Une approche statique quasi-périodique de la capacité portante des groupes de micropieux

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1 Une approche statique quasi-périodique de la capacité portante des groupes de micropieux Zied Kammoun 1, Joseph Pastor 2, Hichem Smaoui 3 1 Université de Tunis El Manar, Ecole Nationale d Ingénieurs de Tunis, Laboratoire MOED, 1002, Tunisie 2 Laboratoire LOCIE, Université de Savoie, France 3 Université de Tunis El Manar, Ecole Nationale d Ingénieurs de Tunis, Laboratoire MOED, 1002, Tunisie RÉSUMÉ. Du fait de la géométrie complexe des systèmes sol-micropieux le calcul précis de leur capacité portante est un défi. Leur modélisation nécessite en effet une discrétisation trés fine pour obtenir une précision raisonnable. Ces modèles conduisent à des grands problèmes numériques d optimisation difficilement abordables à l aide des moyens actuels. Le présent article propose un modèle de réduction permettant de résoudre le problème numérique d analyse limite statique du sol renforcé par un groupe de micropieux modélisé en déformation plane. La méthode a été appliquée avec succès au cas d un sol renforcé lorsque les ressources ne permettent pas de résoudre le modèle complet. ABSTRACT. The complex geometry of large soil-micropile systems makes accurate calculation of the bearing capacity of the reinforced soil a computational challenge. This complexity requires finely discretized models to achieve reasonable accuracy. Such models lead to large scale numerical optimization problems that are hardly tractable using a personal computer. In the present paper a model reduction method is made capable of solving the numerical static limit analysis approach of a soil reinforced by a group of micropiles according to a plane strain model. The method has been successfully applied to the problem of a reinforced soil when resources did not permit solution of the full model. MOTS-CLÉS : Analyse limite, Approche statique, Quasi-périodique, Micropieux. KEYWORDS: Limit analysis, Static approach, Quasi-periodicity, Micropiles.

2 31èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai Introduction Les micropieux sont des pieux de petit diamètre et de grand élancement. Depuis 1952 leur usage s est largement répandu pour le renforcement des sols et les travaux de reprise en sous-œuvre. Pour prédire la capacité portante des groupes de micropieux, les approches utilisées sont le plus souvent de type méthode simplifiée [dl93]. L approche par la théorie de l analyse limite (AL) permet d obtenir un encadrement rigoureux de cette capacité portante [Kam10]. Cependant sa mise en œuvre pour les groupes de micropieux usuels conduit à des problèmes d optimisation tels que leur résolution conduit à des temps de calcul déraisonnables, d où la recherche d une modélisation spécifique. Par suite, une technique de type homogénéisation partielle, basée sur l hypothèse de la périodicité à l intérieur de la zone du sol renforcée par micropieux, est présentée ici. Une représentation bidimensionnelle du sol renforcé est adoptée pour réduire la dimension du problème numérique, l extension aux problèmes tridimensionnels étant naturelle. Après une brève présentation de l analyse limite (AL), la méthode de réduction proposée est présentée ; elle est ensuite évaluée en l appliquant à des exemples de sol renforcé par un groupe de micropieux. Précisons que l objectif du présent article est essentiellement le développement de cette méthode réduite pour le calcul de la charge limite (ou capacité portante) par l approche statique, ou de borne inférieure, de l AL. Pour situer ses résultats nous aurons besoin de bornes supérieures concernant le problème non réduit, lesquelles bornes seront obtenues à l aide du code cinématique pour lequel nous renvoyons, faute de place ici, à la référence [Kam10]. 2. Analyse limite et méthode statique Selon Salençon (voir [Sal83]), un champ de contrainte σ est dit statiquement admissible (SA) si les équations d équilibre, la continuité des vecteurs contrainte, et les conditions aux limites en contraintes sont vérifiées. Il est plastiquement admissible (PA) si f (σ) 0, où f (σ) est le critère de plasticité du matériau. Un champ σ SA et PA est dit admissible. De même, un champ de vitesses de déformation v est cinématiquement admissible (CA) s il dérive d un champ de vitesses de déplacement u (continu par morceaux et à discontinuités bornées) qui vérifie les conditions aux limites en vitesse. Il est plastiquement admissible (PA) si la loi de normalité est vérifiée, et les champs u et v, à la fois CA et PA, seront appelés admissibles par la suite. Une solution au problème de l analyse limite est un couple de champs (σ,v) où σ et v sont à la fois admissibles et associés par la loi de normalité. Ces solutions peuvent être trouvées ou approchées en utilisant deux méthodes d optimisation. La première, impliquant seulement les contraintes comme variables, est la méthode statique (dite aussi de la borne inférieure). La seconde, qui fait intervenir les seules vitesses de déplacement, est la méthode cinématique (dite de la borne supérieure). Supposons que la puissance virtuelle des charges externes puisse s écrire comme le produit scalaire d un vecteur chargement Q(σ) R n et un vecteur vitesse q = q(u). Un chargement associé linéairement à un champ de contrainte admissible est lui-même dit admissible. L ensemble de ces chargements admissibles forme un convexe K dans

3 Une approche statique quasi-périodique. 3 R n et les n composants de Q sont appelés paramètres de chargement. La frontière K du convexe K, lieu des chargements limites cherchés, peut être déterminée par la résolution des problèmes d optimisation suivants : Q lim =(Q d 1,...,λ 0Q d i,...,q d n) λ 0 = max{λ, Q(σ) = (Q d 1,...,λQd i,...,q d n)}, où σ est un champ de contraintes admissible et Q d un chargement admissible donné. (1a) (1b) 3. Formulation par éléments finis du problème statique Dans le présent travail le problème est formulé en déformation plane. La méthode numérique statique est utilisée telle que détaillée dans [Pas78]. Prenons une discrétisation en éléments finis triangulaires du volume mécanique V doté du repère orthonormé global (x,y). Dans chaque triangle le champ de contrainte est choisi affine et peut être discontinu à travers les bords des éléments. Le critère de von Mises ou de Tresca (équivalents dans le cas présent) s écrit dans le cas présent : f (σ) = (σ x σ y ) 2 + (2τ xy ) 2 2c, (2) où c est la cohésion du matériau. Notons ici que la méthode de réduction proposée dans ce travail est valable aussi pour les critères de Coulomb et de Drucker-Prager. Afin d assurer l admissibilité du champ de contrainte les conditions suivantes sont imposées. Dans chaque élément, les équations d équilibre σ i j, j + γ i = 0, où γ est le poids volumique, donnent deux égalités linéaires. La continuité du vecteur contrainte T i = σ i j n j est imposée aux sommets de chaque segment de discontinuité de normale n, soit quatre égalités par segment. Les conditions aux limites en contraintes, i.e. σ i j n j = Ti d est imposée à chaque sommet des côtés d éléments de frontière, soit quatre égalités par côté. Le critère de plasticité est imposé à chaque sommet de triangle. Il est alors vérifié dans l élément du fait de à la variation linéaire des contraintes dans le triangle et de la convexité du critère [2]. La fonctionnelle est définie a partir de la puissance des charges extérieures ; c est, par exemple, l intégrale des contraintes normales dans le cas d une semelle à laquelle on impose une vitesse normale uniforme. En écrivant le critère directement sous la forme conique V = 2c Y 2 + Z 2, où V est une variable auxiliaire, le problème d optimisation mathématique sous contraintes final est résolu en utilisant le code commercial MOSEK [m02]. Ce code performant est dédié à la résolution du problème dit conique du second ordre (SOCP), où il s agit d optimiser une fonctionnelle linéaire dont les variables doivent satisfaire, outre des contraintes (au sens mathématique) linéaires, un ensemble de contraintes coniques de la forme : n j=1 x2 j x n+1 ; dans le cas présent, n = 2 et x 3 = V.

4 31èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai Méthode de réduction quasi-périodique Dans les grands groupes de micropieux, ces derniers sont généralement disposés selon un motif régulier avec une géométrie et une structure périodiques. Lorsque le chargement est uniformément distribué entre les inclusions, le sol renforcé a tendance à réagir sur un mode périodique, notamment loin des limites de la zone renforcée. La méthode proposée tire profit de cette périodicité pour réduire la taille du problème d analyse limite numérique. Figure 1. Le problème de sol renforcé par un groupe de micropieux La figure 1 montre la configuration des sols renforcés par un groupe de n p micropieux. Une fondation rigide repose sur le sol renforcé, et le sol naturel s étend sur les côtés et en dessous de cette zone jusqu au substrat rigide. Pour appliquer la technique de réduction, le domaine est divisé en trois parties. La première est la zone centrale renforcée dont le comportement est supposé périodique, notée zone I. La seconde zone, zone de transition ou de bord (zone II), est une partie du sol renforcé qui sépare la zone périodique du sol non renforcé. Enfin, le reste du sol représente la zone III. Un volume élémentaire (VE) est constitué par un micropieu, la moitié de la largeur du sol de chaque côté et du volume sous-jacent de sol. Quel que soit le nombre de micropieux qu il comporte, la zone périodique est remplacé par un unique élément de volume périodique (VEP) qui vérifie la périodicité et les contraintes de continuité entre VE. Les conditions de périodicité imposées sur le champ de contraintes sont les suivantes : σ gauche n = σ droite n, (3) où n est la normale à droite (ou à gauche) du VEP. Le même type de conditions est aussi imposé entre le bord de la zone II et le VEP pour assurer la continuité du vecteur contrainte avec la zone I reconstituée par périodicité. Comme les n pp VE périodiques sont remplacés par un seul VEP, le chargement F R du problème réduit est donné par : F R = F T + n pp F P (4) où F T est la charge supportée par la zone II et F P la charge supportée par le VEP dans le problème réduit. Il en résulte une réduction considérable de la taille du problème,

5 Une approche statique quasi-périodique. 5 Figure 2. Charge du problème initial Figure 3. Charge du problème réduit au prix d une erreur d approximation. Fait intéressant, l erreur est du côté conservatif car préservant la nature de borne inférieure de la solution. Grâce aux conditions de périodicité et de continuité du VEP avec la zone II, le champ de contraintes résultant de la reconstitution par périodicité horizontale de la zone I et celui des deux autres zones donne en effet un champ de contraintes admissible pour le problème initial. Par ailleurs, la modélisation du composite sol-micropieux au niveau RVE, à la fois dans les directions horizontale et verticale, a le mérite de prendre en compte (au moins partiellement) les effets de pointe et du frottement latéral des micropieux sur la capacité portante. 5. Examples numériques Le problème considéré (Figure 4) est celui d un sol de Tresca renforcé par un groupe de n P micropieux, sur lesquels repose une semelle indéformable de largeur b chargée en son milieu par une force F. Le problème d optimisation numérique associé est noté P 0. La solution pour le problème réduit, notée P (Figure 5), est admissible Figure 4. Exemple d un sol renforcé par des micropieux pour P 0 et fournit donc une borne inférieure pour le problème original. En limitant le

6 31èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai nombre de micropieux de transition à un seul de part et d autre, le nombre de micropieux dans le modèle est réduit de n P à 3 seulement. Figure 5. Problème réduit de l exemple considéré 5.1. Effet du mode de transmission de charge Pour illustrer l influence du mode de transmission de charge de la fondation au sol renforcé le problème est considéré avec deux mécanismes de transmission. Dans le premier, la fondation est supposée supportée uniquement par les micropieux. Dans le second, elle est censée reposer et sur la surface du sol et sur les têtes de micropieux. Dans les deux cas, les bornes cinématiques et statiques de la capacité portante sont d abord déterminées par la résolution du problème direct pour un renfort de neuf micropieux (n p = 9). Les résultats sont ensuite donnés pour plusieurs distances de micropieux afin d évaluer les effets de l espacement et du mode de transmission de la charge Fondation supportée uniquement par les micropieux La charge limite statique F du sol renforcé est déterminée dans ce cas avec les conditions aux limites définies de telle sorte que la charge est supportée uniquement par les micropieux. La figure 6 indique la charge limite (statique) du sol renforcé, calculée avec différentes méthodes, en fonction de l espacement. On peut noter à partir des résultats que : La capacité portante du sol renforcé augmente avec l espacement pour une valeur de celui-ci inférieure à 6, 8 m. Au-delà de cette valeur, la capacité portante devient quasiment indépendante de l espacement. La saturation doit refléter la disparition de l interaction entre les micropieux qui ont alors tendance à se comporter comme des inclusions isolées. La différence entre les solutions de l approche statique directe et celle du modèle réduit est relativement faible (moins de 4,2%).

7 Une approche statique quasi-périodique. 7 Figure 6. Influence de l espacement sur la capacité portante. (a) Seuls micropieux chargés (e = 1,8) (b) Seuls micropieux chargés (e = 8,8) Figure 7. Zone plastifiée (solution directe) Les zones plastifiées sont visualisées sur la figure 7. On peut constater que pour des petits espacements, le comportement de la zone renforcée rappelle celui d un mécanisme de bloc (Figure 7-a). Pour un espacement important (Figure 7-b), les volumes élémentaires ont tendance à se comporter de manière indépendante, comme si les micropieux étaient isolés. La zone de rupture est en effet localisée dans une couche mince de sol entourant le micropieu Fondation appuyant à la fois sur le sol et sur les micropieux La charge dans ce cas est maintenant transmise par les micropieux et le sol. La Figure 8 montre la charge limite calculée pour différentes valeurs de l espacement des micropieux. On observe que :

8 31èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai Figure 8. Charge limite pour différentes valeurs d espacement La charge limite augmente toujours avec l espacement, contrairement au comportement observé lorsque la charge est supportée uniquement par les micropieux. L erreur augmente avec l espacement jusqu à 9% pour e = 8,8 m (a) Chargement pieux-sol (e = 1,8) (c) Chargement pieux-sol (e = 8,8) Figure 9. Zone plastifiée (solution directe) Les zones plastifiées sonts visualisées sur la figure 9. Pour des faibles espacements, le comportement de la zone renforcée est similaire à celle d un mécanisme de bloc. Pour des espacements importants, le comportement ne reflète pas clairement l hypothèse de périodicité.

9 Une approche statique quasi-périodique. 9 Tableau 1. Effet du nombre de micropieux Statique Réduit Cinématique Nbr. Nbr élém. F (kn) F (kn) Erreur(%) Nbr élém. F (kn) pieux ,3 3779,2 0, , ,8 6301,0 0, , ,6 7982,4 0, , ,6 8822,9 0, Effet du nombre de micropieux sur la performance de la méthode Afin d évaluer le gain de performance de la méthode de réduction pour les groupes de micropieux de grande taille (Figure 10) le problème de l analyse limite est résolu en utilisant les formulations directe statique, directe cinématique et le modèle réduit pour un nombre de micropieux variant de 1 à 31. Figure 10. Exemple pour un grand nombre de micropieux Les conditions aux limites sont telles que la charge est supportée par les micropieux seulement. Le même degré de discrétisation est utilisé dans tous les modèles (c est-à-dire la même taille des éléments finis). Le modèle réduit compte éléments finis quel que soit le nombre de micropieux. D après les résultats, et comme prévu, le temps CPU requis par la solution du modèle réduit n a pas tendance à augmenter avec le nombre de micropieux, alors que le temps CPU de la solution directe augmente presque proportionnellement avec lui. Pour un renforcement de 21 micropieux (tableau 1) le maillage du problème direct est de éléments finis, soit près de deux fois le nombre d éléments dans le modèle réduit, et le temps CPU consommé est presque le double du temps de la solution

10 31èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai modèle réduit pour un gain de précision de 0,7%. C est le plus grand problème dont la solution directe est possible avec l Apple Mac Pro 3 GHz utilisé dans ce travail. L erreur relative entre les solutions des modèles direct et réduit se situe entre 0,5 et 0,7% et ne semble pas augmenter avec le nombre de micropieux. Par conséquent, on peut conclure que la méthode de réduction fournit une estimation assez précise pour un nombre illimité de micropieux avec un effort presque constant de calcul. 6. Conclusion Une méthode basée sur un modèle de réduction est proposée pour résoudre le problème numérique d analyse limite statique d un milieu renforcé par un groupe de micropieux périodique tout en préservant la finesse de la description par éléments finis du volume élémentaire périodique. Signalons ici que ce procédé de réduction et plus généralement la méthode statique ne relèvent pas d une approche à l aide d un code élastoplastique usuel de type déplacement ou équilibre, le caractère SA des champs de contraintes résultants n étant qu approximatif, sauf cas très spécial. La méthode de réduction proposée a été appliquée avec succès à l analyse limite statique d un sol renforcé par un grand groupe de micropieux lorsque les ressources ne permettent pas de résoudre le problème du modèle complet. Les résultats numériques montrent que la méthode de réduction fournit une estimation assez précise de la charge limite pour un coût calcul quasi-indépendant du nombre de micropieux. Des différences significatives sont cependant observées selon que la charge est appliquée aux micropieux seuls, ou au sol et aux micropieux. Dans un travail futur, la méthode de réduction pourra être améliorée en limitant la hauteur des volumes élémentaires à celle du seul micropieu, ce qui permettra plus de degrés de liberté dans le sol sous la zone renforcée. Références [dl93] Ministère de l équipement, du logement et des transports. Fascicule N 62 - Titre V : Régles techniques de conception et de calcul des fondations des ouvrages de génie civil, [Kam10] Z. Kammoun. Prévision de la charge limite des sols renforcés par réseaux de micropieux. Thèse de doctorat, Université de Savoie et Ecole Nationale d Ingénieurs de Tunis, [m02] MOSEK ApS. C/O Symbion Science Park, Fruebjergvej 3, Box 16, 2100 Copenhagen φ, Denmark, [Pas78] J. Pastor. Analyse limite : détermination numérique de solutions statiques complètes. Application au talus vertical. J. Méca. Appl. (now Eur. J. Mech.- A/Solids), 2 : , [Sal83] J. Salençon. Calcul à la rupture et analyse limite. Presses des Ponts et Chaussées, Paris, 1983.

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