Estimation fonctionnelle dans les modèles de durée : Méthode des fonctions orthogonales

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1 Estimatio foctioelle das les modèles de durée : Méthode des foctios orthogoales Ouafae Yazourh Résumé O défiit u estimateur o paramétrique de la desité devariales aléatoires positives Xi soumises à des cesures droites. O démotre la covergece de cet estimateur, costruit par la méthode des foctios orthogoales e divers ses stochastiques, otammet au ses du MISE. O e déduit des résultats de covergece relatifs à u estimateur du taux de hasard des variales Xi. Astract Let f ad h e the commo desity ad hazard rate of right cesored life times. We defie ew o parametric estimators of f ad h, ased o the orthogoal fuctios method. We prove their poitwise ad L 2 asymptotic cosistecies. 1 Itroductio Le ut de ce travail est l étude de la covergece d estimateurs de la desité etdu taux de hasard de variales aléatoires Xi positives soumises à des cesures droites : il s agit de l hypothèse classique des modèles de durées. Plus exactemet, ous adopteros das ce travail le modèle d Efro (1967). Received y the editors Jauary 1993 Commuicated y M. Halli AMS Mathematics Suject Classificatio : 62G5 Keywords : Doées cesurées, estimateur o paramétrique du taux de hasard, méthode des foctios orthogoales, estimateur de Kapla-Meier, modèle à cesures aléatoires. Bull. Belg. Math. Soc. 1 (1994),

2 478 O. Yazourh Appelos Xi, i 1, les variales aléatoires représetat des durées de vie que l o veut étudier ( temps de chômage, de survie, de o défaillace, etc). Elles sot à valeurs das R +, i.i.d.; ootef leur desité, supposée cotiue, F leur foctio de répartitio. Le statisticie e peut alors oserver que des variales X i, i 1, où X i = if{xi,c i}, lesc i symolisat les cesures apportées aux durées de vie d itérêt (date d échatilloage, etc). O suppose que les C i formet ue suite de variales réelles i.i.d. à valeurs das R +,dedesité g, defoctiode répartitio G, etidépedates des Xi. O appellera efi l la desité desx i, L leur foctio de répartitio (1 L =(1 F )(1 G)). Comme le statisticie sait éamois si l oservatio dot il dispose est cesurée ou o, l échatillo est fialemet costitué de couples (X i,δ i )où δ i = I {X i C i } (δ i est l idicateur de o cesure). L estimatio o paramétrique de f, du taux de hasard h défii par h = f, 1 F aété récemmet aordée par de omreux auteurs parmi lesquels o peut citer, Geyou (1991) et Grégoire (1991) pour des travaux récets, e revoyat àhuer et Lecoutre (199), pour ue sythèse des résultats oteus avat (1988). Das la quasi-totalité de ces travaux, o utilise la méthode du oyau pour estimer le pramètre foctioel d itérêt. Kimura (1972) et Hjort (1985) ot cepedat suggéré d utiliser la méthode des foctios orthogoales, de faço alterative, sas développer les résultats de covergece des estimateurs oteus. Tout récemmet Delecroix et Yazourh (1992) ot étudié le comportemet asymptotique d u estimateur h de h déduit directemet des oservatios, sas estimatio préalale de la desité f, e motrat que h costruit par la méthode des foctios orthogoales otiet sous certaies coditios des performeces comparales à celles des estimateurs costruits par la méthode du oyau. Das ce papier o se propose essetiellemet d estimer de la même faço la desité f des v.a. X i,edémotrat la covergece de l estimateur f oteu, localemet et das L 2.Odéduira esuite de f u estimateur coverget du taux de hasard h. Das la costructio de cet estimateur, o se restreit à u itervalle [,] pour éviter les difficultés posées par le cotrôledel écart etre F (t) etf (t), pour de grades valeurs de t. Ceci implique pas de restrictio pratique, puisqu o peut choisir supérieur au plus grad des X i o cesurés qu o oserve et même eaucoup plus grad. L itérêt de la méthode des foctios orthogoales semle résider das le caractère gloal de l estimateur costruit. Pour peu que le développemet de f par rapport à ue ase orthoormale de L 2 [,] coverge rapidemet, e rameat l estimatio de f à celle des premiers coefficiets de ce développemet, o otiedra, comme ous le verros ue approximatio gloale de f qui reste satisfaisate même das les zoes où sot apparues peu d oservatios, puisqu o estime les coefficiets du développemet de f par l esemle de l échatillo. Le premier paragraphe sera cosacré àladéfiitio des divers estimateurs utilisés et àl éocé des pricipaux théorèmes de covergece; les démostratios serot exposées das le secod paragraphe.

3 Estimatio foctioelle das les modèles de durée Notatios, hypothèses et résultats. 2.1 Notatios et hypothèses. O suppose ue fois pour toutes que la desité f des v.a. X i est u élémet de L 2 [,]. Alors ous appelos (e i ), i 1, ue ase orthoormale de cet espace L 2 [,]. O peut doc écrire au ses de L 2 avec f = a i e i a i = e i (x)f(x)dx = e i (x)df (x). U estimateur de f costruit par la méthode des foctios orthogoales peut doc s écrire où â i = f = â i e i e i (x)df (x) et () 1 est ue suite d etiers qui ted vers l ifii. Notos F le classique estimateur de Kapla-Meier (1958) de F.OsaitqueF est la foctio de répartitio défiie par { i/x F (t) = (i) t ( i i+1 )δ (i) si t X () 1 si t>x () (X (i) ) 1 i,estl échatillo (X i ) 1 i ordoé etδ (i) représete la valeur de δ pou X (i). L estimateur du taux de hasard h = sera défii par f 1 F h = f 1 F + 1. (1) Pour éocer les théorèmes de covergece de f et h, ous utiliseros les quatités H i (t) =P (X j >t,δ j = i) (2) et H(t) i = 1 I {Xj >t,δ j =i} j=1

4 48 O. Yazourh pour i =, 1. Pour toute applicatio m de R + das R + supposée cotiûmet différetiale o pose N(m, ) =[ m() + m (t) dt]. (3) O peut alors défiir àpartirdelaase(e i ),i 1, D = pour tout x et t réels, et N(e i,) 2 = [ e i () + f (x) = W (x, t) = a i e i (x) = e i(t) dt] 2, (4) e i (x)e i (t) (5) W (x, t)df (t). (6) Nous pouvos maiteat éocer quelques hypothèses écessaires àlacover- gece de f et h. H ): H i () >,i =, 1, o travaille sur [,], avec strictemet iférieur à la plus grade valeur du support de L. H 1 ): Lesélémets (e i ), i 1, de la ase choisie sot des foctios cotiûmet différetiales et uiformémet orées par u omre M sur l itervalle [,]. H 2 ) : La desité f est orée sur tout compact [,]. H 1 est liée àlaasechoisieetvérifiée, ous le verros, das le cas des foctios trigoométriques, par exemple. H 2 est ue coditio usuelle de la régularité pour la desité f. Nous pouvos alors éocer les théorèmes de covergece. 2.2 Résultats de covergece de l estimateur de la desité. Das tout ce travail o supposera que vérifie H. Théorème 1 O cosidère (e i ),i 1, ueasedel 2 [,] telle que H 1 soit vérifiée. Si l o suppose que, lim / =et lim [D (log ) 4 / 2 ]=, alors lim p.s. E( f f 2 L 2 [,] )=. Si, de telle sorte que pour tous γ 1 et γ 2 strictemet positifs les séries de termes gééraux exp{ δ 1 /} et { exp [ γ 2 / N(e i,)]} coverget, alors lim [ f f 2 L 2 [,] ]=.

5 Estimatio foctioelle das les modèles de durée 481 Remarque. Les covergeces recherchées sot oteues si grosso modo les foctios e i e variet pas trop rutalemet sur [,]etsi croît letemet vers l ifii: c est u vieux pricipe de la méthode des foctios orthogoales qui, e pratique, limite la variace de l estimateur (mais hélas e augmete le iais!). U exemple d applicatio stadard est celui de la ase des foctios trigoométriques de L 2 [,], (e i ),i 1, défiie par e 1 (t) = 1 e 2k (t) = 2 e 2k+1 (t) = 2 2kπ si[ (t )],k 1, t [,] 2 2kπ cos[ (t )],k 1ett [,]. 2 O otiet aisi le corollaire suivat. Corollaire 1 Si la ase (e i ),i 1, est celle des foctios trigoométriques, la covergece vers zéro de f f 2 L 2 [,] est assurée - e moyee si, / et 3 (log ) 4 / 2. -p.s.si γ, γ>, =1 exp{ γ/ 3 2 } <. E particulier si o choisit égale à la partie etière de 2/3 /(log ) 4/3+α avec α>, alors les deux coditios du corollaire sot vérifiées. O motrera aussi le résultat suivat, cocerat la covergece uiforme presque sûre. Théorème 2 Si sup x [,] f (x) f(x), lorsque, H 1 est vérifiée, et si pour tout γ 1 et γ 2 strictemet positifs les séries de termes gééraux exp{ γ 1 /N(e i,)} et exp{ γ 2 / 2 } coverget, alors sup f (x) f(x) p.s., quad. x [,] Corollaire 2 Daslecasdelaasetrigoométrique, si sup f (x) f(x) x [,] quad,alors,si, γ >, =1 exp{ γ/() 2 } <, oa sup f (x) f(x) p.s., quad. x [,] Efi, o cherchera la limite de J défiie par J = (f (x) E(f (x))) B (7) où x est u élémet fixe de ],[, B 2 = H2 (x, s) h(s) ds, et 1 L(s) H (x, s) =S(s)W (x, s)+ s S (t)w (x, t)dt. S est la foctio de survie défiie par S =1 F, qu o estime par S =1 F. Alors, e posat W : t W (x, t), o otiet le théorème suivat.

6 482 O. Yazourh Théorème 3 Si / B = o(1) et N(W,)(log ) 2 / B = o(1), alors J L N (, 1). Ici ecore, u exemple d applicatio ous est fouri par la ase trigoométrique. Corollaire 3 Si la ase (e i ), i 1, est celle des foctios trigoométriques et si 3 (log ) 4 /, lorsque,alors J L N (, 1). La démostratio de ce résultat se ase essetiellemet sur le lemme suivat. Lemme 1 Si la ase (e i ), i 1, est celle des foctios trigoométriques, alors il existe A> tel que B 2 >A. 2.3 Preuve du lemme 1 O suppose que les (e i ), i 1, sot les foctios trigoométriques, et que est impair. Das ce cas u calcul classique doe W (x, t) = e i (x)e i (t) = 1 si( π (x t)) si( π (x t)). Das le cas où x = t, o prologe par cotiuité lequotietà. O a B 2 = = {S(s)W (x, s)+ s { 1 π S(s)si( (x s)) si( π (x s)) S (t)w (x, t)dt} 2 h(s) (1 L(s)) ds + 1 s S (t) si( π (x t)) si( π (x t)) dt} 2 h(s) (1 L(s)) ds. E effectuat le chagemet de variale, u = π (x s), o otiet où B 2 = R g (u)du g (u) = 1 π I u [ x π, x π](u){s(x π ) si u si( u ) + 1 x u π S (t) si( π (x t)) h(x u si( π (x t)) dt} ) 2 π 1 L(x u π ).

7 Estimatio foctioelle das les modèles de durée 483 Si o cosidère a réel, tel que <a<1, o peut miorer g (u) par la foctio suivate : g 1 (u) = 1 π I [ aπ,](u){s(x u π ) si u si( u ) + 1 x u π S (t) si( π (x t)) h(x u si( π (x t)) dt} ) 2 π 1 L(x u π ). O va calculer esuite lim g 1.Or,opeutécrire la majoratio suivate g 1 1 π I [ aπ,](u){ si u u aπ si aπ + C f(t)dt} 2 sup x t x+a h(t) R + (1 L(x + a)). (C est ue costate positive), car si aπ u alors, aπ u si( u )/ u [si(aπ)/aπ, 1] et x x u x + a x + a. π O utilise aussi pour cette majoratio le fait que et si( π (x t)) si( π (x t)) = e i (x)e i (t) C. La foctio g 1 est doc majorée par ue foctio itégrale. Calculos maiteat sa limite. O commece d aord par calculer lim x u π S (t) si( π (x t)) si( π (x t))dt. Or, o a vu que la foctio sous le sige itégrale est majorée e valeur asolue par Cf qui est itégrale. Et e appliquat le théorème de Leesgue, o trouve lim Fialemet, o otiet x u π S (t) si π π (x t) π (x t) (x t) si π =. (x t)dt et lim g1 (u) = 1 π I [ aπ,](u)(s(x) si u 2 u ) h(x) 1 L(x) g(u)du 1 1 h(x) π S(x)2 1 L(x) aπ ( si u u )2 du >, quad ted vers l ifii (o utilise le théorème de Leesgue). Doc, B 2 = R g (u)du > R g1 (u)du, etparsuite A > / B 2 >A.

8 484 O. Yazourh 2.4 Applicatio de l estimatio de la desité à celle du taux de hasard. U estimateur aturel du taux de hasard h, déjà utilisé das le cadre de la méthode du oyau par Földes et Réjtö (1981) aisi que par Los, Mack et Wag (1989), sera f /(1 F + 1 ), où f est l estimateur de la desité etf est l estimateur de Kapla-Meier. O motrera alors que l estimateur h, aisi costruit, vérifie la covergece suivate. Théorème 4 Si sup x [,] f (x) f(x) lorsque et que les hypothèses H 1 et H 2 sot vérifiées, alors si pour tout γ 1 et γ 2 strictemet positifs les séries de termes gééraux exp{ γ 1 /N(e i,)} et exp{ γ 2 / 2 } coverget, alors sup h (x) h(x) p.s., quad. x [,] E preat là aussi, comme exemple, la ase trigoométrique pour costruire f, o otiet Corollaire 4 Das le cas de la ase trigoométrique, si f vérifie H 2, et si sup x [,] f (x) f(x) quad, alors, si, γ >, =1 exp{ γ/() 2 } <, oa sup h (x) h(x) p.s., quad. x [,] 3 Etude des covergeces. 3.1 Pricipe gééral. Pour étudier la covergece de f vers f, o utilisera ue décompositio de F F sous la forme 1 Z i +R,oùlesZ i sot idépedats, et R ted asymptotiquemet vers zéro. Cette techique a été récemmet utilisée par Los, Mack et Wag (1989), das u autre cadre. Notre décompositio se asera, elle, essetiellemet sur les résultats de Reid (1981), permettat de développer F (t) F (t) efoctio des coures d ifluece de F.Reidamotré exactemet que t, t, F (t) F (t) =P (t)+r (t) (8) où avec P (t) = (I {δi =1}K 1 (t, X i )+I {δi =}K 2 (t, X i )) (9) K 1 (t, s) =S(t) s t K 2 (t, s) =S(t) s t h(u) 1 L(u) du S(t) I {s t} 1 L(s) (1) h(u) du 1 L(u)

9 Estimatio foctioelle das les modèles de durée 485 (K 1 et K 2 sot les coures d ifluece de F, s t =mi(s, t)). Le reste R est uiformémet majoré sur tout itervalle [,]delafaço suivate sup t [,] 1 R (t) C { H i Hi i= } (11) où C est ue costate (variale avec ). Cette majoratio est valale dès que l hypothèse H est vérifiée. (Ce résultat se déduit du lemme 2.1, Mieliczuk(1985)). La décompositio de F (t) F (t) efoctiodep (t) etr (t) permetd évaluer asymptotiquemet les quatités du type suivat C(m, ) = = m(t)df (t) m(t)df (t) (12) m(t)d(p (t)+r (t)). Afi de simplifier les calculs imposés par le développemet de ces quatités, o itroduit d aord les variales Z i défiies par Z i = s h(t) S(t)m(t) 1 L(t) dt + I {Xi } δ i S(X i )m(x i ) 1 L(X i ) δ i Xi S t (t)m(t)( S 1 (t)m(t) X i 1 L(X i ) dt. h(u) du)dt (13) 1 L(u) Les pricipales propriétés de ces variales et des quatités C(m, ), sot résumées das le lemme suivat, qu o va utiliser das la plupart des démostratios des théorèmes déjà éocés, et qui e costitue e quelque sorte la clé. Lemme 2 les Z i sot des variales aléatoires cetrées,devariaceégale à (S(s)m(s)+ s S (t)m(t)dt) 2 h(s) 1 L(s) ds, et o peut écrire où C(m, ) = 1 Z i + R (14) R < N(m, ){ sup R (t) }. (15) t [,] Dès lors o aura (log )2 E(C(m, )) = O{N(m, ) } Var(C(m, )) = 1 Var(Z i)(1 + o(1)). (16)

10 486 O. Yazourh 3.2 Démostratio du théorème 1 O commece d aord par motrer que lim M =,où M = E( f f 2 L 2 [,] ). Les (e i ),i 1, format ue ase orthoormale de L 2 [,], o a Or M = â i a i = et d après le lemme 1, o a E[(â i a i ) 2 ] = 1 E[(â i a i ) 2 ]+ e i df {S(s)e i (s)+ s i=+1 a 2 i. e i df = C(e i,) S (t)e i (t)dt} 2 h(s) 1 L(s) ds 2 (log )4 (log )2 +O((N(e i,)) )+O(N(e 2 i,) [ 1 V (Z i)] 1 2 ). L hypothèse H 1 est supposée vérifiée, doc les (e i ),i 1, sot uiformémet orés et par suite, o peut écrire E[(â i a i ) 2 ] = 1 {S(s)e i (s)+ +O(D (log ) 4 2 s )+O( S (t)e i (t)dt} 2 h(s) ds (17) 1 L(s) (log )2 N(e i,) ). Le premier terme est u O(/). S il ted vers zéro aisi que le secod, le carré du troisième terme qui est u O(D (log ) 4 / 3 ) tedra aussi vers zéro. La démostratio de la deuxième partie du théorème, est la même que celle du théorème 1 (cf. Delecroix et Yazourh (1992)), il suffit de remplacer les Zj i par 3 2 Z i j = Xi S(t)e i (t) h(t) 1 L(t) dt + S(X j )e i (X j ) 1 {(δ j =1) (X i )} 1 L(X i ) Xi S t (t)e i (t)( h(u) 1 L(u) du)dt S (t)e i (X j ) 1 {(δ j =1) (X i t)} dt. 1 L(X i ) 3.3 Preuve du corollaire 1 Das le cas de la ase trigoométrique, i, i 1, a i = O(1/i 2 ) (cf. Sasoe (1959) p. 16), doc i=+1 a 2 i = O(1/) qui ted vers zéro quad ted vers l ifii, et N(e i,)=o(i) aisiqued = O( 3 ). E appliquat alors le théorème 1, o otiet les deux covergeces souhaitées pour l estimateur f, costruit à partir de cette ase.

11 Estimatio foctioelle das les modèles de durée Preuve du théorème 2 Il suffit de prouver que sup x [,] f (x) f(x) p.s., quad,etdoc sup x [,] ( â i a i )e i (x) p.s. Pour tout ε>, { P (â i a i ) >ε/} <, cette coditio est vérifiée (cf. (14), Delecroix et Yazourh (1992)), si pour tous γ 1 > etγ 2 > lesséries de termes gééraux exp{ γ 1 /N(e i,)} et exp{ γ 2 / 2 } sot covergetes. 3.5 Preuve du corollaire 2 Das le cas où les(e i ),i 1, sot les foctios de la ase trigoométrique, i 1, N(e i,)=o(i) etdoc,n(e i,)=o(). 3.6 Preuve du théorème 3 Voir preuve du théorème 2 (cf. Delecroix et Yazourh (1992)); o remplace h par f, h par f et les Z i, par Z i, = Xi S(t)W (t) h(t) 1 L(t) dt + S(X i )W (X i ) 1 {(δ j =1) (X i )} 1 L(X i ) Xi S t (t)w (t)( h(u) 1 L(u) du)dt S (t)w (t) 1 {(δ j =1) (X i t)} dt. 1 L(X i ) 3.7 Preuve du corollaire 3 D après le lemme 1, 1/B < 1/(A) 1 2,avecA>. Les deux hypothèses du théorème 3, sot doc vérifiées si / et 3 (log ) 4 /,lorsque, puisque N(W,)=O( 2 ), das le cas des foctios trigoométriques. 3.8 Preuve du théorème 4 Cosidéros h h = f 1 F f 1 F + 1 Le premier terme se majore par F F + 1 = f (1 F )(1 F + 1 ) + f f 1 F (1 F ())(1 F ()+ 1 sup f(t) (sup F (t) F (t) + 1 ){ t [,] t [,] )}. vérifie l hypothèse H,docF () < 1, et comme f vérifie H 2,oa sup t [,] h(t) h (t) = O( sup t [,] F (t) F (t) + 1 +sup t [,] f(t) f (t) 1 F ()+ 1 ).

12 488 O. Yazourh D autre part, F () < 1: ε >/F () 1 ε, etf Fp.s., quad, doc ε >, η >/ η;1 F > 1 F ε p.s. E choisissat, ε = ε/2, o a, 1 F ()+ 1 ε/2 p.s., c.à.d. 1/(1 F ()+ 1 ) 2/ε p.s. O e déduit fialemet que sup h(t) h (t) = O{ sup F (t) F (t) + 1 t [,] t [,] +sup f(t) f (t) }. t [,] Doc il suffit que les hypothèses du théorème 2, soiet vérifiées pour que sup t [,] f(t) f (t) tede vers zéro presque sûremet. Et comme vérifie H,sup t [,] F (t) F (t) ted vers zéro presque sûremet. O otiet doc la covergece souhaitée. 3.9 Preuve du corollaire 4 Voir preuve du corollaire 2. 4 Commetaires. E utilisat les covergeces uiformes p.s., poctuelle et L 2, l estimateur f peut être comparé à l estimateur f costruit par la méthode du oyau et étudié par Földes et al (1981), Mieliczuk (1983) et Los, Mack et Wag (1989). Das le cas de l estimateur f, o a vu que la covergece uiforme p.s., déped surtout de la série qui doit être uiformémet covergete, alors que pour f,fôldes et Al (1981) ot oteu cette covergece, e imposat plus de coditios sur les distriutios des X i et C i. Mieliczuk (1985) et Los, Mack et Wag (1989), ot étudié les covergeces poctuelles des estimateurs à oyau de la desité. Ils ot motré quelemse asymptotique optimal est e 4/5.Lesrésultats oteus permettet d exprimer la variace asymptotique de f sous la forme V (f(x)) = A 1 f(x) h 1 G(x) + O( 1 ) h avec h eth (h est la feêtre et A 1 est ue costate qui déped du oyau ). Das le cas de l estimateur f, si (e i ),i 1, est la ase trigoométrique, o motre e remplaçat das le lemme 2 m(.) parw (x,.) que V (f (x)) 2 f(x) 1 G(x) A 2. Il suffit doc de choisir h = 2 pour avoir la même vitesse de covergece pour les deux variaces. Si e plus la desité f est telle que +1 a i e i (x) coverge assez rapidemet vers zéro (par exemple e 4, ce qui correspod au iais usuel que doe le oyau avec h = 2 ) alors le MSE correspodat à f est e 4/5,docf est aussi performat que f de ce poit de vue.

13 Estimatio foctioelle das les modèles de durée 489 Cocerat la covergece L 2 [,] das le cas de la ase trigoométrique par exemple, o motre d après (17), e choisissat impair de la forme : = 2q ()+1,que E[(â i a i ) 2 ] = 2 +( q () s {(S 2 (s)+s(s)s() S (t)si( 2iπ (t 2 ))dt)2 +( S (t)cos( 2iπ s (t 2 ))dt)2 } 2 h(s) 1 L(s) ds +O(q () 3 (log ) 4 )+O(q 2 (log )4 () ). 2 Le premier terme est u O(q ()/) et les deux deriers sot des o(q ()/), pourvu que l o choisisse q () telqueq ()(log ) 2 / tede vers zéro. Doc le MISE asymptotique s écrit AMISE = O( q () )+O( 1 q () ) puisque le MISE est égale à E[(â i a i ) 2 ]+ i=+1 a 2 i et d après Sasoe (1959) p. 16, o motre que k, a 2 2k + a 2 2k+1 = O(1/k 2 ), doc i=+1 a 2 i = O(1/q ()). Fialemet, o a le MISE asymptotique qui équivaut àuo(1/q ()), sous la cotraite imposée à q (). L écart optimal est doc plus grad que das le cas de l estimateur àoyauetdéped étroitemet du reste de la série i=+1 a 2 i,etde la ase (e i ),i 1 choisie. L estimateur du taux de hasard proposé ici est costruit de la même maière que les deux estimateurs h 1 et h 2 étudiés par Földes et al (1981) et Los, Mack et Wag (1989) et costruits à partir des estimateurs à oyau de la desité. Das les deux méthodes o remarque que les résultats de covergece dépedet de ceux des estimateurs de la desité, doc à priori, pour comparer les performaces de ces estimateurs, il suffit de comparer celles des estimateurs de la desité. E coclusio, o peut dire que l efficacitédef et de h est liée au choix de et de la ase qui devrait être laplusadaptée possile àladesité f, prolème qui écessite ue étude détaillée accompagée par des simulatios. 3 2 Refereces [1] Delecroix M. et Yazourh O. (1992). Estimatio o paramétrique du taux de hasard e présece de cesures droites: méthode des foctios orthogoales, Statistique et Aalyse des Doées, 16,

14 49 O. Yazourh [2] Droeseke J. J., Fichet B. et Tassi Ph. (1989), Eds, Aalyse statistique des durées de vie. Ecoomica, Paris. [3] Efro B. (1967). The two sample prolem with cesored data, Proc. 5th. Berkeley Symp. vol. 4, [4] Földes A., Rejtö L. ad Witer B. B. (1981). Strog cosistecy properties of o parametric estimators for radomly cesored data II, Estimatio of desity ad failure rate, Period. Math. Hugar. 12, [5] Geyou K. E. (1991). Iférece statistique o paramétrique pour l aalyse du taux de pae e fiailité, thèsesouteueà l Uiversité deparisvi. [6] Grégoire G. (1991). Choix de la taille de la feêtre pour l estimatio de l itesité d u processus poctuel, applicatio aux doées de durée de vie cesurées. Commuicatio présetée aux XXIIIèmes Jourées de Statistique. [7] Huer C. et Lecoutre J. P. (199). Estimatio foctioelle das les modèles de durée. I Droeseke J. J., Fichet B. et Tassi Ph., Eds, Aalyse statistique des durées de vie. Ecoomica, Paris. [8] Hjort N. L. (1985). Discussio cotriutio to Aderse ad Borga s review article, Scad. J. Statist. 12, [9] Kapla E. ad Meier P. (1958). No parametric estimatio from icomplete oservatios, J.A.S.A. 53, [1] Kimura D. K. (1972). Fourier series methods for cesored data, thèse souteue à Washigto Uiversity Seattle. [11] Los H., Mack Y. P. ad Wag J. L. (1989). Desity ad hazard rate estimatio for cesored data via strog represetatio of the Kapla-Meier estimator, Pro. Th. ad rel. Fields, 8, [12] Mieliczuk J. (1985). Properties of some kerel estimators ad of the adapted loftsgarde-queseerry estimator of a desity fuctio for cesored data, Periodica Math. Hugarica, 16, [13] Reid N. (1981). Ifluece fuctios for cesored data, Aals of Statist. 9, [14] Sasoe G.(1959). Orthogoal fuctios, Pure ad Applied Mathematics IX, Itersciece Pulishers, New York. O. Yazourh Laoratoire de Statistique et Proailités U.F.R. de Mathématiques Uiversité des Scieces et Techologies de Lille F VILLENEUVE D ASCQ CEDEX

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