Fonctions exponentielles

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1 CHAPITRE Fonctions eponentielles Échauffez-vous! Cochez la case correspondant à la réponse eacte a) Le nombre, 0 est égal à :, b) Le nombre, est égal à :, c) Le nombre est égal à : 8 d) Le nombre, s écrit, : Vrai Fau e) Le nombre est égal à : 0, f) Pour obtenir le nombre, à la calculatrice, on tape:,*,^, Raez l encadré ineact a) Les points qui représentent la suite géométrique ( n ), de terme initial 0 = sont en orange / vert sur le graphique b) Les points qui représentent la suite géométrique (0, n ), de terme initial 0, 0 = sont en orange / vert sur le graphique 8 0 Aide Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier naturel q 0 = et q = q n, q n = q q q Aide n facteurs q q n = q n Reliez chaque nombre de la première colonne au nombre de la deuième auquel il est égal a) Raez la réponse ineacte a), est égal à :,, ; (, ) ; (, ) b) 0 est égal à : ( ) ; 8 ; ( ) c), est égal à : (, ) ;,, ; (, ) b) 8 8 Soit q un nombre réel strictement positif et n et m des nombres entiers relatifs q n q m = q n+m (q n ) m = q mn qn q m = qn m q m = q m

2 Fonctions q Découvrir de nouvelles fonctions Soit (q n ) une suite géométrique de terme initial q 0 =, où q 0 et q En reliant de façon «régulière» les points représentant cette suite, on obtient, pour les abscisses 0, la courbe représentative d une nouvelle fonction Cette fonction, définie sur, est appelée fonction eponentielle de base q: à tout réel elle associe le nombre noté q, lu «q eposant» (comme q n, où n ) Eemples Ci-contre figurent des tracés correspondant au courbes représentatives des fonctions eponentielles 0,, de base 0, (rouge) et, de base (vert) Les quatre points marqués sur chaque courbe représentent les termes de rangs 0 à des suites géométriques (0, n ) et ( n ) ,, Activité Lisez sur le graphique une valeur approchée de chacun des nombres : 0,, ; 0, 0, 0, ;,,8 ; 0,, 0, a) À l aide de la touche ^ de la calculatrice, complétez le tableau suivant par des valeurs arrondies à 0, près,, 0, 0, 8,,8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, b) Complétez, pour les abscisses négatives, les tracés des deu courbes du graphique précédent Déterminer le sens de variation d une fonction q Sur tout intervalle I, la fonction q est: strictement décroissante lorsque 0 q ; strictement croissante lorsque q 0 < q < q > 0 Activité Raez l encadré ineact a) La fonction 0, est strictement croissante / strictement décroissante sur tout intervalle I, car 0 0, / 0, b) La fonction, est strictement croissante / strictement décroissante sur tout intervalle I, car, 0 /, 8

3 Comment tracer la courbe représentative d une fonction q, pour appartenant à un intervalle I? Méthode Étape Déterminer le sens de variation de la fonction Étape Établir un tableau de valeurs à l aide d une calculatrice (entrer = q, en utilisant la touche ^ ) Étape Tracer la courbe représentative (contrôler avec un tracé sur la calculatrice) Tracez la courbe représentative de chacune des fonctions f et g suivantes a) f est définie sur [ ; ] par f () = 0, (c est-à-dire f () = ) b) g est définie sur [ ; ] par g() = 0 Solution a) Étape f est strictement décroissante sur [ ; ], car 0 < 0, < Étape On établit un tableau de valeurs (arrondir à 0, près),, 0 f () 8,,8 0, 0, 0, Étape On trace ci-contre la courbe représentative de f, en utilisant les résultats des étapes précédentes 8 0 b) Étape g est strictement croissante sur [ ; ], car 0 > Étape On établit un tableau de valeurs (arrondir à 0, près) 0, 0 0, f () 0 0, 0,, 0 Étape On trace ci-contre la courbe représentative de g, en utilisant les résultats des étapes précédentes CHAPITRE FONCTIONS EXPONENTIELLES 9

4 Propriétés algébriques des fonctions q Connaître les propriétés Soit q un nombre réel tel que q 0 et q Les propriétés des eposants réels (c est-à-dire les propriétés algébriques de la fonction eponentielle q ) sont les mêmes que celles des eposants entiers: a et b étant des nombres réels et n un nombre entier naturel, q a q b = q a+b et (q a ) n = q na ; qa q b = qa b et q b = q b Activité a) À l aide de la calculatrice, complétez le tableau 0,, 0,, 0,, +,,,, + (,) 0 0,8 0, 0 ( 0,8) +, b) Quelle égalité de l encadré a-t-on constaté en a), sur des eemples? On constate que q a q b = q a + b Tracez sur calculatrice les courbes d équations = 0, 0,, et = 0,,, puis raez les encadrés ineacts (utilisez Trace ) Ces courbes sont / ne sont pas confondues, donc, pour tout réel, l égalité 0, 0,, = 0,, est vraie / fausse Activité Dans les cellules A, B et C d une feuille de calcul de tableur, on entre des valeurs possibles de q, a et b Dans la cellule D on a entré la formule =(A^B)*(A^C) A^(B+C) qui correspond au nombre q a q b q a + b Ainsi, pour q =,a =, et b = 0,, on obtient 0 dans la cellule D Complétez sans calcul la cellule D, pour les valeurs de q, a et b portées cidessous 0 0

5 Comment modifier l écriture d un nombre où figurent un ou des eposants réels? Méthode Étape Identifier la (ou les) propriété(s) du paragraphe à appliquer Étape Appliquer cette (ou ces) propriété(s), en utilisant, s il a lieu, l égalité q 0 =, où q > 0 et q Écrivez chacun des nombres suivants sous la forme q a) 0,, 0,, ; b) 0 9, 0, ; c) ( 9, ) ; d) 0,, 0, 0,8 ; e) 0, ; f),, 0,8 Solution a) Étape 0,, 0,, est de la forme q a q b, donc égal à q a+ b Étape 0,, 0,, = 0,, +, = 0,,8 b) Étape 0 9, 0, est de la forme q a q b, donc égal à q a + b Étape 0 9, 0, =0 9, + (,) = 0, c) Étape ( 9, ) est de la forme (q a ) n, donc égal à q na Étape ( 9, ) = 9, = 8,8 d) Étape 0,, qa est de la forme 0,0,8 q b, donc égal à qa b Étape 0,, 0, 0,8 = 0,, 0,8 = 0,, e) Étape 0 est de la forme, q b, donc égal à q b Étape 0 =, 0, f) Étape, qa, est de la forme q b, donc égal à qa b Étape, =,,, = 0,9, donc, 0,8 = 0,9 0,8, Étape 0,9 0,8 est de la forme q a q b, donc égal à q a + b Étape 0,9 0,8 = 0,9 + 0,8 = 0, On conclut que,, 0,8 = 0, CHAPITRE FONCTIONS EXPONENTIELLES

6 Eercices et problèmes a) 0 0,, b) 0,, 0,0 c) 0, 0,0 a) 0,9 0,9 b) 0,, 8 89, c), a) = oui non b) 0, = 0 oui non c) 0, = 0, oui non a), >, donc f est strictement croissante sur [ 0 ; 0] b) 0 < 0, <, donc g est strictement décroissante sur [ 0 ; 0] a) 0 < 0,98 <, donc f est strictement décroissante sur b) >, donc g est strictement croissante sur 8, 0,, 0, Par lecture graphique, on obtient que,, 0, et,,, Avec la calculatrice,,, 0, et,,, 9 f est strictement décroissante sur [ ; ] car 0 < 0, <, donc la courbe de f est en vert g est strictement croissante sur [ ; ] car, >, donc la courbe de g est en rouge a) et b) G 0 F 0 G G F F G G F F a) D après le graphique, cette fonction est strictement croissante sur l intervalle où elle est définie b) On en déduit que q > Par lecture graphique, q = q = a) D après le graphique, cette fonction est strictement décroissante sur l intervalle où elle est définie b) On en déduit que 0 < q < Par lecture graphique, q = q = 0, a) On lit dans le tableau : q = q =, b), 0, f () 0, 0, 0, 0, 0 0,, f (),,0, 8

7 a) 8, = 8, =, b) 0,, 0,, = 0,,, = 0, 0, 9 c), 8 8 =, =, 9 d),, =,, (,) =, +, =,, e),9,,9 0,,9 =,9, ( 0,),9 =,9, + 0,,9 =,9,9 =,9 + =,9 0 = 0 a) q 0, q, = q 0, + (,) = q 0,9 b) (q ) = q ( ) = q 8 c) q q0 = q 0 = q 0 0 = q 0 d) q 0, q 0, = q 0, + 0, = q 0 = a) On lit dans le tableau : q = q = 0, b), 0, 0 f (),09,,8 0,, f () 0, 0,0 0, 0,09, 0 a) 0, 0 0,8 = 0, + 0,8 = 0 b),,,, =,, +, =, c) (0,, ) = 0,, = 0,, d) 0,, 0, = 0, 0,, 0, = 0, = 0, a) q, q, = q, +, = q b) q = q = q c) q, q = q, ( ) = q, + = q, d) (q, ) 0 = q 0, = q 0 = 8 a) q, q, = q,, = q 9,8 b) (q, ) = q (,) = q c) q q d) q = q = q = q = q = q = q = q = q 9 a) Le nombre 0, est égal à : 8,,,,, (, ) b) Le nombre,, est égal à :,,, 0,, 9,,,, 0, (,, ) 0 a) Le nombre 0 0,8 est égal à : 0 0,9 0, 0, 0, 0 0, 0 0, (0 0, ) b) Le nombre 0,, est égal à : 0,,9 0, 0,, 0,,9 0,0, 0,, (0,, ) 9 CHAPITRE FONCTIONS EXPONENTIELLES

8 Corrigé sur tableur uniquement et f g 0 a) f et g se coupent au point d abscisse 0 b) f(0) =, 0 = et g(0) = 0,8 0 = a) f est au-dessus de g pour 0 < b) L ensemble des solutions, sur [ ; ], de l inéquation, > 0,8 est l intervalle ]0 ; ] et f f et g se coupent au point d abscisse 0 a) f est au-dessous de g pour 0 < b) On vient de résoudre sur [ ; ] l inéquation 0, < 0, a) Les termes de la suite géométrique (u n ) de terme initial u 0 = et de raison, sont donnés par la formule : pour tout n de, u n =, n Le point de la courbe d abscisse 0 a pour ordonnée, 0 = u 0 Le point de la courbe d abscisse a pour ordonnée, = u Le point de la courbe d abscisse a pour ordonnée, = u Le point de la courbe d abscisse n a pour ordonnée, n = u n b) On dit que cette suite géométrique croît de façon eponentielle, car les points de coordonnées (n ; u n ) sont les points d abscisses entières positives de la courbe représentative de la fonction eponentielle, qui est strictement croissante sur [0 ; + [ a) Les termes de la suite géométrique (v n ) de terme initial v 0 = et de raison 0, sont donnés par la formule : pour tout n de, v n = 0, n Le point de la courbe d abscisse 0 a pour ordonnée 0, 0 = v 0 Le point de la courbe d abscisse a pour ordonnée 0, = v Le point de la courbe d abscisse a pour ordonnée 0, = v Le point de la courbe d abscisse n a pour ordonnée 0, n = v n b) On dit que cette suite géométrique décroît de façon eponentielle, car les points (n ; v n ) sont les points d abscisses entières positives de la courbe représentative de la fonction eponentielle 0, qui est strictement décroissante sur [0 ; + [ g 0 0

9 COMME À L ÉCRAN Fonction eponentielle et tableur Soit f la fonction définie sur [ ; ] par f () = 0 On a obtenu le tableau ci-contre sur tableur Epliquez comment remplir la colonne A sans saisir les valeurs une à une On entre la valeur dans la cellule A et la valeur 0,8 dans la cellule A On sélectionne ces deu cellules, puis on utilise la poignée de remplissage jusqu à la cellule A Pourquoi retrouve-t-on la valeur 0 dans la cellule B? Car dans cette cellule, on a calculé 0 = 0 L une des trois formules suivantes a été écrite dans la cellule B, puis recopiée jusqu en B Laquelle? =C^A =C^$A$ =$C$^A Quelle autre formule aurait pu être écrite dans la cellule B? =0 A a) La comparaison des valeurs de f () obtenues permet de déterminer le sens de variation de la fonction f Quel est-il? La fonction f est strictement croissante sur [ ; ] b) Justifiez la réponse précédente d une autre façon 0 >, donc la fonction est strictement croissante sur [ ; ] a) Pour obtenir un tableau de valeurs de la fonction 0,, définie sur [ ; ], quelle cellule suffit-il de modifier dans le tableau précédent? Il suffit de modifier la cellule C b) Quelle valeur faut-il entrer? Il faut entrer la valeur 0, c) Quelle valeur figurera alors dans la cellule B? 0,, soit

10 Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice points f est la fonction définie sur [ ; ] par f () = a) À l aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs suivant (donner lorsqu il a lieu les valeurs décimales arrondies à 0, près) 0, 0 0,,, f () 0, 0, 0, 0,,,8, 8 b) Tracer sur le graphique suivant la courbe représentative de f 8 0 g est la fonction définie sur [ ; ] par g() = 0, a) À l aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs suivant (donner lorsqu il a lieu les valeurs décimales arrondies à 0, près),, 0, 0 0, g() 8,,8, 0, 0, 0, 0, b) Tracer sur le graphique suivant la courbe représentative de g 8 0 CHAPITRE FONCTIONS EXPONENTIELLES

11 Eercice points Écrire chacun des nombres suivants sous la forme q 0, 0, = 0, + (,) = 0,8 0,,9 0,,9 = 0,,9,9 = 0,,8 (0,8, ) = 0,8 (,) = 0,8 Eercice 0 points Soit f et g les fonctions eponentielles définies sur [,; ] par f () = q et g() = q, où q et q sont des nombres réels strictement positifs et différents de Ci-dessous sont donnés un tracé de la courbe représentative de la fonction f et un tableau de valeurs de la fonction g, obtenus à l aide d un tableur Déterminer q et q à l aide du graphique et du tableau de valeurs précédents À l aide du graphique, q = f() = 0 À l aide du tableau, q = g() = 0, En justifiant chaque réponse, donner le sens de variation sur [,; ] a) de f : 0 >, donc f est strictement croissante sur [, ; ] ; b) de g: 0 < 0, <, donc g est strictement décroissante sur [, ; ] On veut, sur une même feuille du tableur, compléter le tableau de valeurs de g et établir un tableau de valeurs de f (en arrondissant les résultats à 0,0 près), puis tracer sur un même graphique les courbes représentatives de f et de g a) Entrer dans les cellules A à A les valeurs de avec le pas de calcul 0, Epliquer comment procéder pour ne pas saisir les valeurs une à une On entre les valeurs, et dans les cellules A et A On sélectionne ces deu cellules, puis on utilise la poignée de remplissage b) Entrer dans les cellules B à B les valeurs de g() et dans les cellules C à C les valeurs de f (), associées à celles de Donner les formules entrées dans les cellules B et C, puis copiées jusqu au cellules B et C =0, A dans B ; =0 A dans C c) Utiliser l assistant graphique du tableur pour obtenir des tracés des courbes représentatives de f et de g Le graphique obtenu à la question précédente est analogue à celui donné ci-contre Résoudre graphiquement l inéquation f () g() f() g() pour [0 ; ] 8