SYSTEMES EXERCICES CORRIGES

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1 Exercice n. SYSTEMES EXERCICES CRRIGES Parmi les couples (8,), (,-,5), (,), (5,), lequel est solution du système Exercice n. x+ y = 7x y= 8 Résoudre par substitution : ) ) x 5y = x+ y= 6 x+ y = 6 5x y= Exercice n. Résoudre par combinaison : ) x+ y = 9 ) x y= x 5y= 5 x + y = Exercice n. Résoudre graphiquement : ) x= y 5 ) x+ y = x+ y= x + y + 9 = Exercice n 5. Résoudre selon la méthode de votre choix : 7x y = 5 5x y = x 5y+ 8= x y = 6 ) ) ) ) x+ y = 6 x+ 7y = 5 x 7y 5 = x y = 9 Exercice n 6. ( + ) x y= + x + y = Résoudre les systèmes: ) S : ) S : x+ ( ) y = x+ y = Exercice n 7. n considère le système ci-dessous, où x et y sont les inconnues réelles, et a un nombre réel donné : ( a+ ) x 6y = a+. A chaque valeur du nombre a correspond un système différent. ax + ( a 8) y = a Résoudre ce système pour : ) a = ) a = ) a = Exercice n 8. ) Résoudre le système : 5u+ v= 6 u v= 5x+ y = 6 ) Déduire de la question précédente la résolution des systèmes ) x y = Exercice n 9. ) Résoudre le système : X + 7Y = 5X + 9Y = ) Déduire de la question précédente la résolution du Exercice n. Résoudre les systèmes suivants : ) x y = = 6x 7 y ) 7 + = x y = x y+ x + y 5 = ) x + y 5 = ) 5 + = 6 x y = x y + = x y + = ( x ) y ) + = + = x y x y Page /6

2 Exercice n. n cherche à résoudre le système : x+ y= 5 x y + = ) Déterminer une équation du second degré vérifiée par x. ) Résoudre cette équation, et déterminer toutes les solutions du système. Exercice n. Résoudre les systèmes suivants : ) = x y xy. = x y = ) ) xy. = ( x y) + = 6 x xy+ y = ) x + y = 5 x+ y = Exercice n. ) Trouver deux entiers dont la moyenne vaut 8 et le produit 5 8 ) Deux réels ont pour somme 5 et pour différence 5. Quels sont ces deux réels? Exercice n. Dans un troupeau composé de chameaux et de dromadaires, il y a 9 têtes et 5 bosses. Quelle est la composition du troupeau Dromadaire Chameau Exercice n 5. Au début il y a deux fois plus de garçons que de filles. Six garçons quittent la classe et six filles arrivent, il y a alors deux fois plus de filles que de garçons. Combien de garçons et combien de filles y avait-il au début? Exercice n 6. "J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez et, quand vous aurez l'âge que j'ai, la somme de nos deux âges égalera 6 ans." Quels sont les âges des deux personnes (celui qui parle et son interlocuteur)? Exercice n 7. Résoudre les systèmes: x+ y z+ t = x+ y+ z = ) x+ y+ z = ) x+ y z = 9 ) x y+ z t = 6 x+ y+ z = x y+ z = x y z t x y + z = + = x y+ z t = Exercice n 8. Au grand congrès des mathématiciens se réunissent des Asiatiques, des Européens et un Africain. n sait que : - 9 participants ne venaient pas de Chine - ne venaient pas d Inde. - ne venaient pas d Europe - 5 n étaient pas asiatiques(es Asiatiques présents sont des Chinois et des Indiens) ) Combien y avait-il de Chinois? ) Quel est le nombre total des participants? le nombre des Indiens? et le nombre des Européens? Exercice n 9. Parabole passant par trois points. Soit f ( x) = ax + bx+c l équation d une parabole. Cette parabole passe par A(;), par B (;-) et par C(;-). e but de l exercice est de trouver l équation de la parabole. a) Ecrire un système vérifié par a, b et c. b) e résoudre. Exercice n. c Déterminer l expression de f( x) = ax+ b+ pour x réel non nul, sachant que : f() = x ; f () = ; f( ) = Page /6

3 Exercice n. Un gérant de magasin de musique décide de liquider un stock de cassettes (K7) sous forme de lots. - lot A: 5 K7 de disco, de jazz et de classique - lot B: K7 de jazz et de classique - lot C: K7 de disco, de jazz et 5 de classique. Combien doit-il proposer de lots de chaque type s il veut épuiser son stock de 76 K7 de disco, 7 de jazz et 9 de classique? Exercice n. Dans une entreprise de montage électronique, pour la fabrication de appareils A,B et C, on utilise des condensateurs, des transistors, des résistances et des plaques de circuit intégré. e tableau ci-contre indique les quantités nécessaires pour chaque type d'appareil En stock, il y a 6 condensateurs, 65 transistors et plaques. Composant A B C Condensateur 5 Transistor Plaque ) n appelle x, y et z le nombre respectif d'appareils de type A, B et C que cette entreprise désire fabriquer à l'aide du stock disponible. A quels ensembles (référentiel) appartiennent ces nombres? ) n utilise complètement les stocks. Ecrire les trois équations linéaires à trois inconnues correspondantes. ) Résoudre le système obtenu. ) Vérifiez que les nombres obtenus appartiennent au référentiel Conclure. a solution est le programme de fabrication optimal pour ce stock. 5) Chaque appareil A,B et C nécessite respectivement 6, et 8 résistances. Il y a 555 résistances en stock. a) e programme de fabrication obtenu à la question précédente est-il alors réalisable? b) Si on utilise pleinement les stocks de plaques de circuit intégré, de transistors et de résistances, quel sera le programme de fabrication? e stock de condensateurs sera-t-il alors suffisant? Exercice n. Trois joueurs conviennent qu à chaque partie, le perdant doublera l avoir des deux autres. Chacun d eux perd successivement une partie et chaque joueur possède alors. Quels étaient les avoirs initiaux de chacun des joueurs? ) Montrer que le problème peut se ramener à la résolution du système de équations à inconnues : x y z = 5 x + y z = x y + 7z = Pour des inconnues x, y et z que l on définira. ) Répondre à la question. Exercice n. Résoudre les systèmes d inéquations suivants : ) x + x+ > ) 6< x + x 7 x + Exercice n 5. ) Représenter les solutions de l inéquation suivante : x+ y > ) Résoudre graphiquement le systèmes d inéquations suivants : ) ) x+ y 5< x 5> x y+ > x + y < x + y < Exercice n 6. Dans un repère orthonormé : ) Placer les points A(;), B(-;) et C (-;) ) Définir l'intérieur du triangle ABC par un système d'inéquations Exercice n 7. Représentez dans le plan muni d un repère orthonormal direct l ensemble des solutions de l inéquation ( x+ y )( x y+ )( x+ y 6) < Page /6

4 Exercice n 8. Dans un lycée, un groupe d élèves se charge de la distribution de pains au chocolat et de croissants lors de la récréation de dix heures. Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 8 pains au chocolats et de 96 croissants. Deux boulangers proposent pour le même prix : - l un, le lot A comprenant pains au chocolat et 8 croissants - l autre, le lot B composé de 9 pains au chocolat et croissants. e but de l exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B qui doivent être achetés pour satisfaire la demande au moindre coût. n souhaite s aider d un graphique. Pour cela, on rapporte le plan à un repère orthonormal (unité graphique : cm) et, à l achat de x lots A et de y lots B, on x; y associe le point de coordonnées ) Placer : - le point E associé à l achat de lots A et de lots B ; - le point F associé à l achat de lots A et de lot B. es achats associés aux points E et F permettent-ils de satisfaire la demande? ) n s intéresse à la satisfaction de la demande. x; y permette de satisfaire la demande, les a) Montrer que, pour que l achat correspondant au point de coordonnées nombres x et y doivent vérifier les inégalités x+ y 6 et x+ y. b) Colorier ou hachurer la région du plan dans laquelle se trouvent les points dont les coordonnées ( x; y ) ne sont pas x+ y 6 solutions du système. x+ y ) n cherche à minimiser le coût, c est à dire le nombre total x + y de lots achetés. a) es points associés à des achats d un nombre total de n lots sont situés sur la droite n d équation x + y = n. Tracer 9 et. D après le graphique, peut-on satisfaire la demande en achetant au total seulement 9 lots? En achetant lots? b) En utilisant le graphique, déterminer l achat qui permet de satisfaire la demande au moindre coût. Exercice n 9. Résoudre le système d'équations suivant : ) x y = ln x+ ln y = ) 5ln x+ ln y = 6 ln x ln y= ) ln xy = (ln x)(ln y) = Exercice n. Résoudre les systèmes d'équations suivant : x y x y e + e = 5 e + e = xy = 5 ) ) ) x y x y e e = x+ y = ee = e Page /6

5 SYSTEMES CRRECTIN Exercice n Un couple est solution d un système si et seulement chacune des équations est vérifiée conjointement par les deux valeurs du couple. x+ y = 6 Pour savoir si le couple (8,) est solution du système, on vérifie si chacune des deux égalités est vérifiée en 5x y= remplaçant x par 8 et y par. n calcule : 8 + = 6 et 5 8 =. a deuxième égalité n étant pas vérifiée, le couple (8,) N EST PAS solution du système e deuxième couple N EST PAS solution du système car cette fois c est la première égalité qui n est pas vérifiée. e troisième couple ne vérifie aucune des deux équations, donc il n est pas solution du système. 5+ = 6 Enfin, le couple (5,) EST SUTIN du système, car. 5 5 = Exercice n a méthode de substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l autre dans une des deux équations, et à substituer cette expression dans la deuxième équation ax + by = c ) Si un système est de la forme avec ab a b, il admet une unique solution. ax + by = c 5, le système admet une unique solution Comme x+ y = y = x x 5y = x 5y = y = x x 5( x) = y = x y= x+ 5x= 6 x= y = x = =. Ainsi S ; expression d'une inconnue en fonction de l'autre substitution de cette expression dans l'autre équation {} ) Comme 7 ( ), le système admet une unique solution 76 ( ) = 8 = {} 7x y = 8 y y 77 y y= 8 8y= 6 x + y= 6 x= 6 y x= 6 y x= 6 y y= x = 6. Ainsi S 6; Exercice n a méthode de combinaison consiste à effectuer des opérations entre les lignes afin d éliminer des inconnues, le système admet une unique solution ) Comme x+ y= 9 x+ 6y = 7 6y y = 7 x y = x y = x y = y = 8y= y= + y. Ainsi S = ; x= + y x= x= 5, le système admet une unique solution ) Comme {} 5+ 5y 5+ 5y x 5y = 5 x= 5+ 5y x = x= x+ y = 5y+ y= 5+ + y = 8 + y = x= x= 5. Ainsi S ; y y = + = + = Page 5/6

6 Exercice n a résolution graphique consiste à considérer chaque équation du système comme une équation de droite, à tracer ces droites dans un repère, et à déterminer s il existe, le point d intersection de ces droites. Ses coordonnées seront solutions du système puisqu elles vérifieront chaque équation de droite. x = y 5 D ) Système x + y = D n considère la droite d équation x= y 5 y= x+ 5. Elle passe par les deux points ( ;5) et (-5 ;) n considère la droite d équation D D x+ y= y = x+. Elle passe par les deux points ( ;) et ( ;) Ces deux droites sont tracées dans le repère ci-contre Elles sont sécantes au point A ;9. Ainsi S = {( ;9) } x + y = D ) Système x + y + 9 = D n considère la droite d équation x+ y = y= x+. Elle passe par les deux points ( ;) et (5 ;-7) n considère la droite d équation x + y+ 9= y= x 9. Elle passe par les deux points ( ;-9) et ( ;) Ces deux droites sont tracées dans le repère ci-contre : Elles sont sécantes au point A( ; ). Ainsi S = {( ; ) } Exercice n 5 7, le système admet une unique ) Comme solution 7x y = 5 8x y = x+ y = 6 8x+ 77y = 7 5+ y x= 7 77y ( y) = y 89 7 x= x= = y 6 7 = 6 y= 7 89 Ainsi 7 6 S = ; D D Page 6/6

7 5 7, le système admet une unique solution ) Comme y 5x y= 6x 56y = x= 5 x+ 7 y= 5 6x+ 5y = y 9 7 x= x= = Ainsi S = ; 9 9 9y = y = 5 9 5y 56y = 5 5 ) Comme ( 7) ( 5), le système admet une unique solution x 5y+ 8= x x 5y 7y = x 7y 5= x= 7y+ 5 8 y = 9y+ 8= 9 8. Ainsi S = ; x 7y = + x = = 9 9 ) Comme = 9, le système admet soit une infinité de solution, soit aucune solution. Commençons par multiplier la première équation par 6 et la seconde par 6 pour «éliminer les dénominateurs» x y = 6 x 9y = 6 6. n constate que ce système n admet pas de solution réelle car une même x 9y = 6 6 x y = 9 quantité ne peut être simultanément égale à 6 et 6. Ainsi S = Exercice n 6 ) Comme S : S + = + =, admet soit une infinité de solution, soit aucune solution. ( + ) x y = + ( + ) x y= + x + ( ) y= ( + ) x+ ( + )( ) y= ( + ) ( + ) ( ) x y ( ) x y ( + ) x + ( ) y = + ( + ) ( + ) x y= + ( + ) + = + + = + es deux équations étant identiques, le système admet une infinité de solutions ) Comme, le système admet une unique solution S x+ y = x + y = x + y = x+ y = x+ y = y= x : x= x= x=. Ainsi S = ; y= x y = y = {} Exercice n 7 ) Si a =, le système est : 5 x y = = ( + ) x 6y = + 6x 6y= 6 6 x+ ( 8) y = x y= x y = Page 7/6

8 Ce système n admet pas de solution, une quantité ( x y ) ne pouvant simultanément être égale à 5 et à. Ainsi S = x y = ( + ) x 6y = + x 6y = 6 ) Si a =, le système est x+ ( 8) y = ( ) x y= x y = es deux équations de ce système étant identiques, ce système admet une infinité de solutions ) Si a =, le système est : ( + ) x 6y = + x 6y= 6 x= x+ ( 8) y = x 6y= 6 6y= x 6 x= x=. Ainsi S ; 6y = 6 y= {} = Exercice n 8 5, le système admet une unique solution ) Comme 9u = 76 5u+ v= 6 5u+ 6v= 78 u + u v= u 6v= v= 76 u = = 9 u =. Ainsi S = ; + v = v = = ) 5x+ y = 6 a) e système est défini quels que soient les réels x et y x y = {} 5x+ y = 6 5u+ v= 6 Si on pose u = x et v= y, le système est alors équivalent au système, que l on a x y = u v= précédemment résolu : n a trouvé comme couple solution n revient au couple ( x; y ) : u = x= et v= y = y = ou y = ( uv ; ) = ( ; ) { } n obtient ainsi deux couples de solutions. S = ( ; );( ; ) 5 + = 6 x y b) e système n est défini que si et seulement si x et y. = x y = 6 x y + = 6 x y Puisque le système se réécrit, si on pose u = et v =, le système devient alors x y = = x y x y 5u+ v= 6 équivalent au système que l on a déjà résolu. n a trouvé comme couple solution ( uv ; ) = ( ; ) u v= n revient au couple ( x; y ) : u = = x= et v= = y = x y Ainsi S = ; Page 8/6

9 Exercice n 9 ) Comme 9 5 7, le système admet une unique solution Y = 7 5 X + 7Y = X + 5Y = 5 5 9Y 5X + 9Y = X + 6Y = 8 X = 5 Y = 7 5 Y = Ainsi S = {( ; 7) } X = X = = x y + ) e système n est défini que si et seulement si x et y +, c est-à-dire x et y = x y+ + 7 = x y+ Puisque ce système se réécrit, si on pose X = x et Y =, le système devient équivalent y = x y+ X + 7Y = à, que l on a résolu précédemment. n a trouvé ( XY ; ) = ( ; 7) 5X + 9Y = n revient aux inconnues ( x; y ) : 8 Y = 7 = 7 7y 7= y =. Ainsi y + 7 Exercice n x y = ) e système 6x 7 y = 7 X = = x 6 = x = et x 7 8 S = ; 7 est défini pour tout x et tout [ ; [ y +. Pour tout x et tout y [; + [, on pose X = x et Y = y. e système à x y = = 6x 7 y 6Y = + Y = + X Y = 6X 9Y = + 7Y 6X 7Y = 6X 7Y = X = X = 6 n revient aux inconnues ( x; y ) : devient alors équivalent = = = = X x x ) e système x + y 5 = x + y 5 = et Y = y = y = est défini si et seulement si x x et pour tout y Pour tout x et tout y, on pose X = x et Y = y. e système équivalent à X Y 5 X Y 5 + = + = ( 5 5) Y = X + Y 5 = X + Y 5 = X = Y 5 5 Y = = 5 5 X = Y 5 5 X 5 X = = Y = 5 5 Y = x + y 5 = x + y 5 = devient alors Page 9/6

10 n revient aux inconnues ( x; y ) : X = x = équation qui n admet pas de solution réelle. x + y 5 = e système n admet donc pas de solution réelle x + y 5 = + = x y ) e système n est défini que si et seulement si x et y + = x y + = x y Pour tout x et y, en posant X = et Y =, le système x y + = x y X + Y = X + Y =. n le résout par substitution : X Y Y = X + = Y = X X Y X X X Y = X Y = X Y = X X X X X = = X X = + = X + X = + + = = n résout l équation X X en calculant son discriminant : = = 8 devient équivalent à 8 équation X X = admet donc deux solutions réelles distinctes X = = et 5 ( ) + 8 X = =. n calcule les valeurs de Y correspondantes : X = Y = X = + = et 5 5 X = Y = X = = 5 X + Y = e système admet donc deux solutions : S = ; ; ; X + Y = 5 5. n revient aux inconnues ( x; y ) : D une part X = = x= 5 et Y = = y = 5 x 5 y D autre part X = = x= et Y = = y = 5 x 5 y 5 e système admet donc deux solutions : ( ; ) ( 5 ) xy = ; et ( xy ; ) = ( ; 5) Puisque x et y jouent des rôles symétriques, on peut considérer qu il n y a qu un couple de solutions : et 5 Page /6

11 + = ( x ) y ) e système est défini si et seulement si x et y + = x y + = ( x ) y Pour tout x et y, on pose X = et Y =, de sorte que le système est équivalent x y + = x y 9 X + Y = X + Y = Y = Y = 6 au système X + Y = X + Y = X = Y X = x; y : n revient aux inconnues X = = x+ = x =. Y = 6 = 6 6y = y = x y 6 Exercice n ) Grâce à la première équation, on écrit y = 5 x, et en substituant cette expression dans la deuxième équation, il vient y = 5 x y= x 5 5 y = 5 x y = x ( 5 ) x 5 x x x x = x + = + + x+ = x 5x+ 6 = ) équation x 5x 6 se résout en calculant son discriminant qui vaut = 5 6=, d où l existence de + = 5 5+ deux solutions réelles distinctes x = = et x = =, chacune fournissant une solution «pour y», à savoir y = 5 x = 5 = et y = 5 x = 5 =. es deux couples solutions du système sont donc {( x; y) ( ; );( x ; y ) = ( ;) }, c est-à-dire ( ;) S = = { } Exercice n x y = donc y= x x= y = ) xy = x = ou y = y = donc x = S = (car x et y jouent des rôles parfaitement symétriques e système admet donc trois couples de solutions réelles : S = {( ; ); ( ; ); ( ; ) } x y = y = x+ x= donc y = ) xy = x = ou y = y= donc x= e système admet donc trois couples de solutions réelles : S = {( ; );( ; );( ; )} ) ( x+ y) = 6 x+ y= 8 y = 8 x x + y = 5 5 x + y = x + ( 8 x) = 5 y = 8 x y = 8 x y = 8 x x 6x+ 6 = 5 x 6x+ = x 8x+ 7 = n résout l équation x 8x 7 en calculant son discriminant : = = = =. équation + = ( 8) 6 ( 8) + 6 x 8x+ 7= admet donc deux solutions réelles distinctes : x = = et x = = 7 x= y= 8 = 7 n calcule les valeurs de y correspondantes : x = 7 y = 8 7 = e système admet donc deux solutions distinctes (; 7) et (7;) es rôles de x et y étant symétriques, on peut considérer que le système admet pour solution les nombres et 7 Page /6

12 ) x xy+ y = x x( x) + ( x) = x+ y = y= x x + x+ x + + x+ x = x + 6x= 9 x + x = y= x y= x y= x n résout l équation x + x = en calculant son discriminant, et on trouve x= ou x= x= y= = n calcule les valeurs de y correspondantes x = y = ( ) = e système admet donc deux solutions distinctes (; ) et ( ;) es rôles de x et y étant symétriques, on peut considérer que le système admet pour solution les nombres et - Exercice n x+ y = 8 x+ y = 6 ) Notons x et y les deux entiers. Il faut donc résoudre le système xy = 58 xy = 58 a ère équation nous permet d écrire y = 6 x. En utilisant la ème équation, on obtient x 6 x = 58 x + 6x 58 =. e calcul du discriminant de cette équation fournit = 6 ( ) ( 58) = 5776 = 76, d où l existence de deux solutions réelles distinctes x = = donc y = 6 x = 6 =, et x = = donc y = 6 x = 6 =. es deux nombres cherchés (qui jouent des rôles parfaitement symétriques) sont donc et ) Notons x et y les nombres solutions du système : x+ y = 5 x = 5+ + x= + x= + x= + 5 x y = y = x y = x y = y = 55 5 Ces deux nombres sont donc et Exercice n Notons x le nombre de dromadaires de ce troupeau, et y le nombre de chameaux. e nombre de têtes de ce troupeau vaut x + y et le nombre de bosses vaut x + y énoncé nous permet de dresser le système : x + y = 9 x= 9 y x= 9 y x= 7 x + y = 5 9 y+ y = 5 y = 5 9 y = e troupeau comprend donc 7 dromadaires et chameaux. Exercice n 5 Notons x le nombre de garçons et y le nombre de filles au début. Une première équation est x = y Si le nombre de garçons passe de x à x-6 et le nombre de filles de y à y+6, on aura alors y+ 6= ( x 6) e système est donc x = y x= y x= y x= x y = 8 y y = 8 y = 8 y = 6 Au début, il y avait donc garçons et 6 filles. Page /6

13 Exercice n 6 Notons x et y les âges respectifs de celui qui parle et de son interlocuteur. A priori, x y a phrase «J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez» s analyse comme suit : Celui qui parle avait l âge de son interlocuteur il y a x y années. interlocuteur avait alors un âge égal à y ( x y) y = x. a phrase «J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez» s interprète alors comme l équation x= y x y x= a phrase «Quand vous aurez l'âge que j'ai, la somme de nos deux âges égalera 6 ans» s interprète comme suit : interlocuteur aura l âge de celui qui parle dans x y années. Celui qui parle aura alors x + x y = x y ans. a phrase «Quand vous aurez l'âge que j'ai, la somme de nos deux âges égalera 6 ans» s interprète alors comme l équation x+ x y = 6 x y= 6 y = 6 + y = + x + y = y = + e système 6 + y 6 + x y = 6 x= x 56 x= = Celui qui parle a donc 56 ans et son interlocuteur ans Exercice n 7 ) x+ y+ z = x+ y+ z = x+ y+ z = 9 x y+ z = x y z + = x+ y+ z = 9 x+ y+ z = x= y z y+ z = = y= y z 5 + = = z = + y 5 x= y z = y = 5 z = + = 5 Ainsi S = {( ; ;) } renumérotation des lignes 5 ) x+ y z = x+ y z = x+ y+ z = x y+ z= x y z + = x+ y+ z = x+ y z = x= y+ z y z = 5 = + y= z+ 5 y 7z 9 + = = 8z = x = + 9 = y = + 5= z = Ainsi S = {( ; ;) } renumérotation des lignes Page /6

14 ) x + y z+ t = x y+ z t = 6 x + y z t = x y+ z t = x y+ z t = x + y z t = (renumérotation des lignes) x + y z+ t = x y+ z t = 6 x y+ z t = y t = + y 6z+ t = 6 y z+ t = x y+ z t = y t = (division de la ème ligne par ) y z+ t = y z+ t = x y+ z t = y t = z+ t = z+ 5t = x y+ z t = y t = z+ t = t = x= + y z+ t = y = t = z = t = donc z =,5 t = Ainsi S = {( ; ;,5; ) } Exercice n 8 Si on note x, y et z les nombres respectifs de mathématiciens chinois, indiens et européens, les trois indications de l énoncé permettent d écrire : y+ z+ = 9 (ne pas oublier l africain) x+ z+ = z + = 5 ) En «remplaçant», dans la deuxième équation, la quantité z + par 5, on obtient x+ 5 = x= 5. Il y avait donc 5 chinois. ) En additionnant la valeur de x (5), et celle des autres participants, donnée par l égalité y+ z+ = 9, on conclut que le nombre de participant était de 5+9= y = 9 z = 9 z+ = 9 5= e nombre d indiens était Enfin le nombre d Européens était 5 z = = En résumé, ce congrès réunissait 5 chinois, indiens, européens, et africain. Page /6

15 Exercice n 9 Si la parabole passe par A( ;) alors f () = a+ b+ c= Si elle passe par B(;-) alors Si elle passe par C(;-) alors f = a+ b+ c= f = 9a+ b+ c= e système vérifié par a, b et c est donc : a+ b+ c= a= b c a+ b+ c= b c= = 9a b c + + = 6b 8c= 5 = 9 a= b c a= b c 6b 9c= 6 = c= 6 6b 8c = 5 6b 8c= 5 a = b c a= c= 6 5 c= + 8c b= 5 b = 5 6 f x = x + x+ Ainsi, Exercice n Si f () = alors a+ b+ c= c Si f () = alors a+ b+ = a+ b+ c= c Si f ( ) = alors a+ b+ = 6a b+ c= 8 e système vérifié par a, b et c est donc : a+ b+ c= a= b c a+ b+ c= b c= = 6a b c 8 + = b 5c= 5 = 6 a = b c a = b c c b c= = b= = = 5c = = c= 6 a = b= = b = c = 6 Ainsi, f( x) = x+ x Page 5/6

16 Exercice n Si on note x, y et z le nombre de lots de type A,B et C, l énoncé nous conduit à résoudre le système 9 5z x y = 5x+ z = 76 x+ y+ 5z = 9 x + y+ z = 7 x+ y+ z = 7 renumérotation des lignes x z = = x y 5z 9 5x z = + = 5x+ z = z x y = y = = x= + z x= + 8 = z = z = = 8 5 e gérant doit donc proposer lots de type A, lots de type B et 8 lots de type C pour épuiser son stock. Exercice n ) Puisque la fabrication d un appareil de type A requiert condensanteurs, on ne pourra pas fabriquer plus de 6 = appareils de type A. Puisqu il requiert transistors, on ne pourra pas fabriquer plus 66 appareils de type A (car 65 = 66, 5). Enfin, il requiert plaque. Donc on ne pourra pas fabriquer plus de appareils de type A. En résumé, x [ ;66] Puisque la fabrication d un appareil de type B requiert condensanteurs, on ne pourra pas fabriquer plus de 6 8 = appareils de type B. Puisqu il requiert transistor, on ne pourra pas fabriquer plus de 65 appareils de type B. Enfin, il requiert plaque. Donc on ne pourra pas fabriquer plus de appareils de type B. En résumé, y [ ;] Puisque la fabrication d un appareil de type C requiert 5 condensanteurs, on ne pourra pas fabriquer plus de = appareils de type C. Puisqu il requiert transistors, on ne pourra pas fabriquer plus 88 appareils de type C (car 65 88, ). Enfin, il requiert plaque. Donc on ne pourra pas fabriquer plus de appareils de type C. En résumé, z [ ;7] ) et ) Si on utilise complètement le stock, x+ y+ 5z = 6 x+ y+ z = x+ y+ z = 65 x+ y+ 5z = 6 x y z + + = x+ y+ z = 65 renumérotation des lignes x= y z x= y z x= 5 = 5 y+ z = 6 = y = z 6 y = 5 6= y z = 5 5 = 7z = z = = Il faut donc fabriquer 5 appareils de type A, appareils de type B et 5 appareils de type C. 5 ;66, ; et 5 ;7 ) es nombres appartiennent au référentiel, puisque [ ] [ ] [ ] 5) Si on fabrique 5 appareils de type A, appareils de type B et 5 appareils de type C, il faudra = 6 résistances, soit plus que les 555 disponibles b) Si on utilise pleinement les stocks de plaques de circuit intégré, de transistors et de résistances, le nouveau système à résoudre est Page 6/6

17 6x+ y+ 8z = 555 x+ y+ z = x= y z x + y+ z = 65 6x+ y+ 8z = 555 renumérotation des lignes y+ 5z = 5 = 6 x y z x y z = + + = y z = 5 5 = x= y z x= 5 = 5 6z = 9 5 z = z 5 5 y = 5 = y = = 5 = Il faut donc fabriquer 5 appareils de type A, appareils de type B et 5 appareils de type C. Ceci nécessitera = 9 condensateurs, soit en dessous du seuil des 6. Exercice n a) Si on note x, y et z les avoir initiaux des joueurs A,B et C Supposons que le joueur A perd la première partie. es avoirs des deux joueurs B et C deviendront égaux à tandis que celui du joueur A deviendra égal à x y z Supposons que le joueur B perd la deuxième partie. es avoirs des deux joueurs A et C deviendront égaux à ( x y z) et z tandis que celui du joueur B deviendra égal à y ( x y z) z = x+ y z Supposons que le joueur C perd la troisième partie. es avoirs des deux joueurs A et B deviendront égaux à ( x y z) et ( x + y z) tandis que celui du joueur C deviendra égal à ( ) Puisqu après la troisième partie, chaque joueur possède, le triplet ( x, yz, ) est solution du système x y z = x y z = 5 ( x+ y z) = x+ y z = x y 7z x y + 7z = + = b) n résout x y z = 5 x= 5 + y+ z x+ y z = y z = 5 = + x y 7z + = y+ 6z = 5 5 = + x= 5 + y+ z = 75 x= 5 + y+ z 5 + z 5 y = 5 + z = + y = = = 5 = + z 6 = = + 5 z = 6 = + es avoirs respectifs des trois joueurs étaient donc de 75, 5 et y z x y z x+ y z = x y+ 7z Exercice n ) Résoudre le système x + x+ > revient à chercher les valeurs de la variable x solutions des deux x + inéquations simultanées. a première inéquation x + x+ > se résout en calculant le discriminant du polynôme P x x x. n obtient = = 9=, d où l existence de deux racines réelles distinctes = x = = et x + 9 = =. ( ) e signe de l expression P x = x + x+ est donc donné par et la première inéquation x + x+ > admet donc comme solutions S = ] ; [ a deuxième inéquation est ensemble des solutions du système x+ x, et admet donc pour ensemble de solutions S = ; +. x + x+ > x + est donc 5 S = S S = ] ; [ ; + = ; et z Page 7/6

18 ) a double inéquation 6 x + x 7 est en fait un système de deux inéquations du second degré : 6< x + x x + x 9> x + x 7 x + x Pour la première inéquation x + x 9>, le discriminant du polynôme P( x) = x + x 9 vaut 8 = ( 9) = 8= 9, d où l existence de deux racines réelles distinctes x = = et + 8 x = =. e signe de l expression P( x) = x + x 9 est : et la première inéquation x + x 9> admet donc comme solutions S = ] ; [ ; + Pour la deuxième inéquation x + x, le discriminant du polynôme Q x = x + x vaut 69 = ( ) = 69=, d où l existence de deux racines réelles distinctes x = = et x = =. e signe de l expression Q( x) = x + x est : et la deuxième inéquation x + x admet donc comme solutions 5 x + x 9> S = ; ensemble des solutions du système est donc : x + x 5 5 S = S S = ] ; [ ; + ; = [ ; [ ; Exercice n 5 ) a droite d équation x+ y = y = x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x+ y y x+ et x+ y y x+. e demi-plan défini par l inéquation x+ y < y< x+ est celui qui contient l origine du repère, car les =) coordonnées du point ( x = ; y vérifient l inéquation x + y < y < x +, en excluant la droite frontière. Dans le repère i ; ; j ci-dessous, il est grisé Page 8/6

19 ) ) a droite D d équation x 5 = x= 5 partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x 5 x 5 et x 5 x 5. e demi-plan défini par l inéquation x 5 > x 5 est celui qui contient ne contient pas l origine du repère, car les coordonnées du point ( x = ; y ) ne vérifient l inéquation x 5 x 5 (puisque x = ) = n exclut de surcroît la frontière D a droite D d équation x+ y = y = x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x + y y x + et x + y y x+. e demi-plan défini par l inéquation x + y < y< x + est celui qui contient l origine du repère, car les coordonnées du point ( x = ; y = ) vérifient l inéquation x + y < y < x + n exclut de surcroît la frontière D Dans le repère ( i ; ; j) ci-dessous, on a grisé l intersection de ces deux demi-plans D D ) a droite D d équation x+ y 5= y = x+ 5 partage le plan en deux demi plans de frontière commune D, définis par les inéquations respectives x+ y 5 y x+ 5 5 et x+ y 5 y x+. 5 e demi-plan défini par l inéquation x+ y 5< y< x+ est celui qui contient l origine du repère, car les =) 5 coordonnées du point ( x = ; y vérifient l inéquation x + y 5< y < x + n exclut de surcroît la frontière D a droite D d équation x y+ = y = x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x y+ y x+ et x y+ y x+. e demi-plan défini par l inéquation x y+ > y< x+ est celui qui contient l origine du repère, car les coordonnées du point ( x = ; y = ) vérifient l inéquation x y + > y < x +. n exclut de surcroît la frontière D D Page 9/6

20 a droite D d équation x+ y = y= x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune D, définis par les inéquations respectives x+ y y x+ et x+ y y x+. e demi-plan défini par l inéquation x+ y < y< x+ est celui qui contient l origine du repère, car les =) coordonnées du point ( x = ; y vérifient l inéquation x + y < y < x + n exclut de surcroît la frontière D Dans le repère ( i ; ; j) ci-dessous, on a grisé l intersection de ces trois demi-plans Exercice n 6 ) Voir ci-dessous ) Puisque x A x B, la droite (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Une de ses équations est de la forme yb ya y = mx+ p. Pour calculer m, on utilise la formule m = = = x B x A équation de (AB) est donc de la forme y = x+p. Pour calculer p, on utilise les coordonnées d un des deux points de (AB) (puisqu un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de cette droite) : Dans l équation y = x+ p, on remplace donc x et 8 y par x A et y A. Ainsi ya = xa + p p= ya + xa = + = 8 équation de (AB) est donc y = x+ x+ y 8= Puisque xb xc, la droite (BC) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Une de ses équations est de la forme y = mx+ p. Pour calculer m, on utilise la formule équation de (BC) est donc de la forme y = x+ p. yc yb m = = = x x = C B Page /6

21 Pour calculer p, on utilise les coordonnées d un des deux points de (BC) (puisqu un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de cette droite) : Dans l équation y = x+ p, on remplace donc x et y par x B et y y x p p y x. Ainsi B = + = = = B B B B équation de (BC) est donc y = x+ x y+ = Puisque xa x C, la droite (AC) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Une de ses équations est de la forme yc ya y = mx+ p. Pour calculer m, on utilise la formule m = = = x C x A 5 = 5 équation de (AC) est donc de la forme y = x+ p. 5 Pour calculer p, on utilise les coordonnées d un des deux points de (AC) (puisqu un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de cette droite) : Dans l équation y = x+ p, on remplace donc x et y 5 8 par x A et y A. Ainsi ya = xa + p p= ya xa = = équation de (AC) est donc y = x+ x 5y+ 8= 5 5 a droite (AB) d équation x+ y 8= partage le plan en deux demi-plans de frontière commune (AB) définis par les inéquations x+ y 8 et x+ y 8. e demi plan contenant l intérieur du triangle ABC est celui qui contient l origine. Puisque x + y 8<, ce demi plan est celui défini par l inéquation x+ y 8< a droite (BC) d équation x y+ = partage le plan en deux demi-plans de frontière commune (BC) définis par les inéquations x y+ et x y+. e demi plan contenant l intérieur du triangle ABC est celui qui contient l origine. Puisque x y + >, ce demi plan est celui défini par l inéquation x y+ > a droite (AC) d équation x 5y+ 8= partage le plan en deux demi-plans de frontière commune (AC) définis par les inéquations x 5y+ 8 et x 5y+ 8. e demi plan contenant l intérieur du triangle ABC est celui qui ne contient pas l origine. Puisque x 5y + 8>, ce demi plan est celui défini par l inéquation x 5y+ 8< intérieur du triangle ABC est l intersection de ces trois demi-plans, sans les frontières. x+ y 8< Il est donc défini par le système d inéquations x y + > x 5y + 8 < Page /6

22 Exercice n 7 a droite D d équation x+ y = y = x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune D, définis par les inéquations respectives x+ y y x+ et x+ y y x+. e demi-plan défini par l inéquation x+ y < y< x+ est celui qui contient l origine du repère, car les coordonnées de ( x = ; y = ) vérifient l inéquation x + y < y < x +. a frontière D est exclue. a droite D d équation x y+ = y = x + partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x y+ y x+ et x y+ y x+. e demi-plan défini par l inéquation x y+ < y> x + est celui ne contenant pas l origine du repère, car les coordonnées de ( x = ; y = ) ne vérifient pas l inéquation x y + < y > x +. a frontière D est exclue. a droite D d équation x+ y 6 = y = x+ 6 partage le plan en deux demi plans de frontière commune, définis par les inéquations respectives x+ y 6 y x+ 6 et x+ y 6 y x+ 6. e demi-plan défini par l inéquation x+ y 6 < y< x+ 6 est celui qui contient l origine du repère, car les coordonnées de ( x = ; y = ) vérifient l inéquation x + y 6 < y < x + 6 a frontière D est exclue. es trois droites, et D délimitent sept secteurs définis respectivement par les systèmes d inéquation : D D x+ y > x+ y > x y + >, x+ y > x+ y > x+ y < x y+ > x + y 6 >, x y + <, x y x + y 6 < + <, x y + >, x+ y < x+ y < x y+ >, x + y 6 < x + y 6 > x + y 6 > x y + < x + y 6 < x + y 6 < x+ y < e 8 ème secteur défini par le système d inéquations x y + < n admet d ensemble de solutions. x+ y 6> x+ y x y+ x+ y 6 sont en gris foncé : es domaines relatifs aux systèmes permettant l inégalité D D Page /6

23 Exercice n 8 ) cf graphique en fin d exercice achat associé au point E ( ;) fournit + 9 = 8 pains au chocolat et 9 + = 85 croissants. a demande est alors (largement) satisfaite achat associé au point F ( ;) fournit + 9 = 9 pains au chocolat et 9 + = croissants. a demande est alors satisfaite ) a) Si on note x le nombre de lots A achetés et y le nombre de lots B achetés, alors e nombre de pains au chocolats résultat de cet achat est alors égal à x + 9y e nombre de croissants résultat de cet achat est alors égal à 8x + y Si on veut disposer d au moins 8 pains au chocolats et de 96 croissants, il faut et il suffit que x+ 9y 8 x+ y 6. Seuls les points 8x+ y 96 x+ y M xy ; vérifiant x+ y 6 permettent de satisfaire la demande x+ y b) a droite D d équation x+ y= 6 y = x+ partage le plan en deux demi plans de frontière commune D, définis par les inéquations x+ y 6 y x+ et x+ y 6 y x+ e demi plan défini par l inéquation x+ y 6 y x+ est celui, frontière comprise, qui ne contient pas le x ; y point a droite D d équation x+ y= y = x+8 partage le plan en deux demi plans de frontière commune D, définis par les inéquations x+ y y x+8 et x+ y y x+ 8 e demi plan défini par l inéquation x+ y y x+8 est celui, frontière comprise qui ne contient pas le point x ; y a région du plan dans laquelle se trouvent les points M ( xy ; ) dont les coordonnées NE SNT PAS solutions du système x+ y 6 x+ y est grisée. ) a) a droite d équation x+ y= 9 y= x+ 9 passe par les points ( ;9) et (9 ;) 9 a droite d équation x+ y= y = x+ passe par les points ( ;) et ( ;) x Au vu du graphique, la partie de la droite 9 correspondant à est entièrement contenue dans le domaine non y solution du problème. n ne peut donc pas satisfaire la demande en achetant seulement 9 lots. En revanche, certains points de la droite (comme par exemple le point (6 ;5)) appartiennent à l ensemble de solutions du problème. n peut donc satisfaire la demande en achetant seulement 9 lots. b) a droite d équation x+ y= y= x+ et qui passe par les points ( ;) et ( ;) contient un point (6 ;) appartenant à l ensemble solution. Ce point (et donc cette commande de 6 lots A et lots B) est celle qui minimalise les frais tout en satisfaisant la demande. Page /6

24 Exercice n 9 x y = ) e système n est défini que si et seulement si x > et y >. n le résout par substitution : ln x+ ln y = y x y= x y x x y = = = ln x+ ln y= ln x + ln x ln x x = = x x = n résout l équation x x = x x = en calculant son discriminant = = 9+ 6= 5 d où l existence de deux solutions réelles distinctes x = = = et x = = =. a seule valeur compatible avec l ensemble de y = = définition du système est x = donc. Ainsi S = ; x = 5ln x+ ln y = 6 ) e système n est défini que si et seulement si x > et y > ln x ln y= 5ln x+ ln y = 6 n effectue un changement de variable en posant X = ln x et Y = ln y. e système devient alors ln x ln y= 5X + Y = 6 équivalent au système. Comme 5 ( ), ce système admet une unique solution X Y = 9X = 76 5X + Y = 6 5X + 6Y = 78 X + X Y = X 6Y = Y = 76 X = = 9 X =. Ainsi S = {( ;) } + Y = Y = = n «revient aux inconnues x et y» : X = lnx= x=e et Y = ln y = y = e Page /6

25 { } Finalement S = ( e ; e ) ln xy = ) e système n est défini que si et seulement si x > et y > (ln x)(ln y) = Puisque pour tout x > et y >, ln xy= ln x+ ln y, le système devient équivalent à n effectue un changement de variable en posant e système ln x+ ln y= (ln x)(ln y) = X = ln x et Y = ln y. devient alors équivalent au système. Y = X Y = X Par substitution, X( X) = X + X + = n résout l équation X + X + = X X = = = 6+ 8= 6 X + Y = XY = X = = = et X = = = 6. A chaque valeur de X correspond une valeur de Y : X = Y = X = ( ) =6 et X = 6 Y = X = 6= ln x+ ln y= (ln x)(ln y) = en calculant son discriminant d où l existence de deux solutions réelles distinctes X + Y = es solutions du système sont S = {( 6; );( ;6) } (Comme X et Y jouent des rôles symétriques, on XY = peut considérer qu il n existe qu une seule solution : 6 et ) n «revient aux inconnues x et y» : 6 X = 6 lnx= 6 x=e et Y = ln y = y = e, ou symétriquement 6 = ln = = et Y = 6 ln y = 6 y = e, X x x e { )} { } 6 6 Finalement S ( e ; e ) ; ( e ; 6 = e ou de manière symétrique S = ( e ; e ) Exercice n ) En posant X x y = e et Y = e, le système X + Y = 5 Y = 5 X Y = 5 =. X Y = X = 8 + X = + x y e + e = 5 x y e e = devient équivalent à n revient aux inconnues x et y en résolvant : x y X = e = x= ln et Y = e = y = ln= e système admet donc pour solution S = { ln ;} ) En posant X x y = e et Y = e, le système X + Y = Y = Y =. X + Y = X = Y X = x y e + e = x + y = devient équivalent à x n revient aux inconnues x et y en résolvant : X = e = qui n admet pas de solution dans e système n admet donc pas de solution réelle. x y x y ) Puisque ee e + x y xy = 5 =, on aura ee = e x+ y=. e système est donc équivalent au système x y ee = e xy = 5 x( x) = 5 x x= 5 x + x 5= x+ y = y = x y = x y = x n résout l équation x + x 5= en calculant son discriminant : Page 5/6

26 = 5 = 6, donc l équation x + x 5= admet deux solutions réelles distinctes x = = 5 et x = =. Si x = 5, alors y = x = ( 5) =. Si x = alors y = x = = 5 xy = 5. es solution du système sont donc S = x y {( 5; );(; 5) }. ee = e Puisqu elles jouent des rôles symétriques on peut affirmer que les deux nombres cherchés sont 5 et Page 6/6