au catalogue, volume numéo, péoe e éféence page(s). Autement, l est nt e epoue le contenu e la pésente publcaton, ou e l emmagasne a un sstème acton, ou e le tamte sous quelque fome ou pa quelque moen que ce sot, epoucton électonque, mécanque, potogapque, pou quelque fn que ce sot, sa l autosaton écte péalable es Sevces octo e lcences, Dvson es sevces à la clentèle, Statstque Canaa, Ottawa, Ontao, Canaa KA 0T6. Ma 006 N o -00-XIF au catalogue ISSN Péocté : semestel Ottawa Ts publcaton s avalable n Engls upon equest (catalogue no. -00-XIE) Note e econnassance Le succès u sstème statstque u Canaa epose su un patenaat ben établ ente Statstque Canaa la populaton, les entepses, les amtato canaennes les autes ogames. Sa cte collaboaton cte bonne volonté, l seat mpossble e poue es statstques pécses actuelles.

4 4 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Vol. 3, N o, pp Statstque Canaa, N o -00 au catalogue Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Cangbao Wu Résumé Nous pésento es algotmes nfomatques pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque poposée écemment pou l analse es onnées enquête complees. Pluseus algotmes essentels pou le calcul es estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque la cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque sont mplantés au moen es logcels statstques R S-PLUS usage tès épanu. Les coes pncpau sont écts sous la fome e foncto R/S-PLUS peuvent onc ête utlsés ectement a les applcato enquête (ou) les étues en smulaton. Mots clés : Intevalle e confance; algotme e bsecton; vasemblance empque; pocéue e Newton- Rapson; écantllonnage statfé; écantllonnage avec pobabltés négales.. Intoucton L un es gans éfs que pose l applcaton e métoes statstques avancées souvent complees à es sonages éels est l mplantaton nfomatque e la métoe. Souvent, es coéato patques oblgent à eje es métoes téoquement vales séusantes, mas nécesstant une quantté ncoable e calculs. La métoe e la vasemblance empque, poposée pou la pemèe fos pa Owen (988), est l un es pncpau pogès éalsés en statstque au cous es 5 enèes années. Oute le fat qu elle sot aée su les onnées qu elle especte les gammes e valeus a l estmaton les tests, sa natue non paamétque scète est patculèement ntéessante pou la ésoluton e poblèmes en populaton fne. En eff, l une e ses pemèes veso, appelée métoe es estmateus «scale-loa», a été utlsée en sonage pa atle Rao en 968. L étue plus écente e cte métoe a le conte es sonages a onné leu à la publcaton une sée e ocuments e ecece suscté cez les statstce enquête un vf ntéêt qu les a poussés à l eploe plus en étal. Wu Rao (004) ésument bèvement les fats écents concenant la métoe e la pseuo-vasemblance empque (PEL pou Pseuo Empcal Leloo). Des pogès ont également été éalsés en ce qu concene l élaboaton algotmes. Cen, Stte Wu (00) ont poposé une pocéue e Newton-Rapson mofée pou calcule les estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque sous écantllonnage non statfé. Wu (004a) a pousuv la mofcaton e la pocéue afn e pemte le tatement es pla e sonage statfés. Da le pésent atcle, nous pésento es algotmes nfomatques pemtant e calcule les estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque e cotue les ntevalles e confance es appots e pseuovasemblance empque connees pou es pla e sonage complees sous un cae unfé, en mtant sutout l accent su l mplantaton e ces algotmes au moen es logcels R S-PLUS. Le pogcel R, un envonnement e pogammaton convval compatble avec le logcel statstque commecal S-PLUS tès épanu, ntéesse e plus en plus les statstce. L un es avantages e l utlsaton u pogcel R est qu l est off gatutement pou la ecece qu l peut ête télécagé faclement à pat Inten. Nous espéo que le pésent atcle comblea le fossé qu este à l eue actuelle ente les éveloppements téoques les applcato patques e la métoe e la pseuovasemblance empque qu l susctea autes tavau e ecece a ce omane en vue e ene l utlsaton e cte métoe entèement patque. L algotme e calcul e l estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque sous écantllonnage non statfé canes emaques su son mplantaton a R/S-PLUS sont pésentés à la secton. L algotme e Wu (004a) pou l écantllonnage statfé est scuté à la secton 3. La cotucton e l ntevalle e confance u appot e pseuo-vasemblance empque, qu compen l établssement u pofl e cte statstque, est écte en étal à la secton 4. Tous les eemples e coe ou e foncton R fguent à l annee. Ils peuvent ête télécagés à pat e la page accuel pesonnelle e l auteu à ttp:// ~ cbwu/pape.tml. Ces coes foncto ont été testés los e l étue en smulaton. Cangbao Wu, Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo, Wateloo (Ontao), NL 3G, Canaa. Couel : cbwu@uwateloo.ca.

5 Tecnques enquête, écembe écte a Wu Rao (004) ont onné e tès bo ésultats.. Écantllonnage non statfé Coéo une populaton fne cottuée e N untés entfables. Assocées à la e unté sont es valeus e la vaable étuée,, un vecteu e vaables aulaes,. Le vecteu e moennes e populaton X N N est connu. Sot {(, ), s les onnées écantllon, où s est l eemble untés sélectonnées selon un plan e sonage complee. Sot π P ( s) les pobabltés e sélecton / π les pos e sonage. L estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque e la moenne e populaton Y N N est calculé comme étant Y ˆ PEL s pˆ, où les pos pˆ sont obtenus en mamsant la foncton e pseuo logvasemblance empque l ( p ) n log( p ) (.) s sous les contantes 0 p <, p p X. (.) < s s La foncton e pseuo-vasemblance empque ognale poposée pa Cen Stte (999) est l ( p) s log ( p ). La foncton e pseuo-vasemblance empque l ( p) onnée pa (.) a été utlsée pa Wu Rao (004), où les / s sont les pos e sonage nomalsés n est la talle effectve écantllon. L estmateu ponctuel YˆPEL s pˆ este le même pou l une l aute veson e la foncton e vasemblance. Le éécelonnement utlsé a l ( p) faclte la cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque. En utlsant comme agument un multplcateu e Lagange stana, nous pouvo monte que pˆ pou s, (.3) + λ ( X ) où le multplcateu e la Lagange évalué vectoellement, λ, est la soluton e ( ) ( ) X g λ 0. + λ ( X ) s Ic, la pncpale tâce e calcul coste à touve la soluton e g ( λ ) 0, ce qu peut se fae en utlsant la pocéue e Newton-Rapson mofée poposée pa Cen coll. (00). La mofcaton compen la véfcaton, à caque étape e mse à jou, que la contante + λ ( X ) > 0 (.e., p > 0) est encoe satsfate. Sa pe e généalté, nous supposo que X 0 (snon l faut emplace patout pa X ). La pocéue mofée est la suvante. Étape 0 : Sot λ 0 0. Fe 0, γ 0 ε 0 8. Étape : Calcule Δ ( λ ) Δ ( λ ), où Δ ( λ) s + λ Δ ( λ) Δ( λ). ( + λ ) s S Δ ( λ ) < ε, aête l algotme onne la valeu e λ a le appot; autement, passe à l étape. Étape : Calcule δ γ Δ ( λ ). S + ( λ ) δ 0 pou tout, pose que γ γ / épéte l étape. Étape 3 : Pose que λ + λ δ, + γ + ( + ) /. Passe à l étape. Da l algotme ognal pésenté pa Cen coll. (00), l étape coste auss à véfe une foncton objectve uale connee. Ben qu elle sot nécessae pou la peuve téoque e la convegence e l algotme, cte véfcaton n est pas vament equse pou les applcato patques. La foncton R Lag(u,s,mu) peut ête utlsée pou touve la soluton e g ( λ ) 0 quan le vecteu e vaables aulaes est e meon m que m. Quan est unvaé, une métoe e bsecton êmement smple stable qu sea écte bentôt evat ête utlsée. Sot n la talle écantllon. Les tos aguments equs sont la matce e onnées u e meo n m, le vecteu e pos e sonage s e meon n le vecteu e moennes e populaton mu e meon m. La sote e la foncton Lag(u,s,mu) onne la valeu e λ qu est la soluton e g ( λ ) 0. La foncton Lag(u,s,mu) ne founa pas e soluton s ) le vecteu moen X n est pas un pont ntéeu e l enveloppe convee fomée pa {, s, ou que ) la matce s n est pas e plen ang. Da le cas (), l estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque n este pas. Cec se pout avec une pobablté s appocant e zéo à mesue que la talle écantllon n ten ves l nfn; a le cas (), on peut envsage e suppme canes composantes es vaables e l eemble e contantes (.) pou élmne le poblème e colnéaté. S la vaable est unvaée, l en est e même u multplcateu e Lagange λ concené. Da ces conto, nous evo ésoue g ( λ) s /(+ λ) 0 pou un scalae λ, en supposant que X 0. Il este Statstque Canaa, N o -00 au catalogue

6 6 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages une soluton unque s, unquement s, mn{, s < 0 < ma{, s. La soluton, s elle este, est compse ente L / ma{, s U / mn{, s. En notant que g ( λ) est une foncton monotone écossante pou λ ( L, U ), l algotme le plus effcace fable pou ésoue g ( λ ) 0 est la métoe e bsecton. La foncton Lag(u,s,mu) fat pécsément cela, où les aguments equs sont u (,..., n ), s (,..., n ) mu X. La sote onne la soluton e g (λ) 0. La foncton Lag(u,s,mu) peut ête utlsée conjuguée à l appoce e la pseuo-vasemblance empque étalonnée au moen un moèle (PVEEM) e Wu Stte (00) pou tate les cas où la vaable compen un nombe élevé e meo. L appoce PVEEM ne compote qu une seule vaable e pécton e meon tée un moèle e égesson lnéae multple le poblème connee u multplcateu e Lagange est toujous unmeonnel. 3. Écantllonnage statfé Sot {(, ), s,,..., les onnées écantllon povenant un plan e sonage statfé. Sot / s les pos e sonage nomalsés pou la state,,...,. La foncton e pseuovasemblance empque sous écantllonnage statfé éfne pa Wu Rao (004) est onnée pa l st W s ( p,..., p ) n log( p ), (3.) où les W N / N sont les pos e state n est la talle totale effectve écantllon telle que éfne a Wu Rao (004). La valeu e n n est pas nécessae pou l estmaton ponctuelle, mas cte cotante e mse à l écelle est equse pou la cotucton es ntevalles e confance. Sot X le vecteu connu es moennes e populaton pou les vaables aulaes. L estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque e la moenne e populaton Y W Y est éfn comme étant Y ˆ PEL W s pˆ, où les pˆ mamsent l st ( p,..., p ) sous l eemble e contantes p > 0, p,,..., s W s p X. (3.) Sous écantllonnage statfé, la pncpale ffculté e calcul est ue au fat que la sous-nomalsaton es pos (c est-à-e s p ) a leu au nveau e la state, alos que les contantes étalonnage (c est-à-e W p s X ) la mamsaton contante e la foncton e pseuo-vasemblance empque se font au nveau e la populaton. L algotme poposé pa Wu (004a) pou calcule les pˆ se éoule comme sut : sot l augmentaton e afn nclue les pemèes vaables ncatces e state l augmentaton e X afn nclue ( W,..., W ) en tant que ses pemèes composantes. Da le cas où l n este aucune contante étalonnage, la vaable augmentée coespon au vaables ncatces e state unquement X ( W,..., W ). Il s eut que l eemble e contantes (3.) est équvalent à p > 0, W p W s s p X, (3.3) où la vaable est mantenant augmentée. Sot u X. Il est facle, en utlsant comme agument un multplcateu e Lagange stana, e monte que pˆ, + λ u où λ évalué vectoellement est la soluton e u g 3 ( λ ) W 0. + λ u s La pocéue e Newton-Rapson mofée e la secton pou la ésoluton e g ( λ ) 0 peut ête utlsée pou ésoue g 3 ( λ ) 0. L étape clé u calcul sous écantllonnage statfé coste à onne au fce e onnées un fomat appopé pou pouvo appele ectement la foncton R Lag(u,s,mu) utlsée pou l écantllonnage non statfé. Des eemples e coes R pou le fae fguent en annee. 4. Cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque Ben que les algotmes nfomatques pou l estmateu u mamum e vasemblance pseuo empque sous pla e sonage statfé non statfé ffèent quelque peu, la ecece es bones nféeue supéeue e l ntevalle e confance u appot e pseuovasemblance empque pou Y compote le même tpe analse e pofl. Sous un plan e sonage non statfé, l ntevalle e confance e nveau ( α) u appot e pseuo-vasemblance empque e Y est cotut e façon telle que { θ ( θ) < χ ( α), (4.) Statstque Canaa, N o -00 au catalogue

7 Tecnques enquête, écembe où χ ( α) est le quantle α une lo χ à un egé e lbé. Le appot es log pseuo-vasemblances empques (θ) est onné pa ( ~ ( θ ) { l p) l ( pˆ), où les pˆ mamsent l ( p) sous l eemble e «contantes stana» telles que (.) les ~ p mamsent l ( p) sous les «contantes stana» une contante supplémentae nute pa le paamète ntéêt, Y, c est-à-e p θ. (4.) s Pou calcule ~ p, l faut tate (4.) comme une composante supplémentae e l eemble e «contantes stana» pou caque valeu fée e θ, e sote que le pocessus e mamsaton sot essentellement le même qu aupaavant. Sot ( L ˆ, Uˆ ) l ntevalle onné pa (4.). La métoe e bsecton que nous avo poposée pou touve Lˆ Uˆ est fonée su les obsevato suvantes : ) La valeu mnmale e (θ) est attente à θ ˆ ˆ s p YPEL. Da ce cas, ~ p pˆ (θ) 0. ) L ntevalle ( L ˆ, Uˆ ) est boné pa ( ( ), ( n ) ), où ( ) mn{, s ( n ) ma{, s. ) Le appot e pseuo-vasemblance empque (θ) est une foncton monotone écossante pou θ (, ˆ ( ) YPEL ) monotone cossante pou θ Yˆ, ). ( PEL ( n ) Nous pouvo ave à la concluson ) en notant que l ( pˆ ) ne fat pas nteven θ que l ~ ( p ) n s log( ~ p ) est tpquement une foncton concave e θ. Il est également possble e monte cela en véfant ectement ( θ) / θ. Pa eemple, a le cas où n ntevent aucune nfomaton aulae, les «contantes stana» sont p > 0 s p. Les pˆ sont onnés pa Y ˆ s PEL. Les p~ sont calculés sous la fome ~ p, (4.3) + λ ( où λ est la soluton e ( 0. (4.4) + λ ( s En patant e (4.3) (4.4), en notant que s / ( + λ ( ), l est facle e monte que {( λ / θ) ( λ ( θ) n n λ. θ + λ( s ( + λ( λ( En éécvant sous la fome ( [{ ] apès ca egoupements a (4.4), nous obteno λ s + λ( ( s θ. Il s eut que ( θ) / θ n λ < 0 s θ < s Y ˆ 0 PEL ( θ)/ θ > autement. Les eemples e coes pou touve ( L ˆ, Uˆ ) quan aucune vaable aulae n est utlsée fguent à l annee. Da ces conto, p ˆ Yˆ s Yˆ PEL est l estmateu e aje e Y. Le pocessus établssement u pofl coste à touve λ pou caque valeu cose e θ à évalue le appot e pseuovasemblance empque (θ) en foncton e la valeu seul e la lo χ sous le nveau e confance α souaté. S l on utlse es onnées aulaes, l faut mofe le calcul e (θ) pou caque valeu fée e θ. L algotme e bsecton pou touve Lˆ Uˆ emeue le même. La talle effectve écantllon n ot ête connue pou calcule le appot e pseuo-vasemblance empque (θ). Da le cas es pla e sonage non statfés, on la calcule selon n Sˆ / Vˆ ( ), où S ( j ) ˆ N ( N ), s j > π j π π j π j e e j V ˆ ( ), N s j > π j π π j ˆ où e Yˆ T Y T N s. Coulte Wu Rao (004) pou plus e pécso. Le calcul e n compen les pobabltés e sélecton e euème oe π j qu peuvent pose un va éf s l on utlse un plan e sonage PPT. Da leu étue en smulaton, Wu Rao (004) ont utlsé la métoe écantllonnage PPT e Rao-Sampfo. Les foncto R pou sélectonne un écantllon PPT selon cte métoe, a que pou calcule les pobabltés e sélecton e euème oe connees peuvent ête coultées a Wu (004b). Des foncto R smlaes sont également sponbles a un pogcel R complémentae appelé «pps» [pou pobablt popotonal to sze], égé pa J. Gambno (003), qu peut ête télécagé à la page accuel R à ttp://can.- poject.og/ en clquant su l opton pacages. Remecements Cte étue a été fnancée pa une bouse u Coel e ececes en scences natuelles en géne u Canaa. L auteu emece un éacteu assocé e ses commentaes cotuctfs qu lu ont pems améloe l atcle. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue

8 8 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Annee : Coes R/S-PLUS A. Foncton R pou ésoue g ( λ ) 0. Sot m le nombe e vaables aulaes concenées m. Tos aguments sont equs a la foncton Lag(u,s,mu) : () u : la matce e onnées e meo n m avec e en tant que lgne,..., n ; () s : le vecteu e pos e sonage e meon n cottué e,..., n ; (3) mu : le vecteu e moennes e populaton e meon m X. La sote e la foncton est la soluton e g ( λ ) 0. Lag<-functon(u,s,mu) { n<-lengt(s) u<-u-ep(,n)%%t(mu) M<-0mu f<- tol<-e-08 wle(f>tol){ D<-0mu DD<-D%%t(D) fo( n :n){ aa<-as.numec(+t(m)%%u[,]) D<-D+s[]u[,]/aa DD<-DD-s[](u[,]%%t(u[,]))/aa^ D<-solve(DD,D,tole-) f<-ma(abs(d)) ule<- wle(ule>0){ ule<-0 f(mn(+t(m-d)%%t(u))<0) ule<-ule+ f(ule>0) D<-D/ M<-M-D un(m) A. Foncton R pou la ésoluton e g (λ) 0. Losque la vaable est unvaée, la soluton e g (λ) 0 peut ête obtenue au moen une métoe e bsecton smple fable. Les tos aguments equs pou la foncton Lag(u,s,mu) sont u (,..., n ), s (,..., n ) mu X. La sote est la soluton e g (λ) 0. Lag<-functon(u,s,mu) { L<--/ma(u-mu) R<--/mn(u-mu) f<- tol<-e-08 wle(f>tol){ M<-(L+R)/ glam<-sum((s(u-mu))/(+m(u-mu))) f(glam>0) L<-M f(glam<0) R<-M f<-abs(glam) un(m) A3. Eemple e coe pou l écantllonnage statfé. Nous evo appele la foncton Lag(u,s,mu) à pat e l écantllonnage non statfé. L étape essentelle est la pépaaton u fce e onnées afn e lu onne le fomat appopé. Sot () n ( n,..., n ) le vecteu e talle écantllon e state; () la matce e onnées avec comme vecteus e lgne,,..., n,,..., ; (3) s (,..., n,...,,..., ), n où les sont les pos e sonage ntau nomalsés pou la state ; (4) X le vecteu e moennes e populaton connues; (5) W ( W,..., W ) le vecteu e pos e state (c est-à-e W N N ). / Les eemples e coes qu suvent montent comment est touvée la soluton e g 3 ( λ ) 0 (M e l avant-enèe lgne u coe qu sut) comment sont calculés les pˆ (p e la enèe lgne). t<-sum(n) <-lengt(n)- ntot<-ep(0,) ntot[]<-n[] fo(j n :) ntot[j]<-ntot[j-]+n[j] st<-mat(0,t,) st[:n[],]<- fo(j n :) st[(ntot[j-]+):ntot[j],j]<- u<-cbn(st,) mu<-c(w[:],x) w<-ep(w[],n[]) fo(j n :(+)) w<-c(w,ep(w[j],n[j])) <-ws M<-Lag(u,,mu) p<-as.vecto(s/(+(u-ep(,t)%%t(mu))%%m)) A4. Eemple e coe pou touve l ntevalle e confance u appot e pseuo-vasemblance empque. La ecece e la bone nféeue (LB) e la boe supéeue (UB) e l ntevalle e confance u appot e vasemblance empque ot se fae sépaément. Les coes qu suvent montent comment se fat cte ecece a le cas où l on n utlse aucune nfomaton aulae. S l on utlse ce gene nfomaton, l faut mofe le calcul es appots e pseuo-vasemblance empque concenés (elato) en coéquence. Sot () a α le nveau e confance e l ntevalle souaté; () s (,..., n ) les onnées écantllon; (3) s (,..., n ) les pos e sonage nomalsés; (4) YEL s pˆ (c p ˆ ) ; (5) s la talle écantllon effectve estmée n. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue

9 Tecnques enquête, écembe tol<-e-08 cut<-qcsq(a,) t<-yel t<-ma(s) f<-t-t wle(f>tol){ tau<-(t+t)/ M<-Lag(s,s,tau) elato<-ssum(slog(+m(s-tau))) f(elato>cut) t<-tau f(elato<cut) t<-tau f<-t-t UB<-(t+t)/ t<-yel t<-mn(s) f<-t-t wle(f>tol){ tau<-(t+t)/ M<-Lag(s,s,tau) elato<-ssum(slog(+m(s-tau))) f(elato>cut) t<-tau f(elato<cut) t<-tau f<-t-t LB<-(t+t)/ Bblogape Cen, J., Stte, R.R. Wu, C. (00). Usng empcal leloo mos to obtan ange estcte wegts n egesson estmatos fo suves. Boma, 89, atle,.o., Rao, J.N.K. (968). A new estmaton teo fo sample suves. Boma, 55, Owen, A.B. (988). Empcal leloo ato confence ntevals fo a sngle functonal. Boma, 75, Wu, C. (004a). Some algotmc aspects of te empcal leloo mo n suve samplng. Statstca Snca, 4, Wu, C. (004b). R/S-PLUS Implementaton of pseuo empcal leloo mos une unequal pobablt samplng. Document e taval , Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo. Wu, C., Stte, R.R. (00). A moel-calbaton appoac to usng comple aula nfomaton fom suve ata. Jounal of te Amecal Statstcal Assocaton, 96, Wu, C., Rao, J.N.K. (004). Pseuo empcal leloo ato confence ntevals fo comple suves. Document e taval , Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue