Calvin. Licence Creative Commons. Cours. mathématiques. 1 re année. Jann WEISS

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1 alvin Licence reative ommons ours de mathématiques 1 re année Jann WEISS

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3 T L E D E S M T I È R E S 1 Trigonométrie dans le triangle rectangle onnaissances préalables onfigurations de Thalès Propriétés sur les proportions Les fonctions trigonométriques Les angles ngle au centre et arc intercepté Exercices résolus Exercices Résolution de triangles Résolution de triangles rectangles alcul numérique et notions algébriques de base 18.1 Les ensembles de nombres La droite numérique alcul numérique Puissances Racines Propriétés des opérations Exercices Rappel et complément sur les proportions Propriétés d une proportion pplication aux pourcentages Exercices Transformations d écritures Développer, réduire Factoriser Identités remarquables Exercices Résolution des équations du 1 er et du e degré 6.1 Équation générale du 1 er degré ax+ b= 0 avec a Les «équations-produits» Les équations comportant des quotients Équations littérales Problèmes résolus Exercices Équation générale du e degré ax + bx+ c = 0 avec a hangement de variables Équations paramétriques à une inconnue Problèmes conduisant à une équation de second degré Exercices supplémentaires Systèmes linéaires Rappels sur les systèmes linéaires (,) Système de coordonnées Équation de la droite : y = ax+ b Systèmes linéaires Exercices Inéquations et programmation linéaire Les inéquations du 1 er degré à une inconnue Les propriétés des inégalités

4 5.1. La résolution d une inéquation de 1 er degré à une inconnue Les demi-droites et les intervalles Les systèmes d inéquations à une inconnue Programmation linéaire Inéquations linéaires Systèmes d inéquations linéaires Polygone des contraintes Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à variables? Géométrie euclidienne Les axiomes de base ou les règles du jeu Le triangle Triangle rectangle et théorème de Pythagore Théorème des milieux Les droites remarquables dans le triangle Triangle rectangle et cercle ou théorème du cercle de Thalès Le théorème de Thalès Les configurations de Thalès Les triangles semblables onséquences du théorème de Thalès pplications pratiques du théorème de Thalès Partage d un segment en n parties égales alculer la hauteur d un arbre par temps ensoleillé alculer la hauteur d un arbre par temps nuageux alculer la largeur d une rivière Théorème de l angle inscrit Théorème d Euclide et théorème de la hauteur Exercices Les fonctions Une fonction à partir d un tableau Une fonction à partir d un graphique Remplissage d un récipient Déplacement d une voiture Fonctions à partir d une formule Suite de «Une fonction à partir d un tableau» Notions de base Graphiques des fonctions affines Fonctions quadratiques Tableau de signes et zéros d une fonction Exercices À savoir La droite La parabole Les trois formes de la fonction quadratique

5 1 Trigonométrie dans le triangle rectangle H P I T R E

6 ONNISSNES PRÉLLES Faire des mathématiques, c est résoudre des problèmes à l aide d outils spécifiques qui nécessitent d être attentifs à quelques points particuliers Si possible, tous les calculs doivent être effectués avec des valeurs exactes. insi une réponse comme π doit être préférée à 6,8. Important Dans les cas où des mesures physiques sont données ou qu il n est pas possible de travailler avec des valeurs exactes sans créer de grands inconforts dans les calculs, les valeurs arrondies s imposent. On arrondit alors au mieux et, si aucune précision n est donnée, au centième près. Les étapes de raisonnement et de calcul doivent être clairement explicitées. Quand un théorème est utilisé, il faut le citer. Les résultats fournit par la calculatrice requiert non seulement une attention particulière aux arrondis, mais il faut aussi veiller à la mettre dans le bon mode. Dans ce chapitre, nous allons travailler avec des degrés. Votre calculatrice doit ainsi être réglée dans le mode degré (DEG affiché). 1 onnaissances préalables 1 1 onfigurations de Thalès Elles sont constituées de deux triangles formés par deux droites sécantes ((E) et (D)) coupées par une paire de droites parallèles (() et (ED)). D E E D Théorème 1-1 Théorème de Thalès Dans ces configurations les côtés d un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l autre. On a ainsi les égalités de rapports (ou proportions)suivants : 1 Propriétés sur les proportions 1 a Définitions D = E = DE Définition 1-1 Un rapport est un quotient entre deux grandeurs Définition 1 - Une proportion est une égalité entre deux rapports Si a,b,c,d sont quatre nombres tels que a b = c, on dit qu ils sont en proportion. d a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion. a et d sont appelés les deux extrêmes Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

7 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE 7 b et c sont appelés les deux moyens Exemple : Si une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs proportionnelles que sont la distance et le temps par un tableau Temps (en min) x Distance (en km) y Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité? Remarque : es coefficients permettent d écrire deux applications linéaires f : R + R + g : R + R + x y = 4 x x y = 4 x et chacune d elle admet une représentation graphique particulière. 1 b Propriétés d une proportion Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens Théorème 1 - a b = c d ssi ad = bc On a aussi les propriétés suivantes : 1 Interversion des extrêmes : a b = c d Interversion des moyens : a b = c d ssi ssi d b = c a a c = b d Inversion des rapports : a b = c d ssi b a = d c 4 Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de proportionnalité : a b = c a ssi d b = c d = a+ c b+ d = a c b d 1 c Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle en, on a la relation de Pythagore = + Théorème 1 - Réciproquement lorsque les côtés d un triangle vérifient la relation = +, alors ce triangle est rectangle en. Il est ainsi possible dans un triangle rectangle, connaissant la longueur de deux côtés, de calculer la longueur du troisième. Est-il possible de trouver la valeur des angles? est ce que nous allons pouvoir faire avec les rapports trigonométriques. Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

8 8 1.. LES FONTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Les fonctions trigonométriques On applique Thalès à la figure ci-dessous qui est une configuration de Thalès particulière avec des triangles rectangles. Pour chaque point,,..., choisi sur la droite horizontale, on a à la verticale sur la droite sécante un point,,... On a ainsi toute une série de proportions, et, par interversion des moyens, on obtient une seconde série de proportions. = = = D = = = = = = α es rapports ne dépendent pas du choix de sur la droite horizontale, mais seulement de l angle α. =, mais D La valeur du rapport se présente ainsi sous forme d une dépendance fonctionnelle En l occurrence, cette fonction est appelée le cosinus. α On pose cos(α)= On écrira souvent, pour simplifier l écriture cos : α sin(α)= tan(α)= cosα, sin α, tanα au lieu de cos(α), sin(α), tan(α) En résumé, on a b γ a sinα= a b cosα= c b α c D où Par le théorème de Pythagore tanα= a c a= b sin α et c = b cosα b = a + c = b (sinα) + b (cosα) = b ((sinα) + (cosα) ) Donc, ou, dans une écriture plus courante (sinα) + (cosα) = 1 sin α+cos α=1 Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

9 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE 9 On a aussi tanα= a c = b sinα b cosα = sinα cosα c est-à-dire tanα= sinα cosα et encore sinα= a b = cosγ=cos(90o α) donc sinα=cos(90 o α) et cosα=sin(90 o α) es définitions des fonctions trigonométriques à partir des rapports sur les côtés d un triangle rectangle limitent ces fonctions aux angles aigus, car dans un triangle de ce type, il n y a pas d angle obtus. En d autres termes, le cosinus et le sinus sont des fonctions dont le domaine est ]0, 90[ et les valeurs de ces fonctions sont toujours a inférieures à 1 : b < 1 et c < 1 puisque la longueur de l hypoténuse b est supérieure à a ou à c b supérieures à 0 : car quotient de valeurs positives. On peut étendre la définition à l angle α=0. Dans ce cas a= 0 et b= c, donc le sin 0 = 0 b = 0 et le cos0= c c = 1. De manière semblable, nous pouvons trouver que sin 90 =1 et cos90 =0. En résumé, 0 cosα 1 et 0 sinα 1 avec 0 α 90 Les angles θ d d 1 En géométrie, un angle est défini comme l ensemble des points déterminés par deux rayons, ou demi-droites, d 1 et d, qui ont la même extrémité O. Si et sont des points sur d 1 et d, comme ci-contre, nous faisons référence à l angle O (noté O ou O). Un angle peut également être considéré comme deux segments de droites avec une extrémité commune. Un angle droit est la moitié d un angle plat et vaut 90 o. Le tableau ci-dessous contient les définitions d autres types d angles particuliers. Terminologie Définition Exemples angle aigu α 0 o < α<90 o 15 o ; 49 o angle obtus α 90 o < α<180 o 95 o ; 149 o angles complémentaires α, β α+β=90 o 0 o et 60 0 ; 75 o et 15 o angles supplémentaires α, β α+β=180 o 10 o et 60 0 ; 75 o et 105 o 1 ngle au centre et arc intercepté Dans un cercle de rayon r l angle au centre θ et la longueur de l arc L intercepté par cet angle sont proportionnels. On tire de ce tableau de proportionnalité, angle au centre (degrés) θ 60 o longueur de l arc intercepté L πr θ L = 60 πr L= πr 180 θ Dans un disque, l angle au centre θ est proportionnel à l aire du secteur intercepté par cet angle. ela permet de poser la proportion Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

10 LES NGLES angle au centre (degrés) θ 60 o aire secteur πr θ = 60 πr = πr θ 60 θ θ = πr 60 θ = πr 60 θ Exercices résolus Exemple onversion de degrés décimaux en degrés, minutes et secondes Exprimer 5, 48 en degrés, minutes et secondes. Solution On utilise que 1 =60 et 1 = 60 ( ) 48 5,48 = 5 + de 1 =5 + 0, = 5 + 8,8 = de 1 = ,8 60 = 5 + 8,8 = ,8 60 = Exemple onversion de degrés, minutes et secondes en degrés décimaux Exprimer o 17 4 sous forme décimale, au dix millième de degré près. ( ) 1 o ( ) 1 ( ) Solution On utilise que 1 = et 1 1 o = = ( ) 17 o ( ) 4 o o 17 4 = o o + 0,8 o + 0,0119 o =,95 o Exemple Utilisation des formules de longueur d un arc de cercle et d aire du secteur Un angle au centre θ intercepte un arc de longueur 10 centimètres sur un cercle de rayon 4 centimètres. (a) Donner une valeur approchée de θ en degrés. (b) Trouver l aire du secteur circulaire déterminé par θ. Solution (a) (b) L πr = θ 60 θ= 60L πr = π 4 = 450o π 14,o θ = 60 πr = πr 60 θ π , 0,0 cm proportionnalité angle et longueur d arc intercepté par l angle proportionnalité angle et secteur Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

11 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE 11 4 Exercices 1 1 Trouver l angle qui est le complémentaire de α. (a) α=5 o 17 4 (b) α=,5 o 1 Exprimer l angle sous forme décimale, en arrondissant au dix millième de degré près. (a) 7 o 41 (b) 8 o 19 (c) 58 o Exprimer l angle en degrés, minutes et secondes, en arrondissant à la seconde. (a) 6,169 o (b) 1,864 o (c) 10,616 o 1 4 Si un arc de cercle de longueur L donnée sous-tend un angle au centre θ sur un cercle, trouver le rayon de ce cercle. (a) si L=10 cm, θ=5 0 (b) L= km, θ=0 o 1 5 (a) Trouver la longueur de l arc du secteur ombré dans chacune des figures ci-dessous. (b) Trouver l aire du secteur. 45 o r = 8 cm 10 o r = 9 cm 1 6 (a) Trouver la valeur de l angle au centre θ qui intercepte l arc donné de longueur L sur un cercle de rayon r. (b) Trouver l aire du secteur déterminé par θ. (1) si L=7 cm, r = 4 cm () si L= 90 cm, r = 50 cm 1 7 Mesure de distances sur terre La distance entre deux points et sur terre se mesure le long d un cercle dont le centre est au centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de à la surface (voir la figure). Si le diamètre de la terre est approximativement de km, calculer la distance entre et si l angle a la valeur indiquée : (a) 60 o (b) 10 o (c) Mesure d angles en utilisant la distance Si deux points et sont éloignés de 800 km, exprimer l angle en degrés. 1 8 Une roue type pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96 km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par minute. Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

12 RÉSOLUTION DE TRINGLES 5 Résolution de triangles «Résoudre un triangle», c est calculer les grandeurs inconnues (côtés, angles, périmètre, aire) à partir de certaines données. Pour désigner les différents grandeurs et éléments d un triangle, on respectera la notation suivante : γ a α b c β 5 1 Résolution de triangles rectangles Si le triangle est rectangle, la résolution est plutôt simple. Les relations utilisées sont : 1 le théorème de Pythagore les rapports trigonométriques du triangle rectangle côté adjacent cosinus= hypoténuse côté opposé sinus= hypoténuse côté opposé tangente= côté adjacent 1 9 Si θ est un angle aigu et cosθ= 4, calculer les valeurs des fonctions trigonométriques de θ alcul des valeurs des fonctions trigonométriques de 60, 0 et 45. Pour les premiers angles, travailler sur un triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur de cm. Pour le dernier, il faut aussi penser à un triangle particulier. es valeurs particulières pour les fonctions trigonométriques peuvent être résumées par le tableau : θ (degrés) sin θ cosθ tanθ 0 o 1 45 o 60 o Un géomètre observe qu en un point, placé au niveau du sol à une distance de 7,5 m de la base d un mât, l angle entre le sol et le sommet du mât est 0. alculer la hauteur h du mât arrondie au dixième de centimètre. 0 7,5 m h Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

13 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE Trouver les valeurs des trois fonctions trigonométriques de l angle θ. 5 θ 4 θ θ 5 c θ a 1 1 Résoudre les triangles rectangles ci-dessous, rectangles en. 1. a= 10 cm c = 6 cm. c = 10 cm α=,4 o β. α=8,45 o aire= 8,8 cm 4. Vérifier que sin (α)+cos (α)=1 α 1 14 Suspendu en un point O, un pendule oscille. et sont deux positions du pendule. Lorsque l angle avec la position d équilibre est de 0 o, le pendule se trouve à cm au-dessus de sa position verticale. alcule la longueur de ce pendule. Remarque Historiquement, la définition du mètre a été donnée à une certaine époque en fonction du pendule : le pendule oscillant en 1 seconde ( secondes pour l aller et le retour) a une longueur de 1 mètre (1668, John Wilkins) Résoudre les triangles suivants ( π 5 = 6 et π 1 = 15 ) 5 cm 5 cm 0 o 6 cm π 5 cm 50 o 8 cm 9 cm 7 cm cm π alcule la hauteur de la tour (cf. dessin) Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

14 RÉSOLUTION DE TRINGLES S h m 50 o 15 o H 1 17 Trouver les valeurs exactes de x et y. x 4 x 45 8 x 4 0 o 60 o y y 60 o y o x 1 18 Quelle est la valeur maximale (minimale) du sinus ou du cosinus d un angle aigu? y 1 19 Un bûcheron se trouvant à 60 m de la base d un séquoia observe que l angle entre la base et le sommet de l arbre est de 60. alculer la hauteur de l arbre. 1 0 Le sommet du Mt Fuji, au Japon, culmine à environ 800 m. Un étudiant en trigonométrie, à des kilomètres de là, remarque que l angle entre le sol et le sommet est de 0. alculer la distance de l étudiant au point sur le sol à la verticale du sommet. 1 1 Le plus haut symbole publicitaire au monde est une immense lettre I située au sommet du building de 7 étages, le First Interstate World enter à Los ngeles. une distance de 60 m à partir du point à la verticale au pied du symbole, l angle entre la base de l immeuble et le sommet de ce symbole est de 78,87. alculer la hauteur du sommet de ce symbole. 1 Quelle est la valeur exacte du périmètre du triangle? ( π 6 = 0 ) H=1 cm. H= cm. π 6 H Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

15 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE 15 1 alculer le périmètre et l aire de la surface ombrée dans chacune figure O 1 70 O 144 a) O 1 b) c) Une vache se trouve au centre d un enclos circulaire. Un promeneur arrêté à 70 m ( de la vache, voit l enclos sous un angle horizontal de 0. a) Quel est le diamètre de l enclos? b) Le promeneur se trouve maintenant à 5 mètres de l enclos. alculer le nouvel angle de vue. 1 5 Un observateur voit une tour circulaire de diamètre 5 m, sous un angle horizontal de 0. quelle distance du point le plus proche de la tour se trouve l observateur? 1 6 On considère un cercle de centre O et de rayon 7 cm, et un point P situé à 10 cm du centre. alculer l angle entre les droites passant par P et tangentes au cercle. 1 7 On considère un cercle de centre O et de rayon 5 cm, et un point P situé à l extérieur du cercle. Sachant que les tangentes au cercle issues du point P font un angle de 5, calculer la distance OP. 1 8 On considère un triangle isocèle dont la base vaut 10 cm et l angle opposé 6. alculer le rayon du cercle inscrit à ce triangle. 1 9 En sortant de son phare, le gardien a laissé la porte ouverte, mais il a laissé son chien (féroce) attaché à un piquet par une chaîne de 10 m. Je connais bien le gardien, mais malheureusement le chien ne me connaît pas. Vais-je pouvoir rendre visite au gardien? 10 m m porte m (rayon du cercle extérieur) 1 m 1 0 Le rayon de la terre Deux points et de la surface terrestre sont situés sur le même méridien et distants de 800 km. Lorsque le soleil est à la verticale de, l ombre d un bâton de 1 m planté verticalement en mesure 1,6 cm. Quel est le rayon de la terre? Utiliser le schéma ci-contre en faisant intervenir une fonction trigonométrique de α et en supposant que le triangle SS est rectangle en avec S = 1,6 cm : c est légitime compte tenu des dimensions. S S α O Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

16 RÉSOLUTION DE TRINGLES La méthode décrite ici fut imaginée par Eratosthène (vers av. J..) qui fut le premier à évaluer correctement le rayon terrestre. Il choisit les villes antiques de Syènes (point ) et d lexandrie (point ). 1 1 alcule, si possible, les dimensions manquantes : 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

17 HPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE 17 orrection de l exercice 1-1 1) Triangle quelconque ( e ) ) Triangle avec α= o, c = 4,8 cm Valeur pour β : β=90 o o = 58 o. Valeur pour a : sinα= a c d où a= c sinα,54 cm Valeur pour b : On utilise Pythagore a + b = c et on trouve b 4,07 cm ) Triangle quelconque ( e ) 4) Triangle quelconque ( e ) 5) Triangle quelconque ( e ) 6) Triangle avec α=5 o, b= c = 6,8 cm (triangle isocèle) Valeur pour β et γ : γ=β=(180 o 5 o ) : =64 o. Valeur pour a : 7) Triangle quelconque ( e ) On utilise sinα a = sinγ c pour trouver a 5,96 cm 8) Triangle avec α=60 o, β=60 0, γ=60 0 et h= 6 cm ( a ) + Valeur pour a : On utilise Pythagore a = 6 et on trouve a= 1 = 4 6,9 cm 9) Triangle quelconque ( e ) 10) Triangle avec a= 9,5 cm, c = 7 cm Valeur pour b : Valeur pour γ : Valeur pour α : On utilise Pythagore a + c = b et on trouve b 11,8 cm On utilise sinα= c et on trouve γ 6,9o b sinα= a et on trouve α 5,6o b 11) Triangle quelconque ( e ) 1) Triangle avec a= 4,8 cm, c = 5,6 cm Valeur pour b : Valeur pour α : On utilise Pythagore a + b = c et on trouve b,88 cm On utilise sinα = a c et on trouve γ 59o. On peut aussi utiliser cosα = b c γ 59,05 o. et on trouve Valeur pour β : sinβ= b c et on trouve α 0,95o Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

18 alcul numérique et notions algébriques de base H P I T R E

19 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 19 1 Les ensembles de nombres Les entiers N= {0,1,,,4,5,... } est l ensemble des entiers naturels Z={0,+1,-1 ;+ ;- ;+ ;-,... } est l ensemble des entiers relatifs N Z Z est une extension de N qui se justifie du fait que la soustraction n est pas toujours définie dans N. 1 N et,17 N mais 1 17= 5 et 5 N LE SYSTÈME DÉIML Notre écriture des nombres est positionnelle et utilise la base décimale ; on l appelle simplement l écriture décimale des nombres. Elle est très ancienne et découle d un choix naturel dicté par les dix doigts de nos mains. Dans cette base, il suffit de 10 symboles différents (0, 1,,..., 9) pour représenter n importe quel nombre. es symboles sont les chiffres. Le nombre (1) 10, ou simplement 1 en omettant d indiquer la base uniquement dans le cas de la base 10, s écrit comme la somme suivante de puissance de 10 : 11= ctivité On remarque dans cet exemple que les deux «1» n ont pas le même poids, l un a le poids des milliers (10 ) et l autre le poids des unités (10 0 ). ette notion de poids lié à la position du chiffre dans le nombre explique pourquoi notre écriture est positionnelle. Lorsque l on passe d une position à celle qui est directement voisine, le facteur multiplicateur est 10, la base du système. La raison est directement liée au nombre limité de chiffres utilisés. insi, en comptant depuis la première unité une certaine quantité d objets, en arrivant à 9, il est nécessaire de procéder à un regroupement pour dénoter les 10 premières unités : ce sera 1 dizaine. On peut ensuite compter toutes les dizaines jusqu à 9, là aussi, il faudra faire un regroupement des 10 premières dizaines en 1 centaine, et ainsi de suite... En changeant de base, le principe reste le même, c est juste le facteur multiplicateur, c est-à-dire le nombre d éléments dans un regroupement, qui change. Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

20 0.1. LES ENSEMLES DE NOMRES LE SYSTÈME INIRE En informatique, l écriture des nombres se fait en base et découle d un choix dicté par la présence ou l absence de tension aux bornes d un transistor. Dans cette base, il n existe donc que deux symboles (0 et 1) pour représenter n importe quel nombre. Le nombre ( ) s écrit comme la somme suivante de puissance de : 1= Nous pouvons ainsi écrire que (1) 10 = ( ). Pour comprendre cette écriture, partons d un exemple plus simple : représenter 7 en binaire. vec chiffres (0 et 1), on ne peut aller au-delà d une unité sans passer à un regroupement supérieur : les paquets de ( 1 ) unités (ellipses en pointillées). Mais ceux-ci, à leur tour, ne peuvent être comptés au-delà de 1 sans passer à une unité supérieure, le paquet de 4 ( ) qui représente paquets de. On continue de la même manière, paquets de 4 forment 1 paquet de 8 ( ) et paquets de 8 forment un paquet de 16 ( 4 )! Le nombre de bâtonnets dans la figure ci-dessous est ainsi = (11011) = 7 ctivité 4 1 Lorsque nous utilisons un ordinateur (ou tout autre appareil numérique), toutes les informations sont traduites en série de 0 et de 1. Pour des raisons de soucis de compatibilité, il a fallu uniformiser l échange des informations entre les différents appareils. insi, a été inventé en 1961 le jeu de caractères codés SII (merican Standard ode for Information Interchange) par l américain ob emer. a) Selon le codage SII, la lettre K correspond à la valeur numérique 75. onvertissez ce caractère K en code binaire. b) Quel est le nombre en base 10 correspondant à la valeur binaire ( )? 1 Le stockage de l information Lorsqu une information doit être stockée en mémoire sur un ordinateur, il est primordial de savoir la place nécessaire que prendra cette dernière avant de commencer à son enregistrement. Généralement la place mémoire est comptée en octet qui est une série de 8 chiffres binaires. Dans un octet, il est donc possible d inscrire les nombres de à a) ombien de nombres différents peuvent tenir dans un octet? b) Quel est le plus grand nombre en base 10 qui puisse être mémorisé dans un octet? c) ombien d octets sont-ils nécessaires pour stocker le nombre 010? d) Estimer le nombre de chiffres contenus dans le nombre 010? L approximation 10 = peut-être utilisée. e) Par quel chiffre se termine le nombre 010? Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

21 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 1 Les décimaux représenter par une construction géométrique. D désigne l ensemble des nombres décimaux. e sont les nombres qui ont une écriture finie en base 10.,8-4,116 sont des nombres décimaux 0, 5,45 π ne sont pas des nombres décimaux Les décimaux sont les seuls nombres que connaît une calculatrice et en plus elle n en connaît qu une partie. Les rationnels Un nombre rationnel est un nombre qui peut s écrire comme quotient de deux entiers (fraction). On sait que celui-ci n est généralement pas un entier 5 Z ou Z Parfois le quotient est un nombre décimal, d autres fois c est un nombre dont la partie décimale est illimitée (cf. exercice 1-). Q désigne l ensemble des nombres rationnels. Les réels montrer que dans ce dernier cas (où le quotient comporte une partie décimale illimitée) la partie décimale est périodique 4 montrer que tout nombre décimal est un nombre rationnel 5 montrer que tout nombre à partie décimale illimitée et périodique est un nombre rationnel. 6 montrer qu entre deux nombres rationnels, il en existe toujours un e. e n est pas le cas avec les entiers. (cf.paradoxe de Zénon) ertains nombres comme ou π ne peuvent s écrire comme quotient de deux entiers : ce sont des nombres irrationnels. L ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l ensemble des nombres réels noté R. 7 fabriquer un nombre irrationnel Remarque Les pythagoriciens (V e siècle avant notre ère) pensaient pouvoir tout ramener aux nombres entiers ou à des rapports entre nombres entiers. En particulier, ils liaient l harmonie du monde aux rapports rationnels existant entre les choses. insi avaient-ils découvert que les harmonies musicales pouvaient être exprimées par des rapports de nombres entiers. Par exemple, l intervalle musical entre la note produite par une corde tendue et celle produite par une autre dont la longueur est la moitié de la première est une octave. La surprise vint d une figure élémentaire : le carré. Sa diagonale est incommensurable avec son côté, c.-à-d. qu il n existe pas d unité commune a pour laquelle ces deux segments ont une mesure entière. utrement dit, le rapport entre la diagonale et le côté ne donne pas un nombre rationnel. Donc ce qu on n a pas, c est quelque chose du genre : diagonale = 14a et côté = 10a diagonale côté = 14a 10a = a En effet, pour un carré de côté 1, la diagonale vaut =. Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

22 .. L DROITE NUMÉRIQUE L antiphérèse : les Grecs de cette époque utilisaient une méthode pour déterminer une unité commune entre deux segments appelée l antiphérèse. Soit deux segments [] et [D] tels que > D. On construit un segment [ 1 1 ] en prenant la différence entre les deux segments initiaux, comme ci-contre. Puis, on recommence la procédure avec les deux segments [D] et [ 1 1 ]. ssez rapidement, on aboutit à deux segments de même longueur. ette longueur sera celle qui servira d unité commune entre les deux segments [] et [D] de départ de telle sorte que chacun d eux pourra s exprimer par un nombre entier d unités. 1. Montrer les limites de cette méthode.. Faire l analogie avec la recherche du pgcd par la méthode des soustractions successives. D 1 1 Une application de cette même méthode permet aussi de montrer que le côté du carré n est pas commensurable avec sa diagonale. On l applique aux segments [] et []. Pour cela, on place le point E sur [] tel que E=, et le point F à l intersection de la perpendiculaire à () qui passe par E et de (). (, )= (, E) a (E,E)= (E,EF)=(E,F)=(,F) (F,F) = (EF,F). On peut poursuivre la technique avec le carré de côté [EF]. Si on finit par obtenir deux segments égaux, cela signifie que l on a trouvé un carré dont le côté et la diagonale ont la même longueur, ce qui est contradictoire! a. La flèche indique le passage de deux segments aux deux segments de l étape suivante de l antiphérèse D 8 Montrer pourquoi on ne peut pas résoudre x = dans Q 9 Dessiner un diagramme qui représente l inclusion entre les différents ensembles de nombres. E F La droite numérique Il existe une bijection entre les nombres réels et les points d une droite. e qui signifie qu à chaque nombre réel correspond un point sur la droite, et, inversement, à chaque point sur la droite correspond un nombre réel. ette bijection, assez naturelle et intuitive, mais non triviale à démontrer, est construite de la manière suivante. On prend une droite, horizontale, pour simplifier les choses. On choisit un point sur la droite et on lui attribue l étiquette O, pour l origine. Puis, on choisit un autre point à droite du précédent et à une distance fixée. On lui donne l étiquette i, pour l unité. ette distance fixée qui peut valoir 1 cm, cm ou n importe quelle unité de distance, détermine l échelle. On associe le nombre 0 à l origine et 1 à l unité. Le point se situant à droite de l origine à deux fois cette distance fixée aura l étiquette, le point à gauche de l origine à la même distance que 0 et 1 aura l étiquette -1, etc On peut aussi placer les nombres rationnels comme 4. En ce qui concerne les irrationnels ce procédé ne marche pas, car, de par leur nature, ils n ont aucune commune mesure avec un quelconque rationnel. eci nous renvoie à un problème ancien : est-ce que les côtés d un triangle rectangle sont «commensurables»? est vrai pour un triangle dont les dimensions sont, 4 et 5 cm pour les cathètes et l hypoténuse, respectivement. Mais, si on prend 1 cm pour chacune des cathètes, qu en est-il de l hypoténuse (appelons-la z pour la discussion). Pythagore nous livre z = 1 + 1, c est-à-dire z = La solution à l exercice 7 nous permet de conclure qu il n y a aucune commune mesure entre l hypoténuse et les cathètes, ce qui veut dire qu il n est pas possible de diviser en un nombre entier de parties égales l hypoténuse Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

23 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE et en même temps diviser les cathètes en un nombre entier de parts égales à celles qui divisent l hypoténuse. On peut trouver des approximations. Par exemple, en divisant un côté en 5 parties, une de ces parties entre presque 7 fois dans l hypoténuse ( 7 5 est une approximation de ). eci n empêche pas, toutefois, dans certains cas, de placer avec exactitude un nombre irrationnel sur la droite numérique. Prenons l exemple de (cf. exercice 7). Grâce à Pythagore, il est facile 0 1 de reproduire (cf. schéma ci-contre) sur une droite cette longueur 1 1 et ainsi de placer ce nombre sur une droite numérique. En fait, on peut associer à tout nombre réel, rationnel ou irrationnel, un point sur la droite. vec cette représentation géométrique qu est la droite numérique, si a < b, alors le point correspondant à a se trouvera à gauche du point correspondant à b. Le nombre a b a une interprétation simple dans le cadre de cette image géométrique : il s agit de la distance entre a et b ou la longueur du segment dont les extrémités sont a et b. e qui signifie, en particulier, en prenant un exemple d usage fréquent, que l ensemble des nombres x satisfaisant x a <ǫ peut être représenté comme l ensemble des points dont la distance à a est inférieur à ǫ. Il s agit de l intervalle de a ǫ à a+ ǫ, ou, encore, des nombres x tels que a ǫ< x< a+ ǫ. Les ensembles de nombres qui correspondent à des intervalles sont tellement fréquents qu une écriture particulière a été prévue pour eux. L ensemble {x a < x < b} est noté ]a;b[ et appelé l ensemble ouvert de a à b. On a, en particulier, les situations ci-contre. Remarquons que ] ; [= R a a a ǫ a a+ ǫ a a a a b b ]a;b[= {x a < x < b} [a;b]={x a x b} ] ; a[= {x x < a} ]a;+ [= {x x > a} [a;+ [= {x a x} ] ; a]={x x a} alcul numérique 1 Puissances Notation : a n Définition - 1 Soit a R et n N, on définit : a n = a a... a } {{ } n facteurs a pour a 0, a n = 1 a n pour a 0, a 0 = 1 Théorème - 1 Règles de calcul : soit a et b R et m,n N 1. a n a m = a n+m a n. a m = an m. (a n ) m = a nm 4. (a b) n = a n b n ( a ) n a n 5. = b b n Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

24 4.. LUL NUMÉRIQUE ctivité LES LIMITES DE L LULTRIE Sauriez-vous être plus performant que votre calculatrice? 1. omparer les nombres suivants : a) 400 et b) 00 et c) et d) et onsidérez l expression : x+y x a) La calculer à l aide de la calculatrice pour x= 10 4 et y = 10 4 b) La calculer à l aide de la calculatrice pour x= 10 6 et y = 10 6 c) La réduire algébriquement le plus possible d) Que peut-on conclure des calculs précédents? y Racines Définition - Soit a R + et n N, on définit a désigne un nombre x tel que x 0 et x = a n a désigne un nombre unique x tel que x n = a 10 montrer que a 1 n = n a et en déduire les règles suivantes Théorème - Règles de calcul : soit a et b R + et m,n N 1. a = ( a ) = a n. a n = ( n a ) n = a n. a m = ( n a ) m m = a n (cf. plus loin) n 4. ab= n a n b n a n a 5. b = n si b 0 b Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

25 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 5 Initialement, les puissances n étaient définies que pour les exposants naturels, puis à coup de définitions successives, on a accepté les exposants relatifs, rationnels et enfin irrationnels. Nous allons montrer comment se justifient ces extensions de la notion de puissance jusqu aux exposants rationnels. Pour ce faire, utilisons les puissances de dix. Dans un premier temps, 10 x est défini pour les nombres entiers positifs : 10 x = } {{ 10 }. est une notation très utile, en particulier pour multiplier les grands nombres puisqu on a la propriété 10 n 10 m = 10 n+m L extension de la définition de 10 x à des nombres x rationnels est motivée par le maintien de cette propriété. L équation n = 10 0+n = 10 n x fois Remarque nous force à poser que 10 0 = 1. L équation suivante 10 n 10 n = 10 0 = 1 nous oblige à poser : 10 n = 1/10 n. Puisque l on souhaite que l équation } 10 1/n {{ 1/n } = 10 1/n+ +1/n = 10 1 = 10 n fois } {{ } n fois soit vraie, il faut définir : 10 1/n = n 10. Et puisque l on souhaite que l équation soit vraie, il faut définir : 10 m/n = ( n 10) m. 10 } 1/n... {{ 10 1/n } = 10 1/n+ +1/n = 10 m/n m fois } {{ } m fois 11 pour a R, est-ce que a = a dans tous les cas? Propriétés des opérations 1 Tout nombre non nul a admet un inverse a tel que a a = 1 L inverse de a se note 1 a ou encore a 1. On a a a 1 = a 1+( 1) = a 0 = 1. 0 n admet pas d inverse. On le démontre par l absurde. ar si 0 admettait un inverse, on aurait quels que soient les nombres a et b, }{{} = 1 ( ) = 0 1 }{{} 0 = 1 =!!! ab= 0 si, et seulement si, a= 0 ou b= 0 quels que soient les nombres a et b, mais b 0, a = 0 si, et seulement si, a= 0 b Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

26 6.. LUL NUMÉRIQUE 4 quels que soient les nombres a et b 5 règle de simplification : quels que soient les nombres x, y et a, on a : a = b a b = 0 (règle utilisée dans la résolution des équations) (a b)(a+ b)=0 a b= 0 ou a+ b= 0 a=±b. x+ a=y+ a si, et seulement si, x = y 6 règle de simplification : quels que soient les nombres x, y et a, avec a 0, on a : (règle utilisée dans la résolution des équations) xa=y a si, et seulement si, x=y 7 quels que soient les nombres a, b, c et d, avec b 0 et d 0, on a : a b = c d si, et seulement si, 1 démontrer cette dernière propriété à l aide des précédentes 4 Exercices ad = bc 1 Pour chaque équation, cherche toutes les valeurs possibles pour l inconnue 1) x 4 7a (5a 1) a (a 4) (a 1) =+1 14) = 0 15) = 0 1 a 8 14 omplète à l aide de l un des signes ou 1)+1,... Z ) 0,04... Q ) π... Q 4) Q 5) 100,14... R 6) Z 15 Pour chaque égalité, indique la ou les propriétés utilisées : 1) [a (a 5)] b = a [(a 5) b] ) a+ (a+ b) (x y)= a+ (a+ b) x (a+ b)y ) (a + b) [c+ (a+ b)]=(a + b) [ (a+ b)+c] 16 Utiliser la notation «puissance» pour écrire aussi simplement que possible chacune des expressions : 1) ( 5) ( 5) ( 5) 4 4) (7 7 ) 4 ) (+) 4 ( ) (+) ( ) 5) ( ( 4) (+5) ( ) 4) ) 7 (7 ) 4 6) ( (5 ) 4) 17 Idem 1) 5 ) ) 5 4) ( ) ( ) 5 : 5) ( ) 1 5 ( ) 7 ( ) : 6) ( ) ( ) Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

27 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 7 18 Idem 1) ) ( ) ( ( ) ) ( + 4) ( + 4 ( 4 + ) ) ( + 4 4) 4 ) ) ( (0,5) (0,5) 4) (( ) 4 5) 7 1 )4 5 (( ) 5 ) ( ) 5 4 (( ) ) 1 6) 5 ( ) Idem ( ) 8 4 1) ( ) 4) ( ) ( (( 4 ) )4 ) 4 4 ( ) 5 ( ) 6 ) : 5) 4 5 ( ( ) ) (( ) ( ) 5 ) (( ) ( )) 5 ) ( ) 6) : ( ) Sans effectuer les calculs, réduis les expressions suivantes en exploitant la notation «puissance» : (( ) ( 1) ( ) ( 4 4 4) (( ) )5 4 ) )4 ) 5 (( ) 1 5 ( = ) ) ( ) ) 4 4 ( ) 4 7 = ) : = 5 5 = 5) 4 ( ) ( ) 5 4 ( ( ) ) = 6) ( ) 5 = 7) = 8) Écris chaque nombre en notation scientifique et calcule : = 9) = ,0 40 0, = 0, , ,05= Simplifie les radicaux ou calcule : 1) 4 75 ) ) 00 0,04 5 4) 5) ) ) 8) 9) ) ) (1 10) + ( 4,9 10 5) 7 1) ) 78 14) ) alcule dans R 1 1) 6 = ) 5 5= 4 1 ) = Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

28 8.. LUL NUMÉRIQUE 4) = 5) = 6) ( ) 8 = 7) 1 1 = 8) 5 = 9) 4 = 4 alcule dans R et réponds par une fraction irréductible 1) 75 4 : = ) ( ) ) ( ) = 4) ( ( 1 + ) 4 ( ) 1 5) ( 0,5 + 0,6 ) 4 1 = 6) ) ( 1 ) ( ) ( ) = 14 = 5 + 1= 7) = 8) 4+ ( + ) ( 4 ) ( 5 ( 1 ( ) 1 ) ) ( + 1 ) = On peut facilement vérifier les égalités suivantes : 1 Trouver une règle générale. Présenter une preuve pour cette règle. 5 5= = = etc. 6 Simplifier l expression (x 10) (x + 10), puis calculer Réduis et réponds par une expression de la forme a n (notation puissance) 1) ( ( 7 7 ) 4 ( ) ) = ) ( ) ( )= ( 45 ( ) 1 )4 (( ) ) ( ) 5 4 (( 1 4) 15 5 = 5) 6) 5 6 7) ( 10 ) 5 ( ) 1 ( ) 4 ( 10 4 ) = 8) 50 0,75 51 = 9) = ( ) + 4) ( + 4 ( 4 + ) ) ( + 4 = 4 ) ) 5 ( ) ) = 8 alcule dans R 1) ( 0,5+0, ) ( = ) = ) ) ( ) = ) (1+ 1 4) = 5) 0,75 5 ( 1 ) + 5 ( 1 ) 4 : = 6) 8 ( )= Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

29 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 9 ( 7) ( 18+ ) ( + 1 ) 0,1 4 )= 8) = 9) ( 1 0,75 ( ) ) ( 1 ) 4 10) = 11) = 1) : ( 5 7 ( ) ( + 1 ) = 4 ) 7 = 1 MOSÏQUE DE ERLES Q est un carré de 1 m de côté et en est le cercle inscrit. Si on partage Q en carrés plus petits et que l on y trace leurs cercles inscrits respectifs, on obtient la figure suivante : ctivité ugmentez, autant que vous l imaginer, le nombre de subdivisions. L aire de la partie hachur+e (celle couverte par les disques) croît-elle, décroît-elle, ou reste-t-elle toujours la même? Et qu en est-il si on se pose le problème dans l espace? ctivité Est-il vrai que le nombre π vérifie la relation : 9π=16+7 π? (a) Décompose en produit de facteurs premiers les entiers ci-dessous en t inspirant de l exemple et de la liste des carrés : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 5 ;... ; 11 ; 144 ; 196 ; 5 ; 56 ; 89 ; 4 ; 61 ; 400 ; Exemple : 14=144 1=1 1= (1 1)(1+1)=11 1 ctivité 1) 99 ) 1 ) 91 4) 117 5) ) 7) 15 8) 1 9) ) ) 99 1) (b) alculer 78 ; 778 ; ; ,... Établir un résultat général. a b = (a b)(a+ b). (c) Les nombres premiers impairs ont une écriture particulière sous la forme d une différence de deux carrés. Laquelle? 4 Rappel et complément sur les proportions Définition - Un rapport est un quotient entre deux grandeurs Définition - 4 Une proportion est une égalité entre deux rapports Si a,b,c,d sont quatre nombres tels que a b = c, on dit qu ils sont en proportion. d a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion. Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

30 0.4. RPPEL ET OMPLÉMENT SUR LES PROPORTIONS a et d sont appelés les deux extrêmes b et c sont appelés les deux moyens Exemple : Si une voiture roule à une vitesse moyenne de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs proportionnelles que sont la distance et le temps par un tableau Temps (en min) x Distance (en km) y Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité? Remarque : es coefficients permettent d écrire deux applications linéaires f : R + R + g : R + R + x y = 4 x x y = 4 x et chacune d elle admet une représentation graphique particulière. 4 1 Propriétés d une proportion Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens 1 Interversion des extrêmes : a b = c d a ssi b = c d ssi ad = bc d b = c a Interversion des moyens : a b = c d ssi a c = b d Inversion des rapports : a b = c d ssi b a = d c 4 Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de proportionnalité : a b = c a ssi d b = c d = a+ c b+ d = a c b d 4 pplication aux pourcentages situation application linéaire associée exemple type prendre t % de x augmenter x de t % diminuer x de t % x t x 1 % de x, c est 0,1x. 100 ( x 1+ t ) x si x augmente de 1 % de x, x devient 1,1x. 100 ( x 1 t 100 ) x si x diminue de 1 % de x, x devient 0,88x. 4 Exercices 9 Trois maçons montent un mur de 600 briques en 1 heure. En combien de temps, avec une efficacité identique, cinq maçons monteront-ils un mur de 1 00 briques? Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

31 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE 1 0 Deux amis, Michel et ernard, achètent un billet de loterie qui coûte 40 fr. ; Michel donne 8 fr. et ernard 1 fr. Le billet est gagnant et rapporte 1500 fr. Détermine le gain de chacun des deux amis, sachant qu ils se partagent le gain total proportionnellement à leurs mises. 1 Une horloge sonne six heures en six secondes. En combien de temps sonnera-t-elle midi? e n est douze secondes. Le prix hors TV d un objet est de 0 fr. Quel est son prix TV compris? Même question avec 100 fr., x fr. (la TV est de 7,5 %) Le prix d une voiture avec la TV est de fr. Quelle est sa valeur hors TV? 4 ompléter. ugmenter un objet de, %, revient à le... Diminuer un objet de %, revient à le... ugmenter un objet de 00 %, revient à le... Diminuer un objet de %, revient à le... ugmenter un objet de %, revient à le... Dans chacun des cas, écrire l application linéaire correspondante. 5 Une calculatrice «marquée» 4 fr. est soldée fr. 60. Quel est, en pourcentage, le montant de la remise? 6 ommenter cette affirmation d un journaliste? «Une nouvelle hausse de 15 % sur le tabac interviendra le 1 er septembre qui, ajoutée à la hausse de 10 % survenue le 1 er mars, aura augmenté d un quart le prix du paquet sur l année.» 7 Les prix sur un certain produit ont augmenté de 0%. De combien de % doivent-ils diminuer pour retrouver leur ancienne valeur? 8 Vrai ou faux?. Justifier! a) ugmenter trois fois de 10 % revient à augmenter de,1 %. b) ugmenter de 00%, c est la même chose que doubler. c) Une augmentation de 1 % suivie d une baisse de 1 %, cela ne change rien. 9 On augmente la longueur d un rectangle de 0 % et on diminue sa largeur de 0 %. Son aire a-t-elle varié? Si oui, préciser cette variation en pourcentage. 40 Le nombre de bactéries d un bouillon de culture s est accru de 1000 à 4000 en trois jours. Quel est le pourcentage moyen d accroissement par jour? 41 Le prix d un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de 0,45 g vaut fr. 1 ombien coûte un diamant de 0,69 g? Quel est le poids d un diamant valant fr.? Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

32 .5. TRNSFORMTIONS D ÉRITURES 5 Transformations d écritures FTORISER! 1. Des multiples de 1 Vérifier que les nombres suivants sont multiples de : ; 5 5 ; 7 7 ; ctivité Factoriser n n et en déduire un résultat général.. Triplets pythagoriciens On se propose de trouver des triplets d entiers (x ; y ; z) tels que x +y = z (exemple connu : +4 = 5 ). 1 Soit a et b des entiers. Montrer que x = ab, y = a b et z = a + b sont des entiers tels que x + y = z. Pourquoi de tels triplets sont-ils appelés «pythagoriciens»? Qu est-ce qu une identité, une équation? 5 1 Développer, réduire Définition - 5 Développer une expression algébrique consiste à effectuer les produits d expressions entre parenthèses. utrement dit, il s agit de transformer un produit en somme : en appliquant les règles de distributivité, la règle des signes en utilisant les produits remarquables Exemple Développer l expression a (a + 4a a 5) a (a + 4a a 5)=6a 5 + 1a 4 6a 15a Développer, puis réduire l expression (x 5)(x x+ 1). L application des règles de distributivité peut se schématiser ainsi : Exemple (x 5) (x x+ 1) chaque flèche indique un produit dans lequel chaque nombre est affecté du signe qui le précède 5 Factoriser (x 5)(x x+ 1)=x x + x 5x + 15x 5 est la transformation inverse. = x 8x + 16x 5 on réduit et on ordonne les termes selon le degré des puissances Définition - 6 Factoriser, c est transformer une somme en un produit de termes. Factoriser 5x(x+ 1)+(x+ 1). Exemple Il faut essayer de reconnaître un facteur commun aux deux termes de la somme : x+ 1 semble convenir. [ ] 5x(x+ 1)+(x+ 1) = (x+ 1) 5x+ (x+ 1) = (x+ 1)( 4x+ 1) on réduit et on ordonne les termes selon le degré des puissances Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\

33 HPITRE. LUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS LGÉRIQUES DE SE Factoriser f (x)=9x 4x+ 16 et g (x)=(x 1) 5x. Exemple Dans ces deux cas, il n y a pas de facteur commun apparent, mais il existe les identités remarquables. 9x carré de x On reconnaît dans f (x) le développement de (x 4) : 16 carré de 4 4x double produit (x) ( 4) insi f (x)=(x 4) g (x) est la différence de deux carrés : celui de x 1 et celui de 5x. insi, [ ] [ ] g (x)= (x 1)+5x (x 1) 5x = (7x 1)( x 1) = (7x 1)(x+ 1) Factoriser (x)=4x 9+(x+ 5)(x ). Le terme 4x 9 est une différence entre deux carrés. Il peut donc s écrire (x+ )(x ). Exemple (x)=4x 9+(x+ 5)(x ) = (x+ )(x )+(x+ 5)(x ) (x ) est un facteur commun [ ] = (x ) (x+ )+(x+ 5) on réduit = (x )(x+ 8) 6 Identités remarquables Quels que soient les réels a et b, on a : Théorème - 1. (a+ b) = a + ab+ b. (a b) = a ab+ b. a b = (a+ b)(a b) 4. (x+ a)(x+ b)= x + (a+ b)x+ ab 5. (a+ b) = a + a b+ ab + b, (a b) = a a b+ ab b 6. a b = (a b)(a + ab+ b ), a + b = (a+ b)(a ab+ b ) 7 Exercices 4 Développer, puis réduire 1) ( x y ) = ) (x 5) (x+ 5)= ) (4abc 7ab) = 4) ( 1a 4 11ab ) (11ab+ 1a 4) = 5) (x+ 1) (x 11)= 6) ( 7a b a b ) (7a b a b ) = 7) (a+ ) (a ) (9a 4 ) = ( ) ( ) 1 1 8) a b 4 a4 b = 9) (4a 1) (4a 1) (4a+ 1) (4a+ 1) = Jann Weiss, Licence reative ommons Y: $\