Exercices corrigés. Fonctions ' 0 ' 2 ' 1. f f f f f f. f x x x. En revenant à la définition du nombre dérivé, 1.

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1 Eercices corrigés Fonctions Généralités - : Comme une interro - : Lecture graphique et interprétation - : Construction géométrique parabole - : Vrai/Fau sur les fonctions -5 : Vrai/Fau sur les dérivées -6 : Dérivées et variations -7 : Lecture graphique -8 : Tangente Polynômes -9 : Second degré (c) - : Second degré (c) - : Second degré (c) - : ème degré (c) - : Ficelle (c) Fonctions rationnelles - : Hyperbole (c) -5 : Tangente (c) -6 : Rationnelle (c) -7 : Rationnelle (c) -8 : Rationnelle (c) -9 : Rationnelle (c) - : Rationnelle 5 (c) - : Rationnelle 6 (c) - : Rationnelle 7 (c) - : Rationnelles 8 - : Asymptotes -5 : Factorisons (c) -6 : Approimations (c) -7 : Eclairement (c) Trigonométrie -8 : Sinus cardinal -9 : Arctangente - : Trapèze d aire maimale 5 Optimisation et modélisation 5- : Boite 5- : Coûts de production (c) 5- : Théorie de la relativité (c) 5- : Courbe+optimisation (c) 5-5 : Triangles (c) 5-6 : Polynômes de Legendre 5-7 : Point de Torricelli, Point de Fermat 5-8 : Un conejo Généralités - : Comme une interro La courbe représentative d une fonction f est donnée ci-après En chacun des points indiqués, la courbe admet une tangente qui est tracée En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes : - O ' ' ' f f f f f f Soit la fonction f définie sur ; par montrer que f est dérivable en Préciser f ' f En revenant à la définition du nombre dérivé, Eercices corrigés Fonctions

2 A l aide des formules de dérivation, vérifier que f est dérivable sur Préciser alors l ensemble des réels pour lesquels f est dérivable f est la fonction égale à 8 h Montrer que l approimation affine locale de En déduire des approimations des nombres suivants :,997 et, ; et eprimer f' pour h au voisinage de est Soit f la fonction trinôme telle que f a b c Déterminer les réels a, b, c tels que sa courbe C f admette au point A ; une tangente de coefficient directeur égal à ainsi qu une tangente horizontale au point d abscisse 5 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et déterminer leur sens de variation f, 5 6 f, f, f, f cos f, 6 Etudier les variations de la fonction f : sur (calcul de la dérivée, étude de son signe, variations de f) On donnera l équation de la tangente à C f au point d abscisse Il faut lire les coefficients directeurs sur la figure pour f (), f ( ) et f () : f f f f ' f ' f ' f( ) f() On calcule lim lim lim f '() On peut calculer avec la formule du produit, mais c est plus élégant de passer par / / f() d où L approimation locale de f est On applique avec f '( ) La dérivée n eiste que lorsque f( h) f( ) hf '( ) h ( h), avec ici : f( h) h h ( h) 8 h h ( h),997 (,) 8, 7, 96 et On doit avoir 5 f(), f '(), f ' d où le système f '( ), (,) 8, 8, a b c c ab a b b f( ) a b a b f f ', ( ) f f '( ), le dénominateur est positif, ( ) est positif à l etérieur des racines et (pour f n eiste pas) Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

3 f f ', est positif lorsque < (attention, f et f pas définies en et) ( ) ( ) ( )(6 ) f f ', on ne peut pas ( ) ( ) ( ) donner le sens de variation directement car on ne sait pas résoudre cos '( ) sin( ) ; plaçons nous sur f f 5,,,,,, et change de signe à chaque fois,5 y,5 ;, alors sin s annule pour -, ,5 5 '( ) f f f est du signe de + 5, soit positive lorsque 6 f( ) f '( ) 8 9 (8 9) ( )(8 ) 8 Un tableau de signes donne f positive sur ; ; Tangente à C f au point d abscisse : - : Lecture graphique et interprétation 7 5 y f '( )( ) f ( ) 8( ) 8 La courbe (C) ci-dessous est celle d une fonction f définie sur I = ] ; + [ a Lire les valeurs de f(), f() et f(9) b Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions de l équation f() = c Déterminer le signe de f sur I a Que vaut f (5)? (Justifier) b Donner une équation de la droite (T) Quel nombre dérivé peut-on en déduire? c Dresser le tableau de variations de f sur I c f est de la forme f() a b a Calculer f () en fonction de a et de c b Eprimer que A et B sont des points de C et qu en S la tangente est horizontale c En déduire un système d inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l epression de f() On admet que 6 f( ) a Montrer que la droite (D) d équation y = est asymptote à la courbe (C) en b Etudier la position de (D) par rapport à (C) 5 Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

4 c Déterminer l équation de la tangente à (C) au point d abscisse d Résoudre par le calcul l équation f() = et retrouver le résultat de la question b y 9 8 A 7 6 (T) S B a f() = 8, f()=, f(9) = b f() = lorsque =,5 ou = 7,5 environ c f est positive sur [ ;,5] [7,5 ; [ f est positive, sur [,5 ;7,5] f est négative a f (5) vaut car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale b (T) passe par ( ; 7) et par ( ; ) d où y 7 68 y y Comme (T) est tangente à la courbe au point ( ; ), on a f '(), coefficient directeur de (T) c f f a c f () a ( ) Eercices corrigés Fonctions

5 c c b et c f()=8 donc a b c 8, f(9) = donc 9a b, f '(5) donc a 8 6 a b c 8 8a b 8 8a b 8 a c 7a 8b c 8 88a 8b 8 a b b 6a c 6a c 6a c c 6 6 f( ) a y = est asymptote si lim f( ) ( ) or lorsque tend vers 6 f( ) ( ) qui tend bien vers 6 b Comme >, donc C est au-dessus de D 6 6 c f '( ) f '() 5 ( ) et f() : la tangente a pour équation y 5( ) ( )( ) 6 6 d f () 7 7 ; 7,,5 et 7,5 - : Construction géométrique parabole Avec Chamois Construire une droite horizontale passant par deu points A et B ainsi que la médiatrice (d) de [AB] passant par O, milieu de [AB] On place un point F sur (d) On prend H un point de (AB) et la perpendiculaire (D) à (AB) passant par H Construire la droite (FH) ainsi que la médiatrice (d ) de [FH] Construire le point M d intersection de (d ) et (D) Avec l outil lieu de points construire le lieu (P) des points M quand H parcourt (AB) Que pouvez-vous dire de (d ) par rapport à (P)? Soit N le symétrique de H par rapport à M, K le milieu de [FH] et K le symétrique de K par rapport à M Mesurer les angles HMK, FMK et NMK ' Déplacez le point H Que constatez-vous? 5 On considère que (P) est constitué d une infinité de tout petits miroirs qui se confondent en chaque point M de (P) avec (d ) et qu un rayon lumineu provenant de N aboutit en M Dans quelle direction ce rayon lumineu est-il réfléchi? Connaissez-vous une application concrète de ce phénomène? Eercices corrigés Fonctions 5

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7 y= On précise que pour tout [ ; +[, f( ) et que la droite y = est asymptote à la courbe de f en a L'équation f() = admet au moins trois solutions sur [ ; +[ b f change de signe en = c La dérivée seconde de f est positive entre et d Pour tout a [ ; [, l'équation f() = a admet au moins une solution dans [ ; 6] e Il eiste deu réels a et b tels que a est différent de b et f(a) = f(b) Question Soit a f( ) ( ), définie sur Alors : f '( ) b est un etrémum de f sur c Pour tout réel, f() f d La courbe de f a une unique tangente horizontale e lim f( ) Question Soit f une fonction définie et dérivable sur {} dont le tableau de variation est : + f() + a L'équation f () = admet eactement deu solutions b Pour tout a, l'équation f () = a admet au moins deu solutions c La courbe de f admet deu asymptotes horizontales d L équation f '() = admet au moins une solution e f( 5) = Question Soit h( ) définie sur {} et (H) sa courbe représentative Eercices corrigés Fonctions 7

8 h ( ) a lim b La courbe (H) est toujours en dessous de la droite (y = ) c La courbe (H) ne coupe jamais la droite ( = ) d La dérivée seconde de f (la dérivée de la dérivée) s annule au moins une fois e La courbe (H) est en dessous de (y = ) lorsque Question 5 Soit f( ) et (C) sa courbe représentative a Le signe de f est celui de b (C) coupe la droite (y = ) en au moins un point c f est toujours décroissante ; ; d Il eiste deu points de (C) où la tangente à (C) est parallèle à (y = ) e (C) a un seul point d ordonnée Question 6 Soit f une fonction définie et dérivable sur On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (C) admet la droite d équation y = comme asymptote en + Soit (T) la tangente à (C ) au point d abscisse Son équation est y = + a lim f( ) b lim [ f( ) ] c f () = d f() = e f admet une asymptote horizontale en + Question a Fau : L'équation f() = admet deu solutions sur [ ; +[ : et à vue de nez Après la fonction est strictement positive, donc elle ne s annule pas b Vrai : f change de signe en = puisque f est décroissante avant puis croissante après c Fau : Sur [ ; 6], f() > lorsque [, ] puis [, ] ce n est donc pas un intervalle d Fau : Si a est supérieur au plus grand des deu maimums de f, l équation f() = a n a pas de solution dans [ ; 6] e Vrai : Toutes les valeurs de qui ont même image satisfont à la question Il y en a plein Question Soit f( ) ( ), définie sur Alors : a Fau : f( ) ( ) f '( ) b Fau : f '( ) ( ), la dérivée s annule bien mais elle ne change pas de signe n est donc pas un etrémum de f sur Eercices corrigés Fonctions 8

9 c Vrai : Lorsque, f est positive et f est croissante, lorsque maimum en / et f() f d Fau : La courbe de f a deu tangentes horizontales, en et en / e Fau : lim f( ) lim f est décroissante donc on a un Question a Fau : L'équation f () = a une solution entre et puis en a deu entre et, donc solutions b Fau : Lorsque a >, on a solutions, pour <a< on en a deu et pour a< on en a c Vrai : La courbe de f a deu asymptotes horizontales : y = et y = d Vrai : f '() = admet au moins une solution, mais on ne peuut pas dire si c est ou plus e Fau : f( 5) = n importe quoi de positif Question h () a Fau : lim lim lim ( ) b Fau : La courbe (H) est en dessous de la droite (y = ) lorsque c Vrai : La droite ( = ) est asymptote de (H) d Fau : La dérivée seconde de f est e Fau : et ne s annule jamais 5 5 ( )( ) h( ) qui est négatif pour Question ; ; f( ) et (C) sa courbe représentative a Vrai : ( )( ) ( )( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eercices corrigés Fonctions 9

10 b Vrai : f( ) c Fau : on a puisque son discriminant est positif d Fau : la dérivée est toujours positive, elle ne peut valoir e Fau :,8 ; la courbe montre bien qu il y a deu points possibles y Question 6 a Vrai : lim f( ) lim b Fau : lim [ f( ) ] c Vrai : La tangente en est y = + donc f () = d Fau : La tangente en est y = + donc f() = e Fau : il ne peut y avoir deu asymptotes au même endroit -5 : Vrai/Fau sur les dérivées Répondre par Vrai ou Fau et justifier la réponse La dérivée sur de la fonction La dérivée de f : ( ) est f : (7) est La fonction f( ) est dérivable sur f '( ) ; ( 7) La dérivée sur de la fonction f : cos est f '( ) sin 5 5 La courbe représentant la fonction f, définie sur ;, par f ( ) cos d abscisse une tangente parallèle à l ae des abscisses admet au point Fau : La dérivée de Vrai :La dérivée de f : ( ) est Fau : La dérivée de f( ) est dérivable sur ; f : (7) est ( 7) (utiliser la dérivée de u n ) f '( ) ( ) f '( ) qui n eiste pas en, par contre elle est Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

11 Vrai : vous savez bien votre cours 5 Vrai : la dérivée de f est f '( ) sin et f ' sin sin -6 : Dérivées et variations 6 points Déterminer l ensemble de définition, calculer les fonctions dérivées, préciser le sens de variation des fonctions suivantes : f b a a f ; Ef g( ) c h () f () + f() b ; E ; g g'( ) g () + g() c E h ; h'( ) 6 6 h () h() -7 : Lecture graphique Montrez à l aide de votre calculatrice que l'équation admet une solution unique sur l'intervalle ; Donner une valeur approchée de à près Toute eplication valable sera acceptée même si la rédaction est moche Eercices corrigés Fonctions

12 Traçons la courbe de la fonction, y f sur l'intervalle ;,,8,6,,,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95 Comme on le voit la fonction prend la valeur au environs de,68 ; plus précisément on a On a donc,68-8 : Tangente f(,68)=, et f(,68) =,96 Déterminer la tangente à la courbe (C) d'équation y = f() = + + au point A(, ) Montrer que cette droite est aussi tangente à (C) en un autre point que l'on précisera Toute eplication valable sera acceptée même si la rédaction est vilaine On a f ' d où f ' et y y f ; la tangente est donc Traçons la fonction f ainsi que la tangente en ; nous voyons alors qu en elle est tangente à f de nouveau On vérifie par le calcul : équation : f ' et y y C est bien la même f d où la tangente en a pour On pouvait également cherche les points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur : f ',, Mais la tangente en a pour équation y et ne convient donc pas Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

13 y - -,5 - -,5,5, Polynômes -9 : Second degré (c) Soit les fonctions f et g définies sur R par : f( ) et g( ) Montrer que la courbe C f représentative de f est l image de la parabole P d équation translation dont on indiquera le vecteur Montrer que la courbe représentative de g est l image de la parabole P ' d équation une translation dont on indiquera le vecteur Tracer les courbes C f et dans un même repère (unité graphique : cm) y par une y par Déterminer algébriquement les coordonnées des points d intersection de C f et, puis vérifier les résultats graphiquement 5 Déterminer algébriquement le signe de la différence f( ) g( ) Donner une interprétation graphique de ce signe f( ) La courbec f représentative de f est donc l image de la parabole P d équation y par la translation de vecteur u i j g( ) 5 La courbe représentative de g est l image de la parabole P' d équation y par la translation de vecteur v i 5j Tracé des deu paraboles C f et Eercices corrigés Fonctions

14 Les coordonnées y ; des points d intersection de C f et vérifient : y y y y y y y 6 Les coordonnées des points d intersection de C f et sont donc ; f( ) g( ) 6 5 et ;5 6 est un trinôme du positif à l etérieur de ses racines et Sur ; et sur ;, f( ) g( ) et la courbe C f est donc au-dessus de la courbe Sur ;, f( ) g( ) et la courbe est donc au-dessus de la courbe C f - : Second degré (c) Pour Noël, les jumeau Sophie et Robin ont reçu des jouets : Sophie, un bonhomme au bout d un parachute et Robin un arc avec des flèches Sophie se hâte de lancer son parachute du haut de leur immeuble Au même moment, Robin, qui s est installé au pied de l immeuble, lance une flèche verticalement La hauteur du parachute à l instant t (t en s) durant la descente est donnée par la fonction p définie par p( t) 5t 5, La hauteur de la flèche à l instant t est donnée par la fonction f définie par a Etudier les variations de f sur f( t) 5t t b Construire la courbe P représentative de la fonction f Vous ferez le tracé sur l intervalle [ ; ] en prenant les unités suivantes : cm sur l ae des abscisses, cm sur l ae des ordonnées a A quels instants la flèche est-elle à une hauteur de,75 m? b A quel instant la flèche retombe-t-elle sur le sol? Le drame : on suppose dans cette question que la flèche rencontre le parachute a Représenter dans le même repère la fonction p b Déterminer à quel instant et à quelle hauteur la flèche transperce le parachute a f '( t) t t Les limites sont celle de 5t, soit f' f 5 a f( t) 5t t,75 t t,75, t,5 ou t, 5 b Lorsque f(t) =, soit à t = a Eercices corrigés Fonctions

15 b f( t) 5t t 5t 5, 5t 5t 5,, soit t =, (lorsqu elle monte) ou t =,6 (lorsqu elle descend) - : Second degré (c) On considère un point M sur le diamètre deu cercles de diamètre AM et AB d un cercle Il détermine MB On pose AB et AM Montrer que l aire A ( ) de la surface colorée est définie par : A( ) Déterminer la position de M pour laquelle A ( ) est maimale Eiste-t-il une position de M pour laquelle A ( ) soit strictement supérieure à la somme des aires des deu disques de diamètre AM et MB? Déterminer les positions de M pour lesquelles A ( ) soit inférieure à la moitié de l aire des deu disques de diamètre AM et MB L aire A ( ) de la surface colorée est définie sur ; par : AB AM MB A( ) A: décroissante sur ; car le coefficient du La position de M pour laquelle A ( ) est maimale est donc le milieu du diamètre ; et est une fonction du qui est croissante sur est négatif A admet donc un maimum en = égal à AB A ( ) est strictement supérieure à la somme des aires des deu disques de diamètre signifie que : ; soit après calculs, AM et Il est donc impossible de trouver une position de M vérifiant le problème Or A B MB Eercices corrigés Fonctions 5 GuesmiB

16 A ( ) est inférieure à la moitié de l aire des deu disques de diamètre AM et ; soit après calculs, 8 Or 8 est un trinôme du positif à l etérieur de ses racines Les positions de M vérifiant le problème sont donc telles que - : ème degré (c) f Soit f la fonction définie sur par : Etudier les variations de f sur (sens de variation et limites) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe position relative à C f Soit la parabole P d équation : y a Préciser les éléments caractéristiques de P MB signifie que : et ; ; C f de f au point d abscisse et préciser sa b Vérifier que le point A ; est un point qui appartient au deu courbes C f et P c Etudier la position de C f par rapport à P Tracer les courbes C f et P dans un même repère est dérivable sur, de dérivée : f ' f : a Sur, f' b a le signe de est positif (coefficient de c f est donc croissante sur ; d lim lim et positif) à l etérieur de ses deu racines et ;, et f est décroissante sur et sur lim lim Une équation de la tangente T à la courbe y f Or C f est donc au-dessus de T sur sur ; et ; et Soit la parabole P : y a P est une parabole de sommet ; b f et c f ; C au point d abscisse est : y sur ; C f est donc au-dessous de T sur S, d ae la droite : et verticale Le point ; ; soit ; A est un point des deu courbes Cf et P f On vérifie que est racine de Après division, Or est toujours positif car son discriminant est négatif et le coefficient de est positif est donc du signe de C f est donc audessus de P sur ; et C est donc au-dessous de P sur ; Courbes C f et P f Eercices corrigés Fonctions 6

17 - : Ficelle (c) Avec une même ficelle de longueur m, on forme un triangle équilatéral de côté et un carré de côté a On note s la somme des aires du triangle et du carré Montrez que s( ) ( ) 6 Pour quelle valeur de, s est-elle minimale? Pour la valeur de trouvée, quelle est la valeur de a? a base hauteur Aire du triangle équilatéral : ; pour l aire du carré il faut le côté ; l comme on a déjà consommé de ficelle avec le triangle, il reste l pour faire côtés, soit a L aire totale est donc s( ) ( l ) ( ) On calcule s'( ) ( )( ) s s annule en qui est la valeur pour laquelle s est minimale 9 9 a 9 9 a 9 Fonctions rationnelles - : Hyperbole (c) 9 c Déterminer les réels a, b, c pour que la fonction f() a b passe par A( ; ), admette en ce point une tangente horizontale et aie au point d'abcisse une tangente parallèle à la droite d'équation y = + Soit g( ) a Etudier les variations de g ; correspond-t-elle à la fonction f du? b Déterminer les limites de g au bornes de son ensemble de définition Quelles conclusions graphiques en tirez-vous? c Montrez que la courbe (C) de g a une asymptote oblique (D) et précisez la position de (D) par raport à (C) d Déterminez la tangente (T) à (C) au point d abscisse Déterminez la position de (T) par rapport à (C) e Tracez soigneusement (T), (D) et (C) dans un repère orthonormé : unités : cm (ou carreau) c f() a b passe par A( ; ) si f() a b c ; on calcule elle a en ce point une tangente horizontale si c f '() a a c () c f '( ) a ( ) Eercices corrigés Fonctions 7

18 elle a au point d'abcisse une tangente parallèle à la droite d'équation y = +, soit f '(), le c a coefficient directuer de la droite On a donc a a a c On termine avec a b c b b, soit Soit g( ) f() ( ) a g n a pas la même écriture que f mais c est la même décalée de ves le bas ( ) ( ) g'( ) ( ) ( ) ( ) Tableau de variation : + g + + 7/ + + g 7/ b & c En et le terme tend vers, la fonction g se comporte comme D : donc son asymptote : lim g( ) et lim g ( ), lim g ( ) A gauche de on a : g(,99)=, donc limite = ; à droite de on a g(,)=, donc limite = La droite = est asymptote verticale Lorsque >, de D d (T) : est positif, C est au dessus de D, lorsque <, y g'()( ) g() ( ) y qui est est positif, C est en dessous 5 69 ( ) g( ) Y-a-plus qu à faire le ( ) ( ) ( ) ( ) signe qui est très facile Eercices corrigés Fonctions 8

19 y : Tangente (c) Soit la fonction f( ) Quel est l ensemble de définition de f? Calculer la dérivée f de f Trouver une équation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au point d'abcisse Etudier la position de (C) par rapport à (T) Que peut-on dire de la tangente (T') à (C) au point d'abcisse? 5 Déterminer à l'aide de (T) une valeur approchée de f(,) puis de f(,96) ne s annule jamais donc ensemble de définition = y f '()( ) f() ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) f( ) qui est du signe de ( ) ( ) ( ) Donc lorsque est positif C est au-dessus de T, lorsque est négatif, C est en dessous de T La fonction f est paire, il y a symétrie de C par rapport à l ae vertical donc 5 Au voisinage de, f( ) donc f(,),5,9 et f(,96),8,5 On peut comparer avec des valeurs plus eactes :,9 et,5-6 : Rationnelle (c) a Soit P( ) Déterminez une racine évidente de P, factorisez P et déterminez son signe Eercices corrigés Fonctions 9

20 5 b Soit f (), soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité cm Déterminez son ensemble de définition, calculez sa dérivée et dressez son tableau de variations c c Trouvez a, b, c tels que f( ) a b Montrez que C a une asymptote D et étudiez la position de C par rapport à D Tracez D et C a Soit P( ) Quand on dit évident c est que c est,,,,, etc Ici marche très bien : P() On peut alors mettre ( ) en facteur : développe et que l on identifie les coefficients, on a alors : recommencer, or on a de nouveau racine évidente de P( ) ( )( a b 9) où il reste à trouver a et b Si on P( ) ( )( 7 9) Il nous faut 7 9, ce qui donne 79 ( )( 9) Le discriminant du dernier terme est négatif, donc signe de +, positif Conclusion b P( ) ( ) ( 9) est toujours positif 5 f () est définie sur puisque ( )( ) ( 5)( ) f '( ) ( ) ( ) c a b a b c c f() a b, on doit donc avoir a =, b =, c = 5 b = 8 f s écrit 8 donc f( ) 8 On en déduit les limites à l infini : lim f( ) lim et lim f ainsi que 8 l asymptote y = : lim f( ) ( ) lim ; comme cette différence est positive, on a C audessus de D tout le temps Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

21 6 y : Rationnelle (c) On considère la fonction f définie sur { } par f( ) Calculer f (), déterminer son signe et et étudier les variations de f sur { } Déterminer l'équation de la tangente D à la courbe au point d'abscisse a Résoudre l équation b Résoudre l inéquation ( ) Quelle est la position de la courbe C f de f par rapport à la droite D? c Justifier que la tangente D ne recoupe pas la courbe C f dans ] ; [ Résoudre les équations : f() =,5 ; f() =, ( ) [( )] ( )( ) f '( ) ( ) ( )( ) ( ) positive à l intérieur de ;, négative à l etérieur f f + / f '(), f(), la tangente a pour équation y = a Eercices corrigés Fonctions

22 ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lorsque est inférieur à, C f est au-dessus de D, lorsque est supérieur à, C f est en dessous de D c Les seuls endroits où la courbe coupe D c est lorsque la différence f( ) = uniquement change de signe, soit pour C est du second degré bête et méchant : f() =,5 n a pas de solutions ; f() =, a pour solutions 5 et 5-8 : Rationnelle (c) Soit f la fonction définie sur \{} par : f Etudier le sens de variation et les limites de f Dresser le tableau de variations de f Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout, c f a b Démontrer que la courbe C f de f admet une asymptote oblique D en et en La courbe admet-elle une autre asymptote? 5 Montrer que le point A ; est un centre de symétrie de la courbe C f f : est dérivable sur \{}, de dérivée : f' Sur \{}, f' a le signe de car est positif (coefficient de positif) à l etérieur de ses deu racines et f est donc croissante sur ; et sur ;, et f est décroissante sur ; et sur ];] * lim lim lim et lim lim lim lim lim * lim et lim lim lim f f 6 et Après division, f' Pour tout f 6, f C f Eercices corrigés Fonctions

23 La courbe C f admet une asymptote verticale d équation car lim et lim f La courbe C f de f admet pour asymptote oblique la droite D: y en lim lim et en A ; est un centre de symétrie de C 5 f car : f f et D f = \{} est centré en -9 : Rationnelle (c) On considère le polynôme a Vérifier que b Etudier le signe de P() P( ) P( ) ( )( ) On considère la fonction f définie sur {} par f () et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (en abscisse cm pour unité, en ordonnée cm pour unités) a Déterminer les limites de f en +, en et en Préciser les asymptotes verticales et horizontales éventuelles b Montrer que P ( ) f'( ) ( ) c Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation d Tracer C dans le repère précisé ci-dessus a Pour quelle abscisse a la tangente au point d abscisse a est-elle horizontale? Justifier b Déterminer l équation de la tangente T à C en = et la tracer dans le même repère que C Trouver a, b, c et d tels que d f( ) a b c 5 On admet que f( ) On appelle g la fonction définie par courbe représentative g( ) et P sa a Déterminer les limites en et en de f() g() Que peut-on en déduire sur les courbes C et P? b Etudier la position relative de C et P c Tracer P dans le même repère que C et T en utilisant les résultats des questions a et b P( ) a P( ) ( )( ) b Pour le trinôme, on a ( ) d où les racines, Un petit tableau de signes nous donne P( ) ; ; f () Eercices corrigés Fonctions

24 a En + et en f se comportre comme et tend vers ; en, on a f(,99) 9 et f(, ) 9 d où lim f ( ) et lim f ( ) Il n y a pas d asymptote horizontale, mais il y en a une verticale en = b ( )( ) ( ) P( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c Le sens de variation de f dépend uniquement du signe de P On a donc le tableau de variations suivant d En fin de devoir f f, 9, a La tangente est horizontale lorsque la dérivée s annule, soit pour,, b y f '()( ) f() y ( ) 8 d a a b b c c d a ( b a) ( c b) c d f() a b c d où a a b a b a par identification des coefficients : cb c b d c d c 5 f( ) g( ) donc tend vers à l infini ; lorsque >, f() g() est positif et C est au-dessus de P ; lorsque <, f() g() est négatif et C est en dessous de P Les deu courbes sont asymptotes Eercices corrigés Fonctions

25 y : Rationnelle 5 (c) 6 On considère la fonction f () et sa courbe C dans un repère orthonormé a b c a Trouver a, b et c tels que f() b Ensemble de définition, parité, variations de f c Limites de f, asymptotes à (C) d Position de (C) par rapport à D (y = ) Tracer D et C e Résoudre f() = a a b c f() ( ) a( ) b( ) c( ) ( a b c) ( b c) a, soit a, b c, a b c 6 a, b c On a donc b E,, f, f est impaire, f() f '( ) donc f croissante ( ) ( ) c A l infini f() est comme donc lim f, lim f, lim f( ), la droite D(y = ) est asymptote de C Pour les autres limites vérifiez les signes des infinis : asymptotes en, et Eercices corrigés Fonctions 5 GuesmiB

26 ( ) ( ) ( ) 5 d f() C et D se coupent pour ( )( ) ( )( ), pour la position, tableau de signes 5 e On reprend 6 f ( ), soit X 6 ; les racines sont alors X 6X X, X Or on peut remarquer que ( ) d où les quatre solutions :,,, y : Rationnelle 6 (c) Partie A ² a b Soit la fonction numérique de la variable réelle telle que : ( ) ² Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de soit tangente au point I de coordonnées ( ; ) à la droite (T) d équation y = + Partie B Soit f la fonction numérique de la variable réelle telle que : représentative dans un repère orthonormal d unité graphique cm Montrer que pour tout réel, on a ² f ( ) ² et (C) sa courbe f( ) ; et étant deu réels que l on déterminera ² Etudier les variations de f Préciser ses limites en l infini et en donner une interprétation graphique Dresser le tableau de variations de f Déterminer l équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d abscisse Etudier la position de (C) par rapport à (T) Eercices corrigés Fonctions 6

27 Démontrer que I est centre de symétrie de (C) 5 Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé Partie A ² a b ( ) est tangente en I si () et '() (même coefficient directeur que la droite T) ² (6 a)( ) ( a ) () b et '( ) '() a ( ) Partie B Ensemble de définition ( ) f ( ), ² ² ( ) ( ) ( ) f'( ) d où les racines et Négatif à l etérieur, positif à l intérieur ( ) ( ) A l infini qui tend vers donc f tend vers, asymptote horizontale y = La tangente a évidemment pour équation y = + On fait le signe de ( ) f( ) ( ) qui est du signe de, soit (C) est au dessus de (T) pour et en-dessous pour Pour que le point ( uv, ) soit centre de symétrie de (C) il faut que f( u ) f( u ) v ; ici ça donne : f( ) f( ) 6, ok! - : Rationnelle 7 (c) Soit f la fonction définie sur {} par f () Etudier les limites de f au bornes de son ensemble de définition Eercices corrigés Fonctions 7

28 En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera une équation a Vérifier que, pour différent de, f( ) Peut-on en déduire que la droite d équation y = est asymptote oblique à la courbe C? Justifier c b Trouver les réels a, b et c tels que, pour différent de, f() a b En déduire que C admet, au voisinage de et de, une asymptote D dont on donnera une équation c Etudier suivant les valeurs de la position de C par rapport à D Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation Construire la courbe C et ses asymptotes lim lim lim ; lim, lim : asymptote verticale = a b ( ) f( ) ; on ne tire aucune information de cette écriture car tend vers l infini à l infini a c ( a b)( ) c a ( b a) b c a b b a d où c b f( ) En et en, tend vers, on a une asymptote D d équation y c Lorsque >, donc C est au-dessus de D, lorsque <, donc C est en dessous de D ( )( ) ( )() 7 f '( ) Le discriminant est ( ) ( ) ( ) négatif, f est du signe de, soit négative f' f Eercices corrigés Fonctions 8

29 - : Rationnelles 8 Etudier les variations de la fonction f () ( ) Montrer que f( ) Etudier la position de la courbe (C) de f par rapport à la droite (D) ( ) d équation y En quel(s) point(s) la tangente à (C) est elle parallèle à (D)? Tracer cette (ces?) tangente(s), (D) puis (C) 5 Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l équation f p où p 6 Résoudre la question précédente par le calcul 7 Lorsqu il y a deu solutions, il y a deu points d intersection entre la droite y p et (C) Déterminer l abscisse du point P, milieu de ces deu points d intersection La fonction f est dérivable sur son domaine de définition comme fonction rationnelle ( ) ( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) ( ) ( ) La dérivée dépend du signe de (-) / (-), les autres facteurs étant positifs f () + + f() 7 On peut par eemple effectuer la division des polynômes : Eercices corrigés Fonctions 9

30 hors programme + ² Etude du signe de f() (+) : lorsque < /, cette différence est négative, donc la courbe est en dessous de la droite (on démontrerait que cette droite est asymptote à la courbe en démontrant que la limite de la différence lorsque tend vers l infini est zéro) Lorsque > /, la courbe est au-dessus de la droite Remarque : La courbe et la droite se coupe au point d abscisse / et d ordonnée 8 Le nombre dérivé de f en J est donc égal au coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d abscisse J : c est Soit à résoudre l équation : J ( J ) J J J J J J J J J ( J ) f '( ) ( ) ( ) f( J ) L équation de la tangente à la courbe en J est : y ( ) f( ) y y J J Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

31 5 Lorsque p < /, l intersection de la courbe et de la droite y p est vide Lorsque p > / (avec p ), il y a deu solutions à l équation, qui sont les abscisses des points intersection de la courbe et de la droite Lorsque p =, il y a un seul point d intersection, il a pour abscisse / (voir ) 6 On doit résoudre l équation : f( ) p ( p) ( p)( ) ( p)( ) ( ) p p p ( p) ( p) p Remarques et interprétation : c est une équation du second degré de paramètre p Discutons du nombre de solutions suivant les valeurs de p : Si p =, l équation est du premier degré La solution est = / ( p) p( p) pp p 8p p Si p < /, on a <, et l équation n a pas de solution (la droite et la courbe ne se coupent pas) Si p = / on a =, la courbe est tangente à la droite Si p > / il y a deu solutions qui sont les abscisses de deu points M et N Les solutions sont : ( p) p ( p ) ( p) p ( p) p p p p P M N P ( p ) ( p ) p p p p - : Asymptotes Soit la fonction 5 f( ) ( ) a Trouvez les réels a, b, c, d tels que définie sur { } c d f() a b ( ) b Déterminez les limites de f au bornes de son ensemble de définition c Précisez (en justifiant) les deu asymptotes à la courbe C de f d Etudiez les variations de f Pour montrer la puissance d un logiciel de calcul, nous faisons la correction avec Maple : > restart;with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > f:=->(^+*^+*+5)/(+)^; Question a > f:=unapply(convert(f(), parfrac, ),); (On convertit f sous forme de somme de fractions) 5 f := ( ) 7 f := ( ) Eercices corrigés Fonctions

32 > g:=unapply(op(,f())+op(,f()),); (Ceci permet de récupérer l'asymptote sous forme de fonction) g := Question b > limit(f(),=infinity); > limit(f(),=-infinity); > limit(f(),=-,left); > limit(f(),=-,right); Donc la droite = - est asymptote de C Question c > limit(f()-g(),=infinity);limit(f()-g(),=-infinity); Donc D(y = +) est asymptote de C en + et - inf Position de C par rapport à D : > > solve(f()-g()>=); Donc C est au-dessus de D lorsque > -/7 Question d > solve(ff()=);solve(ff()>=);f();f();f(-);,, - Eercices corrigés Fonctions 5 9,, > u:=plot(f(),=-,y=-,color=black): > v:=plot(g(),=-,y=-,color=red): > display({u,v}); - RealRange, 7 > ff:=d(f);simplify(ff()); 7 6 ff:= ( ) ( ) ( ) ( ) RealRange (, -), RealRange ( Open( -), ), RealRange (, ) -7

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34 a Vérifiez que b Déduisez-en avec l aide du que k( ) sur la feuille c Donnez un encadrement de à l aide de votre calculatrice pour de f( ) k( ) lorsque? f( ) Tracez la courbe représentative de b a( ) b aba f( ) a d où a et ba On a donc ( ) f '( ) donc positive, f est croissante ( ) ( ) Que pouvez-vous dire f ( ) Lorsque tend vers l infini, tend vers donc f tend vers Lorsque tend vers, <, tend vers (f(,99)=) ; lorsque tend vers, >, (f(,)= ) tend vers h( ) ; h'( ) 6 ( ) donc croissante après /, décroissante avant / h( / ) / On cherche le signe des epressions * f( ) g( ) Lorsque < f( ) g( ) donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g ; c est le contraire lorsque > * f( ) h( ) qui est du signe de, soit positif (courbe de f au-dessus de courbe de h) lorsque [, [, négatif sinon Eercices corrigés Fonctions

35 6 y 5 k f h g - -,5,5 - On se demande s il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe «ressemblerait» à C au alentours de ( )( ) a b f( ) c En fait il faut montrer que,5,7 est croissant pour On peut dire que f( ) k( ) vaut entre,5 et,7 lorsque approchée de f sur cet intervalle -7 : Eclairement (c) ; ceci dit on a alors Ceci donne une valeur En Physique il y a une loi disant que «lorsqu un point M est situé à une distance d d une source lumineuse p de puissance p, l intensité de l éclairement en M est égale à d» Sur Terre nous recevons une intensité lumineuse d environ watt/m La distance Terre-Soleil est de 5 millions de km Quelle est la puissance lumineuse du Soleil? On considère deu sources lumineuses ponctuelles A et B de même puissance p et telles que AB = l Soit M un point de [AB], on pose AM= avec ] ; l [ Eercices corrigés Fonctions 5 GuesmiB

36 a Montrer que l intensité de l éclairement en M est p p I () ( l ) b Calculer la dérivée I'( ) et montrer que I est minimale lorsque M est au milieu de [AB] (On rappelle que a b = (a b)(a + ab + b )) Attention, il faut convertir les km en m Wm ps p,5 W S (, 5 ) a La puissance reçue en M provenant de A est reçue en M est b On calcule I () : p p I () ( l ) p, celle provenant de B est ( l ) ( ) ( )( l ) ( l ) I( ) p p p p ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ( l) l l l p p ( l ) ( l ) ( l) l l p ( l ) p donc l intensité (En fait on pouvait s arrêter au début de la deuième ligne, ou même à la deuième égalité pourquoi?) Le terme l l a pour discriminant l l l et est donc toujours positif Donc le signe l de I ne dépend que de celui de l, négatif pour et positif après Il s agit donc bien d un minimum, obtenu lorsque M est au milieu de [AB] Trigonométrie -8 : Sinus cardinal On désigne par g la fonction numérique définie sur [ ; ] par g( ) cos sin a Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations En déduire le signe de g sur [ ; ] b Soit f la fonction définie sur [ ; ] par Etude de f en f() sin f( ), Etudier les variations de f sur ] ; ] a Prouver que, pour tout réel, sin 6 (on pourra introduire la fonction définie par ( ) sin, étudier ses variations et déterminer son signe) 6 b Prouver que f est dérivable en et calculer f () Construire la courbe représentative de f a g'( ) cos sin cos sin qui est négative sur [ ; ] ; g est décroissante, donc g( ) g() cos sin, g est négative sur [ ; ] Eercices corrigés Fonctions 6

37 sin cos sin g () b f( ) f '( ), donc négative La limite de f en est (cours de Première), en f vaut a ( ) sin '( ) cos ''( ) sin '''( ) cos 6 Comme ''', '' est croissante et ''( ) ''(), donc ' est croissante et '( ) '(), donc est croissante et ( ) () Conclusions : tout d abord ''( ) sin sin ( ) sin sin sin, puis sin f( ) f() sin b Pour prouver que f est dérivable en, il faut calculer lim lim lim ; or on a sin sin sin sin lim lim sin Conclusion lim f '() En fait ici on n a que la dérivée à droite puisqu on a, mais c est la même chose pour négatif car f est paire, donc les dérivées à gauche et à droite sont identiques, et la tangente est horizontale, y,8,6,, , -, La fonction sin est très importante dans de nombreu domaines des mathématiques et de la physique On l appelle Sinus Cardinal (est-ce à cause de la forme de la courbe qui ressemble un peu à un chapeau de cardinal?), noté sinc Eercices corrigés Fonctions 7

38 -9 : Arctangente Soit la fonction f( ), C sa courbe Etude de f a Quel est l ensemble de définition de f? Montrez que C est symétrique par rapport à l ae (Oy) Calculez la dérivée f de f b Trouver une équation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au point d'abcisse c Etudier la position de (C) par rapport à (T) d Que peut-on dire de la tangente (T') à (C) au point d'abcisse? On considère la fonction tangente définie sur ; : g( ) tan a Montrez que sa dérivée est g'( ) tan b Donnez une équation de sa tangente en O c On appelle la courbe de tangente sur ; et la courbe symétrique de par rapport à la droite (y = ) Tracez et dans un repère orthonormal ( O ; i, j) d La courbe est la courbe représentative d une fonction appelée arc tangente, notée arctan (tan sur votre calculatrice) et telle que Indiquer sur la figure les valeurs de arctan, arctan(tan ) tan(arctan ) arctan, arctan Vérifiez avec votre calculatrice e De manière purement graphique, tracez la tangente à au point d abscisse et donnez son équation f On admettra le résultat suivant : la dérivée de tan u ; résultat du e Etude de f où u est une fonction à valeurs dans Montrez que la dérivée de arctan() est f( ) Vérifiez le est u'( ) tan u( ) a L ensemble de définition est car ne paut jamais être nul Par ailleurs on a f( ) f( ) donc f est paire et C est symétrique par rapport à l ae (Oy) f '( ) ( ) b (T) y f '()( ) f() ( ) ( ) ( ) c f( ) Ceci est positif et ( ) ( ) ( ) donc (C) au-dessus de (T) lorsque est positif, négatif et donc (C) en dessous de (T) lorsque est négatif d Comme f est paire, c est la même chose à l envers en Eercices corrigés Fonctions 8

39 ,6 y,,,8,6,, On considère la fonction tangente définie sur ; : g( ) tan sin a tan donc cos b Tangente en O : y ( ) y c (sin )'(cos ) (cos )'(sin ) cos ( sin ) g'( ) tan cos cos cos 5 y d Comme on a tan =, on a arctan = De même tan arctan et arctan Eercices corrigés Fonctions 9

40 e Comme (y = ) est la tangente à en et que c est l ae de symétrie entre les deu courbes, c est la tangente à en également Pour, on fait la tangente symétrique à celle en y intervertit simplement et y) pour tan ; comme cette dernière a pour équation, celle en pour arctan a pour équation y y (on y f Comme on a la dérivée de tan u Or tan arctan tan arctan ' d où, appliquons cela à tan[arctan()] : tan arctan ' arctan( ) ' tan ( ) arctan( ) ' tan (arctan ) arctan( ) ' tan (arctan ) - : Trapèze d aire maimale On considère un trapèze ABCD tel que les angles ABC et DCB aient la même mesure Déterminer les valeurs de pour que le trapèze ABCD ait une aire maimale sachant que les côtés AB, BC et CD mesurent un mètre Eercices corrigés Fonctions GuesmiB

41 ABC=77,856 -ABC=-77,856 u v A D B H C On pose AH ABC, alors sin AH ABsin sin ; AB BH cos BH cos AD cos AB AD BC cos L aire est alors AH sin cos sin f On dérive f : f ' sin cos cos sin cos cos cos cos ; les racines du trinôme sont et /, on cherche donc tel que cos L aire mai est alors 5 Optimisation et modélisation 5- : Boite Partie I : Soit V la fonction définie sur par V( ) 8 Etudier les variations de la fonction V sur Tracer la représentation graphique de la fonction V dans un plan muni d un repère orthogonal On utilisera les unités graphiques suivantes : sur l ae des abscisses cm pour unité et sur l ae des ordonnées cm pour unités Partie II : Dans un carré de côté, on découpe dans les quatre angles des carrés de côté pour construire le patron d un pavé droit sans couvercle Eercices corrigés Fonctions

42 Justifier que l ensemble des valeurs que peut prendre est l intervalle [ ; 6] Montrer que le volume du pavé est donné par la formule V() En déduire qu il eiste une valeur de qui rend le volume maimal Que vaut alors ce volume? Partie I : V( ) 8 Variations de la fonction V sur : V '( ) 96 8 )( 6 Donc deu racines, et 6, le trinôme est du signe de a, soit positif sur ; 6 ; et négatif sur ;6 6 f f Eercices corrigés Fonctions

43 y Partie II : Evidemment, représente ce qu on enlève sur le côté, il faut donc que 6 V Base Hauteur ( ) ( ) V( ) V est maimum lorsque = ; le volume vaut alors 8 cm 5- : Coûts de production (c) Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre d objets Chaque objet est vendu euros Le coût de production unitaire U() eprime le coût de production par objet produit On a déterminé qu il 9 est égal à U( ) pour appartenant à l intervalle I=[ ;] a Etudier la fonction U sur I Tracer sa courbe C ( unités : cm pour 5 objets / cm pour ) b Déterminer pour quelle production le cout unitaire est le plus bas Déterminer alors le bénéfice de l entreprise c Déterminer graphiquement le nombre d objets que l on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 8 Montrer que le bénéfice global de l entreprise est B( ) 9 Déterminer son sens de variation sur I et déterminer la production pour avoir un bénéfice maimal Quel est ce bénéfice? 9 U( ) pour dans l intervalle I=[ ;] 9 9 ( )( ) a Dérivée : U'( ) d où le tableau de variations : + est toujours positif sur I, est négatif avant, positif après Eercices corrigés Fonctions

44 U U 5 y b Le minimum est obtenu pour objets produits Le bénéfice est alors ( U()) 5 c Graphiquement le nombre d objets fabriqués doit être compris entre,5 et 78,5 9 Le bénéfice est B( ) ( U( )) 9 Sa dérivée est B'( ) qui s annule pour 55 Avant 55 B est coissante (B > ), après 55 B est décroissante (B < ), c est bien un maimum Ce bénéfice maimum est alors B(55) 5 5- : Théorie de la relativité (c) 6 8 D'après la théorie de la relativité, une particule de masse m au repos a une masse m à la vitesse v donnée m par la formule mv () où c est la vitesse de la lumière soit km/s v c a Calculez m pour v=, km/s puis v= km/s On prendra m = pour les calculs et les figures b Etudiez la fonction m(v) pour v variant de à c Tracez sur la même figure la droite m= m et la courbe représentative de m(v) c Pour quelle vitesse la masse vaut-elle deu fois la masse au repos? A partir de quelle vitesse un individu verra-t-il son poids augmenter de %? Conclure Eercices corrigés Fonctions

45 mv () On a cm c c v c v Pour v=, km/s, m vaut pratiquement, pour / / cv m( v) c( c v ) m'( v) c ( v)( c v ) / ( c v ) croissante Lorsque v tend vers c, On cherche v pour que 6 km/s c v tend vers et m tend vers l infini v m vaut,556 donc m est bien c m( v) m c ( c v ) v c v c, soit environ c v c, 5 m( v),m, c (,) ( c v ) v c v,97 c 6 km/s Il c v, faut aller vraiment très vite m v : Courbe+optimisation (c) Soit la fonction f définie sur R * par a Déterminer les limites de f Eercices corrigés Fonctions f( ) b Calculer f '(), déterminer son signe, faire le tableau de variations de f, déterminer le minimum de f pour > c On appelle C la courbe représentative de f, et P la parabole y = Soit M le point de P d'abcisse et N le point de C de même abcisse Calculer MN yn ym, préciser son signe ainsi que sa limite en + et en Quelles conclusions pouvez vous en tirer? d Tracer dans le même repère les tangentes à C en et ainsi que P puis C (unite = cm) e Un industriel doit fabriquer une boite fermée de volume litre ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur h et dont la base est un carré de côté L'unité de longueur est le dm Montrer que la surface de la boîte est S() = f() et déterminer les dimensions de la boîte pour lesquelles cette surface est minimale 5 GuesmiB

46 a A l infini le terme tend vers donc lim f( ) lim En le terme tend vers l infini et on a lim f ( ) et lim f ( ) b ( ) f '( ) ; or est positif lorsque et négatif sinon + f f c MN yn ym f() Ceci tend vers à l infini donc C et P sont asymptotes Lorsque >, on a yn ym donc C est au-dessus de P ; lorsque <, on a y N ym donc C est en-dessous de P d La tangente en a pour coefficient directeur, elle est horizontale ; la tangente en a pour coefficient directeur 7/ e La surface de la boîte est n fois la base plus quatre fois le côté h On a donc volume de la boîte est V h l dm h et S( ) f( ) S( ) h Or le La surface est minimale lorsque f est minimale, c est-à-dire lorsque = ; on a alors h = et la boîte est un cube de côté dm Eercices corrigés Fonctions 6

47 y : Triangles (c) ABCD est un rectangle tel que AB et Les droites AM et DIM Calculer S et AD M est un point variable sur DB se coupent en I On désigne par S Démontrer que la hauteur IK du triangle ABI est égale à En déduire que : S DC : on pose DM S la somme des aires des triangles ABI et Pour quelle valeur de, S est-elle minimale? Que vaut cette aire minimale? Eercices corrigés Fonctions 7

48 A D M Or ID IB On obtient ainsi : Eercices corrigés Fonctions I C B Calcul de S et S est l aire du triangle ABD ; soit S : si, M D et S ; si, M C et S est la somme des aires des triangles ABI et DIC ; soit S Calcul de IK Dans les triangles IBA et IDM, les points B, I, D et A, I, M sont alignés et AB et DM sont parallèles On peut donc utiliser Thalès : ID IM DM ID ID IB IB IA BA IB Dans les triangles BIK et BDA, les points B, I, D et B, K, A sont alignés et AD et KI sont parallèles On peut donc utiliser Thalès : BI IK IK IK BI BI Calcul de S : la hauteur IH du triangle DIM est obtenue par On obtient ainsi : S M est un point variable sur S: S' ABIK DMIH DC et DM appartient à ; dérivable sur \{ }, donc sur * Sur \{ }, S' * a le signe de ;, de dérivée : car BI BK IK BI IK BI IK BD BA DA BD BI ID IH ; soit S 8 est positif (coefficient de positif) à l etérieur de ses deu racines et * S est décroissante sur ; et croissante sur ; S: admet donc un minimum en égal à S S est donc minimale pour et cette aire minimale vaut 5-6 : Polynômes de Legendre On appelle polynômes de Legendre la famille de fonctions définies sur [ ; ] par P( ) et n Pn ( ) ( ) n n! ((n) représente la dérivée n-ième et n! est le nombre n qui se lit «factorielle de n») Calculer Pn ( ) pour n=,,, et 5 () n

49 A l aide d Ecel tracer ces fonctions dans un même repère Etudier leurs variations On démontre que P ( ) P( ) ( n ) P ( ) pour toute valeur de n Vérifier cette formule pour n =, n n n, et Même question pour la formule suivante : (E) ( n ) Pn ( ) (n ) Pn ( ) ( n ) Pn ( ) Un des principau intérêts de ces polynômes est que l on a : n f( ) P ( u) P ( u) P ( u) P n ( u) u a On prend u = : donner une epression simple de f Ecrire la formule précédente jusqu à n = 5 Peut-on deviner une formule générale? b A l aide d Ecel et de la formule (E) tracer les fonctions fn( ) P( u) P( u) Pn( u) pour u = / et n =,, Sur la même figure tracer f et sur une figure différente tracer les fonctions f ( ) f( ) Constatations? P ( ) ( )' ;! P( ) et n Pn ( ) ( ) n n! P () ( ) ( ) ( ) 6 ( )! 8 8 ; () () P ( ) ( ) ( )( )! 8 () 5 () ( ) ( ) (5 ) Pour les autres c est plus désagréable : calculons ( ) 6 et dérivons fois : 7 5 ( ) 8 6 6, () 5 () n 8 6 () 6 ( ) , ( ) , ( ) ; il reste à diviser par P ( ) 5 6 8!, ce qui donne 5 Vous vous ferez une joie de vérifier que P5 ( ) Pour l étude des trois premières il n y a pas de difficulté Pour la : 5 P ( ) 5 (7 ) d où les racines, 8 8 () n 7 et La suite est facile 7 n Eercices corrigés Fonctions 9

50 y,8,6,, - -,8 -,6 -, -,,,,6,8 -, -, -, ,8 5 5 Pour P5 ( ) 6 7 5, on a P5 ( ) X : On pose X X et on cherche les racines : 8 ( 7) d où X, X, soit les quatre racines : 7 7,,, Vérifions simplement pour n= : P5 ( ) P ( ) 5 P ( ), soit avec les calculs précédents : (7 ) Ok : Point de Torricelli, Point de Fermat Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j), on considère les points A, B, C de coordonnées ( ; ), ( ; ) et ( ; ) Pour tout point M de P, on pose ( M) MA MB MC et on se propose de trouver un point M tel que ( M) ( M ) pour tout point M différent de M Autremement dit, on cherche à minimiser la fonction Partie A On note le demi-ae des abscisses correspondant au positifs On regarde ici ce qu il se passe lorsque M est sur Soient les fonctions f et g définies sur [ ; [ par Etudier les variations de f et g f( ) et g( ) Eercices corrigés Fonctions 5 GuesmiB

51 Soit h définie sur [ ; [ par variations de h h( ) Etudier, au moyen de la question précédente, les Soit M un point de Montrer que ( M) h( ) où désigne l abscisse de M Quel est le minimum de lorsque M décrit? En quel point de ce minimum est-il atteint? Partie B Etude de sur le plan entier Etablir que, pour tout point M de P, on a MB MC Etant donné un réel a supérieur ou égal à, on note a l ensemble des points M tels que MB MC a a Reconnaître b Reconnaître a lorsque a > Tracer sur la même figure et 5/ Etablir que, pour tout a, Soit un réel a a rencontre en un unique point T a dont on précisera l abscisse a Vérifier que tout point de a a pour coordonnées ( ; y) telles que b Eprimer en fonction de t la différence MA Ta A différence est strictement positive En déduire que, si M est un point de ( M) ( T a ) A=,5777 cm MA=5,698 cm 5 Soit M le point de coordonnées =,9759 cm MB=,87 cm =, cm( MC=,7 M) ( M ) cm a +FB+FC=9,6955 A+MB+MC=,765 ; a cos t, t [ ; [ y asin t et montrer que, si M est différent de T a, cette a et différent de T a, on a Montrer que, pour tout point M du plan différent de M, on B' C' A v u c F b B O C M Eercices corrigés Fonctions 5

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53 u m i v um=,95 cm mv=,95 cm B M' M O Ta A C a rencontre (abscisse positives) lorsque le rayon du cercle BM vaut a, soit en un unique point T a : on a alors T BT C a a a a a a a Remplaçons et y par a cos t : y asin t MB MC a ( y) ( y) a ( a )cos t( asin t) ( a )cos t( asin t) a a cos tcos t a sin tasin t a cos tcos t a sin t asin t a a cos tasin t a cos t asin t a a sin tasin t a sin t asin t a ( asin t) ( asin t) a asin t asin t a Ouf b a ( ) cos sin MA T A y a a t a t a a cos t( a )cos t a sin t a a cos t a cos t cos t cos t a 5 Eercices corrigés Fonctions

54 Les deu termes sont positifs, seul le premier pourrait être nul lorsque cos t =, soit lorsque t =, c est-àdire lorsque M est en T a On a donc pour M sur, ( M) MA MB MC MA a et ( T ) T AT BT C T A a ; mais a a MA T A MA T A d où ( M) ( T a ) a a a a a a 5 Lorsque a varie, T a se déplace sur le demi-ae comme vu dans la partie A La position de laquelle ( M) est minimale est précisément au point M de coordonnées a ) On a donc pour tout point M du plan différent de M, ( M) ( Ta ) ( M ) 5-8 : Un conejo ; T a pour (qui correspond à Un lapin désire traverser une route de mètres de largeur Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 6 km/h Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n est plus qu à 7 mètres de lui Son démarrage est foudroyant et on suppose qu il effectue la traversée en ligne droite au maimum de ses possibilités, c est à dire à km/h! L avant du camion est représenté par le segment [CC ] sur le schéma ci-dessous Le lapin part du point A en direction de D Cette direction est repérée par l angle BAD avec (en radians) Déterminer les distances AD et CD en fonction de et les temps t et t mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD 7 On pose f( ) tan Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du cos camion si et seulement si f( ) > Etudier les variations de f sur, et montrer qu elle s annule pour deu valeurs de dont on donnera des valeurs approchées à près Tracer la courbe représentative de f sur, (unité : 5 cm pour chaque ae) 5 Conclure Rappel : La fonction tan est dérivable sur, et a pour dérivée la fonction cos On appelle v la vitesse du lapin, et donc v celle du camion AB AB cos AD AD cos cos d où A t D v vcos Lapin BD CB BD 7 tan tan BD tan d où t AB vc amion vc amion v v Eercices corrigés Fonctions 5

55 Le temps mis par le camion doit être supérieur à celui mis par le lapin (si le lapin veut éviter le camion ), il faut donc t 7 tan 7 tan 7 t tan ( ) v vcos cos cos f ( sin ) sin Variations de f : f '( t), qui s annule pour sin : lorsque cos cos cos 6, sin f '( ), f croissante, donne l abscisse du maimum de f, qui est alors de 6 6 Comme f(), 5, 5 et que f( /6) tan,6 6 cos 6 lim f( ), la fonction s annule deu fois : une première fois vers,9, une deuième vers,65 ; le lapin doit donc choisir un angle dans ces zones-là pour avoir une chance de survivre y,5,5,,,6,8, -,5 - -,5-5 Le lapin doit donc «choisir» un angle entre, rad (environ ) et,65 rad (environ 7 ) dans ces zoneslà pour avoir une chance de survivre Ceci dit tout ceci est assez formel Eercices corrigés Fonctions 55 GuesmiB