Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret

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1 Uiversité Pierre et Marie Curie Licece de Mathématiques (3ème aée) Aée 2004/2005 Probabilités Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopié est destié aux étudiats de la Licece (3ème aée) de Mathématiques de l Uiversité Pierre et Marie Curie. E pricipe ces étudiats ot déja suivi u cours de théorie de la mesure et d itégratio. Nous commeços par l étude des probabilités sur les esembles fiis (chapitre ) puis sur les esembles déombrables (chapitre 2) avat de préseter (chapitre 3) les résultats d itégratio utilisés par la suite. Le chapitre 4 itroduit les pricipales otios de probabilités das leur cadre gééral. Le chapitre 5 traite des foctios caractéristiques et des vecteurs gaussies. Les théorèmes limites sot abordés das les chapitres 6 (avec, e particulier, la loi des grads ombres) et 7 (avec, e particulier, la covergece e loi vers la loi ormale). Efi le chapitre 8 présete quelques otios de statistique. Les complémets situés à la fi de certais chapitres e sot pas au programme de l exame. Ce polycopié est divisé e chapitres, sectios et sous-sectios. Aisi revoie au chapitre 3, sectio 2, sous-sectio 4 et 5.4 revoie chapitre 5, sectio 4. A l itérieur d ue même sectio, les éocés sot umérotés e cotiu. Aisi d après le th revoie au chapitre 5, sectio 4, éocé 6. Quat aux égalités, elles sot umérotées etre parethèses et e cotiu au sei d u même chapitre. Aisi vu (3.5) réfère à la ciquième égalité umérotée du chapitre 3. Le sige idique la fi d ue preuve. Ce polycopié se termie par u idex des otatios et u idex des termes.

2 2

3 Table des matières Espace de probabilité fii 5. Notios fodametales Echatillo. Sous populatio Probabilité coditioelle Espace de probabilité discret 3 2. Famille sommable Espace de probabilité discret Foctios géératrices Mesure. Itégratio Tribus Mesures Itégratio Mesures à desité Mesures produits Espace de probabilité gééral. Variables aléatoires Espace de probabilité Variables aléatoires Probabilités sur R Variables aléatoires idépedates Vecteurs aléatoires Calcul de lois Coditioemet Simulatio Complémet: échatillos ordoés Foctios caractéristiques. Vecteurs gaussies 6 5. Trasformée de Fourier Foctios caractéristiques Vecteurs gaussies

4 4 TABLE DES MATIÈRES 6 Covergece des suites de variables aléatoires Modes de covergece Loi Somme de v.a. idépedates La loi des grads ombres Complémet: critère des trois séries Complémet: grades déviatios Covergece e loi Covergece étroite Covergece e loi Covergece vers la loi ormale Complémet : démostratio du théorème de Berry-Essee Complémet: comportemet asymptotique de la médiae empirique Notios de statistique Echatillo. Modèle statistique Estimatio Itervalle de cofiace Tests A Idex des otatios 7 B Idex des termes 9

5 Chapitre Espace de probabilité fii Das ce premier chapitre, o présete les premières otios de probabilité das u cadre élémetaire... Notios fodametales... Probabilité sur u esemble fii. Soit E u esemble fii. Ue probabilité sur E est ue famille (p(a), a E) de réels vérifiat 0 p(a), p(a) =. O pose alors, pour A E, P(A) = a A p(a). P est ue applicatio de P(E) das [0, ] telle que a E P(Ω) =, P(A B) = P(A) + P(B) si A B =. (.) O voit immédiatemet, par récurrece, que, si A,..., A r sot des sous-esembles de Ω deux à deux disjoits, alors r P( A i ) = i= r P(A i ). i= Réciproquemet si ue foctio d esembles A P(A), A E, vérifie (.) et si o pose, pour tout a E, p(a) = P({a}), o a 0 p(a) et a E p(a) = puisque les esembles {a} sot évidemmet deux à deux disjoits d uio E. E coclusio, o appellera probabilité sur E aussi bie la famille (p(a), a E) que la foctio d esembles A P(A)...2. Espace de probabilité fii. U couple (Ω, P) où Ω est u esemble fii et P ue probabilité sur Ω s appelle u espace de probabilité fii. U sous-esemble A de Ω s appelle u évéemet et P(A) est la probabilité que l évéemet A ait lieu. L élémet {ω} s appelle alors u évéemet élémetaire. O ote A c le complémetaire de A,

6 6 Espace de probabilité fii c est l évéemet A a pas lieu. De même A B est l évéemet A ou B a lieu et A B est l évéemet A et B ot lieu. Efi Ω est l évéemet certai et est l évéemet impossible. Noter (c est la moidre des choses) que P( ) = 0 puisque, vu que Ω =, = P(Ω) = P(Ω ) = P(Ω) + P( ) = + P( ). Doos quelques coséqueces faciles de (.). O a A A c = Ω et A A c = doc = P(Ω) = P(A) + P(A c ) d où P(A c ) = P(A). (.2) Si A B, o ote B \ A = B A c. O a alors B = A (B \ A) avec A (B \ A) = d où si A B, P(B \ A) = P(B) P(A). (.3) E particulier, das ce cas, P(A) P(B). Efi o a A B = (A B) (A \ A B) (B \ A B), ces esembles état deux à deux disjoits. O a doc P(A B) = P(A B)+P(A\A B)+P(B\A B) = P(A B)+P(A) P(A B)+P(B) P(A B) d où P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (.4) O ote A le cardial de A i.e. le ombre d élémets de A. U cas particulier importat d espace de probabilité fii (Ω, P) est celui où P est la probabilité uiforme sur Ω défiie par P({ω}) = Ω. O a alors P(A) = A Ω. Ce cas est très fréquet mais est pas le seul à evisager (voir l exemple 4 de..4)...3. Variables aléatoires. Soit (Ω, P) u espace de probabilité fii. O appelle variable aléatoire (e abrégé v.a.) à valeurs E toute applicatio X de Ω das E. Puisque X(Ω) est fii, o peut supposer E fii, c est ce qu o fera par la suite. Pour a E et Γ E, o pose {X = a} = X (a) = {ω, X(ω) = a}, {X Γ} = X (Γ) = {ω, X(ω) Γ}. (.5) O défiit alors, pour tout a E, q(a) = P(X = a). O a 0 q(a) et, les esembles {X = a}, a E, état deux à deux disjoits d uio Ω, a E q(a) = P(Ω) =. Les (q(a), a E) sot doc ue probabilité sur E, otée µ X, appelée loi de la v.a. X. Alors, pour tout Γ E, µ X (Γ) = q(a) = p(ω) = P(X Γ). a Γ ω, X(ω) Γ

7 7..4. Exemples.. O lace ue pièce trois fois de suite. L esemble des issues possibles est Ω = {P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P, F F F }. O a Ω = 2 3 = 8. Les issues état équiprobables, o muit Ω de la probabilité P({ω}) = 8. Soiet A l évéemet o obtiet exactemet deux faces et B l évéemet o obtiet au mois deux faces. O a A = {P F F, F P F, F F P }, B = {P F F, F P F, F F P, F F F }, A = 3, B = 4, P(A) = 3 8, P(B) = O lace deux dés, u rouge et u bleu. L esemble des issues possibles est Ω = {, 2, 2,..., 66} = {i i 2, i, i 2 6}. O a Ω = 6 2 = 36. Les issues état équiprobables, o muit Ω de la probabilité P({ω}) = 36. Soit A l évéemet la somme des résultats vaut 5. O a A = {4, 23, 32, 4} et P(A) = 4 36 = 9. Soiet X le résultat du dé rouge, X 2 le résultat du dé bleu et S la somme. Ce sot des variables aléatoires et o a X (i i 2 ) = i, X 2 (i i 2 ) = i 2, S(i i 2 ) = i + i 2 = X (i i 2 ) + X 2 (i i 2 ). Il est immédiat que, pour k =,..., 6, P(X = k) = P(X 2 = k) = 6. La loi de X (et de X 2 ) est doc la loi uiforme sur {, 2, 3, 4, 5, 6}. Soit (q k, k = 2, 3,..., 2) la loi de S. Ci-dessus, o a calculé q 5. De la même faço, o obtiet: q 2 = q 2 = 36, q 3 = q = 2 36, q 4 = q 0 = 3 36, q 5 = q 9 = 4 36, q 6 = q 8 = 5 36, q 7 = O met au hasard trois boules distictes a, b, c das trois ures. L esemble des issues possibles est Ω = {(abc ), ( abc ), ( abc), (ab c ),......}. O a Ω = 3 3 = 27 et, les issues état équiprobables, P({ω}) = 27. Soit A l évéemet la première ure cotiet deux boules, la secode ue boule, évéemet qu o ote (2 0). O a A = {(ab c ), (ac b ), (bc a )} d où P(A) = 3 27 = 9. Soit B l évéemet chaque ure cotiet ue boule, évéemet qu o ote ( ). O a B = {(a b c), (b a c), (a c b), (c a b), (b c a), (c b a)} et P(B) = 6 27 = 2 9. Par symétrie, o a P((3 0 0)) = P((0 3 0)) = P((0 0 3)) = 27, P((2 0)) = P(( 2 0)) = P((2 0 )) = P(( 0 2)) = P((0 2 )) = P((0 2)) = 9, P(( )) = O met au hasard trois boules idistictes das trois ures. L esemble des issues possibles est Ω = {(3 0 0), (0 3 0), (0 0 3), (2 0), ( 2 0), (2 0 ), ( 0 2), (0 2 ), (0 2), ( )}.

8 8 Espace de probabilité fii Mais, vu l exemple précédet, Ω doit être mui de la probabilité ( 27, 27, 27, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 27 ) et o de la probabilité uiforme. Bie sur, Ω mui de la probabilité uiforme est u espace de probabilité mais il e red pas compte de l expériece aléatoire cosidérée..2. Echatillo. Sous populatio Soit S = {s, s 2,..., s } ue populatio de taille..2.. Echatillo sas répétitio. O tire u par u et sas remise r élémets de S, r. O obtiet ce qu o appelle u échatillo sas répétitio de taille r de la populatio S. C est ue suite s i s i2... s ir d élémets de S tous disticts. L esemble des issues possibles est doc O a Ω = {s i s i2... s ir, s ij S, s ij s ik si j k }. Ω = ( )... ( r + ) =! ( r)! = Ar. Ω est le ombre d applicatios ijectives de {, 2,..., r} das {, 2,..., }. Evidemmet chaque échatillo a la même probabilité et P({ω}) = Ω ( r)! =.! Exemple. O suppose S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω = 2 et Ω = {2, 3, 4, 2, 23, 24, 3, 32, 34, 4, 42, 43} Echatillo avec répétitios. O tire u par u et avec remise r élémets de S, r quelcoque. O obtiet ce qu o appelle u échatillo avec répétitio de taille r de la populatio S. C est ue suite s i s i2... s ir d élémets de S. L esemble des issues possibles est doc O a Ω = {s i s i2... s ir, s ij S}. Ω = r. Ω est le ombre d applicatios de {, 2,..., r} das {, 2,..., }. Evidemmet chaque échatillo a la même probabilité et P({ω}) = Ω = r.

9 9 Exemple. O suppose S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω = 6 et Ω = {, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34, 4, 42, 43, 44} Sous populatio. O tire e ue fois r élémets de S, r. O obtiet ce qu o appelle ue sous populatio de taille r de S. C est u sous esemble {s i, s i2,..., s ir } de r élémets de S écessairemet disticts (l ordre iterviet pas) qu o écrira simplemet s i s i2... s ir. L esemble des issues possibles est doc O a Ω = {s i s i2... s ir, s ij S, i < i 2 <... < i r }. Ω = C r =! r!( r)!. Ω est le ombre de sous-esembles à r élémets d u esemble à élémets. Evidemmet chaque sous populatio a la même probabilité et P({ω}) = Ω r!( r)! =.! Exemple. O suppose S = {, 2, 3, 4} et r = 2. Alors Ω = 6 et Ω = {2, 3, 4, 23, 24, 34} Loi hypergéométrique. O suppose que S = S S 2 avec S S 2 =, S =, S 2 = 2, = + 2. O appelle élémets de type les élémets de S, élémets de type 2 ceux de S 2. O tire sas remise r élémets de S (r ). Soit X le ombre d élémets de type obteus. O se place das le cadre de.2. et il s agit de calculer la loi de la v.a. X. O doit calculer A où A = {X = k}. Evidemmet P(A) = 0 si k > ou si r k > 2. Sio o costruit u élémet de A e se doat u échatillo sas répétitio de taille k de S (il y e a A k ) puis e se doat u échatillo sas répétitio de taille r k de S 2 (il y e a A r k 2 ) et e faisat u échatillo sas répétitio de taille r de S i.e e choisissat la place des élémets de S das l échatillo total (il y a doc Cr k possibilités). Fialemet A = A k A r k 2 Cr k et P(A) = A Ω =! 2! r! ( k)! ( 2 (r k))! k!(r k)! ( r)!! = Ck C r k 2 C r. E fait il est plus simple de se placer das le cadre de.2.3 et de supposer qu o tire ue sous populatio de taille r. O a alors A = {X = k} = {sous populatio de taille k de S, sous populatio de taille r k de S 2 } et A = C k C r k 2 d où P(X = k) = Ck C r k 2 C r coveat que C i j = 0 si i > j. (.6)

10 0 Espace de probabilité fii Cette loi s appelle la loi hypergéométrique Loi biomiale. O suppose ecore que S = S S 2 avec S S 2 =, S =, S 2 = 2, = + 2. O tire avec remise r élémets de S, r quelcoque, et soit X le ombre d élémets de type obteus. O se place das le cadre de.2.2 et il s agit de calculer la loi de la v.a. X. O doit calculer A où A = {X = k}. Evidemmet P(A) = 0 si k > r. Sio o costruit u élémet de A e se doat u échatillo avec répétitio de taille k de S (il y e a k ) puis e se doat u échatillo avec répétitio de taille r k de S 2 (il y e a r k 2 ) et e faisat u échatillo avec répétitio de taille r de S i.e e choisissat la place des élémets de S das l échatillo total (il y a doc Cr k possibilités). Ceci doe A = k r k 2 Cr k et Posat p = /, o obtiet P(A) = A Ω = k r k 2 C k r / r. P(X = k) = C k r p k ( p) r k, k = 0,,..., r, P(X = k) = 0 si k > r. (.7) Cette loi s appelle la loi biomiale car = r k=0 P(X = k) est rie d autre que la formule du biôme r k=0 Ck r p k ( p) r k = (p + ( p)) r =. Evidemmet si et 2 sot très grads par rapport à r, le fait de tirer sas remise ou avec remise modifie peu le résultat et das ce cas la loi biomiale est ue boe approximatio de la loi hypergéométrique. C est ce que motre le calcul suivat où k, r sot fixes et où, 2 + avec / p. Alors C k C r k 2 C r C k r = r! ( )... ( k + ) 2 ( 2 )... ( 2 r + k + ) ( )... ( r + ) k!(r k)! k r k 2 r = C k r ( )k ( )r k C k r p k ( p) r k Gééralisatio. O suppose maiteat que S = S S 2... S m avec les S j deux à deux disjoits, S j = j, = m. O appelle élémets de type j les élémets de S j, j =,..., m. O tire sas remise (resp. avec remise) r élémets de S (r das le premier cas) et soit X j le ombre d élémets de type j obteus. O veut calculer P(X = k,..., X m = k m ), k k m = r, o a a. Tirage sas remise. P(X = k,..., X m = k m ) = Ck... C km m, j, k j j, k +... k m = r ; = 0 sio. C r b. Tirage avec remise. O pose p j = j. Alors P(X = k,..., X m = k m ) = r! k!... k m! pk... pkm m, k +... k m = r ; = 0 sio.

11 Si m = 2, il s agit des formules précédetes. Das le cas gééral, elles se motret de la même faço. Exemple. Le bridge se joue avec u jeu de 52 cartes de 4 couleurs. Il oppose deux camps de chacu deux joueurs. O distribue 3 cartes à chaque joueur. O dit qu ue mai est 552 si elle se compose de deux couleurs de 5 cartes, d ue couleur de 2 cartes et d ue couleur de carte. Quelle est la probabilité p qu ue mai soit 552? La probabilité pour qu ue mai compree 5 piques, 5 cœurs, 2 carreaux, tréfle est (loi hypergéométrique gééralisée) α = C5 3 C5 3 C2 3 C 3 C 3 52 = 0, O obtiet la probabilité cherchée e permutat les couleurs. Il y a C4 2 faços de choisir les deux couleurs de 5 cartes puis deux faços de choisir la couleur de 2 cartes. O a doc p = 2C4 2 α = 0, Vous jouez u cotrat avec pique comme atout. Vous avez avec votre parteaire (le mort) 9 piques. Quelles sot les probabilités q, q 2, q 3 que, chez vos adversaires, les piques soiet partagés 4 0, 3, 2 2? La probabilité qu u de vos adversaires ait 4 (resp. 3, resp. 2) piques est (loi hypergéométrique) C 4 4 C9 22 C 3 26 = 0, 0478, resp. C3 4 C0 22 C 3 26 = 0, 2486, resp. C2 4 C 22 C 3 26 = 0, O a doc q = 0, 09565, q 2 = 0, 4974, q 3 = 0, Probabilité coditioelle O cosidère u espace de probabilité fii (Ω, P). O écrit idifféremmet A B ou AB..3.. Probabilité coditioelle. Soiet Ω ue populatio, A la sous populatio des hommes, A c celle des femmes et B celle des fumeurs. Si o tire au hasard u élémet de Ω, la probabilité d obteir u fumeur est B Ω. Si o observe que l élémet tiré est u homme, la probabilité que ce soit u fumeur est AB A, c est ce qu o appellera la probabilité coditioelle de B sachat A. Ceci coduit à: Défiitio.3.. Soit A Ω tel que P(A) > 0. O appelle probabilité coditioelle de B sachat A et o ote P(B A) la quatité P(AB)/P(A). O a doc P(AB) = P(A)P(B A). Noter que B P(B A) est ue probabilité sur Ω.

12 2 Espace de probabilité fii Propositio.3.2. (Formule de Bayes) Soiet A, B des évéemets tels que P(A) > 0, P(A c ) > 0, P(B) > 0. O a P(A B) = P(A)P(B A) P(A)P(B A) + P(A c )P(B A c ). Preuve: Par défiitio P(A B) = P(AB)/P(B). D ue part P(AB) = P(A)P(B A). D autre part P(B) = P(BA) + P(BA c ) = P(A)P(B A) + P(A c )P(B A c ). D où le résultat. Propositio.3.3. Soiet A, A 2,..., A des évéemets tels que P(A A 2... A ) > 0. O a P(A A 2... A ) = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 )... P(A A A 2... A ). Preuve: Par défiitio P(A A 2 ) = P(A )P(A 2 A ). Supposos la formule vraie au rag. Alors P(A A 2... A A + ) = P(A A 2... A )P(A + A A 2... A ) et il suffit d appliquer la formule au rag pour coclure Evéemets idépedats. Si P(B A) = P(B) i.e. P(AB) = P(A)P(B), savoir si A a eu lieu ou o e modifie pas la probabilité de B. Il est alors aturel de dire que les évéemets A et B sot idépedats d où Défiitio.3.4. Les évéemets A et B sot idépedats si P(AB) = P(A)P(B). Supposos A et B idépedats, o a P(AB c ) = P(A) P(AB) = P(A) P(A)P(B) = P(A)( P(B)) = P(A)P(B c ). Doc A et B c sot idépedats. O voit facilemet qu il e est de même de A c et B et de A c et B c. Doc posat, pour F Ω; σ(f ) = {Ω, F, F c, }, (.8) o a que A et B sot idépedats ssi P(CD) = P(C)P(D) pour tout C σ(a) et tout D σ(b). Ceci coduit à: Défiitio.3.5. Les évéemets A, A 2,..., A sot idépedats si, pour tout C σ(a ), tout C 2 σ(a 2 ),..., tout C σ(a ), O motre alors facilemet: P(C C 2... C ) = P(C )P(C 2 )... P(C ). Propositio.3.6. Les évéemets A, A 2,..., A sot idépedats ssi, pour tout {i,..., i k } {,..., }, P(A i... A ik ) = P(A i )... P(A ik ).

13 Chapitre 2 Espace de probabilité discret Das ce chapitre, o itroduit les espaces de probabilité déombrables. Pour cela, o a besoi de la otio de famille sommable. 2.. Famille sommable Das toute cette sectio, I désige u esemble déombrable Notatios. Soiet E u esemble, A E et f : E R. O écrit A A si A A + et A = A, A A si A A + et A = A, f f si f f + et f = sup f (alors f = lim f ), f f si f f + et f = if f (alors f = lim f ) Eumératio. O appelle éumératio de I toute bijectio φ de N sur I. Soiet (a i, i I) ue famille de ombres réels ou complexes et φ ue éumératio de I. O pose S φ = a φ(0) + a φ() a φ(). (2.) Famille sommable positive. O suppose que, pour tout i I, a i 0. Alors la suite S φ est croissate. Soit S φ = lim S φ R +. Si ψ est ue autre éumératio de I, o a, pour fixé et m assez grad, {a φ(0), a φ(),..., a φ() } {a ψ(0), a ψ(),..., a ψ(m) } et doc S φ S ψ m S ψ d où S φ S ψ. Chageat le rôle de φ et ψ, o a S ψ S φ et fialemet S φ = S ψ. O peut éocer: Théorème 2... Soit (a i, i I) ue famille de ombres positifs. Alors, pour toute éumératio φ de I, la suite S φ, défiie par (2.), coverge e croissat vers u ombre S R + idépedat de φ. O ote S = i I a i. Si S < +, la famille est dite sommable. Quelques coséqueces immédiates: (i) Si I I, I fii, i I a i i I a i.

14 4 Espace de probabilité discret (ii) Pour tout A < i I a i, il existe J I, J fii, tel que i J a i > A. (iii) Si 0 a i b i, i I a i i I b i. (iv) Pour α 0, β 0, a i 0, b i 0, o a i I (αa i + βb i ) = α i I a i + β i I Remarque. E fait i I a i est défii pour a i R + et vaut + si a i = + pour u i au mois Passage à la limite croissate. Propositio Soit, pour tout N, (a i (), i I) ue famille de réels positifs. O suppose que, pour tout i I, a i () a i lorsque +. Alors b i. a i () a i lorsque +. i I i I Preuve: Soiet S() = i I a i(), S = lim S(), S = i I a i. Evidemmet S S. Soit A < S. Il existe J fii, J I, tel que i J a i > A. Doc, pour assez grad, i J a i() > A et S A d où S S et S = S Sommatio par paquets. O dit que (I j, j J) est ue partitio de I si les I j sot deux à deux disjoits et si I = j J I j. Propositio Soiet (a i, i I) ue famille de réels positifs et (I j, j J) ue partitio de I. O a a i = a i. i I j J i I j Preuve: Soiet K I, K fii, et J = {j J, K I j }. K et J état fiis, i K a i = a i = b j () i I j K j J j J où b j () = 0 si j / J, b j () = i I j K a i si j J. D ue part i K a i i I a i et d autre part, pour chaque j, b j () i I j a i d où (prop. 2..2) j J b j() j J i I j a i Le cas gééral. O cosidère maiteat ue famille (a i, i I) de ombres réels ou complexes. Défiitio Ue famille (a i, i I) de ombres réels ou complexes est dite sommable si i I a i < +.

15 5 Théorème Soit(a i, i I) ue famille sommable de ombres complexes. (i) Pour toute éumératio φ de I, S φ défiie par (2.) coverge vers S C idépedat de φ. O ote S = i I a i. O a i I a i i I a i. (ii) Soit (I j, j J) ue partitio de I, o a i I a i = j J i I j a i. (iii) Si (b i, i I) est ue autre famille sommable de ombres complexes et si α, β C, la famille (αa i + βb i, i I) est sommable et i I (αa i + βb i ) = α i I a i + β i I Preuve: O pose, pour a R, a + = max(a, 0), a = max( a, 0). O a a = a + a et a = a + + a. Pour a C, o a a = R(a) + ii(a). Alors, pour tout i I, Ecrivat S φ = [R(a i )] + a i, [R(a i )] a i, [I(a i )] + a i, [I(a i )] a i. [R(a φ(k) )] + k=0 [R(a φ(k) )] + i k=0 o est rameé au cas positif. b i. [I(a φ(k) )] + i k=0 [I(a φ(k) )], k= Espace de probabilité discret Probabilité sur E déombrable. Soit E u esemble déombrable. Ue probabilité sur E est ue famille (p(a), a E) de réels vérifiat 0 p(a), p(a) =. O pose alors, pour A E, P(A) = a A p(a). P est ue applicatio de P(E) das [0, ] vérifiat P(E) =, P(A B) = P(A) + P(B) si A B = (prop. 2..3) et P(A ) P(A) si A A (prop. 2..2). Ceci implique que A P(A) est σ-additive i.e. que, pour toute famille (A, N) de sous-esembles de Ω deux à deux disjoits, o a P( A ) = P(A ). E effet: a E P( A ) = lim N P( N 0 A ) = lim N N 0 P(A ) = P(A ). Réciproquemet si ue applicatio de P(E) das [0, ], A P(A), vérifie P(E) = et est σ-additive, o a, posat p(a) = P({a}), 0 p(a) et a E p(a) =. Ici ecore, o appellera probabilité sur E aussi bie la famille (p(a), a E) que la foctio d esembles A P(A).

16 6 Espace de probabilité discret U couple (Ω, P) où Ω est u esemble fii ou déombrable et P ue probabilité sur Ω s appelle u espace de probabilité discret. Toute applicatio X de Ω das E s appelle ue variable aléatoire à valeurs E. O peut supposer E déombrable puisque X(Ω) est déombrable. Alors, vu la prop. 2..3, la famille (q(a), a E) où q(a) = P(X = a) est ue probabilité sur E appelée loi de X Espérace. Soiet (Ω, P) u espace de probabilité discret et X ue variable aléatoire à valeurs E discret (i.e. fii ou déombrable). O pose p(ω) = P({ω}). a. O suppose E R +. O pose E(X) = ω Ω X(ω)p(ω). E(X), qui est u élémet de [0, + ], s appelle l espérace de X. b. O suppose E R. Alors, si E( X ) = ω X(ω) p(ω) < +, o appelle espérace de X la quatité E(X) = ω Ω X(ω)p(ω). c. O suppose E quelcoque et soit f : E R. Si f 0 ou si E( f(x) ) = f(x(ω)) p(ω) < +, o a ω Ω E(f(X)) = ω Ω f(x(ω))p(ω). (2.2) Théorème Soiet X ue variable aléatoire à valeurs E discret et f : E R. Si f 0, o a E(f(X)) = a E f(a)p(x = a). (2.3) De plus, E( f(x) ) < + ssi a f(a) P(X = a) < + et, das ce cas, o a (2.3). Preuve: Supposos d abord f 0. Alors, vu la prop. 2..3, E(f(X)) = f(x(ω))p(ω) = f(x(ω))p(ω) ω Ω a E ω / X(ω)=a = f(a)p(ω) = f(a) p(ω) = f(a)p(x = a). a E ω / X(ω)=a a E ω / X(ω)=a a E O a doc, pour f réelle, E( f(x) ) = a f(a) P(X = a) et, si cette quatité est fiie, le calcul ci dessus est ecore valable (th. 2..5). Soiet X, X 2 des v.a. à valeurs E et E 2 discrets. Alors (X, X 2 ) est ue v.a. à valeurs E E 2 et o a, pour toute f : E E 2 R positive ou telle que E( f(x, X 2 ) ) < +, E(f(X, X 2 )) = f(a, a 2 ) P(X = a, X 2 = a 2 ). (2.4) (a,a 2 ) E E 2 Si A Ω, o appelle foctio idicatrice de A et o ote A la foctio défiie par A (ω) = si ω A, A (ω) = 0 si ω / A. Alors, otat p(ω) = P({ω}), E( A ) = A (ω)p(ω) = p(ω) = P(A). (2.5) ω Ω ω A

17 Momets. Das cette sous sectio, X désige ue v.a. à valeurs E R, E discret. Soit p N. Si E( X p ) < +, E( X p ) s appelle le momet absolu d ordre p de X et E(X p ) s appelle le momet d ordre p de X. D après le th. 2.2., E( X p ) = a E a p P(X = a). Noter que, pour q p, E( X p ) < + implique E( X q ) < + puisque X q + X p. Supposos E(X 2 ) < +, alors m = E(X), qu o appelle aussi moyee de X, existe et o défiit la variace de X par Var(X) = E[(X m) 2 ] = E(X 2 ) m 2. (2.6) La variace doe ue idée de l écart de X par rapport à sa moyee m comme le motre: Propositio (Iégalité de Bieaymé-Tchebychev) O suppose que E(X 2 ) < + et soit m = E(X). Alors, pour tout λ > 0, Preuve: O a P( X m λ) λ 2 Var(X). Var(X) = E[(X m) 2 ] = ω Ω(X(ω) m) 2 p(ω) Lois usuelles. λ 2 ω { X m λ} ω { X m λ} p(ω) = λ 2 P( X m λ). (X(ω) m) 2 p(ω) Loi biomiale. O l a déjà recotré e (.7). Soit N. C est la loi d ue v.a. à valeurs {0,,..., } telle que P(X = k) = C k p k ( p) k, k = 0,,..., ; 0 < p <. (2.7) Elle est appelée loi biomiale de paramètre, p et otée B(, p). O écrit X B(, p). E particulier si X B(, p), o dit que X est ue v.a. de Berouilli. Calculos la moyee et la variace de X B(, p). D ue part E(X) = k 0 k P(X = k) = kcp k k ( p) k = p ( )! (k )!( k)! pk ( p) k = p C p i i ( p) i = p(p + ( p)) = p. i=0

18 8 Espace de probabilité discret D autre part E(X 2 ) = k 0 k 2 P(X = k) = = ( )p 2 k=2 k(k )Cp k k ( p) k + k=2 k P(X = k) ( 2)! (k 2)!( k)! pk 2 ( p) k + p 2 = ( )p 2 C 2p i i ( p) 2 i + p = ( )p 2 + p. i=0 O a alors Var(X) = ( )p 2 + p (p) 2 = p( p). Supposos que k soit fixe et que + avec p = p() tel que p() λ. Alors vu que log{( p()) } = log( p()) p() λ, o a ( )... ( k + ) P(X = k) = p k ()( p()) k k! = ( )... ( k + ) k! k (p()) k ( p()) k ( p()) k! λk e λ. Noter que ( k! λk e λ, k N) est ue probabilité sur N. Loi de Poisso. C est la loi d ue v.a. à valeurs N telle que P(X = k) = e λ λk, k N; λ > 0. (2.8) k! Cette loi est appelée loi de Poisso de paramètre λ et se ote P(λ). Calculos sa moyee et sa variace. D ue part E(X) = k 0 k P(X = k) = D autre part, comme ci-dessus E(X 2 ) = k 0 k=0 k 2 P(X = k) = k 0 = λ 2 e λ k=2 O a alors Var(X) = λ 2 + λ λ 2 = λ. λ λk ke k! = λe λ λ k (k )! = λ. λ λk k(k )e k! + λ λk ke k! k 0 λ k 2 (k 2)! + λ = λ2 + λ. O a vu qu o peut approximer la loi B(, p) par la loi de Poisso P(p) si est très grad et p très petit. Loi géométrique. C est la loi d ue v.a. à valeurs N telle que P(X = k) = ( a)a k, k N; 0 < a <. (2.9)

19 9 Cette loi est appelée loi géométrique sur N de paramètre a et se ote G(a). O calculera sa moyee et sa variace e 2.3. O recotrera aussi la loi géométrique sur N de paramètre a, otée G (a) défiie par P(X = k) = ( a)a k, k N, 0 < a <. (2.0) Variables aléatoires idépedates. Il est aturel de dire que deux v.a. discrètes X et Y sot idépedates si, pour tous a X(Ω), b Y (Ω), les évéemets {X = a} et {Y = b} sot idépedats (voir.3.2) i.e. si pour tous a X(Ω), b Y (Ω), P(X = a, Y = b) = P(X = a)p(y = b). Plus gééralemet, Défiitio Les v.a. X, X 2,..., X à valeurs E, E 2,..., E discrets sot idépedates si, pour tous a E, a 2 E 2,..., a E, P(X = a, X 2 = a 2,..., X = a ) = P(X = a ) P(X 2 = a 2 )... P(X = a ). Théorème Les v.a. X, X 2,..., X à valeurs E, E 2,..., E discrets sot idépedates ssi, pour tous f i : E i R +, E(f (X )... f (X )) = E(f (X ))... E(f (X )) (2.) Das ce cas, si f i : E i R vérifie E( f i (X i ) ) < +, i =, 2,...,, o a que E( f (X )... f (X ) ) < + et (2.) est satisfaite. Preuve: O se limite à = 2. Si (2.) est satisfaite, o a l idépedace de X et X 2 e choisissat f = {a }, f 2 = {a2 } et e utilisat (2.5). Réciproquemet, si X et X 2 sot idépedates et f 0, f 2 0, vu la prop et (2.4), E(f (X )f 2 (X 2 )) = a,a 2 f (a )f 2 (a 2 )P(X = a, X 2 = a 2 ) = a,a 2 f (a )f 2 (a 2 )P(X = a )P(X 2 = a 2 ) = a f (a )P(X = a ) a 2 f 2 (a 2 )P(X 2 = a 2 ) = E(f (X ))E(f 2 (X 2 )). Das le cas réel, o a, vu la première partie, E( f (X )f 2 (X 2 ) ) = E( f (X ) )E( f 2 (X 2 ) ) < + et la calcul ci-dessus reste valable. Preat f i = Γi, o a, utilisat (2.5), que si X, X 2,..., X sot idépedates, pour tous Γ i E i, P(X Γ,... X Γ ) = P(X Γ )... P(X Γ ) (2.2) Efi il résulte du th que, si X, X 2,..., X sot idépedates, (i) il e est de même Y = g (X ),..., Y = g (X ) où g i : E i F i.

20 20 Espace de probabilité discret (ii) il e est de même de X r(),..., X r() pour toute permutatio {r(),..., r()} de (,..., ), (iii) il e est de même,pour tous < m <... < m p =, de Y,..., Y p où Y = (X,..., X m ), Y 2 = (X m +,..., X m2 ),..., Y p = (X mp +,..., X ). Par exemple, si X, X 2, X 3, X 4 sot des variables aléatoires réelles idépedates, il e est de même de X, X 3, X 2, X 4, de Y = (X, X 3 ) et Y 2 = (X 2, X 4 ) et de U = cos(x 2 + X2 3 ) et U 2 = e X 2X 4. Exemple. Soiet X et Y deux v.a. idépedates à valeurs N, de lois P(λ) et P(µ). Cherchos la loi de S = X + Y. O a P(S = k) = P(X + Y = k) = = k e j=0 λ λj j! Doc S P(λ + µ). k P(X = j, Y = k j) = j=0 e µ µk j (k j)! = e (λ+µ) k! k P(X = j)p(y = k j) j=0 k C j k λj µ k j (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! j= Foctios géératrices Das cette sectio, o e cosidère que des v.a. à valeurs N Défiitio. Soit X ue telle v.a. Notos d abord que, vu le th. 2.2., o a, pour tout s 0, =0 P(X = )s = E(s X ) avec la covetio s 0 = si s = 0. Défiitio O appelle foctio géératrice de X, la foctio g(s) = g X (s) = P(X = )s = E(s X ), 0 s. =0 O pose q = P(X = ). O a g X (0) = q 0, g X () = et, vu la prop. 2..2, g X (s) g X () = lorsque s. Sur [0, ], la foctio g X (s) est covexe et strictemet covexe si q 0 + q <. De plus, la série etière q s a u rayo de covergece R. Doc g X (s) est idéfiimet dérivable sur [0, [ et g (s) = X q s, g (s) = X 2 ( )q s 2,.... Efi!q = g () (0) d où: X Propositio La foctio géératrice g X détermie la loi de X. E fait: P(X = ) =! g() X (0). Exemples.

21 2 a. Loi biomiale B(, p). O a g(s) = k P(X = k)s k = b. Loi de Poisso P(λ). O a g(s) = k c. Loi géométrique G(a). O a g(s) = k Cp k k s k ( p) k = (ps + ( p)). k=0 P(X = k)s k = e λ k 0 λ k s k k! = e λ(s ). P(X =)s k = ( a)a k s k = a as. k Calcul des momets. Rappelos (2.2.4) que E(X p ) < + implique E(X q ) < + pour tout q p. Propositio (i) E(X) < + ssi g X est dérivable à gauche e et, das ce cas, o a E(X) = g (). X (ii) E(X 2 ) < + ssi g X est deux fois dérivable à gauche e et, das ce cas, o a E(X(X )) = g (). X Preuve: (i) O a, utilisat la prop. 2..2, lorsque s, g(s) g() s et le résultat cherché. = 0 s q s = q ( s ) q = E(X) 0 0 (ii) O remarque d abord que, si E(X 2 ) < +, E(X) < + et g () < +. Alors, lorsque s, g (s) g () s = 0 O coclut facilemet. q s s O peut cotiuer et, si E(X p ) < +, p N, Supposos E(X 2 ) < +. Alors = q (+...+s 2 ) ( )q = E(X(X )). 0 0 g (p) () = E(X(X )... (X p + )). X Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = E(X(X ))+E(X) [E(X)] 2 = g X ()+g X () [g X ()]2. Le lecteur est ivité à calculer l espérace et la variace des lois biomiale et de Poisso par cette méthode. Cosidéros la loi géométrique G(a) (2.3.). O a g(s) = a as, g () = a a = E(X), g () = 2a2 ( a) 2, Var(X) = a ( a) Somme de v.a. idépedates.

22 22 Espace de probabilité discret Propositio Soiet X et Y deux v.a. à valeurs N idépedates. O a, pour tout s [0, ], g X+Y (s) = g X (s) g Y (s). Preuve: O a, utilisat le th , g X+Y (s) = E(s X+Y ) = E(s X s Y ) = E(s X ) E(s Y ) = g X (s) g Y (s). Exemples. (i) Soiet X et Y deux v.a. idépedates de loi P(λ) et P(µ). O a et doc (prop ) X + Y P(λ + µ). g X+Y (s) = e λ(s ) e µ(s ) = e (λ+µ)(s ) (ii) Soiet A,..., A des évéemets idépedats de même probabilité p = P(A k ). Soiet S = A A le ombre d évéemets réalisés, g la foctio géératrice (commue) de A et g la foctio géératrice de S. O a g(s) = E(s A + A c ) = ps + p. Doc g (s) = [g(s)] = (ps + p) et (prop ) S B(, p) Critère d idépedace. Soiet X et Y deux v.a. à valeurs N. O défiit pour u, v [0, ], g (X,Y ) (u, v) = m, P(X = m, Y = )u m v = E(u X v Y ). (2.3) (Toujours avec la covetio 0 0 = ). Alors g (X,Y ) s appelle la foctio géératrice du couple (X, Y ). Propositio Les v.a. à valeurs N X et Y sot idépedates ssi, pour tous u, v [0, ], g (X,Y ) (u, v) = g X (u) g Y (v). (2.4) Preuve: Si X et Y sot idépedates, (2.4) résulte du th Réciproquemet (2.4) s écrit Appliquat m, P(X = m, Y = )u m v m = m P(X = m)u m P(Y = )v. m+ u v m (0, 0) aux deux membres, o obtiet que, pour tous m,, i.e. l idépedace de X et Y. P(X = m, Y = ) = P(X = m)p(y = ) La prop s éted facilemet au cas de v.a.

23 Chapitre 3 Mesure. Itégratio Das ce chapitre, o rappelle les résultats de la théorie de la mesure et de l itégratio qui serot utilisés par la suite. 3.. Tribus 3... Soiet E u esemble et B P(E). O dit que B est ue algèbre (resp. ue tribu) si E B, si B est stable par passage au complémetaire et par réuio et itersectio fiies (resp. déombrables). U couple (E, B), B tribu sur E, s appelle u espace mesurable. S il est souvet possible de décrire les élémets d ue algèbre, il e est pas de même pour ceux d ue tribu. O remarque que P(E) est ue tribu et que l itersectio d ue famille o vide quelcoque de tribus est ue tribu. Doc, état doé C P(E), o peut cosidérer la plus petite tribu coteat C, c est l itersectio de toutes les tribus coteat C. Cette tribu se ote σ(c) et s appelle la tribu egedrée par C. Le résultat suivat, appelé théorème de classe mootoe, sera très utile par la suite. Propositio 3... Soiet C M P(E). O suppose que C est stable par itersectio fiie, que E M, que A, B M et A B impliquet B \ A M et que M est stable par limite croissate. Alors σ(c) M Supposos E = R d et soit O la classe des ouverts de E. La tribu σ(o) s appelle la tribu boréliee de R d et se ote B(R d ). Il est facile de voir qu elle est aussi egedrée par les fermés, par les boules, par les pavés et même par les pavés à coordoées ratioelles (cette derière famille ayat l avatage d être déombrable). Si d =, o cosidérera, outre B(R), B(R + ) = {A B(R), A R + }, B(R) = σ(b(r), {+ }, { }) et B(R + ) = σ(b(r + ), {+ }). O éted les opératios usuelles à R + e posat (+ ) 0 = 0 (+ ) = Soiet (E, B ) et (E 2, B 2 ) deux espaces mesurables. Ue applicatio de E das E 2 est dite mesurable si, pour tout A B 2, f (A) B. Il est facile de voir que, pour cela, il suffit que f (A) B pour tout A C avec σ(c) = B 2. Ceci

24 24 Mesure. Itégratio implique que, si f est cotiue de R d das R m, f est boréliee i.e. mesurable pour les tribus boréliees. De plus, cette otio est trasitive i.e. la composée de deux applicatios mesurables est mesurable. Quad l espace d arrivée est R, R, R +, R d, C, il est toujours supposé mui de sa tribu boréliee Soit (E, B) u espace mesurable. Pour qu ue applicatio umérique soit mesurable, il suffit que, pour tout a R, {f > a} := {x, f(x) > a} B. O peut aussi cosidérer {f < a}, {f a}, {f a}. Ceci implique que, si f, g, f sot des foctios umériques mesurables, il e est de même de f, sup(f, g), if(f, g), f + = sup(f, 0), f = sup( f, 0), sup f, if f, lim sup f, lim if f, lim f si elle existe. Rappelos que, otat f f (resp.f f) si, pour tout x E, f (x) croît (resp. décroît) vers f(x), lim sup f (x) = lim sup f k (x), lim if f (x) = lim k if k f k(x), (3.) ces quatités état à valeurs R et que f = lim f ssi lim sup f = lim if f = f. Soiet f, g des foctios umériques mesurables. Alors φ : x (f(x), g(x)) est mesurable de (E, B) das R 2 puisque φ (A B) = f (A) g (B). Ceci implique que, si H est ue applicatio boréliee de R 2 das R, H(f, g) est mesurable. O e déduit que f + g, fg, f g, si elle existe, sot mesurables Pour A B, o appelle foctio idicatrice de A et o ote A la foctio valat sur A et 0 sur A c (o ote A c le complémetaire de A). O a A c = A, A = A = if A, A = sup A. Ue applicatio f de E mui de la tribu B das R est dite étagée si elle s écrit f = a k Ak, A k B. O otera [B] l esemble des foctios réelles B-mesurables, bb l esemble des foctios réelles B-mesurables borées, B + l esemble des foctios B-mesurables à valeurs R +, eb + l esemble des foctios étagées positives. Le résultat suivat est à la base de la costructio de l itégrale Propositio Toute f B + est limite d ue suite croissate de foctios de eb +. Preuve: Il suffit de cosidérer f (x) = 2 k=0 k 2 { k 2 f(x)< k+ 2 } + {f(x) }. (3.2) Soit f ue applicatio de E das u espace mesurable (A, A). O ote σ(f) et o appelle tribu egedrée par f la plus petite tribu sur E redat f mesurable. O a doc σ(f) = {f (A), A A}.

25 25 Propositio Soiet f : E (A, A) et h : E R (resp. E R + ). Alors h est σ(f)-mesurable ssi il existe g [A] (resp. g A + ) telle que h = g f. Preuve: Evidemmet si h = g f, h est σ(f)-mesurable (trasitivité). Réciproquemet supposos d abord h e[σ(f)] +, o a h = a k Bk avec B k σ(f) et doc B k = f (A k ), A k A. Vu que Bk = Ak f, o a h = g f avec g = a k Ak. Si h [σ(f)] +, o a h = lim h avec h e [σ(f)] + et doc h = g f, g A +. O e déduit h = g f avec g = lim sup g A +. Si h [σ(f)], o a h = h + h et h + = g f, h = g 2 f avec g i A +. O a alors h = g f avec g = g {g <+ } g 2 {g2 <+ } [A]. Plus gééralemet si (f i, i I) est ue famille d applicatios de E das des espaces mesurables (F i, F i ), o ote σ(f i, i I) et o appelle tribu egedrée par les f i la plus petite tribu sur E redat toutes les f i mesurables. O a doc 3.2. Mesures Soit (E, B) u espace mesurable. σ(f i, i I) = σ(fi (A i ), A i F i, i I). Défiitio O appelle mesure sur (E, B) toute applicatio µ de B das R + telle que (i) µ( ) = 0, (ii) pour tous A B deux à deux disjoits, µ( A ) = µ(a ). Le triplet (E, B, µ) s appelle u espace mesuré. Propriétés: (i) si A, B B et A B, µ(a) µ(b), (ii) si A B, µ( A ) µ(a ), (iii) si A B et si A A (i.e. A A ), µ(a ) µ(a), (iv) si A B, si A A (i.e. A A ) et si, pour u 0, µ(a 0 ) < +, µ(a ) µ(a). Si E = E avec E B et µ(e ) < +, la mesure µ est dite σ-fiie. Si µ(e) < +, la mesure µ est dite borée. Si µ(e) =, la mesure µ est appelée ue probabilité. Exemple. Soit a E. alors δ a (A) = A (a) défiit ue mesure sur (E, B) appelée mesure de Dirac de a. Plus géralemet, état doés a E et λ 0, µ = λ δ a est ue mesure sur (E, B) (prop. 2..2). Remarque. La propriété (ii) de la def s appelle σ-additivité. Si das la def. 3.2., o suppose que B est seulemet ue algèbre, la défiitio a ecore u ses e rajoutat das (ii) la coditio A B. O a aisi la otio de mesure sur ue algèbre.

26 26 Mesure. Itégratio Propositio Soiet µ et ν deux mesures sur (E, B) et C B ue classe d esembles stable par itersectio fiie. O suppose que, pour tout A C, µ(a) = ν(a) < + et que E = lim E avec E C. Alors µ(a) = ν(a) pour tout A σ(c). Preuve: Supposos d abord µ(e) = ν(e) < +. Soit M = {A B, µ(a) = ν(a)}. O vérifie immédiatemet que les hypothèses de la prop sot vérifiées. O a doc σ(c) M. Le cas gééral se traite e appliquat ce résultat aux mesures µ (A) = µ(a E ) et ν (A) = ν(a E ). Corollaire Soiet µ et ν deux probabilités sur (E, B) et C B ue classe d esembles stable par itersectio fiie telle que σ(c) = B. Si µ(a) = ν(a) pour tout A C, alors µ = ν Soit (E, B, µ) u espace mesuré. U sous-esemble A de E est dit égligeable (ou µ-égligeable s il y a ambiguïté) si A B avec B B et µ(b) = 0. Ue propriété est vraie presque partout (e abrégé p.p. ou, plus présisemmet, µ p.p.) si elle est vraie e dehors d u esemble égligeable. Par exemple f = g p.p. sigifie que {x E, f(x) g(x)} est égligeable. Si µ est ue probabilité, o dit presque sûremet (e abrégé p.s.) pour presque partout. O ote N la classe des esembles égligeables. Il faut oter que si A N, o a A N. Si N B, l espace mesuré (E, B, µ) est dit complet. Si ce est pas le cas, o peut le compléter de la faço suivate. O défiit B = σ(b, N ). Alors A B ssi A = B N avec B B et N N. O peut prologer µ à B e posat µ(a) = µ(b) (il est facile de voir que ceci e déped pas de l écriture de A). L espace (E, B, µ) est alors complet et s appelle le complété de (E, B, µ). Efi o vérifie aisémet que f : E R est B mesurable ssi il existe g, h : E R B mesurables telles que g f h et g = h µ p.p Costructio. Das la suite, la plupart du temps, o partira d u espace mesurable ou d u espace de probabilité sas se soucier de sa costructio. Il est éamois idispesable de s assurer de l existece de tels objets. O va s itéresser aux mesures sur B(R) fiies sur les itervalles borés. Observos d abord que C = { ]a, b], < a < b < + } est ue classe stable par itersectio fiie et que σ(c) = B(R). Il résulte alors de la prop qu ue mesure µ sur B(R) fiie sur les itervalles borés est détermiée par les valeurs µ(]a, b]). Esuite, état doée ue telle mesure, si o pose F (0) = 0; F (x) = µ(]0, x]), x > 0; F (x) = µ(]x, 0]), x < 0, F (x) est ue foctio cotiue à droite et croissate et l o a µ(]a, b]) = F (b) F (a). O est doc rameé au problème suivat. Soit F ue applicatio de R das R cotiue à droite et croissate, existe-t-il ue mesure µ sur B(R) telle que µ(]a, b]) = F (b) F (a)? Il est facile de décrire l algèbre A egedrée par C, o a A = { A = ]a k, b k ], a < b < a 2 <... < b < a < b + }

27 27 e coveat que, si b = +, ]a, b ] =]a, + [. O défiit µ sur A par µ(a) = F (b k) F (a k ) où F (+ ) = lim x + F (x), F ( ) = lim x F (x). Il est facile de motrer que µ est additive sur A, u peu plus délicat de motrer que µ est σ-additive sur A mais cela se fait. O a doc costruit ue mesure µ sur A telle que µ(]a, b]) = F (b) F (a). Pour passer à B(R), o utilise le théorème de Carathéodory: Théorème Soit µ ue mesure sur ue algèbre A, alors µ se prologe e ue mesure sur σ(a). De plus, si µ est σ-fiie, ce prologemet est uique. Tout ceci doe, puisque das otre cas σ(a) = B(R), Théorème Soit F ue applicatio de R das R cotiue à droite et croissate. Il existe ue et ue seule mesure µ sur B(R) telle que, pour tous a < b, µ(]a, b]) = F (b) F (a). Si o choisit F (x) = x, o obtiet l existece et l uicité d ue mesure λ sur B(R) vérifiat, pour tout itervalle I, λ(i) = I. C est la mesure de Lebesgue sur R. Si N est la classe des esembles λ-égligeables, B(R) = σ(b, N ) s appelle la tribu des esembles Lebesgue-mesurables (elle est beaucoup plus grosse que B(R)) et λ se prologe sas peie à B(R) comme e Itégratio Soit (E, B, µ) u espace mesuré Itégratio des foctios positives. O va costruire l itégrale de f par rapport à µ. Si f eb +, c est très facile, f s écrit f = a k Ak, A k B et l o pose f dµ := a k µ(a k ). Des cosidératios élémetaires motret que ceci e déped pas de l écriture de f et que, pour f, g eb + et a, b R +, (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ et que, si f g, f dµ g dµ. O a aussi le résultat plus techique suivat qui est la clé de la costructio. Lemme Si f, g eb + sot croissates et si lim f = lim g, o a lim f dµ = lim g dµ. Soit f B +. Il existe (prop. 3..2) ue suite f eb + telle que f f, o a alors f dµ et o pose f dµ = lim f dµ. Le poit importat est que, d après le lem. 3.3., cette limite e déped pas de la suite f choisie. O a e particulier, vu (3.2), pour f B +, f dµ = lim 2 k=0 k 2 µ({x, k 2 f(x) < k + }) + µ({x, f(x) }). (3.3) 2

28 28 Mesure. Itégratio Par passage à la limite, o obtiet immédiatemet que, pour f, g B + et a, b R +, (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ et que, si f g, f dµ g dµ. Efi o dira que f B + est itégrable si f dµ < Itégratio des foctios réelles ou complexes. O pose L = L (E, B, µ) = {f [B], f dµ < + }. (3.4) Si f L, f + et f sot itégrables et o pose f dµ = f + dµ f dµ. Il est facile de voir (vu que f + g f + g ) que L est u espace vectoriel et que f f dµ est ue forme liéaire positive sur L. De plus, pour f L, f dµ f dµ. Si f est B-mesurable à valeurs C, o pose ( f désigat le module), L C = L C (E, B, µ) = {f B-mesurable complexe, f dµ < + }. (3.5) O défiit alors, pour f L C, f dµ = R(f) dµ + i I(f) dµ. L C est u espace vectoriel sur C et f f dµ ue forme liéaire sur L C. O a aussi, pour f L C, f dµ f dµ Propriétés. (i) Si f B + et si f dµ < +, f < + p.p. (ii) Si f B + et si f dµ = 0, f = 0 p.p. (iii) Si f, g L et si f g p.p., f dµ g dµ. (iv) Si f L C et si A B, f A L C. O pose alors f dµ := f A dµ, A B, f L C B+. A (v) Si f L et si, pour tout A B, A f dµ 0 alors f 0 p.p. (vi) Si f, g L et si, pour tout A B, A f dµ A g dµ, alors f g p.p. Il ous reste à éocer les résultats cocerat les passages à la limite. Le premier d où découlet facilemet les autres s appelle théorème de covergece mootoe ou théorème de Beppo-Levi. Théorème Soit f B + ue suite croissate, alors lim f dµ = lim f dµ.

29 29 Corollaire Soit g B +, alors g dµ = g dµ. Propositio (Lemme de Fatou) (i) Soit f B +, alors lim if f dµ lim if f dµ. (ii) Soit f [B] avec f g L, alors lim if f dµ lim if f dµ lim sup (ii) implique le célèbre théorème de Lebesgue, f dµ lim sup f dµ. Théorème Soit f L C telles que f f p.p. avec f g L, alors lim f dµ = f dµ. Ce théorème a ue versio cotiue très utile. Corollaire Soit (f t, t U) ue famille d élémets de L C, U ouvert de Rd. O suppose que lim t t0 f t = f p.p. et que, pour tout t U, f t g L, alors lim t t0 ft dµ = f dµ. Preuve: Il suffit de remarquer que lim t t0 ft dµ = f dµ ssi, pour toute suite t tedat vers t 0, lim t t 0 ft dµ = f dµ et d appliquer le th Doos u exemple d utilisatio de ce corollaire. Propositio Soiet (E, B, µ) u espace mesuré, I u itervalle ouvert et (f(t, x), t I) ue famille d élémets de L C (µ). O pose, pour tout t I, φ(t) = f(t, x) dµ(x). O suppose que, pour tout x A, t f(t, x) est dérivable sur I, que, pour tous x A et t I, f t (t, x) g(x), que g L (µ) et que µ(a c ) = 0. Alors φ est dérivable sur I et φ (t) = f t (t, x) dµ(x). Preuve: O a (φ(t + h) φ(t)) = (f(t + h, x) f(t, x)) dµ(x). h A h D après la formule des accroissemets fiis, o a, pour x A, h si h est assez petit et (f(t + h, x) f(t, x)) = f (θ, x) g(x) t h (f(t + h, x) f(t, x)) h 0 f (t, x). t

30 30 Mesure. Itégratio O peut appliquer le cor et h (f(t + h, x) f(t, x)) dµ(x) h 0 A A f (t, x) dµ(x) = t f (t, x) dµ(x). t Lie avec l itégrale usuelle. Soit f ue foctio réelle cotiue sur [a, b] et posos, pour a x b, F (x) = x a f(t) dt (itégrale au ses usuelle) et G(x) = [a,a+x[ f dλ, λ mesure de Lebesgue sur R. O sait que F (a) = 0, F est cotiue sur [a, b] et que, sur ]a, b[, F est dérivable avec F = f. Il est facile de vérifier que G a les mêmes propriétés. Ceci implique que F = G sur [a, b] et, e particulier, que b f(t) dt = [a,b[ f dλ. a Par additivité, cette formule est ecore vraie si f est cotiue par morceaux sur [a, b]. Cosidéros maiteat ue applicatio f de R das R cotiue par morceaux telle que + f(t) dt soit absolumet covergete. Lorsque a et b +, d ue part, par défiitio, b a f(t) dt + f(t) dt < + et b a f(t) dt + f(t) dt; d autre part, [a,b[ f dλ f dλ (covergece mootoe) ce qui implique que f L (λ) puis [a,b[ f dλ f dλ (théorème de Lebesgue puisque [a,b[ f f L (λ)). Doc + f(t) dt = f dλ. Par cotre, si + f(t) dt est covergete mais pas absolumet covergete (par exemple f(x) = si x x ), f / L (λ) Espaces L p. Soit (E, B, µ) u espace mesuré. O ote L 0 l esemble des applicatios B-mesurables de E das R fiies p.p. O dit que f g si f = g p.p. Alors est ue relatio d équivalece sur L 0. O ote L 0 = L 0 /. E fait L 0 est l espace des classes de foctios B-mesurables défiies à u p.p. près. Puisque f = g p.p. implique f dµ = g dµ et f dµ = g dµ si f et g sot das L, o peut défiir sas ambiguïté, pour f L 0, f dµ puis, si f dµ < +, f dµ. Par abus de lagage, das toute la suite ous oteros de la même faço ue foctio et sa classe d équivalece. O pose alors, pour p < + et f L 0, f p = [ f p dµ] p et, pour p = +, f = if(m, µ( f > M) = 0). O a deux iégalités fodametales. Pour f, g L 0 +, qui s appelle l iégalité de Mikowski et f + g p f p + g p, p + (3.6) fg f p g q, p +, p + q = (3.7)

31 3 qui s appelle l iégalité de Hölder. Notos que pour p = q = 2, (3.7) implique l iégalité de Schwarz [ fg dµ] 2 ( f 2 dµ)( g 2 dµ). O ote L p = {f L 0, f p dµ < + }, L p = {f L 0, f p dµ < + }. Alors L p mui de la orme. p est u espace de Baach et L 2 est u espace de Hilbert pour le produit scalaire < f, g >= fg dµ. O peut aussi cosidérer le cas des foctios à valeurs complexes. O défiit de la même faço L p C = Lp C (E, B, µ). Il faut oter que L2 C est associé au produit scalaire < f, g >= fḡ dµ. Propositio Pour p < +, E 0 = {f, f = a k Ak, A k B, µ(a k ) < + } est dese das L p (E, B, µ). Preuve: Il suffit de cosidérer f 0. Alors il existe (prop. 3..2) ue suite f eb + telle que f f. Vu que f p f p L, f E 0. O a, puisque f < + p.p., f f p 0 p.p. et f f p f p L doc (th. de Lebesgue) f f p dµ Mesures à desité Soit µ ue mesure sur (E, B). O peut lui associer ue applicatio I de B + das R + e posat I(f) = f dµ, f B +. L applicatio I a les propriétés suivates: I(f + g) = I(f) + I(g), I(af) = ai(f), a R + et I(f ) I(f) si f f. Réciproquemet o a, Propositio Soiet (E, B) u espace mesurable et I ue applicatio de B + das R + telle que (i) si f, g B +, I(f + g) = I(f) + I(g); si f B + et a R +, I(af) = ai(f), (ii) si f B + et si f f, I(f ) I(f). Alors µ(a) = I( A ), A B, défiit ue mesure sur B et o a, pour toute f B +, I(f) = f dµ. Preuve: Soiet A B des esembles deux à deux disjoits d uio A, o a A = A = lim A k et µ(a) = I( A ) = I(lim Ak ) = lim I( Ak ) = lim I( Ak ) = µ(a ).

32 32 Mesure. Itégratio Ce qui motre que µ est ue mesure. O a alors, pour toute f eb +, I(f) = f dµ. O coclut facilemet e utilisat la prop Mesures à desité. Propositio Soiet (E, B, µ) u espace mesuré et h B +. La formule ν(a) = A h dµ, A B défiit ue mesure sur B appelée mesure de desité h par rapport à µ et otée h.µ. O a, pour toute f B +, f dν = fh dµ. (3.8) De plus f [B] est ν-itégrable ssi fh est µ-itégrable et l o a das ce cas (3.8). Preuve: O cosidère la foctioelle I(f) = fh dµ, f B + et o applique la prop La derière assertio est pure routie e écrivat f = f + f. Supposos que ν = h.µ = h 2.µ et que ν soit borée, alors h, h 2 L (µ) et o a (3.3.3 (vi)) h = h 2 µ p.p. O voit facilemet que ceci est ecore vrai si ν est σ-fiie Théorème de Rado-Nikodym. Soiet µ, ν deux mesures sur (E, B). O cherche à savoir si ν a ue desité par rapport à µ. Si ν = h.µ, o a évidemmet, pour A B, µ(a) = 0 implique ν(a) = 0. Il est remarquable que cette propriété suffise à caractériser les mesures ayat ue desité par rapport à µ. Défiitio O dit que ν est absolumet cotiue par rapport à µ si A B et µ(a) = 0 impliquet ν(a) = 0. O ote alors ν µ. O a (théorème de Rado-Nikodym): Théorème Soiet µ, ν deux mesures σ-fiies sur (E, B) telles que ν µ. Alors il existe h B +, uique à u µ p.p. près, telle que ν = h.µ Mesures produits Soiet (E, B ) (E 2, B 2 ) deux espaces mesurables. O défiit ue tribu sur E E 2, appelée tribu produit de B et B 2 et otée B B 2, par B B 2 = σ(a A 2, A B, A 2 B 2 ). Alors si f : E E 2 R + est ue foctio B B 2 -mesurable, o a que pour tout x E, x 2 f(x, x 2 ) est B 2 -mesurable et que, pour tout x 2 E 2, x f(x, x 2 ) est B -mesurable. E particulier si A B B 2, A x2 = {x, (x, x 2 ) A} B et A x = {x 2, (x, x 2 ) A} B 2. O e déduit facilemet que, si f (B B 2 ) + et si µ i est ue mesure sur (E i, B i ), x f(x, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) est B -mesurable et x 2 f(x, x 2 ) dµ (x ) est B 2 -mesurable.

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